概率统计习题详解习题详解1-2章

习题解答

习 题1.1

1．试判断下列试验是否为随机试验： （1）在恒力的作用下一质点作匀加速运动；

（2）在5个同样的球（标号1,2,3,4,5,）中，任意取一个，观察所取球的标号；

（3）在分析天平上称量一小包白糖，并记录称量结果． 解

（1）不是随机试验，因为这样的试验只有唯一的结果． （2）是随机试验，因为取球可在相同条件下进行，每次取球

有5个可能的结果：1,2,3,4,5，且取球之前不能确定取出几号球．

（3）是随机试验，因为称量可在相同条件下进行，每次称量的结果用x表示，则有x?(m??,m??)，其中m为小包白糖的重量，?为称量结果的误差限．易见每次称量会有无穷多个可能结果，在称量之前不能确定哪个结果会发生．

2．写出下列试验的样本空间． （1）将一枚硬币连掷三次；

（2）观察在时间?[0 ，t] 内进入某一商店的顾客人数； （3）将一颗骰子掷若干次，直至掷出的点数之和超过2为止； （4）在单位圆内任取一点，记录它的坐标． 解

（1）?={（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反

反），（反正反），（反反正），（反反反）}；

（2）?={0，1，2，3，??}； （

3

）

?={（3,4）,

（5,6）,(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,1,1),

(1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,1,6)}.

（4）在单位圆内任取一点，这一点的坐标设为（x，y）,则x，y应满足条件x2?y2?1.故此试验的样本空间为???(x,y)|x2?y2?1.?

3．将一颗骰子连掷两次，观察其掷出的点数．令A =“两次掷出的点数相同”?，B =“点数之和为10”?，C=“最小点数为4”?．试分别指出事件A 、B 、C以及AB 、ABC 、A?C? 、C?A 、BC 各自含有的样本点．

解

A={(1,1) ，(2,2) ，(3,3) ，(4,4) ，(5,5)

，(6,6)} ;

B={(4,6) ，(5,5) ，(6,4)};

C={(4,4) ，(4,5) ，(4,6) ，(5,4) ，(6,4)};

AB?{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(4,6),(6,4)}; ABC??

AC={(1,1)，(2,2)，(3,3)，(5,5)，(6,6)}; C?A={(4,5)，(4,6)，(5,4)，(6,4)};

BC?{(5,5)}.

4．在一段时间内，某电话交换台接到呼唤的次数可能是0次，1次，2次，? ．记事件Ak

（k = 1 ，2 ，?）表示“接到的呼唤次数小于k”?，试用Ak间的运算表示下列事件：

（1） 呼唤次数大于2 ；

（2） 呼唤次数在5到10次范围内； （3） 呼唤次数与8的偏差大于2 ． 解 (1) A3；(2) A11?A5；(3) A6A11.

5．试用事件A 、B 、C 及其运算关系式表示下列事件： （1）A发生而B不发生；

（2）A不发生但B 、C至少有一个发生； （3）A 、B 、C中只有一个发生； （4） A 、B 、C中至多有一个发生； （5）A 、B 、C中至少有两个发生； （6）A 、B 、C不同时发生． 解

(1)AB；(2)A(BC)；(3)ABCABCA BC； (4) ABA CBC； (5)ABBCAC； (6) ABC

6．在某大学金融学院的学生中任选一名学生．若事件A表示被选学生是女生，事件B表示该生是大学二年级学生，事件C表示该生是运动员．

（１）叙述ABC的意义．

（2）在什么条件下ABC?C成立？ （3）在什么条件下A?B成立？

解

（1）该生是二年级女生，但非运动员． （2）全学院运动员都是二年级女生． （3）全系男生都在二年级 7．化简下列各事件： （1） (A?B)A； （2）(A?B)B； （3）(A?B)A ； （4）(A?B)B

（5）(AB)(AB)(AA) ．. 解．(1) ?A?B?A?A； (2) ?A?B?B?AB ； (3) ?A?B?A?A?B ； (4) ?A?B?B??； (5) ?AB??AB??AB??A?AB??AB.

习题1.2

1．已知事件A 、B 、AB的概率分别为0.4，0.3，0.6．求P(AB) 解 由公式P(AB)?P(A)?P(B)?P(AB)及题设条件得

P(AB)?0.4?0.3?0.6?0.1

又 P(AB)?P(A?B)?P(A)?P(AB)?0.4?0.1?0.3

P(B)PC?()?2．设P(A)?11，P(AB)?0，P(AC)?P(BC)?，求（1）416A 、B 、C中至少有一个发生的概率；（2）A 、B 、C都不发生

的概率。

解（1）由已知P(AB)?0，且有ABC?AB，所以由概率的单调性知P(ABC)?0

再由概率的加法公式，得A 、B 、C中至少有一个发生的概率为

P(ABC)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)? P(AC)?P(BC)?P(ABC)32 =??0.625416（2）因为“A 、B 、C都不发生”的对立事件为“A 、B 、

C中至少有一个发生”，所以得

P（A 、B 、C都不发生）=1-0.625=0.375。

3．设P(A)?p ，P(B)?q ，P(AB)?r ，求P(AB)) ， P(AB)，

P(AB)) ．

解 . 由

P?AB??P?A??P?B??P?AB?

得

P?AB??P?A??P?B??P?AB??p?q?r

则

P?AB??P?A??P?AB??p??p?q?r??r?q

P?AB??P?B??P?AB??q??p?q?r??r?p

P?AB??P?AB??1?P?AB??1?r

4．设A 、B 、C是三个随机事件，且有A?B，A?C ，

P(A)?0.9 ， P(BC)?= 0.8 ，求P(A?BC)．

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