《等可能事件的概率》典型例题

《等可能事件的概率》典型例题

在实际生产、生活中经常会遇到一些与概率相关的问题，如何运用概率知识解释在实际生产、生活中的问题，以及解决概率问题，下面通过具体例子进行说明.

一．随机事件的判断

例1在下列试验中，哪些试验给出的随机事件是等可能的？ （1）投掷一枚均匀的硬币，“出现正面”与“出现反面”；

（2）一个盘子中有三个大小完全相同的球，其中红球、黄球、黑球各一个，从中任取一球，“取出的是红球”，“取出的是黄球”，“取出的是黑球”；

（3）一个盒子中有四个大小完全相同的球，其中红球、黄球各一个，黑球两个，从中任取一球，“取出的是红球”，“取出的是黄球”，“取出的是黑球”； 分析：随机事件是否等可能，要看这一事件在此试验中的所有可能结果中地位是否平等.

解：（1）中给出的随机事件“出现正面”与“出现反面”是等可能的.

（2）中给出的三个随机事件：“取出的是红球”，“取出的是黄球”，“取出的是黑球”，由于球的大小、个数相同，因此这三个事件是等可能的.

（3）中给出的随机事件：“取出的是红球”，“取出的是黄球”，“取出的是黑球”，由于三种球的数量不同，因此这三个事件不是等可能的.

点评：本题是关于随机试验结果出现的等可能性的探讨，在试验过程中，由于某种对称性条件，使得若干个随机事件中每个事件发生的可能性在客观上是完全相同的，则称它们是等可能事件. 在一次试验中出现的随机事件是否等可能的关键是看这一试验中所有可能出现的结果中各种结果出现的机会是否均等. 二．随机试验中条件和结果的判断

例2 做试验“从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对（x,y）,x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字”. （1）求这个试验结果的个数；

（2）写出“第一次取出的小球上的数字是2”这一事件.

分析：首先弄清试验的结果是由两次取出小球的标号构成有序实数对构成，利用

枚举列出即可.

解：（1）当x=1时有，（1，2），（1，3），（1，4）； 当x=2时有，（2，1），（2，3），（2，4）， 当x=3时有（3，1），（3，2），（3，4） 当x=4时有（4，1），（4，2），（4，3），

所以共有12个不同的有序实数对.故这个试验结果个数为12.

（2）记“第一次取出的小球上的数字是2”为事件A，则A={（2，1），（2，3），（2，4）}.

点评：准确理解随机试验的条件、结果等有关定义，并会用其表示一些事件.在写试验结果时，一般都采用列举法写出，通常按从左向右由小到大的顺序来写，注意要做到不复不漏. 三．利用频率解决实际问题

例3为了估计水库中的鱼的尾数，可以使用以下方法：

先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数.

分析：借助于样本估计与总体的关系可以直接得出.

解：设水库中鱼的尾数为n，n是未知的，现在要估计n值，将n的估计值记作n. 假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从库中任捕一尾，设事件A为“带有记号的鱼”，易知，P（A）=

2000. n?第二次从水库中捕出500尾，观察每尾鱼上是否有记号，共需观察500次，其中带有记号的鱼有40尾，即事件A发生的频数na=40，由概率的统计定义知 P（A） ? 所以

200040?. n500?40 500解得n?25000,即n=25000.故可以估计水库中约有鱼25000尾.

点评：随着试验次数主变化，对于同一试验的频率也可能发生变化，但总体来看趋于一个稳定值，所以我们也可借助于频率来对一些实际问题作出判断.

四．决策中的概率问题

例4 深夜，一辆出租车涉及一起交通事故，该市有两家出租车公司，红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中红色出租车公司和蓝色出租车公司分别占整个城市出租车的15%和85%.据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色的，并对现场目击证人的辨别能力作了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大嫌疑.你觉得警察这样认定公平吗？

分析：警察的认定是否公平，必须以科学为依据，就是要计算出红色出租车和蓝色出租车的概率，并比较它们的大小.

解：设城市的出租车有1000辆，那么依题意可得如下信息： 真 实 数 据 蓝证人眼中的颜色（正确率80%） 实际数据 蓝色 色850 680 红色 170 合计 850 （85%） 红色150 30 120 150 （15%） 合计 1000 710 290 1000 120?0.41，290从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，它确定是红色的概率为而它是蓝色的概率为

170?0.59，在实际数据面前，作为交警以证人的证词为推290断的依据对红色出租车显然是不公平的.

点评：根据概率的大小对一些实际问题作出判断或预测时要注意其具有不准确的一面，只能在理论上作为一个参与，最后的判断必须以事实为依据.

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