(江苏专用)201X-201x学年高中数学 课时分层作业19 最大值与最小值 苏教版选修1 -1

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精品 课时分层作业(十九) 最大值与最小值

(建议用时：45分钟)

[基础达标练]

一、填空题

1．已知函数f (x )＝x 3－3x ，|x |≤1，f (x )的最小值为________．

【解析】 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0，所以f (x )在[－1,1]上是单调递减函数，f (x )的最小值为f (1)＝－2.

【答案】 －2

2．函数y ＝x e x 在[0,2]上的最大值是________. 【导学号：95902240】 【解析】 由f (x )＝x e x 得f ′(x )＝1－x e

x ，当x ∈[0,1]时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 当x ∈(1,2]时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，∴当x ＝1时，函数取得最大值f (1)＝1e

. 【答案】 1e

3．函数y ＝x －sin x ，x ∈????

??π2，π的最大值是________． 【解析】 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈??????π2，π时，y ′＞0，则函数y 在区间????

??π2，π上为增函数，

所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π.

【答案】 π

4．函数f (x )＝1x ＋1

＋x (x ∈[1,3])的值域为________． 【解析】 f ′(x )＝－1x ＋12＋1＝x 2＋2x x ＋12

，所以在[1,3]上f ′(x )＞0恒成立， 即f (x )在[1,3]上单调递增，所以f (x )的最大值是f (3)＝134，最小值是f (1)＝32

. 故函数f (x )的值域为????

??32，134. 【答案】 ????

??32，134 5．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154

，则a 等于________.

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精品 【导学号：95902241】

【解析】 由已知y ′＝－2x －2，令y ′＝0，解得x ＝－1；∴函数在(－∞，－1)上是单调递增；在(－1，＋∞)上是单调递减．

若a ＞－1，则最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154， 解得a ＝－12? ??

??a ＝－32舍去. 若a ≤－1，则最大值为f (－1)＝－1＋2＋3＝4≠154，综上，a ＝－12

. 【答案】 －12

6．函数f (x )＝12

x 2－ln x 的最小值为________． 【解析】 f ′(x )＝x －1

x ＝x 2－1x ，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1; 令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12

. 【答案】 12

7．下列结论：

①在区间[a ，b ]上，函数的极大值就是最大值；

②在区间[a ，b ]上，函数的极小值就是最小值；

③在区间[a ，b ]上，函数的最大值、最小值在x ＝a 和x ＝b 时达到；

④在区间[a ，b ]上的连续函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值和最小值．

其中正确的是________(填序号)．

【解析】 因为连续函数在闭区间上极大值不一定就是最大值，极小值也不一定就是最小值，最值不一定在区间端点取到，所以①②③都不正确，而连续函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值和最小值，所以④正确．

【答案】 ④

8．已知函数f (x )＝a x

2＋2ln x ，若当a ＞0时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________.

【导学号：95902242】

【解析】 由f (x )＝a x 2＋2ln x 得f ′(x )＝2x 2－a x 3，又函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且a ＞0，

令f ′(x )＝0，得x ＝－a (舍去)或x ＝a .当0＜x ＜a 时，f ′(x )＜0；当x ＞a 时，

. f′(x)＞0.

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故x ＝a 是函数f (x )的极小值点，也是最小值点，且f (a )＝ln a ＋1. 要使f (x )≥2恒成立，需ln a ＋1≥2恒成立，则a ≥e. 【答案】 [e ，＋∞) 二、解答题

9．求函数f (x )＝－x 3

＋3x ，x ∈[－3，3]的最大值和最小值．

【解】 f ′(x )＝－3x 2＋3＝－3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：

max 当x ＝－1时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝f (－1)＝－2.

10．已知函数f (x )＝1－x x ＋k ln x ，k ≤0，求函数f (x )在????

??1e ，e 上的最大值和最小值. 【导学号：95902243】

【解】 因f (x )＝1－x x ＋k ln x ，f ′(x )＝－x －1＋x x 2

＋k x ＝kx －1

x

2. ①若k ＝0，则f ′(x )＝－1x 2在????

??

1e ，e 上恒有f ′(x )<0，

∴f (x )在??????1e ，e 上单调递减．∴f (x )min ＝f (e)＝1－e e ，f (x )max ＝f ? ??

??1e ＝e －1. ②若k <0，f ′(x )＝kx －1x 2＝k ? ?

???

x －1k x 2

，则在????

??1e ，e 上恒有k ? ?

???

x －1k x 2<0， ∴f (x )在??????1e ，e 上单调递减，∴f (x )min ＝f (e)＝1－e e ＋k ln e ＝1e ＋k －1，f (x )max ＝f ? ????1e ＝

e －k －1.

综上，当k ＝0时，f (x )min ＝

1－e

e

，f (x )max ＝e －1； 当k <0时，f (x )min ＝1

e

＋k －1，f (x )max ＝e －k －1.

[能力提升练]

1．已知a 为实数，f (x )＝(x 2

－4)(x －a )．若f ′(－1)＝0，函数f (x )在[－2,2]上的最大值为________，最小值为________．

【解析】 由原式可得f (x )＝x 3

－ax 2

－4x ＋4a ，f ′(x )＝3x 2

－2ax －4.由f ′(－1)＝0

. 得

精品

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精品 a ＝12，此时f (x )＝x

3－12

x 2－4x ＋2，f ′(x )＝3x 2－x －4.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝43

. 又f (－1)＝92，f ? ????43 ＝－5027

，f (－2)＝f (2)＝0， 所以函数f (x )在[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027

. 【答案】 92 －5027

2．已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表，f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图3­3­10所示 x

－1 0 2 4 5 f (x ) 1 2 1.5 2 1

图3­3­10

下列关于函数f (x )的命题：

①函数f (x )的值域为[1,2]；

②函数f (x )在[0,2]上是减函数；

③如果当x ∈[－1，t ]时，函数f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4；

④当1＜a ＜2时，函数y ＝f (x )－a 最多有4个零点．

其中正确命题的序号是________.

【导学号：95902244】

【解析】 由导函数的图象可知，当－1＜x ＜0或2＜x ＜4时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，

当0＜x ＜2和4＜x ＜5时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，当x ＝0和x ＝4时，函数f (x )取得极大值f (0)＝2，f (4)＝2，当x ＝2时，函数f (x )取得极小值f (2)＝1.5，又f (－

1)＝f (5)＝1，

所以函数f (x )的最大值为2，最小值为1，值域为[1,2]，①正确，②正确；要使x ∈[－1，t ]时，函数f (x )的最大值是2，则0≤t ≤5，所以t 的最大值为5，所以③不正确；

因为函数f (x )的极小值为f (2)＝1.5，极大值为f (0)＝f (4)＝2.

所以当1＜a ＜2时，函数y ＝f (x )－a 最多有4个零点，所以④正确．

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精品 【答案】 ①②④

3．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意的x ∈(0,1]都有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为________．

【解析】 因为x ∈(0,1]，所以f (x )≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x

3，则g ′(x )＝31－2x

x 4.

令g ′(x )＝0，得x ＝12.当0＜x ＜12时，g ′(x )＞0；当12

＜x ≤1时，g ′(x )＜0. 所以g (x )在(0,1]上有极大值g ? ??

??12＝4，它也是最大值，故a ≥4. 【答案】 [4，＋∞)

4．已知函数f (x )＝x －ln x ，g (x )＝x 2－ax .

(1)求函数f (x )在区间[t ，t ＋1](t ＞0)上的最小值m (t )；

(2)令h (x )＝g (x )－f (x )，A (x 1，h (x 1))，B (x 2，h (x 2))(x 1≠x 2)是函数h (x )图象上任意两点，且满足h x 1－h x 2x 1－x 2

＞1，求实数a 的取值范围. 【导学号：95902245】

【解】 (1)f ′(x )＝1－1x

，x ＞0， 令f ′(x )＝0，则x ＝1.

当t ≥1时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增，f (x )的最小值为f (t )＝t －ln t ；

当0＜t ＜1时，f (x )在区间(t,1)上为减函数，在区间(1，t ＋1)上为增函数，f (x )的最小值为f (1)＝1.

综上，m (t )＝?

???? t －ln t ，t ≥1，1， 0＜t ＜1. (2)h (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋ln x ，

不妨取0＜x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0，

则由h x 1－h x 2x 1－x 2

＞1，可得h (x 1)－h (x 2)＜x 1－x 2， 变形得h (x 1)－x 1＜h (x 2)－x 2恒成立．

令F (x )＝h (x )－x ＝x 2－(a ＋2)x ＋ln x ，x ＞0，

则F (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋ln x 在(0，＋∞)上单调递增，

故F ′(x )＝2x －(a ＋2)＋1x

≥0在(0，＋∞)上恒成立，

.

精品 所以2x ＋1x

≥a ＋2在(0，＋∞)上恒成立． 因为2x ＋1x ≥22，当且仅当x ＝22

时取“＝”，所以a ≤22－2. 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！

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