2012届鄂州市第二中学高二数学（文科）期中考试模拟试题

2012届鄂州市第二中学高二数学（文科）

期中考试模拟试题

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)

11、已知y?f(x)是奇函数,当x?(0,2)时,f(x)?lnx?ax(a?),当x?(?2,0)时,

2f(x)的最小值为1,则a的值等于 ( )

111A. B. C. D.1 4322、设函数y?f(x)在(a,b)上的导函数为f?(x),f?(x)在(a,b)上的导函数为f??(x),若在(a,b)上,f??(x)?0恒成立,则称函数函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”.已知当m?2时,f(x)?1312x?mx?x在(?1,2)上是“凸函数”.则f(x)在(?1,2)上 ( ) 62A.既有极大值,也有极小值 B.既有极大值,也有最小值 C.有极大值,没有极小值 D.没有极大值,也没有极小值 3、已知函数f(x)?sinx?2xf?(),则f?()? ( )

?3?3A.?113 B. 0 C.? D. 2224、抛物线y2?4x上的点p到抛物线的准线的距离为d1,到直线3x?4y?9?0的距离为d2,则d1?d2的最小值为( )

A.6125 B. C.2 D.

55525、已知命题p:\?x??1,2?,x?a?0\,命题q:\?x?R,x2?2ax?2?a?0\,若命题“p?q” 是真命题,则实数a的取值范围是 ( )

A.(??,?2]?{1} B.(??,?2]?[1,2] C.[1,??) D.[?2,1]

6、设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图象如左图所示,则导函数y?f?(x)可能为 ( )

y

y y 1 y y O x O x O x O x O x A

B C D

x2y27、我们把由半椭圆2?2?1(x?0)与半椭圆

aby2x2222?2?1(x?0)合成的曲线称作“果圆”(其中a?b?c, 2bca?b?c?0).如图,设点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1、A2

和B1、B2是“果圆”与x,y轴的交点,若△F0F1F2是边长为1的等 边三角,则a,b的值分别为( )

A.

7,1 B.3,1 C.5,3 D.5,4 2x2y28、设F，F2,P(0,2b)是正1和F2为双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点, 若F1ab三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A.

35 B.2 C. D.3 229、设斜率为2的直线l过抛物线y2?ax(a?0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )

A.y??4x B.y??8x C.y?4x D.y?8x 10、如图,曲线y?f(x)上任一点P的切线PQ交x轴于Q, 过P作PT垂直于x轴于T,若?PTQ的面积为系满足 ( )

22A.y?y? B.y??y? C.y?y? D.y?y?

22221,则y与y?的关 2第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上.)

11、过抛物线y?ax(a?0)的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点,若线段AF、BF的长分别为m、n,则

2mnm?n=________

y2?1有且只有一个公共点. 12、过点A(0,2)可以作______条直线与双曲线x?42 2

13、设P为曲线C:y?x2?x?1上一点,曲线C在点P处的切线的斜率的范围是的取值范围是________. [?1,3],则点P纵坐标．．．

x2y2x2y214、已知椭圆2?2?1(a?b?0)与双曲线2?2?1(m?0,n?0)有相同的焦

abmn点(?c,0)和(c,0),若c是a、m的等比中项,n是2m与c的等差中项,则椭圆的离心率是 .

15、现有下列命题:

①命题“?x?R,x?x?1?0”的否定是“?x?R,x?x?1?0”; ②若A??x|x?0?,B??x|x??1?,则A?(eRB)=A;

③函数f(x)?sin(?x??)(??0)是偶函数的充要条件是??k??④若非零向量a,b满足a=?b,b=?a(??R),则?=1. 其中正确命题的序号有________.(把所有真命题的序号都填上)

22222?(k?Z); 2三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)

16.设命题p：函数f(x)?lg(ax?x?21a)的定义域为R； 16命题q：不等式2x＋1<1＋ax对一切正实数均成立．如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围

17、已知函数f(x)?1312ax?x?cx?d(a、c、d?R)满足f(0)?0,f'(1)?0且34f'(x)?0在R上恒成立.

(1)求a、c、d的值; (2)若h(x)?

18、已知椭圆的一个顶点为A(0,-1),焦点在x轴上.若右焦点到直线x?y?22?0的距离为3.

3

32b1x?bx??,解不等式f'(x)?h(x)?0. 424(1)求椭圆的方程;

(2)设椭圆与直线y?kx?m(k?0)相交不同两点M、N.当AM?AN时,求m取值范围.

19、已知抛物线y2?4x及点P(2,2),直线l且不过点P,与抛物线交于点A,B, (1)求直线l在y轴上截距的取值范围;

(2)若AP,BP分别与抛物线交于另一点C、D,证明:AD,BC交于定点.

y2x220、已知F下焦点,其中F1、F2分别为椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的上、1也是抛物

ab5y 线C2:x2?4y的焦点,点M是C1与C2在第二象限的交点,且|MF1|?. 3(1)求椭圆C1的方程;

(2)已知点P(1,3)和圆O:x2?y2?b2,过点P的动 直线l与圆O相交于不同的两点A,B,在线段AB上取一点

M F1 O · x ????????????????Q,满足:AP???PB,AQ??QB,(??0且???1). 求证:点Q总在某定直线上.

· F2

21、已知函数f(x)?ax3?bx2?c(其中a,b,c均为常数,x?R).当x?1时,函数f(x)的极植为?3?c.

(1)试确定a,b的值;

(2)求f(x)的单调区间;

2(3)若对于任意x?0,不等式f(x)??2c恒成立,求c的取值范围.

4

参考答案

1.D ∵f(x)是奇函数,∴f(x)在(0,2)上的最大值为?1,

1111?a,令f'(x)?0得x?,又a?,∴0??2. xa2a1111令f'(x)?0时,x?,f(x)在(0,)上递增;令f'(x)?0时,x?,f(x)在(,2)上递

aaaa1111减;∴f(x)max?f()?ln?a???1,∴ln?0,得a?1.

aaaa122.C 得f?(x)?x?mx?1,f??(x)?x?m?0对于x?(?1,2)恒成立.

2当x?(0,2)时,f'(x)?∴m?(x)max?2,又当m?2时也成立,有m?2.而m?2,∴m?2. 于是f?(x)?12x?2x?1,由f?(x)?0得x?2?3或x?2?3(舍去), 2f(x)在(?1,2?3)上递增,在(2?3,2)上递减,只有C正确.

3.C 得f?(x)?cosx?2f?(),∴f?()?4.D

25.A “p?q” 为真,得p、q为真,∴a?(x2)min?1;△4a?4(2?a)?0.

?3?31??1?2f?()?f?()??. 2332得a??2或a?1.

6.D 当x?0时,f?(x)?0;当x?0时,f?(x)的符号变化依次为＋、－、＋.

7.A OF2?b2?c2?13,OF0?c?3OF2?,∴b?1, 22∴a?b?c?1?2223777?,得a?,即a?,b?1. 44228.B由tan?6?cc32222?有3c?4b?4(c?a),则e??2,故选B.

a2b329.B 抛物线y?ax(a?0)的焦点F坐标为(,0),则直线l的方程为y?2(x?a4a), 2它与y轴的交点为A(0,?),所以△OAF的面积为解得a??8.所以抛物线方程为y??8x. 10.D S?PTQ?2a21aa||?||?4, 2421111?y?QT?,∴QT?,Q(x?,0),根据导数的几何意义, 22yy 5

kPQ?y?01x?(x?)y?y?,∴y2?y?.

11设直线方程为y?kx?1122?0, 与y?ax联立消去x得ax?kx?4a4ak1k2122设A(x1,ax),B(x2,ax),则x1?x2?,x1x2??2,x1?x2?2?,

a4aa2a22122111k21k212m?ax?,n?ax2?(?),m?n??, ,可得mn?4a4a4aaaaa21∴

mn1?. m?n4a34.12、4 (数形结合,两切线、两交线)

13.[,3] 设P(x0,y0),y??2x?1,∴?1?2x0?1?3?0?x0?2, 有y0?(x0?)?14.

12233?[,3]. 441 本题考查椭圆、双曲线的定义和标准方程,双曲线的离心率.由题意得 2代入③得 c2?a2?b2?m2?n2 ①,c2?am ②,2n2?2m2?c2 ③,将①得c?2m,再代入②得a?4m,得e?2n2?3m2?n2,∴n?3m,代入③

2215.②③ 将b=?a代入a=?b得(??1)a=0,∴??1,有???1,④错.

c1?. a2?d?0?d?01??217.解:(1)f'(x)?ax?x?c,?f(0)?0,f'(1)?0,??,即?, 11a??c?0?c??a2??2?2?a?011?2, 从而f'(x)?ax?x??a.?f'(x)?0在R上恒成立,??11???4a(?a)?022??42?a?011?a?,c?,d?0, ,即??解得12(a?)?044??412113b1x?x?,?h(x)?x2?bx??, 424424121132b1∴不等式f'(x)?h(x)?0化为x?x??x?bx???0,

424424(2)由(1)知,f'(x)? 6

1b1?0,∴(x?)(x?b)?0,

22211①若b?,则所求不等式的解为?x?b;

221②若b?,则所求不等式的解为空集;

211③若b?,则所求不等式的解为b?x?.

221111综上所述,当b?时,所求不等式的解为(,b);当b?时,所求不等式的解为?;当b?22221时,所求不等式的解为(b,).

2即x?(?b)x?2x2218、解:(1)依题意可设椭圆方程为2?y?1,则右焦点F(a2?1,0)由题设

aa2?1?222y C · x22?y2?1. ?3,解得a?3,故所求椭圆的方程为3?y?kx?mx22?y?1(2)设P为弦MN的中点,由?,得?x223??y?1?3O1 O O2 x (3k2?1)x2?6mkx?3(m2?1)?0

由于直线与椭圆有两个交点,???0,即 m?3k?1 ①,

22?xp?mxM?xN3mk,从而yp?kxp?m?, ??223k?123k?1yp?1xpm?3k2?1,又AM?AN,?AP?MN,则 ??3mk?kAp?m?3k2?112 ???,即 2m?3k?1 ②

3mkk22把②代入①得 2m?m解得 0?m?2,由②得k?2m?11?0,解得m?. 32故所求m的取范围是(

1,2) 219、解:(1)设直线l的方程为y?x?b(b?0),由于直线不过点P,因此b?0

?y?x?b22由?2得x?(2b?4)x?b?0,由??0,解得b?1 ?y?4x所以,直线l在y轴上截距的取值范围是(??,0)?(0,1)

7

m2n2,m),(,n),因为AB斜率为1,所以m?n?4, (2)设A,B坐标分别为(44y8?2n2m?设D点坐标为(D,yD),因为B、P、D共线,所以kPB?kDP,得yD? 2?nm?242m2直线AD的方程为y?m?(x?) 224yDm?44yD?mmyD2m2当x?0时,y???2 2yD?m2m?m?2m即直线AD与y轴的交点为(0,2),同理可得BC与y轴的交点也为(0,2), 所以AD,BC交于定点(0,2).

20、解:(1)由C2:x2?4y知F1(0,1),设M(x0,y0)(x0?0),因M在抛物线C2上, 故x02?4y0…① 又|MF1|?55226,则y0?1?……②, 由①②解得x0??,y0?.而点M椭圆上,故有33332262()2()48223?3?1c?1??1b?a?1…④即…③, 又,则 2222ab9a3by2x222??1. 由③④可解得a?4,b?3,∴椭圆C1的方程为43 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y), ?????????x1??x2?1??由AP???PB可得:(1?x1,3?y1)???(x2?1,y2?3),即?

y??y?3(1??)?12?????????x1??x2?(1??)x由AQ??QB可得:(x?x1,y?y1)??(x2?x,y2?y),即?

?y1??y2?(1??)y⑤?⑦得:x12??2x22?(1??2)x ⑥?⑧得:y12??2y22?3y(1??2)

两式相加得(x12?y12)??2(x22?y22)?(1??2)(x?3y)

2222又点A,B在圆x?y?3上,且???1,所以x12?y12?3,x2?y2?3

即x?3y?3,∴点Q总在定直线x?3y?3上. 21、解:(1)由f(x)?ax?bx?c,得f'(x)?3ax?2bx, 当x?1时,f(x)的极值为?3?c,

322 8

∴??f'(1)?0?f(1)??3?c,得??3a?2b?0?a?6,∴?,

?a?b?c??3?c?b??9∴f(x)?6x3?9x2?c.

(2)∵f(x)?6x3?9x2?c,∴f'(x)?18x2?18x?18x(x?1), 令f'(x)?0,得x=0或x=1.

当x?0或x?1时,f'(x)?0,f(x)单调递增;当0?x?1时,f'(x)?0,f(x)单调递减; ∴函数f(x)的单调递增区间是???,0?和?1,???,单调递减区间是[0,1].

322(3)∵f(x)??2c2对任意x?0恒成立,∴?6x?9x?c??2c对任意x?0恒成立, 22∵当x=1时,f(x)min??3?c,∴?3?c??2c,得2c?c?3?0,

∴c??1或c?3. 232∴c的取值范围是(??,?1]?[,??).

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