广东省2012届高三下学期高考模拟仿真试题（四）理科数学

广东省2012届高三下学期高考模拟仿真试题 (四)理科数学

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1.如图，U是全集，M，N，S是U的子集，则图中阴影部分所示的集合是( A ) A．(?UM∩?UN)∩S B．(?U(M∩N))∩S C．(?UN∩?US)∪M D．(?UM∩?US)∪N

解析：由韦恩图可知，阴影部分所表示的是M与N的并集的补集与S的交集，故选A. 2.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z＝(1＋ai)i为“等部复数”则实数a的值为( A )

A．－1 B．0 C．1 D．2

解析：复数z＝(1＋ai)i＝－a＋i，由题设得a＝－1.选A.

－－

3.已知函数f(x)＝1＋logax(a>0，且a≠1)，f1(x)是f(x)的反函数．若f1(x)的图象过点(3,4)，则a等于( D )

3A.2 B.3 C.3 D．2

解析：反函数图象过点(3,4)，则原函数图象过点(4,3)，有3＝1＋loga4，得a＝2.选D. 1

4.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an＝( D )

nA．1＋n＋lnn B．2＋(n－1)lnn C．2＋nlnn D．2＋lnn

3n

解析：an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋?＋(an－an－1)＝2＋ln2＋ln＋?＋ln＝2＋lnn.

2n－1选D.

5.已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的命题个数是( C )

①α∥β，m?α，n?β，则m∥n; ②若m?α，n?α，且m∥β，n∥β，则α∥β； ③若α⊥β，m?α，则m⊥β； ④若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α A．3 B．2 C．1 D．0 解析：只有④正确，故选C.

x1＋y1

6.已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则的值为( B )

x2＋y22255A. B．－ C. D．－ 3366

解析：由a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉知，cos〈a，b

〉＝－1，

x1y1x1＋y122

即a与b反向，所以a＝－b，所以＝＝＝－.

3x2y2x2＋y23

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7.如图P，Q，R，S为海上的四个小岛，现在要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案有( C )

A．8种 B．12种 C．16种 D．20种

解析：第一类：从一个岛出发向其它三岛各建一桥，共有C14＝4种方法；

第二类：一个岛最多建设两座桥，例如：P—Q—R—S，S—R—Q—P，这样的两个排列A44对应一种建桥方法，因此有＝12种方法；

2

根据分类计数原理知道共有4＋12＝16种方法．选C. 8.给出下列3个命题：

①函数y＝f(1－x)的图象与函数y＝f(1＋x)的图象关于直线x＝1对称； ②若奇函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则y＝f(x)的周期为2a；

③已知集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，则以A为定义域，以B为值域的函数有8个． 在上述3个命题中，所有不正确命题的序号是( A ) ．．．A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

解析：①是错的．如f(x)＝x2时，y＝(x－1)2与y＝(x＋1)2的图象不关于直线x＝1对称；π

②是错的．如y＝sinx是奇函数，图象关于x＝对称，但y＝sinx的周期不是π；③是错的．以

2A为定义域，以B为值域的函数只有6个．

二、填空题(本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．) (一)必做题(9～13题)

9.下图是一个算法的流程图，若输入a＝－1，b＝2，则最后输出的结果是 x<2 .

解析：上图是解不等式ax＋b>0(b≠0)的程序框图，若输入a＝－1，b＝2，可得输出x<2. 1 10.已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，e1＝a＋2b，e2＝2a－b，且e1∥e2，则x＝ .

21

解析：e1＝(1＋2x,4)，e2＝(2－x,3)，e1∥e2?3(1＋2x)＝4(2－x)?x＝. 2

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11.已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点A(－3，n)到焦点的距离为5，则抛物线的方程是 y2＝－8x .

p

解析：设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则焦点是F(－，0)．

2因为点A(－3，n)在抛物线上，且|AF|＝5，

n＝6p??故?，解得p＝4，故抛物线方程为y2＝－8x. p22

???－3＋2?＋n＝5

12.抛掷两个骰子，当至少有一个5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在30次试验中成功次数η的期望和方差为别是

50200

， .(前空3分，后空2分) 327

445

解析：η～B(30，p)，其中p＝1－×＝，

66955054200

所以Eη＝30×＝，Dη＝30××＝.

939927

13.如图，已知平面α∥平面β，线段PQ、PF、QC分别交平面α于A、B、C点，交平面β于D、F、E点，PA＝9，AD＝12，DQ＝16，△ABC的面积是72，则△DEF的面积为 96 .

解析：平面α∥平面β，

所以AB∥DF，AC∥DE，所以∠CAB＝∠EDF.

PA＋AD7

在△PDF中，AB∥DF，DF＝AB＝AB，

PA34

同理DE＝AC.

7

14

所以S△DEF＝DF·DEsin∠EDF＝S△ABC＝96.

23 (二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题．)

14.(坐标系与参数方程选做题)

?x＝t＋t

过点P(－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线?1

y＝t－?t

的长为 217 .

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1

相交于A、B两点，则线段AB

?

解析：直线的参数方程为?1

y＝?2s

化为x2－y2＝4.

x＝－3＋

3

s2

?

(s为参数)，曲线?1

y＝t－?t

1x＝t＋

t

(t为参数)可以

将直线的参数方程代入上式，得s2－63s＋10＝0.

设A、B对应的参数分别为s1，s2，所以s1＋s2＝63，s1s2＝10. 所以|AB|＝|s1－s2|＝?s1＋s2?2－4s1s2＝217.

15.(几何证明选讲选做题)

如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，则PA的长为

153

. 2

解析：因为DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，所以EC＝9. 因为CE∶BE＝3∶2，所以BE＝6.

DEEC

由DE2＝EF·EC，得＝，又∠DEF＝∠DEC，所以△DEF∽△CED，

EFDE所以∠ECD＝∠EDF，又∠APE＝∠ECD，所以∠APE＝∠EDF， AEEF

所以△APE∽△FDE，所以＝，所以CE·EB＝AE·DE＝EF·EP，

EPDE27

所以9×6＝4×EP，解得EP＝.

2

1545

所以PB＝PE－BE＝，PC＝PE＋EC＝.

22

1545153

由切割线定理得：PA2＝PB·PC，所以PA2＝×，所以PA＝. 222

三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

16.(本小题满分12分)

11ππ1

已知函数f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin(＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(，)．

22262(1)求φ的值；

1

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)

2π

的图象，求函数g(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．

4

11π

解：(1)因为f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin(＋φ)(0<φ<π)，

222

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111

所以f(x)＝sin2xsinφ＋(1＋cos2x)cosφ－cosφ

22211

＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ 221

＝cos(2x－φ).3分 2

π111ππ

又函数图象过点(，)，所以＝cos(2×－φ)，即cos(－φ)＝1，5分

622263π

而0<φ<π，所以φ＝.6分

3

1

(2)由函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)

21π

的图象可知y＝g(x)＝f(2x)＝cos(4x－).8分

23

πππ2π1π

因为x∈[0，]，所以4x－∈[－，]，故－≤cos(4x－)≤1.10分

433323π11

所以函数g(x)在区间[0，]上的最大值和最小值分别为和－.12分

424

17.(本小题满分13分)

一袋子中有大小、质量均相同的10个小球，其中标记“开”字的小球有5个，标记“心”字的小球有3个，标记“乐”字的小球有2个．从中任意摸出1个球确定标记后放回袋中，再从中任取1个球．不断重复以上操作，最多取3次，并规定：若取出“乐”字球，则停止摸球．求：

(1)恰好摸到2个“心”字球的概率；

(2)摸球次数X的概率分布列和数学期望．

解：(1)解：恰好摸到两个“心”字球的取法共有4种情形：开心心，心开心，心心开，心心乐．

533332153

则恰好摸到2个“心”字球的概率是P＝×××3＋××＝.6分

1010101010101000(2)X＝1,2,3，

1

C11C1428C2则P(X＝1)＝1＝，P(X＝2)＝1·1＝，

C105C10C1025

16

P(X＝3)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.10分

25故取球次数X的分布列为

X P 1 1 52 4 253 16 25141661

EX＝×1＋×2＋×3＝.13分

5252525 18.(本小题满分13分)

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