浙江省杭州高级中学2018届高三第一学期期中考试数学试题及答案

浙江省杭州高级中学2018届高三第一学期期中考试

数学试题

一、选择题 : 本大题共10小题, 每小题4分, 共40分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合P??xy?3?x?，Q??xx?2?，则P?Q?（ ） A.?0,3? B.?2,3? C.?2,??? D.?3,???

2.已知双曲线C:x2y2a2?16?1(a?0)的一个焦点为(5,0)，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A.4x?3y?12 B.4x?41y?0 C.16x?9y?0 D.4x?3y?0

3.某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱长中最长棱的长度为（ ）

A.2 B.3 C.5 D.7

?2x?y?04.若x,y满足??x?y?3，则z?2x?y的最大值是（ ）

??x?0A.3 B.4 C.5 D.6

5.已知a,b,c?R，函数f(x)?ax2?bx?c，若f(0)?f(4)?f(1)，则下列结论中正确的是（ ） A.a?0,4a?b?0 B.a?0,4a?b?0 C.a?0,2a?b?0 D.a?0,2a?b?0 6.无穷等比数列?an?中，“a1?a2”是“数列?an?为递减数列”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

7.设随机变量?服从B~(6,13)，则P(??2)的值是（ ）

A.20243 B.20729 C.8080243 D.729 8.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为AD、CD的中点，连接BF，交AC、CE于G、H两

点，记I1?GA?GB,I2?GF?GC,I3?HE?HF，则I1,I2,I3的大小关系是（ ） A.I1?I2?I3 B.I1?I3?I2 C.I3?I2?I1 D.I2?I3?I1

9. 方程

xxyy16?9??1的曲线即为函数y?f(x)的图象，对于函数y?f(x)，有如下结论：

（1）f(x)在R上单调递减；（2）函数F(x)?4f(x)?3x不存在零点；

（3）函数y?f(x)的值域是R；（4）f(x)的图象不经过第一象限.其中正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 10.已知函数f11(x)?x?1，f2(x)?x?1，g(x)?f1(x)?f2(x)32?f1(x)?f2(x)2，若a,b???1,5?，

且当xg(x1)?g(x2)1,x2??a,b?时，

x?x?0恒成立，则b?a的最大值为（ ）

12A.2 B.3 C.4 D.5

二、填空题：本大题有7小题, 前4小题每小题6分,后3小题每题4分 共36分. 请将答案填写在横线上.

11.设复数z1?a?32i,z?a?32i，其中i是虚数单位，若z22z为纯虚数，则实数a? ；z1? . 112.已知(3x?a2x)(2x?1x)5的展开式中的各项系数和为4，则实数a? ；x2项的系数为 . 13.安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有 种；其中学生甲被单独安排去金华的概率是 .

14. 如图点O是边长为1的等边三角形ABC的边BC中线AD上一点，且AO?2OD，过O的直线交边AB与M，， 20.（本题满分15分）已知函数f(x)??2x?32x2?1,(x?1). ，交边AC与N，记?AOM??，则?的取值范围为 ；1OM2?1ON2的最小值为 .

15.若直线4x?3y?a?0与圆x2?y2?1相切，则实数a? . 16.已知数列?a3?ann?中，a1?0，且an?1?2，若an?1?an对任意正整数n恒成立，则a1的取值范围是 . 17.若向量a,b满足4a2?a?b?b2?1，则2a?b的最大值为 .

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.（本题满分14分）已知函数f(x)?3sin2x?2mcos2x?m. （1）当m?1时，若f(?)?0，求

3sin2??2cos2?sin2??cos2?的值；

（2）若m?3，求函数f(x)在区间[0,?2]的值域.

19. （本题满分15分）如图，四棱锥P?ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD?底面ABCD，PD?DC?1，

E为PC的中点.

（1）证明：平面BDE?平面PBC； （2）求二面角E?BD?C的余弦值.

2（1）求f(x)的单调区间及最小值； （2）求证：f(x)?x2?4x?92.

21. （本题满分15分）已知椭圆Cx2y21:4?3?1左右焦点分别为F1、F2，抛物线C2:y2?4x，直线x?my?1与椭圆交于A、B两点，斜率为k1的直线AF2与抛物线交于C、D两点，斜率为k2的直线BF2与抛物线交于E、F两点（C、D与E、F分别在F2的两侧，如图所示）. （1）试用m分别表示

1k?1，1的值； 1k2k1k2（2）若0?m?33，试用m表示CD?EF，并求其最大值.

22.（本题满分15分）已知数列?a2n?满足：a1?，aaln(1?an?2an?1?n?1n)2(n?N*3). （1）试用数学归纳法证明an?0； （2）求证：12n?an?12n?1.

杭州高级中学期中考试答案

选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D B B A B C C D D

填空题

11、 ?362 2 12、 a?2;160

13、150；775

14、???，2???33??；15

?记?AMN??，正弦定理知：sin30?sin?sin30?sin???60?MO?AO,NO?AO ?1MO2?1NO2?12???sin2??sin2??????1???????3?????12??1?2cos??2??3????????????6,?2??，故得答案15

15、?5

16、??0,3??2??

17、2105 18、（1）?34（2）???3,23??

19、（1）略（2）33 20、（1）递增区间：?2,???递减区间：?1,2?最小值

12 （2）常规思路：令g?x???2x?32x2?12922?x?4x?2

求导：g'?x??3x2x?12?2x?2;g''?x??3?2x?12?3?2?0

?g'?x??，?g'?2??0，g?x?max?g?2??0得证

9??创新思路：4?x2?4x??f?x???2??（此法由萧山高金剑老师提供） 21、（1）联立韦达得：

?2x?1?3?2?x?2??0得证

2?221110m116??;?m2? k1k23k1k29??1?2?11?2??1??1?1?1? （2）CD?EF?16?2?1??2?1??16????????2kkkk2?k1k2???k1??k2???12??1?50625??112???16?m4?m2?????

981??9??22、（1）略

（2）由x?1?lnx?an?ln?1?an?故有an?2an?1?2an?1an 2??11?1111??2????an??n

12an?12?an2?2n?2211?32n?12n?1

又?an?0?ln?1?an??0得an?2an?1?an?

特别感谢各位老师的积极参与！！！

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