湖北省天门市2016届高三数学五月调研测试试题文（新）

天门市2016年高三年级五月调研考试试题

高三数学（文科）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。答在试题卷上无效。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效。 1．设全集U?{x?N|x?2}，集合A?{x?N|x2?5}，则CUA= B

A．?

B．{ 2 }

C．{ 5 }

D．{ 2，5 }

2．已知i为虚数单位，且复数z1?3?bi，z2?1?2i，若

A．6

B．-6

C．0

z1是实数，则实数b的值为 A z2 D．

1 63．某设备的使用年限x（单位：年）与所支付的维修费用y（单位：千元）的一组数据如下：

使用年限x 维修费用y 2 2 3 3.4 4 5 5 6.6 ??bx?a?中的 从散点图分析y与x线性相关，根据上表中数据可得其回归直线方程yb?1.54，由此预测该设备的使用年限为6年时，需支付的维修费用约是 C A．7.2千元

B．7.8千元

C．8.1千元

D．8.5千元

5；命题q:?x?R,x2?x?1?0，给出下列结论： 24．已知命题p:?x0?R,sinx0? （1）命题p?q是真命题；（2）命题p?(?q)是假命题；（3）命题(?p)?q是真命题； （4）(?p)?(?q)是假命题．其中正确的命题是 A A．（2）（3）

B．（2）（4）

C．（3）（4）

D．（1）（2）（3）

5．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中最大面的面积是 C

1

A．3 2B．2 2C．3 4D．

1 26．集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各任意取一个数， 则这两数之和等于4的概率是 C A．

2 3B．

1 21C．

3 D．

1 67．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为 B

A．7

B．9

C．10

D．11

8．（哈佛大学思维游戏）南京东郊有一个宝塔，塔高60多米，九层八面，中间没有螺旋的扶梯．宝塔的扶梯有个奥妙，每上一层，就少了一定的级数。从第四层到第六层，共有28级．第一层楼梯数是最后一层楼梯数的3倍．则此塔楼梯共有 B A．117级

B．112级

C．118级

D．110级

9．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O，点P到三个平面的距离之比为1:2:3，

PO=214，则P点到这三个平面的距离为 A

A．2，4，6

B．4，8，12

C．3，6，9

D．5，10，15

10．下列函数中，图象的一部分如下图所示的是 D A．y?sin(2x?)

6C．y?cos(2x?)

3?

B．y?sin(2x?)

6D．y?cos(2x?)

6???11．已知F1、F2为双曲线C:x2?y2?1的左、右焦点，点P在C上，?F1PF2?60?，则点P到x轴的距离为 B

36 B． C．3 2212．设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，有 D

A． D．6 A．[?x]??[x]

C．[2x]?2[x]

1B．[x?]?[x]

21D．[x]?[x?]?[2x]

2

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

2

二、填空题：本大题 共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应题号的位

置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

13．如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，P为

????????线段OC的中点，则AP?OP??1 ▲ ．

8?x?y?3?0,?14．如果实数x，y满足不等式组?x?2y?3?0,目标函数z?kx?y的最大值为6，最小值

?x?1,?为0，那么实数k的值为 2 .

15. 已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面?，H为垂足，?截球O所得

9? .

截面积为?，则球O的表面积为

216．若函数f(x)?(1?x2)(x2?ax?b)的图象关于直线x??2对称，则f(x)的最大值为 16

三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第17～21题为必做题，第22～24为选做题，

共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。 17．（本题满分12分）

oo

如图，在△ABC中，∠ABC=90，AB?3，BC?1，P为△ABC内一点，∠BPC=90.

1，求PA； 2o

（Ⅱ）若∠APB=150，求tan?PBA.

（Ⅰ）若BP?17．解：（Ⅰ）由已知得∠PBC=60，所以∠PBA=30． 在△PBA中，由余弦定理得

o

o

117PA2?3??2?3?cos30??，

4247故PA?????????????????????????6分

2 （Ⅱ）设?PBA??，由已知得PB?sin?

在△PBA中，由正弦定理得 3sin? ?sin150?sin(30???) 化简得3cos??4sin?，

3

所以tan?PBA?3??????????????????????12分 418.（本题满分12分）

如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点. （Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（Ⅱ）设Q为PA的中心，G为△AOC的重心，

求证：QG//平面PBC .

18．（Ⅰ）证明：由AB是圆的直径，得AC?BC，

由PA?平面ABC，BC?平面ABC，得PA?BC． 又PA?AC?A，PA?平面PAC，AC?平面PAC， 所以BC?平面PAC． 因为BC?平面PBC，

所以平面PAC⊥平面PBC?????????????????6分

（Ⅱ）解：连接OG并延长交AC于点M，连接QM，QO，

由G为△AOC的重心，得M为AC中点， 由Q为PA中点，得QM//PC， 又O为AB中心，得OM//BC

因为QM?MO?M，QM?平面QMO，MO?平面QMO， BC?PC?C，BC?平面PBC，PC?平面PBC，

所以平面QMO//平面PBC， 因为QG?平面QMO，

所以QG//平面PBC????????????????????12分

19．（本题满分12分）

某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：

X 1 2 3 4 4

Y 51 48 45 42 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米． （Ⅰ）完成下表，并求所种作物的平均年收获量：

Y 频数 51 48 4 45 42 （Ⅱ）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．

19．解：（Ⅰ）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，

“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相 近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：

Y 频数 51 2 48 4 45 6 42 3 所种作物的平均年收获量为

51?2?48?4?45?6?42?3102?192?270?126690???46???6分

15151524（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P(Y?51)?，P(Y?48)?

1515 故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48kg的概率为 P(Y?48)?P(Y?51)?P(Y?48)?242???????????12分 1515520．（本题满分12分）

已知函数f(x)?ex(ax?b)?2，曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x?4xy?4x?4．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值． 20．解：（Ⅰ）f?(x)?ex(ax?a?b)?2x?4

由已知得f(0)?4，f?(0)?4 故b?4，a?b?8

从而a?4，b?4????????????????????6分

5

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?4ex(x?1)?x2?4x．

f?(x)?4ex(x?2)?2x?4?4(x?2)(ex?)． 令f?(x)?0，得x??ln2或x??2．

从而当x?(??,?2)?(?ln2,??)时，f?(x)?0； 当x?(?2,?ln2)时，f?(x)?0．

故f(x)在x?(??,?2),(?ln2,??)上单调递增， 在(?2,?ln2)上单调递减．

当x??2时，函数f(x)取得极大值，

极大值为f(?2)?4(1?e?2)??????????????????12分

21．（本题满分12分）

已知圆M:(x?1)2?y2?1，圆N:(x?1)2?y2?9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C． （Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最

长时，求|AB|．

21．解：由已知得圆M的圆心为M（-1，0），半径r1?1；

圆M的圆心为N（1，0），半径r2?3．

设圆P的圆心为P（x，y），半径R． （Ⅰ）因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，

所以|PM|?|PN|?(R?r1)?(r2?R)?r1?r2?4

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长

12x2y2?1(x?2)??????6分 为3的椭圆（左顶点除外），其方程为?43（Ⅱ）对于曲线上任意一点P(x,y)，由于|PM|?|PN|?2R?2?2，

所以当R?2，当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2，

6

所以当圆P的半径最长时，其方程为(x?2)2?y2?4

若l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|AB|?23 oo

若l的倾斜角不为90，由r1?R知l不平行于x轴，

设l与x轴的交点为Q，则可求得Q（-4，0）， 所以可设l:y?k(x?4) 由l与圆P相切得|QP|R?， |QM|r1|3k|1?k2?1

解得k??2 4x2y222?1， x?2代入?当k?时，将y?4344整理得7x2?8x?8?0， 解得x1,2??4?62 718 718综上，|AB|?23或|AB|???????????????12分

7所以|AB|?1?k2|x2?x1|?

请考生在22，23，24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑。 22．（本题满分10分）【选修4—1 几何证明选讲】

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC 的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D． （Ⅰ）证明：DB=DC；

（Ⅱ）设圆的半径为1，BC?3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径． 22．（Ⅰ）证明：如图，连接DE，交BC于点G

7

由弦切角定理，得∠ABE=∠BCE， 而∠ABE=∠CBE， 故∠CBE=∠BCE， 所以BE=CE 又因为DB⊥BE， 所以DE为圆的直径， ∠DCE=90

由勾股定理可得DB=DC??????????????????5分

o

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∠CDE=∠BDE，DB=DC，

故DG是BC边的中垂线，所以BG?3 2o

设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60， 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE =30， 所以CF⊥BF，

故Rt△BCF外接圆的半径等于o

3??????????????10分 223．（本题满分10分）【选修4—4 坐标系与参数方程选讲】

在极坐标系中，O为极点，半径为2的圆C的圆心极坐标为(2,(Ⅰ)求圆C的极坐标方程；

(Ⅱ)在以点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立的直角坐标系中，直线l的参数方程为

?3)．

1?x?1?t,?2?(t为参数），直线l与圆C相交于A，B两点，已知定点M（1，-2），??y??2?3t,?2?|MB|． 求|MA|?23．解：（Ⅰ）设P(?,?)是圆上任意一点， 则在等腰三角形COP中，OC=2，OP??，?COP?|?? 所以，??4cos(???3|，而 ?3)即为所求的圆C的极坐标方程????????5分 8

（Ⅱ）圆C的直角坐标方程为x2?y2?2x?23y?0

1?x?1?t,?2? 将直线l的方程?，代入圆C的方程得 (t为参数）?y??2?3t,?2? t2(3?23)t?3?43?0， 其两根t1?t2?3?43 |MB|?|t1? 所以|MA|?t2|?3?43??????????????10分 24．（本题满分10分）【选修4—5 不等式选讲】 已知f(x)?|x?2|?|x?5|．

(Ⅰ) 求函数f(x)的值域；

(Ⅱ)求不等式f(x)?x2?8x?15的解集． 24．解：（Ⅰ）当2?x?5时，?3?f(x)?3，

所以?3?f(x)?3，即函数f(x)的值域为[-3，3]????????5分

(Ⅱ)由（Ⅰ）呆知，当x?2时，f(x)?x2?8x?15的解集为空集；

2 当2?x?5时，f(x)?x?8x?15的解集为{x|5?3?x?5}；

当x?5时，f(x)?x2?8x?15的解集为{x|5?x?6}

综上，不等式f(x)?x?8x?15的解集为{x|5?3?x?6}????10分 2 9

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