椭圆的焦点弦长公式
更新时间:2024-06-16 04:23:01 阅读量: 综合文库 文档下载
椭圆的焦点弦长公式
F1F2?2ab2222a?ccos?及其应用
在有关椭圆的综合题中,常常遇到椭圆焦点弦的问题,如何解决这类问题呢?首先我们有命题:
若椭圆的焦点弦F1F2所在直线的倾斜角为?,a、b、c分别表示椭圆的长半轴长、
2ab2222短半轴长和焦半距,则有F1F2?a?ccos?。
上面命题的证明很容易得出,在此笔者只谈谈该命题的应用。
例1、已知椭圆的长轴长AB?8,焦距F1F2?42,过椭圆的焦点F1作一直线交椭圆于P、Q两点,设?PF1X??(0????),当?取什么值时,PQ等于椭圆的短轴长?
分析:由题意可知PQ是椭圆的焦点弦,且a?4,c?22,从而b?22,故由焦
2ab2222点弦长公式F1F2?a?ccos?及题设可得:
2?4?(22)16?8cos?22?42,解得
cos???2?2,即??arccos2?2或??arccos2?2。
例2、在直角坐标系中,已知椭圆E的一个焦点为F(3,1),相应于F的准线为Y轴,
16?直线l通过点F,且倾斜角为,又直线l被椭圆E截得的线段的长度为,求椭圆E的
35方程。
分析:由题意可设椭圆E的方程为
(x?c?3)a22?(y?1)b22?1,又椭圆E相应于F的准线
为Y轴,故有
a2c?c?3 (1), 又由焦点弦长公式有
22ab22a?ccos2?3?165 (2)
22222又 a?b?c (3)。解由(1)、(2)、(3)联列的方程组得:a?4,b?3,c?1,
从而所求椭圆E的方程为
(x?4)4x222?(y?1)32?1。
例3、已知椭圆C:
a?yb22?1(a?b?0),直线l1:
xa?yb?1被椭圆C截得的
弦长为22,过椭圆右焦点且斜率为3的直线l2被椭圆C截得的弦长是它的长轴长的求椭圆C的方程。
25,
分析:由题意可知直线l1过椭圆C的长、短轴的两个端点,故有a2?b2?8, (1)又由焦点弦长公式得
2ab2222a?ccos?=
4a5, (2) 因tan?=3,得???3,(3)
又 a2?b2?c2 (4)。解由(1)、(2)、(3)、(4)联列的方程组得:a2?6,b2?2,
x2从而所求椭圆E的方程为
6?y22?1。
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