华罗庚金杯数学邀请赛决赛初二组练习题（含答案）

第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 (初中二年级组)

总分

第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题（初中二年级组·练习用）

一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分）

2019

?

1.计算

1? 2 ? 2018

.

2 2 1009 2 2018 ?

?

?

2. 一块正三角形草坪边长为 12 米，三个顶点处都安有喷水装置，每个喷水装

置都可以从三角形的一边到另一边旋转 60o来回喷水．假定三个喷水装置 的射程相等，要使草坪上所有区域都可以被喷水覆盖，那么被重复喷水的 最小面积是 平方米．

3. 从 ?2，? 3，? 4，? 5 这四个数中，任取两个数 p,q( p ? q) ，构成函数 y ? px ? 2 和

y ? ?x ? q ，如果这两个函数图象的交点在直线 x ? 2 的左侧，那么这样的有

序数对( p,q) 共有 个．

4. 设 p 为质数，如果二次方程 x 2

? 2px ? p2 ? 5p ?1? 0的两个根都是整数，那么

p 可能取的值有 个.

5. 如果1295 (6n ?1) （其中n 是整数，且 1986≤n≤2018 ），那么满足条件的n 的

个数是

.

6. 如图所示，在正六边形 ABCDEF 内放有一个正方形

MNPQ ，正方形的顶点分别在正六边形的 4 条边上，

且 MN //BC ．若正方形 MNPQ 的面积为 12 ?6 3 平方 厘米，则正六边形 ABCDEF 的面积是

平方厘米．

7. 将 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11 这 11 个数排成一行，使得任意 5

个相邻的数的和都是 5 的倍数．那么这样的排列方法有

种．

8. 四张卡片，每张写着一个自然数，任取 2 张，或者 3 张，或者 4 张，把卡

片上的数求和，可以得到 11 个不同的和，那么 4 张卡片上所有数的和最小 为 ．

第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中二年级组)

二、解答下列各题（每小题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）

9. 有 A ，B 两队野外徒步旅行，A 队在 B 队的西偏北 45 度处，两队相距 8 2

千 米．如果 A 队向东继续行走， B 队同时沿西偏南 45 度路线行走，且 A 队与 B 队的速度比是 2 ，求 A， B 两队最近时的距离．

10. 如果实数 x, y,z 同时满足关系式 x( y 2

? z) ? z(z ? xy) ， y(z2 ? x) ? x(x ?

yz) ，

z(x2 ? y) ? y( y ? zx) ，那么，实数 x, y,z 是否一定都相等？请给出证明．

11. 如图，在四边形 ABCD 中，?ABC ? ?BCD ?120? ，

AB ? BC ． 对角线 AC ， BD 相交于点 E ．

若 AE ? 3CE ，求证： AB ? 2CD ．

12. 从 76 个连续自然数 1，2，…，76 中任取 39 个数，其中必有 2 个数的差是

p ，求 p 的值．

三、解答下列各题（每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）

13. 如图，在五边形 ABCDE 中， AB ? AE ?1 ， ?CAD ? 45? ，

?E ? ?EAB ? ?B ? 90? ，求点 A到直线 CD 的距离．

A B E D C 14. 如图，一个由 81 个小方格组成的 9?9 网格．先将其中的

任意 n 个方格染黑，然后按照以下规则继续染色：如果某 个方格至少与 2 个黑格都恰好有 1 个公共顶点，那么就 将这个方格染黑．现在要按照这个方法将整个棋盘都染 成黑色，那么 n的最小值是多少？说明你的结论．

第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中二年级组)

第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题·练习用参考答案

（初中二年级组）

一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分）

题号 答案

3 3

2

1

2018 ?1

2

24π ?36 3

3 4 5 2

6 7

2304

8 14

5 8

二、解答下列各题（每小题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）

16 10 千米．

5

9. 【答案】 A ， B 两队最近时的距离是

【解答】如图，以 B 队初始位置为原点，正东、正北方向为 x 轴和 y 轴的正 方向，建立平面直角坐标系， B(0,0) ， A(?8,8)．不妨

y

A 设 B 队的速度为 1，那么 A队的速度为 2 ，经过时间t 2 2 后，B 队所在位置是

B (? t,?

1

A1

x

B

t) ，A队所在位置是 B

1

2 2

A1(?8 ? 2t,8) ，于是此时两队的距离 d 满足

2

2

2

2

2 2

d ? (?8 ? 2t ?

取到最

2

t) ? (8 ?

2

8 2

t) ? 5t ?16 2t ?128，当t ?

5

时，d 小值

512 16 10

? 千

米．

5

5

10. 【答案】 x, y,z 一定都相等．

【证明】将原关系式变形，得 xy(y ? z) ? z(z ? x) ①， yz(z ? x) ? x(x ? y)

②，

zx(x ? y) ? y(y ? z) ③．

（1）当(x?y()yz?()zx)?0?时，不妨设 x ? y ，由③得 y ? 0 或者 y ? z ．若 y ? z ，

则 x ? y ? z ；若 y ? 0 ，有 x ? 0 ，代入①，得 z ? 0 或者 z ? x ? 0 ，即 x ? y ?z ? 0 ．

（2）当 (x ? y)(y ? z)(z ? x) ? 0 时，将①②③相乘得 xyz(xyz ?1) ? 0，即 xyz ? 0 或

xyz ? ．如果 xyz ? 0 ，不妨设 y ? 0 ，由（1）知z?0或者 z ? x ，矛盾！如果 xyz ?1，

1

- 1 -

第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中二年级组)

不妨设 x≥y≥z ，显然 x ? 0 ．假设 x ? y ，考虑②式，有 x(x ? y) ? 0 ，又1yz 0

?

? ，

x

z ? x ? ，所以 yz(z ? x) ? 0 ．矛盾！所以 x ? y ? z ．

0

证毕！

11. 【证明】作 BM ? AC于M.

因为△ ABC 中， AB ? BC ，?ABC=120? ， 所以 AM ? CM,?CAB ? ?ACB ? 30? ． 因此 AB ? 2BM ．

由于?ACB ? 30? ，所以?ACD ? 90?．

又由 AE ? 3CE 和 AM ? CM 得： AM ? ME ? 3CE ， 即CM ? ME ? 3CE ．

即

(ME ? CE) ? ME ? 3CE 所以 2ME ? 2CE ，故 ME ? CE ．

在 Rt△ BME 与 Rt△ DCE 中， 因为 ME ? CE ，?BEM ? ?DEC ，

所以 Rt△ BME ≌Rt△ DCE ．因此 BM ? CD ． 由于 AB ? 2BM （已证）， 所以 AB ? 2CD ． 12. 【答案】 p 的值为 1，2，19，38．

【解答 1】 p 的值是 1，2，19，38．

做抽屉，每个抽屉内有差为 p 的两个数，或仅有一个数： 当 p≥39 时, 有两类抽屉，

第一类，每个抽屉有 2 个非零自然数，差是 p ：{76,76 ? p}，{75, 75 ? p}，…，

{p ? 2,2}，{p ?1,1}，个数是76 ? p ；

第二类，每个抽屉仅有 1 个不大于 p 的非零自然数，但与 p 的和大于 76：

{77 ? p}，{78 ? p}，…，{p}个数是76 ? 2?(76 ? p) ? 2p ? 76 ．

此时，抽屉总数是 p 个． 从每个抽屉各取一个数，因为 p≥39 ，这些数中不 存在差是 p 的两个数． 当 p≤38时，做抽屉：

{1, p ?1},{2, p ? 2},{3, p ? 3} ,{4, p ? 4}…{p,2 p} , {2p ?1,3p ?1},{2p ? 2,3p ? 2},{2p ? 3,3p ? 3} ,…{3p,4p} ,

……,

- 2 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xjt.html