数学大师启示录_5莱布尼兹(1646-1716)

我有这么多的想法，假如某一天某地的人能够比我更深入地对它们加以研究，并且把他们思想的妙处和我的劳动结合起来，这些想法很可能有一天会得到利用。

——莱布尼兹

由远而近的马车

蓝天白云之下，大地恬静而舒展。西斜的太阳让树林、田野和

远处的山峦都带上了倦意。灰褐色的道路一眼望不见尽头。一辆马

车由远而近，嘚嘚嘚的马蹄声表明它在急速地赶路。

颠簸的车厢里坐着一个英俊的青年。他不凭窗眺望，却埋头在

旅行箱上疾书。当他停笔思考的时候，深思的目光中露出一丝怏怏

的神情。一个人受到不公正的待遇，难免不高兴，何况是个血气方

刚的青年。20岁的莱布尼兹刚刚从莱比锡大学毕业。因为嫉妒他的知识和才华，教授竟会借口他太年轻而拒绝他的博士学位的申请。

莱布尼兹一气之下离开莱比锡，决定到纽伦堡去争取学位。他现在

赶写论述教授法律新方法的论文，就是为迎接新的学位考试作准备。

少年在沉思中

1646年7月1 日，戈特夫里德·威廉·莱布尼兹出生于莱比锡的书香门第。父亲弗雷德里希是莱比锡大学的伦理学教授。母亲卡德琳娜·舒马克是斯拉夫人的后裔，也是书香门第。莱布尼兹一家三代为萨克森政府服务，可以说是典型的士大夫阶层。

小莱布尼兹在浓厚的学术气氛中长大。他进尼可莱学校的时候，已经显出他的早熟。教师想用固定的教材来限制他，免不了出现早熟儿童和常规教育之间常见的矛盾。小莱布尼兹不愿意接受老师的限制和校规的约束，主要在家里自学。他8岁开始学习拉丁语，12 岁能够用拉丁文作诗，很快又精通了希腊语。

1652年，小莱布尼兹才6岁，父亲不幸病故。他想念父亲，常常跑进父亲的藏书室，翻阅父亲生前阅读的书籍。小莱布尼兹继承了父亲对历史的兴趣。从父亲丰富的藏书中，他知道了古希腊的文明和罗马帝国的兴衰，十字军和成吉思汗的征讨，迷人的中国和印度的东方文化，……古代语言的学习已经满足不了他的求知欲望。连绵30年的德意志内战好不容易结束了，但是它给国家和人民留下深重的苦难，动摇了小莱布尼兹对古代战争的向往。算术中单调的运算也使他感到乏味。和笛卡儿一样，莱布尼兹在阅读的时候愈来愈多地停下来沉思默想，而且随着年龄的增长，思考得愈来愈深入了。亚里士多德是学术史上一位伟大的权威人士，虽然后来受到伽利略等人的挑战，一般人对他的学说是顶礼膜拜的。他的逻辑学三段论法，学者都奉为金科玉律，可是小莱布尼兹感到不满足。他认

为，逻辑学不但应当帮助人们正确地思考和表达，而且应该使人们能够科学地、更富有成效地推理。莱布尼兹慢慢地萌发一种“普遍数学”的思想。他想通过数字和符号的组合和运算来思索推理，从而发现新的客观规律。许多这样年纪的孩子还处于混沌之中，小莱布尼兹想像的奔马却已经驰骋到荒无人迹的原野上了。

1661年，15岁的莱布尼兹成了大学生，在莱比锡大学攻读法律。他在学习法律的同时还广泛阅读哲学和历史的著作。开普勒、伽利略和笛卡儿等自然哲学家的作品使他耳目一新。和以前的哲学家单纯的思辨不同，他们使用数学语言来分析自然的数量关系。莱布尼兹认识到，要了解自然，必须学习数学，因此，两年以后，他来到耶拿大学听艾哈德·维格特的数学讲座学习欧几里得几何。维格特教授虽然算不上是富有创造力的数学家，但是欧几里得几何本身的魅力使莱布尼兹着了迷。要不是他头脑里已经装满各式各样的思想见解，他可能选择几何作为自己的终身事业了。欧几里得几何体系的逻辑力量对他产生这样深刻的印象，以致他后来试图用欧几里得的公理方法来处理伦理学；古希腊几何学家的光辉形象也使年轻的莱布尼兹无比崇敬，他深有感慨地说：

“了解阿基米德和阿波罗尼奥斯的人，对后代杰出人物的成就不会再那么钦佩了。”

阿基米德等先驱者们的伟大精神鼓舞着莱布尼兹去探索自然。

宏大理想

莱布尼兹没有沉醉在几何学里。他有更宏大的理想。从耶拿大学回到莱比锡，莱布尼兹又致力于他主修的法律，准备考博士学位。但是，他少年时代酝酿的“普遍数学”的思想时常萦绕在脑际。在研读笛卡儿著作的时候，他觉得笛卡儿重视代数方法是有道理的。但是，代数不应该停留在数量关系上，还要应用到逻辑推理上去。他感到“普遍数学就好比是想像的逻辑”，应该能够论述“在想像

范围内可以精密确定的一切东西”。代数的符号表示概念，代数的

运算代替推理。有了这种“代数逻辑综合”的科学，就可以建立起推理的普遍系统。想到这里，他按捺不住澎湃的思潮，连夜把自己的体会写下来，并且取名为《论组合的艺术》。

莱布尼兹指出，他的目的在于创造“一种普遍的方法，在那里，一切理性的真理都归结为一种计算。这是一种通用的语言或文字，但是它同到目前为止所设想的一切语言或文字截然不同。计算中的符号以至语言支配着推理，而错误，除了事实的错误以外，就仅仅是运算发生的错误了。要形成或发明这种语言或特征是非常困难的，但是，不用任何词典，要了解它却是非常容易的。”后来，

他还向惠更斯介绍过这种方法：它具有“完全不同于代数的全新的特征，它对于确切而自然地表达思维有极大好处。它没有图形，一切取决于想像。……这种方法能够简单而确定地导致所要求的结果。我相信力学几乎可以和几何学一样，用这种方法来处理。”他认为

这种方法比笛卡儿的几何更加优越。果然，到19世纪，卓越的德国数学家、语言学家海尔曼·格拉斯曼(1809—1877)终于发明用直接

的符号运算来研究几何的方法。

在论文中，莱布尼兹把那些不相同又不重叠的所谓原始概念分

别用一些素数来表示。比如用“3”表示“人”，用“7”表示“理

性的”，那么“21”就表示“有理性的人”。当然，从这样简单的办法到实现他的理想还有一段漫长的路程。经过进一步的研究，莱布

尼兹得到一些真正属于今天逻辑代数的结果。他直接或间接地建立“逻辑和”、“逻辑积”和“等同”、“否定”、“空集”、“包含”等重要概念。

令人感兴趣的是，在《论组合的艺术》中，莱布尼兹还分析了

高阶等差数列。因此，他后来独立于牛顿建立了微积分就不难理解了，因为他的微积分中一个想法就是把高阶的“差”可以略去作为

基础的。

莱布尼兹完全知道，整个工作必须经过长期艰苦的研究才可能

完成，而他自己的认识还很不成熟。因此他戏称自己的《论组合的

艺术》是一篇“学童论文”。的确，莱布尼兹的远见卓识对于同时

代的数学界和科学界的同行，如果说得客气一点，没有把它当作痴

人说梦的话，那么也仅仅是梦想而已。一直到19和20世纪，经过

逻辑代数创始人，英国数理逻辑学家布尔(1815—1864)、德国数理

哲学家、逻辑学家弗雷格(1848—1925)和在数理逻辑、数学基础上

有重大成就的美籍奥地利数学家哥德尔(1906—1978)等人的努力和

发展，莱布尼兹的理想才部分地得到实现。一门新兴的学科——数理逻辑诞生了。数理逻辑又称符号逻辑，它是用数学方法研究关于推理、证明等问题的一门学科。它在开关线路、自动化系统和计算机设计等方面得到广泛的应用，对数学的基础和人类社会生活有不可估量的影响。

这一年，牛顿在故乡乌尔索普获得了划时代的伟大发现，而历史或许有一天会证明，莱布尼兹“学童论文”的意义并不亚于牛顿的发现!

马车上的学者

莱布尼兹在莱比锡大学申请博士学位的挫折很快过去。1666年11月5日，莱布尼兹以他在马车上赶写的《论教授法律的新方法》一文轻而易举地在纽伦堡阿尔特道夫大学分校得到博士学位。学校聘请他留校当教授。和当年笛卡儿谢绝接受中将军衔一样，莱布尼兹婉拒了学校的邀聘，声称自己另有志向。他看不惯当时大学里保守、教条、拘泥细节和无所作为。莱布尼兹的志向是什么，他自己没有说明。不过，无论如何，决不像是后来命运所安排的：为王公贵族考证和修订已经发霉的家谱!

这是莱布尼兹的悲剧：他在结识科学家以前，接触的是法学家。莱布尼兹的博士论文受到美因茨选侯亲信们的注意。他们劝他把文章印出来送给选侯看。追求功名之心正切、人生阅历尚浅的莱布尼

兹一口答应了。文章果然大受赏识。选侯召见莱布尼兹，委任他负责法典的修订，后来又让他充当选侯的外交官去完成各种微妙的使命。

从那以后，莱布尼兹关于“普遍数学”的宏伟蓝图被束之高阁；他的聪明才智被虚掷在诸侯们勾心斗角、争权夺利的漩涡之中。得到的回报只是一两句无关痛痒的夸奖和一大堆闪光的钱币。

作为公侯显贵们的顾问、律师、教师和外交官，莱布尼兹由于那帮老爷们反复无常的命令，长年在欧洲四处奔走。马车从荷兰的阿姆斯特丹到意大利的罗马，从法国的巴黎到比利时的布鲁塞尔，

他的大部分岁月就是在那坎坷不平的道路上、在四面通风的马车里度过的。长期单调疲乏的旅途生活，使脑子一刻也闲不住的莱布尼兹把车厢变成了工作室。他把在各地听到和见到的新事物、新思想带到马车上来细细分析、批判、吸收，再加上自己的创见，最后伏在箱子上把它们写成一篇篇独具风格、意义深刻的作品。这就是今天仍然一捆捆地收藏在德国汉诺威图书馆里发黄的、开本不同、纸质各异的文稿，期待着耐心的读者去考查研究，就像从稻草垛里筛出谷粒一样，从文稿中拣出作者有价值的作品。

从已经发表和还没有发表的作品来看，莱布尼兹研究所涉及的领域达41个之多。无论是政治、经济、外交、法律，还是哲学、语言、历史、神学，以至天文、地理、地质、采矿、……几乎可以说，凡是当时学术界所涉及的一切领域，都有莱布尼兹的杰出贡献。更使人惊叹不已的是，各个学科的专家、权威，无一例外地把莱布尼兹奉为这些学科历史上的大师。如果说学术史上曾经有过门门精通的全才，那么，配得上这个光荣称号的莫过于莱布尼兹了。不过，到现在为止，他在数学上的工作相对来说是比较少的。除了一篇有关“普遍数学”的“学童论文”，还没有更多的作品。

1672年。早春三月的巴黎，和风拂面，阳光铺地。枝头上绽出的点点新芽迎接着春天的来临。一辆风尘仆仆的马车来到一幢灰色楼房前面，嘎的一声停下了。这是克里斯蒂安·惠更斯的寓所。从车里跳下一位穿着黑礼服，身材颀长的青年。他快步走到雕着花纹的深褐色的大门前，举起了手——莱布尼兹来叩现代数学的大门了。

名师指路

1672年3月，莱布尼兹作为美因茨选侯的使节来到巴黎。他和惠更斯历史性的会见，揭开了数学史上光辉的一页。

克里斯蒂安·惠更斯是荷兰著名的物理学家、数学家和天文学家。早在17世纪50年代，惠更斯就以对钟摆的研究而闻名遐迩。他通过长期的观测，首先证明土星的光环完整地围绕着这个行星，并且确定了光环平面和黄道的夹角。1659年，他第一次绘出火星的图像和猎户座中的大星云。1663年，惠更斯被英国皇家学会选为第一位外籍会员。后来他又发现土星的最大卫星土卫六，并且指出它总以同一面对着它的主星，也就是它的自转周期和公转周期相同。惠更斯最杰出的贡献是在光学方面。1678年他提出光的波动说。利用这个学说可以很好地解释反射和折射等光传播过程中的现象。他提出的确定波前位置的几何方法精确地适用于一切波动现象，以惠更斯原理驰名。惠更斯和笛卡儿、伽利略、牛顿等人一样，十分重视数学在科学研究中的作用。1657年，他发表《关于骰子游戏或赌博的计算》是概率论发展初期的重要文献。他在研究钟摆的同时，研究了渐伸线和渐屈线，给出曲线曲率半径的计算公式。他还计算过蔓叶线的弧长和抛物面、双曲面的表面积。

莱布尼兹来向这位长发披肩、红光满面的大学者讨论问题的时候，惠更斯拿出自己的新作《摆动的时钟》请莱布尼兹提意见。在论文中，惠更斯利用数学方法揭示了一个并不直观却十分重要的力

学规律：沿着摆线弧摆动的钟摆，不论振幅大小，作一次完全摆动

的时间是相同的。这就是复摆的等时性。

看着看着，莱布尼兹完全被数学方法的神奇威力所摄住了。他

深深地为他自己“以前基本上不懂数学”而遗憾。他恳请惠更斯给

他补课。不用说，为这样一位聪颖绝顶、精力过人的朋友上课，惠

更斯是无法推辞的。莱布尼兹如饥似渴地听惠更斯介绍格雷果里、

卡瓦列里、伽利略、托里拆利、罗贝瓦尔、帕斯卡、笛卡儿、费

马和巴罗的著作，激起他巨大的热情。他一边研读，一边做了大量

的笔记，很快就达到这个世纪数学的前沿。他已经作好一切准备，

去迎接这个世纪最伟大、最激动人心的决战。

微积分的发明

1673年1月，莱布尼兹作为选侯的侍从，渡过波涛汹涌的多佛尔海峡来到多雾的伦敦。这次旅行使他有机会结识包括巴罗和牛顿

在内的许多英国科学家。和这些学者的思想交流，大大开阔了莱布

尼兹的视野，促进了他的数学研究，特别是巴罗表示变量变化局部

关系的几何图像，也就是所谓的特征三角形，给莱布尼兹留下深刻

的印象。

这些日子，选侯忙于他的私人应酬，莱布尼兹正好抓紧时机夜以继日地在住所研究。有一次，他在一本小册子上看到一张图，顿时像

触电一样被吸引住了。这是布莱斯·帕

斯卡在1659年写的《四分之一圆的正弦

论》一文中的插图。帕斯卡写道，AD 比

DI 等于EE 比RR 或EK ，当区间很小

的时候，弧可以代替切线。帕斯卡用

这个引理去求一段曲线的正弦(纵坐

标)的和，也就是这段曲线下的面积。可惜帕斯卡没有深入下去。 这大概是他只把数学作为有趣的消遣，而“不愿为它多走两步”的 结果吧!不然的话，帕斯卡将比牛顿和莱布尼兹更早就找到微积分 的要害。莱布尼兹看到这里激动得彻夜难眠。他敏锐地意识到，帕 斯卡被什么东西蒙住了眼睛，以致没有发现这里面所包含的更普遍 的真理。

莱布尼兹完全清楚，这项研究的意义非同小可。这将开创一门 全新的学科。他发疯似地进行工作，写出了成百上千页的草稿和笔 记。问题不断深化，记号逐步完善。1675年10月29日，后世习用 的积分符号∫创造出来了。它是拉丁字母sum(和)的第一个字母的拉长。在这期间，他紧紧抓住微积分的要害不放，这就是微分和积分运算互逆性的探索。马车在暮色下跌跌撞撞地前进，凛冽的寒风冻麻了莱布尼兹的手脚，可是他的脑海却像翻腾的大海，进行着激烈的斗争。经过锲而不舍的思索，捷报终于传来。1675年11月11日，莱布尼兹的《切线的相反方法的例子》完成了!这是一个具有历史意义的日子。经过人类2000多年的奋斗，莱布尼兹独立于牛顿也创立了微积分!

这

门新兴的学科揭示了自然界运动变化的数学规律，极大地推动科学技术的发展。对于这样一个人类智力奋斗的伟大结晶，恩格斯给予崇高的评价：

“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看做人类精神的最高胜利了。”

莱布尼兹在这篇历史性的论文中明确地断言，作为求和过程的

积分，是微分的逆运算。这就是后世以牛顿一莱布尼兹命名的微积分的基本定理。要知道有多少个数学家，包括费马、帕斯卡、巴罗和

惠更斯在内，长期在这样一个重要的事实面前徘徊而不能识破啊!

这说明莱布尼兹具有超人一等的洞察力。第二年6月26日，莱布尼兹进一步明确：求切线最根本的方法就是求在切点处曲线的斜率，

也就是曲线在这一点的导数。1677年7月11日，莱布尼兹纠正了

他1675年11月1 1日历史性手稿中的一处错误，正确地给出了两个函数的和、差、积、商的求导公式。同年11月，他得到了幂函数求导和积分的一般法则。1680年，莱布尼兹用和今天相近的形式，计

算坐标系内曲线下面图形的面积和曲线绕x轴旋转所得的旋转体体积，其中，莱布尼兹使用无限小的术语，建立了他的无限小的方法。 1684年，莱布尼兹在他创办并且主编的《教师学报》上首次发

表他的微积分论文。这篇论文有一个很长的题目：《一种求极大值与极小值以及切线的新方法，它也适用于分式和无理数，以及这种

新方法的奇妙类型的计算》。从这以后，莱布尼兹的微积分的有关

成果陆续发表，内容相当于后世的初等微积分和它的几何应用。其

中主要的是1686年发表的《潜在的几何与分析，不可分和无限》。

作为哲学家的数学家，莱布尼兹在微积分创立中，根据他哲学

上的“单子论”，认为万物的基础是终极的、单纯的、不能扩展的

精神实体所谓“单子”，提出了无限小的思想，这是和牛顿的物理

方向不同的。到20世纪60年代，无限小思想得到进一步的开发。美国数学家鲁宾逊等人以数理逻辑模型论的概念和方法，建立起分析的非标准模型，对数学的发展产生相当大的影响。

莱布尼兹微积分的另一个特点是他的记号便于使用，表现有力，大大有利于推广和应用。这是一套一般人都能够使用的简便的法则，而他的符号，直到今天仍然很自然地适用于微分形式理论。这种方

法具有这样大的魅力，以致远在瑞士巴塞尔的雅各布·伯努利(1654—1705)和约翰·伯努利两兄弟看到莱布尼兹在《教师学报》

上的论文，先后抛弃自己原来的职业，决定去作数学家!

伯努利家族原是比利时王国安特卫普的望门大族。全家笃信新教。1583年，为了逃避天主教国王的宗教迫害，举家从安特卫普逃到联邦德国工商业中心之一的法兰克福，最后在瑞士的巴塞尔定居。伯努利家族是科学史上有名的科学世家。仅就数学来说，自从雅各

布和约翰兄弟以来，伯努利家族至少产生了11位具有世界声望的数学家，在17、18世纪为微积分的推广、应用和发展起了重要作用。伯努利家族的数学家有一个有趣的特点：他们都是半路出家的。他

们的父亲，无论自己是不是数学家，都要求自己的儿子学法律或者

经商，要不就攻读神学或医学，但是一定不能从事数学研究。可是

事与愿违，伯努利的子弟在父兄的影响下，最后都不约而同地来到

看起来枯燥无味却其乐无穷的数学王国聚首。

雅各布·伯努利本来是研究神学的，莱布尼兹的论文使他成为

微积分的大师，为微积分的普及、发展和应用作出巨大贡献。他在

解析几何、概率理论和变分法等方面都有重要成就。雅各布的弟弟

约翰，本来是个医生，在雅各布的影响下也成了数学家。约翰的著

述比雅各布更丰富。他为微积分在欧洲的普及做了大量工作。他在

微积分、微分方程、变分法和几何等方面有杰出成就。在光学、潮

汐理论，帆的数学理论和力学的虚位移原理等方面也有重要贡献。

伯努利兄弟和莱布尼兹建立了密切的通信联系，并且成为好朋友。伯努利兄弟惊叹莱布尼兹超人的洞察力和敏锐深邃的思想；莱

布尼兹钦佩伯努利兄弟的数学才能和钻研精神。莱布尼兹多次发觉，由于自己的研究没有及时公开，雅各布重复了他的工作。后来，莱

布尼兹和伯努利兄弟的关系密切到这种程度：当雅各布和约翰为发

明的优先权发生争执的时候，莱布尼兹不避嫌疑，以他特有的外交

才能积极从中调解。他们的交流合作使莱布尼兹创建的微积分首先

在欧洲大陆生根、开花、结果，并且形成了著名的“大陆学派”，为数学和科学技术的发展作出不可磨灭的贡献。

计算机先驱

莱布尼兹的微积分引起数学界的热烈反响并且得到迅猛的发展，

可是他的另一项数学创造却没有受到当时数学界的应有重视，同时

由于受技术发展的限制，没有很快兴起。这就是他对计算机的研究。

即使在向微积分实行最后冲刺的紧张时刻，早年“普遍数学”

的梦想仍使莱布尼兹魂牵梦萦。他想由“代数运算”代替推理，使

思维自动化。同时，他还想让单调重复的运算机器化，使人类从繁

重的计算工作中解放出来。他不止一次地大声疾呼．：

“让一些杰出的人才奴隶般地把时间浪费在计算上是不值得的。”

他不是耽于空想的人。他卷起袖子开始扎实的工作。他研究了

帕斯卡在1642年设计制造的十进制数字计算机，并且从车船上的里程记录仪器得到启发。1671年，一种能够作加减乘除的分级计算机

设计出来了。它通过多次的加减来实现乘除，还可以求平方根，因

此莱布尼兹的机械远超过帕斯卡所发明的只能够作加减运算的计算机。欧洲轰动了。计算机还没有造出来，巴黎王室图书馆馆长皮埃尔·卡尔卡维就催着把它送去展览。1672年，模型制成了。但是由

于当时机械加工的工艺水平低，3年以后计算机才真正造好。莱布

尼兹带着它到各地表演，受到热烈欢迎。1673年3月，在他访问伦

敦的时候，由于计算机的研制和其他的著述，莱布尼兹被选为英国

皇家学会外籍会员。莱布尼兹并不满足。他发现，平时用起来很方

便的十进位计数法，搬到机械上去实在太麻烦。能不能用较少的数

码来表示一个数呢?经过不断的摸索，莱布尼兹终于在1678年发明

二进位计数法，也就是二进制。这样，用0和1两个数码就可以表

示出一切数。比如用lO表示2，11表示3，100表示4，101表示5，

……发明二进制的意义不可低估。如果对机械式计算机来说，用二

进制还是用十进制计数只是个方便和不方便的区别，那么对电子计

算机来说，用二进制计数就是它不可或缺的基础了。因为在电学中，两种截然不同的稳定状态是大量存在的，如电容器的充电和放电，

脉冲的有和无，电路的闭合和断开等，而要找出一种具有10种稳定状态的电子元件是困难的。

莱布尼兹从小对东方文明，特别对伟大的中华民族的古代文明，非常向往。他在年轻的时候看到中国古籍《易经》中用八卦阴阳

来解释事物，曾经引起过莫大兴趣。他利用通信同到中国和锡兰的

人士建立联系。1683年4月1日，莱布尼兹通过耶稣会理事白晋，得到邵雍的64卦，也就是圆圆方位图和64次序图。他看了大为惊奇。他发现八卦图和他自己发明的二进制算法的思想完全一致。64 图形就表示从0开始的前64个数！

1694年，莱布尼兹制成经过改进的计算机，它能够作加减乘除

和开平方根的运算。当年，帕斯卡把他发明的计算机托笛卡儿献给

瑞典的克里斯蒂娜女王，来博得她的欢心；而莱布尼兹却把自己的

计算机送给康熙皇帝，以表示他对《易经》阴阳八卦学说的推崇。

后来他还设计过更复杂的机械计算机，可惜限于当时的技术水平没

有制成。19世纪，有人根据他的想法，制成了更高级的机械计算机。到20世纪中叶，更出现了对科学技术和人类社会具有巨大影响的电子计算机，它的计数基础正是莱布尼兹发明的二进制。

不幸的争论

自从1673年莱布尼兹访问英国结识牛顿以后，两人通过信件交流学术思想。虽然他们有截然不同的性格、禀赋和环境，探索自然奥秘的共同志愿却把他们联系在一起。那时候信件的传递很不容易。1676年初夏，牛顿由英国皇家学会秘书奥登堡转交的信，莱布尼兹直到8月份才收到。莱布尼兹在回信中，肯定牛顿在无穷级数、光色理论、反射望远镜研制等方面的成就，同时把他自己在微积分研究上取得的成果向牛顿作了介绍。可是10月27日牛顿来信表示，他不愿继续保持通信。信中只给出一个极难解出的字谜，却没有说明理由。对于这段往事，牛顿在1687年回忆道：

“大约10年前，在和非常博学的数学家莱布尼兹的通信中，我告诉他，我发明了一种可以求极大值与极小值、作出切线以及解答类似数学问题的方法。这种方法对于无理数和有理数同样有效。当我谈到这点时，我没有把方法告诉他。这位知名人士回信告诉我，他也想到了类似的一种方法，并且把它告诉了我。他的方法除了定义、符号、公式和算出数的想法在形式上和我的不一样以外，几乎没有多大的差别。”

1687年以前，牛顿虽然没有发表过他的微积分论文，但是从1665年开始，他把自己的研究结果陆续通知了朋友，特别在1669 年，他把关于微积分的第一篇重要著作《运用无限多项方程的分析学》交给巴罗，巴罗又把它交给约翰·柯林斯登记备案。柯林斯是

奥登堡和皇家学会的数学顾问，他把牛顿的论文印发给皇家学会会员，请他们评审。所以，牛顿的论文实质上是公开发表了；莱布尼

兹后来也看到过这篇文章，虽然它的正式发表要拖到1711年。那时候，莱布尼兹的微积分已经在伯努利兄弟的合作下在欧洲流行起来了。英国人感到十分不满。1712年，英国皇家学会在一份鉴定中公开指责莱布尼兹剽窃了牛顿的流数法。莱布尼兹得悉以后大为恼火。大陆上他的追随者也群起反击。他们不清楚牛顿的流数法，却了解

莱布尼兹的微积分。历史上一场旷日持久的优先权的争论开始了。这使得已经被发霉的贵族家史忙得头昏脑胀的莱布尼兹更加烦躁起来。 1714年，莱布尼兹写了《微分学的历史和起源》，一方面记述

他自己思想的发展，另一方面也是回答英国人的攻击。在书中莱布

尼兹特别强调了自己的微积分的独特性。后来，他又利用自己主编

的《教师学报》用第三人称为自己辩护：

“在莱布尼兹建立这种新运算的专用观念以前，它肯定没有进

入任何人的心灵。”

应该说，像微积分这样伟大的创造，不是一两个人的功绩。一

部微积分的发展史是震撼人心的智力奋斗的结晶。这场斗争至少可

以追溯到2500年以前。从芝诺的悖论，欧多克斯的穷竭法一直到

笛卡儿、费马的坐标几何，帕斯卡、巴罗的特征三角形，每一步都

是微积分发展的重要阶梯。牛顿和莱布尼兹在先驱者们工作的基础

上首先看出微分和积分运算的互逆性，建立了微积分的基本定理，

并且为微积分的运算建立一套完整的法则，这无疑是微积分发展中

决定性的一步，理应受到人们的缅怀和赞颂。但是，微积分的历史并没有结束。微积分的基础还相当混乱，它的应用还有待开发。因此，确切地说，不是谁创造了微积分，而是他在微积分的发展中作出了什么样的贡献。

同时，我们不应该忽视时代的条件。17世纪的欧洲，度过了黑暗的中世纪，步入文艺复兴后期。社会生产获得相当的发展。由于商业扩展和航海事业日益发达，随着而来的是原料和市场的激烈争夺和连续不断的海上战争。要迅速而精确地确定海上船只的位置，就需要更准确的天文学知识。设计制造天文观测所必需的强大的望远镜就成为当时一项重要的科学研究。其中透镜的设计直接吸引了包括牛顿、费马和笛卡儿在内的许多大科学家的注意。但是，在设计光线通路的时候，根据反射定律，需要知道曲线上任意一点的切线。这正是研究切线问题的强大诱因。同时，随着生产的发展，航海业、采矿业和钟表业中精巧的器械逐渐增多。它要求设计者具有更充分的力学知识；不但要知道物体的平均速度，还要知道它的瞬时速度。这同样和曲线的切线问题密切相关。因此，迫切的社会需要可以部分地说明，为什么微积分发明在17世纪而不是更早。

但是，追求功名的心理蒙住了一些人的眼睛。争论愈演愈烈。甚至莱布尼兹和牛顿的先后去世也不能阻止争论的发展。争论造成了巨大的损失。英国人拒绝大陆流行的记号合理、使用方便的莱布尼兹的微积分，厮守着牛顿的古董，致使英国数学的发展大大落后于海峡彼岸，在下个世纪分析数学的蓬勃发展中没有能作出更大的

贡献。

失意的晚境

作为法学教授，莱布尼兹为新兴的资产阶级宣传法的思想，首创国际法，为人类的进步作出贡献。

作为哲学家，莱布尼兹是伟大的德国古典哲学的先驱者，客观唯心主义的代表人物。他的“单子学说”含有辩证法的因素，至今影响着科学家的创新活动。他的哲学著作是哲学史上最优秀的作品之一。

作为科学界的领导人，莱布尼兹积极筹建新的科学研究机构。他创建柏林科学院并且担任第一任院长。这个科学院是世界上几个最重要的科学组织之一。他为俄国彼得大帝建立彼得堡科学院的计划，在叶卡捷琳娜一世继位后得到实现。这个俄国科学的中心在世界范围有深远的影响。

作为数学家，莱布尼兹凭着罕见的才能、刻苦的钻研和无限的精力发明二进制，研制计算机，提出“普遍数学”和位置几何的思想，成为数理逻辑和组合拓扑的先驱者，特别是他独立于牛顿创建了微积分，在数学史册上享有崇高的地位。

莱布尼兹感兴趣的课题还有很多很多，他还想取得更丰硕的成果。可是，“人到中年日过午”，他深感时间和体力的不支。特别是早在不幸的优先权争论以前，他作为不伦瑞克-吕讷堡公国(也称汉

诺威公国)的外交官、不伦瑞克家族图书馆管理人和历史学家，为

不伦瑞克家族编修家史的任务越来越重。他受公爵的驱使，从1687 年到1690年跑遍了整个德国，跑遍奥地利和意大利的许多地方。莱布尼兹当然不喜欢这种无聊的差使，不过，他太喜欢金钱了。他喜欢贵族的赏赐和俸禄；只有一回例外。在意大利期间，莱布尼兹访问罗马的时候，教皇邀请他出任梵蒂冈图书馆馆长。不过有一个条件，他必须先成为罗马天主教徒。他婉拒了教皇的盛情。因为他曾经致力于使基督教派和天主教派重归于好，因此不想卷入他们矛盾的漩涡。

41个学术领域的研究和一眼望不到头的旅途生活耗尽了他的精力。莱布尼兹老了。他老态龙钟，疾病缠身，被争论折磨得痛苦不堪。他被辞退了。

1714年4月暮春的一个傍晚，一辆马车载着一位疲惫的老者缓慢驶进不伦瑞克庄园。他就是莱布尼兹。不久，有消息说，他的东家汉诺威选侯乔治·路易即乔治一世，“诚实的木头人”，已经收拾好行装，带上鼻烟，动身前往英国继承王位去了。莱布尼兹对名利虚荣的爱慕之心又油然而生。没有比跟随乔治去伦敦更使莱布尼兹高兴的了，虽然由于他和牛顿的分歧，在皇家学会和英国的其他地方，有许多人对他怀有深刻的敌意。但是，年迈力哀的莱布尼兹在乔治的心目中早已经没有地位。他简单地命令莱布尼兹待在汉诺威图书馆里，和不伦瑞克家族的家谱共度晚年。

失意的晚境对当年活跃在官场上的莱布尼兹无疑是一个不大不

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