实变函数期末考试题A

： 系）得分 云南财经大学 2008 至 2009 学年 第二 学期 实变函数 课程期末考试试卷（试）（A） 总一 二 三 四 五 六 七 八 分 复 核 人 院（线 订 装 ： 业 专 过 超 ： 级得 班 不 案 名： 姓答 ： 号学 阅 卷 人 一、填空题（本题共10小题，每小题2分，满分20分. 把正确答案填在题中横线上） 1. 渐张集列?Ak?必收敛，其极限集为 。 2. G?型集是 开集的交集。 3. ?上单调函数的不连续点所成之集的测度等于 。 4. 若A?B,m*?B?A??0，则m*B与m*A的关系是 。 5. 设?Ak?是一可测渐张集列，则测度的下连续性用公式表示是 。 6．设f是E??n上的广义实值函数，则对任意实数a，??E(f?a?1k?1k)=_________. 7．设f是?a,b?上的单调函数，则f必在?a,b?上 可导。 8．设f是可测集E上的非负可测函数，则?Ef(x)dx?0的充要条件是_________. 9．区间[a,b]上的有界函数f是Riemann可积的充要条件 是 。 10．设F (x)是定义在[a,b]上的实值函数，则成立牛顿-莱布尼兹公式 F(b)?Fa(?)L(??[a)b,F]xdx() 的充要条件是： F(x)是[a,b]上的 函数。 二、选择题（本题共8小题，每小题2分，满分16分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号（答题框）内） 1．设{Ak} 是一集合列，则下述等式中正确的是 ( ) ????A.limAk??k???Aj； B. limAk?Ak?1j?kk????j k?1j?k- 1 - ????C.limAk?k????k?1j?kAj； D. limAk?k????k?1j?kAj。

2．设f (x)是E上的可测函数，则对任意实数a，有 ( )

A. E[x; f (x) >a]是开集； B. E[x; f (x) ≥ a]是闭集； C. E[x; f (x) >a]是可测集； D. E[x; f (x) = a]是零测集。

3．下列断言中错误的是 ( )

A. 有理点集为零测集； B. Cantor 集为零测集；

C. 零测集的子集是零测集； D. 无穷个零测集的并是零测集。 4．设f (x)为可测集E上的可测函数，若?Ef(x)dx???，则下列断言错误的是 ( )

A. f (x)在E上L-积分存在； B. f (x)在E上L-可积； C. f (x)在E上未必L-可积； D. f (x)在E上a.e.有限。

5．设{fk}是E??n上的可测函数列，limfk(x)存在，则limfk(x) 是 （ ）

k??k??A.简单函数；B.连续函数；C.可测函数；D.单调函数。

6．设f是[a,b]上有界变差函数，则有 ( )

A. f(x)连续； B. f?(x)存在；C．f?(x)a.e.存在；

D. f??(x)存在。

7．设E是可测集，A是不可测集，mE?0，则E?A是 （ ）

A.可测集且测度为零； B.可测集但测度未必为零； C.不可测集； D.以上都不对。 8．设f?x?是E上的可测函数，则 （ ）

A.fC.f?x?是E上的连续函数； ?x?是E上的简单函数；

B.fD.?x?是E上的勒贝格可积函数； f?x?可表示为一列简单函数的极限。

把本题的各答案填写在下表中 1 2 3 4

5 6 7 8 三、判断题(本题共10小题，每小题2分，共20分。判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×” )

1．设A?B为不可数集，则A，B中至少有一个为不可数集。 ( ) 2. 若A为可测集，且mA?0，A一定是可数集或有限集。 ( )

3．设?fk?是E上的可测函数列，则supfk(x)在E上可测。 ( )

k?14．函数f (x)在E上可测的充要条件是，对于每个实数a，集合E{ f =a}可测。 ( ) 5．任意多个零测集的并集仍是零测度集。 ( ) 6．设f (x)为[a, b]上的绝对连续，则f (x)在[a, b]上一致连续。 ( ) 7．零测度集上的任意函数均为可测函数。 ( ) 8．设E为?的可测子集，mE?0，则E一定含有一个区间。 ( ) 9．闭集减去闭集仍然是闭集 （ ） 10．若|f?x?| 可测，则f?x?也可测。 ( )

把本题的各答案填写在下表中 1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 - 2 -

四、证明题（本题共3小题，每小题4分，满分12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

1. 证明：数集(0,1)与实数集?对等.

2. 设E是区间[0,1]内的全体有理点所成的集合，证明m*(E)?0。

3. 设f在E上可测，g是E上的广义实值函数，并且mE(f?g)?0，证明g也是E上的可测函数。

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五、简答题（本题共3小题，每小题4分，满分12分。简答只须答出要点即可） 1．可测集与Borel集之间的关系是什么？

2．几乎处处收敛、基本一致收敛以及依测度收敛的关系如何？（可用图示箭头表示）

3．简述Lebesgue单调函数微分定理的内容。

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六、计算题（本题共2小题，每小题10分，满分20分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

1. 求lim(R)?k??10kx1?kx22sinkxdx。

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2. 计算函数

?0,x?0?f(x)??1?x,0?x?1

?5,x?1?1

在区间[0,1]上的全变差V(f)的值。

0

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