重庆大学高数（工学下）期末试题七（含答案）

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重庆大学《高等数学》课程试卷

20 — 20 学年 第 学期

dz?fx(x0,y0)dx?fy(x0,y0)dy

333x23y2而fx(x,y)?33,fy(x,y)?33,所以fx(1,1)?,fy(1,1)?.故选（D）.

22x?yx?ynun?0,则?un(2. 设limn???

命题人: 开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:

考试方式： ).

组题人 密 名姓 弊 作 绝 拒 、 纪 号考学肃严 、 信 守 实 级诚封年、 争 竞 平 公 班、业专 线 院学

考试时间: 120 分n?1题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 (A) 收敛 (B) 发散 (C) 不一定 (D) 绝对收敛 得 分 知识点：级数收敛判定；难度等级：2。答案: C

3. 设f(x)????1,???x?0;考试提示 ?1,0?x??,则它的Fourier展开式中的系数an等于

1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试; ().

2.考试作弊,留校察看,毕业当年不授学位;请人代考、替他 (A)2[1?(?1)n] (B)0 (C)1 (D)4,属严重作弊,开除学籍. n?n?n? 人考试、两次及以上作弊等 知识点：傅里叶系数；难度等级：1。 答案: B 4. 微分方程y???3y??2y?3x?2ex的特解y*的形式为y*?().

一、选择题(每小题3分,共18分)

(A)(ax?b)xex (B)(ax?b)ex 1.函数z?ln(x3?y3)在点（1，1）处的全微分dz=（ ).

(C)(ax?b)?Cex (D)(ax?b)?Cxex 知识点：微分方程特解形式；难度等级：2。答案: D

（A）dx?dy （B）2(dx?dy)

5．直线x?t?1,y?2t?1,z?t和直线x?t?2,y?2t?1,z?t?1的距离是

（C）3(dx?dy) （D）32(dx?dy) ().

知识点：多元函数在一点处的微分公式；难度等级：1。答： (A) 2 (B)

233 (C) 23 (D) 2 （D）

知识点:空间解析几何；难度等级:3。答案:B

分析 二元函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处的微分为

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: 审题人: 命题时间: 教务处制

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.分析:该两条直线平行,其方向向量s?(1,2,1),两条直线上分别取点

A(1,?1,0)和点B(2,?1,1),AB?(1,0,1).两直线的距离d?|s?AB|,其中

|s|知识点:齐次微分方程；难度等级:1。答案:sin?Cx. 8. 平面x?y?z?12?0与一动点的距离等于动点与原点间的距离,动点的轨迹表达式为__________.

知识点:空间解析几何；难度等级:2。. 答案:(x?y?z?12)2?3(x2?y2?z2). 分析:设动点的坐标为

x?y?z?121?1?1222yxs?AB=

ijk82?3. 121?(2,0,?2).因此d?631016. 若?是空间区域?的外表面,下述计算中运用高斯公式正确的是( (A) (B) (C) (D)

).

(x,y,z).根据题意得到化

简

得

到

?外侧??xdydz?(z?2y)dxdy????(2x?2)dxdydz

2?3?x2?y2?y2.两边平方

(x?y?z?12)2?3(x2?y2?z2).

?外侧??(x?yz)dydz?2x2ydzdx?zdxdy????(3x2?2x2?1)dxdydz

?9．设I??0dx?xf(x,y)dy,交换积分次序后,I?__________. 知识点:交换积分顺序；难度等级:2。. 答案:

22x?内侧??x2dydz?(z?2y)dxdy????(2x?1)dxdydz

?2?内侧??xdydz?(z?2y)dxdy?????(2x?2)dxdydz

??20dy?yy/2f(x,y)dx??dy?242y/2f(x,y)dx.

?z?z??__________.?x?y

10. 设2sin(x?2y?3z)?x?2y?3z,则

知识点:对坐标曲面积分计算,高斯公式；难度等级:1。答案:B 分析: A中右边被积函数错误,B正确,C符号错误,D被积函数错误.

知识点:一阶偏微分计算；难度等级:1。 答案:1. 11. 设

L为取正向的圆周x2?y2?4,则曲线积分

二、填空题(每小题3分,共18分)

dyyy7. 微分方程??tan的通解为__________.

dxxx?Ly(yex?1)dx?(2yex?x)dy?__________.

知识点:曲线对坐标的积分计算，格林公式；难度等级:1.答案: ?8?. 12. 设L是从点A?2, 1?沿曲线2y?x2到点B?22, 4?的弧段, 则第一

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类曲线积分I?? L ds的值为__________.

知识点:曲线对弧长的积分计算；难度等级:1. 答案:I?(9?3).

分析: 以x为参数,I?? L ds??2

yx22yx解: 对应的齐次方程的特征方程为:?2?1?0.故可得特征根为?1,2??1.

1?cos2x?f1(x)?f2(x),其中21cos2xf1(x)?,f2(x)??.

2211方程y???y?f1(x)?的一个特解为y1*??;

22cos2xcos2x*?. 方程y???y?f2(x)??的一个特解为y221012原方程右端的函数f(x)?sin2x?11x1?x2dx?(9?3). 22三、计算题(每小题6分,共24分)

13. 计算

?L23L为正(x2ycosx?2xysinx?y2exdx)?x(2sinx?ye2xdy)其中,2323利用叠加原理,得原方程的特解

1cos2x**y*?y1?y2???.

210向星形线x?y?a(a?0).

知识点:格林公式；难度等级1。 分析: 积分路径已为闭,格林公式.

?P?Q解: ?x2cosx?2xsinx?2yex??y?x故方程的通解为

1cos2xy?C1ex?C2e?x??.

21015. 计算曲面积分I???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy,其中?为曲面

?z?1?x2???L(x2ycosx?2xysinx?y2ex)dx?(x2sinx?2yex)dy?Q?P?)dxdy?0.?x?y

12y(0?z?1)的上侧. 4

知识点:对坐标曲面积分计算，高斯公式；难度等级:2.

?x2?y24?1解:取?1:?,下侧,则?与?1围成的立体为?.

?z?0I1????1???(D14. 求微分方程y???y?sin2x的通解.

知识点:二阶常系数线性微分方程；难度等级:3.

分析:先求出对应的齐次线性方程的通解,再定出相应的特解形式.

??xzdydz?2zydzdx?3xydxdy

?Gauss?TH????(z?2z?0)dxdydz

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1??3zdz0x2?y24?1?z??dxdy (先二后一)

??2ydx?3xdy?z2dz????1??6?z(1?z)dz0

?dydzdzdxdxdy???????(3?2)dxdy,,??x?y?z2y3x?z2

??.I2???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy

?1x2?y2?9??dxdy?9?.

???3xydxd (y分片投影)

?1四、解答题(每小题6分,共12分)

17．设平面区域D?{(x,y)3|x?y?1?,?1x?f1}(x),是定义在

[?a,a](a?1)上的任意连续函数.试求:

?3x2?y24?1??xydxdy(对称性)

?0.

?I????1??xzdydz?2zydzdx?3xydxdy???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy?I?11?I2??.I???2y[(x?1)f(x)?(x?1)f(?x)]dxdy.

D16. 计算??2ydx?3xdy?zdz,其中?为圆周x?y?z?9,z?0.若从z2222知识点:二重积分计算；难度等级:2。

分析: 被积函数含有未知连续函数,积分区域添辅助曲线化为与两坐标轴分别对应区域,利用被积函数的相应奇偶性可做

解: 作曲线如图. 令D1:y?x3(y?0),y?1,L围成,D1按y轴对称;D2:y?x3(y?0),x??1,L 围成,D2按x轴对称. 令f(x,y)?2y[(x?1)f(x)?(x?1)f(?x)]

显然f(x,?y)??2y[(x?1)f(x)?(x?1)f(?x)]??f(x,y),所以

轴的正向看去,这圆周是取逆时针方向.

知识点:斯托克斯公式,曲面积分的计算,二重积分的性质；难度等级:1.

分析:可用斯托克斯公式化为对坐标的曲面积分,也可化为平面曲线积分,用格林公式计算,后者更简单.

解:取?为平面z?0被?所围成的部分:x2?y2?9的上侧,于是

??f(x,y)d??0.

D2 又因为f(?x,y)?2y[(?x?1)f(?x)?(?x?1)f(x)]??f(x,y),所以

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??f(x,y)d??0.

D1??nxn?1?n?1??I???2y[(x?1)f(x)?(x?1)f(?x)]dxdy???f(x,y)d????f(x,y)d??0.

1(1?x)2xDD1D2 L y?x3

18．设?an?n??0xsinxdx,n?1,2,,求?ann.

n?12的值知识点:无穷级数的和,定积分；难度等级:3。 解 :STEP1. an?n??0xsinxdx

x?n??t0

???n?(n??t)sintdt

???n?n?0xsinxdx?n??0sinxdx

?a?n?xdx?n2?n2?n?0sin?2?0sinxdx?n2?.

?nSTEP2.

?x?1n?01?x

??nxn?

n?1(1?x)2???n2xn?1?1?xn?1(1?x)3???n2xn?x(1?x)n?1(1?x)3,x?1 ???a?n???n2n2n?6?. n?12n?1

五、证明题(每小题6分,共12分)

19．试证关于

x,y的二元方程ex?y?x?y?32在正方形域D??(x,y)|?1?x?1,?1?y?1?上至少有一组解.

知识点:有界闭区域上连续函数的性质之零点存在定理. 难度等级:2。

分析: 由零点存在定理,只要说明函数f(x,y)?ex?y?x?y?32在两个点处的值异号就可以了.

证明: 令f(x,y)?ex?y?x?y?32,?(x,y)?D. 显然f(x,y)在正方形域D上连续,且

f(1,0)?e?1?32?e?1132?0, f(?1,0)?e?1?2?0.

由连续函数的介值定理知f(x,y)在D上至少有一个零点,即方

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程ex?y?x?y?在D上至少有一组解.

20. 设曲面?:x?y?z?1,证明:??(x?y)dS?43.

?32质量为M?2a?0?0sindt?4a?0. 于是质心坐标为

1x0?M1y0?Mta?ta?t4a?a(t?sint)?2asindt?tsindt?sintsindt?. ?0022?022?023?ta?ta?3tt4a?a(1?cost)?2asindt?sindt?(sin?sin)dt?. 0?0??002224223??t23知识点:对面积的曲面积分,对称性,轮换性；难度等级:3。 分析: 据题目的特点,注意对称性的使用

证明:?关于yoz面对称,x为连续的奇函数,故??xdS?0.

?22. 求过点(2,3,8)的平面,使此平面在三个坐标轴上的截距都是正数,且平面与三个坐标面所围成四面体的体积为最小,并求最小四面体的体积.

知识点:拉格朗日乘数法；难度等级:3.

13.2由轮换性对称性知??xdS???ydS???zdS.于是

??????ydS?11(x?y?z)dS?dS. ??3??3???在八个卦限中都是以边长为2的等边三角形,其面积为分析:过点(2,3,8)的平面的截距式方程为x?y?z?1.平面与三个

abc故

114(x?y)dS?0??8?3?3. ??323?坐标面所围成四面体的体积为u?abc.即求函数u?abc在约束

66xyz???1下的约束极值点. abc

解:设所求的平面方程为x?y?z?1(a?0,b?0,c?0).该平面过点

abc(2,3,8),所以

六、应用题 (每小题8分,共16分)

21. 求均匀摆线x?a(t?sint),y?a(1?cost)(0?t??)的弧的质心. 知识点:对弧长的曲线积分,质心；难度等级2。 分析: 弧的参数方程已知,直接用质心公式计算 解: 弧长的微分为ds?a2(1?cost)2?a2sin2tdt?2asindt.

t2238abc???1.四面体的体积为.需要求出u?xyz在约束abc6238???1(x?0,y?0,z?0)下的最小值. xyz

由拉格朗日乘数法,令

238L?xyz??(???1).

xyz则

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??Lx??Ly????L?z??L???2??02x3??xz?2?0y.

8??xy?2?0z238????1?0xyz?yz?解方程组得唯一驻点(6,9,24).故设所求的平面方程为x?y?z?1.

6924

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