实变函数期末考试题A

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: 系)得分 云南财经大学 2008 至 2009 学年 第二 学期 实变函数 课程期末考试试卷(试)(A) 总一 二 三 四 五 六 七 八 分 复 核 人 院(线 订 装 : 业 专 过 超 : 级得 班 不 案 名: 姓答 : 号学 阅 卷 人 一、填空题(本题共10小题,每小题2分,满分20分. 把正确答案填在题中横线上) 1. 渐张集列?Ak?必收敛,其极限集为 。 2. G?型集是 开集的交集。 3. ?上单调函数的不连续点所成之集的测度等于 。 4. 若A?B,m*?B?A??0,则m*B与m*A的关系是 。 5. 设?Ak?是一可测渐张集列,则测度的下连续性用公式表示是 。 6.设f是E??n上的广义实值函数,则对任意实数a,??E(f?a?1k?1k)=_________. 7.设f是?a,b?上的单调函数,则f必在?a,b?上 可导。 8.设f是可测集E上的非负可测函数,则?Ef(x)dx?0的充要条件是_________. 9.区间[a,b]上的有界函数f是Riemann可积的充要条件 是 。 10.设F (x)是定义在[a,b]上的实值函数,则成立牛顿-莱布尼兹公式 F(b)?Fa(?)L(??[a)b,F]xdx() 的充要条件是: F(x)是[a,b]上的 函数。 二、选择题(本题共8小题,每小题2分,满分16分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号(答题框)内) 1.设{Ak} 是一集合列,则下述等式中正确的是 ( ) ????A.limAk??k???Aj; B. limAk?Ak?1j?kk????j k?1j?k- 1 - ????C.limAk?k????k?1j?kAj; D. limAk?k????k?1j?kAj。

2.设f (x)是E上的可测函数,则对任意实数a,有 ( )

A. E[x; f (x) >a]是开集; B. E[x; f (x) ≥ a]是闭集; C. E[x; f (x) >a]是可测集; D. E[x; f (x) = a]是零测集。

3.下列断言中错误的是 ( )

A. 有理点集为零测集; B. Cantor 集为零测集;

C. 零测集的子集是零测集; D. 无穷个零测集的并是零测集。 4.设f (x)为可测集E上的可测函数,若?Ef(x)dx???,则下列断言错误的是 ( )

A. f (x)在E上L-积分存在; B. f (x)在E上L-可积; C. f (x)在E上未必L-可积; D. f (x)在E上a.e.有限。

5.设{fk}是E??n上的可测函数列,limfk(x)存在,则limfk(x) 是 ( )

k??k??A.简单函数;B.连续函数;C.可测函数;D.单调函数。

6.设f是[a,b]上有界变差函数,则有 ( )

A. f(x)连续; B. f?(x)存在;C.f?(x)a.e.存在;

D. f??(x)存在。

7.设E是可测集,A是不可测集,mE?0,则E?A是 ( )

A.可测集且测度为零; B.可测集但测度未必为零; C.不可测集; D.以上都不对。 8.设f?x?是E上的可测函数,则 ( )

A.fC.f?x?是E上的连续函数; ?x?是E上的简单函数;

B.fD.?x?是E上的勒贝格可积函数; f?x?可表示为一列简单函数的极限。

把本题的各答案填写在下表中 1 2 3 4

5 6 7 8 三、判断题(本题共10小题,每小题2分,共20分。判断下列各题,正确的在题后括号内打“√”,错的打“×” )

1.设A?B为不可数集,则A,B中至少有一个为不可数集。 ( ) 2. 若A为可测集,且mA?0,A一定是可数集或有限集。 ( )

3.设?fk?是E上的可测函数列,则supfk(x)在E上可测。 ( )

k?14.函数f (x)在E上可测的充要条件是,对于每个实数a,集合E{ f =a}可测。 ( ) 5.任意多个零测集的并集仍是零测度集。 ( ) 6.设f (x)为[a, b]上的绝对连续,则f (x)在[a, b]上一致连续。 ( ) 7.零测度集上的任意函数均为可测函数。 ( ) 8.设E为?的可测子集,mE?0,则E一定含有一个区间。 ( ) 9.闭集减去闭集仍然是闭集 ( ) 10.若|f?x?| 可测,则f?x?也可测。 ( )

把本题的各答案填写在下表中 1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 - 2 -

四、证明题(本题共3小题,每小题4分,满分12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

1. 证明:数集(0,1)与实数集?对等.

2. 设E是区间[0,1]内的全体有理点所成的集合,证明m*(E)?0。

3. 设f在E上可测,g是E上的广义实值函数,并且mE(f?g)?0,证明g也是E上的可测函数。

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五、简答题(本题共3小题,每小题4分,满分12分。简答只须答出要点即可) 1.可测集与Borel集之间的关系是什么?

2.几乎处处收敛、基本一致收敛以及依测度收敛的关系如何?(可用图示箭头表示)

3.简述Lebesgue单调函数微分定理的内容。

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六、计算题(本题共2小题,每小题10分,满分20分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

1. 求lim(R)?k??10kx1?kx22sinkxdx。

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2. 计算函数

?0,x?0?f(x)??1?x,0?x?1

?5,x?1?1

在区间[0,1]上的全变差V(f)的值。

0

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本文来源:https://www.bwwdw.com/article/xj5f.html

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