第一讲 矩阵运算性质及其应用

第一讲 矩阵运算性质及其应用

矩阵是数学中的一个重要内容，它是继数值这个运算对象之后，人们研究的又一个新的运算对象，也是处理线性模型的重要工具.矩阵的运算，到目前为止，人们已经研究了几十上百种.在这一讲中，我们复习学习过的其中10种，包括加法、减法、数乘、乘法、乘方、转置、共轭、行列式、伴随和求逆.学习矩阵运算，重点有两方面：运算的条件和性质.而运算需要的条件和数值运算是大不相同的.

一 矩阵的概念及其运算方法

首先，我们复习矩阵的概念及其运算方法.

定义1 由m?n个数字aij（i?1,2?,m,，j?1,2?,n,）排成的m行n列的数表，称为一个

m行n列矩阵，简称为m?n型矩阵.通常用圆括号或方括号括起来表示矩阵数表是一个整体，并

用大写字母表示，即

?a11?aA??21????am1a12a22?am2?a1n???a2n?

?????amn?位于矩阵A的第i行第j列的数字aij，称为A的(i,j)元素，简称(i,j)元.以aij为(i,j)元的矩阵可简记作(aij).m?n型矩阵A也记作Am?n或A.m?n时，n?n型矩阵A也称为n阶矩阵，记作An.

m?n两个矩阵的行数相等，列数也相同时，称为同型矩阵.两个矩阵A与B是同型矩阵，且它们的对应位置上的数字元素都相等，就称这两个矩阵A与B相等，记作A?B.

有一些矩阵的元素分布比较特殊，我们用专门规定的记号来表示，如 零矩阵O，它的元素全为0.要注意，不同型的零矩阵是不同的. 单位矩阵E（也记作I），它是对角线元素都为1，其余元素都为0的方阵.

??1????2?（与行列式中一样，不写出的元素就是0）. 对角矩阵??diag??1,?2,?,?n?=???????n??

下面，我们来复习矩阵的10个运算方法.

定义2 设两个矩阵A?(aij)m?n和B?(bij)s?t，

①A与B能相加、减的条件是：A与B同型，即m?s且n?t. ②A与B相加的和记作A?B，A与B相减的差记作A?B.

运算方法规定为

1

??a11?b11a12?b12?a1n?b1n?A?B??a21?b21a22?b22?a2n?b?2n????????

?am1?bm1am2?bm2?a?mn?bmn???a11?b11a12?b12?a1n?b1n?A?B??a21?b21a22?b22?a?2n?b2n????????

?am1?bm1am2?bm2?a?mn?bmn?根据定义，矩阵的加减就是对应位置上数字的加减.

例如

??23??34??2?33?4??57??57?????10?????5?17?0?????67?? ??12????3?3??1?32?(?3)???25?43??24?????2?1?4?23?4???2?1??????12?????????2?1?1?2????1?3??

定义3 数k与矩阵A?(aij)m?n相乘的积记作kA(?Ak).

运算方法规定为

kA??kaij?m?n

例如

?5??234???310??????5?2?5?3?5?4???5?(?3)?5?1?5?0??????10?15?15?5

定义4 设两个矩阵A?(aij)m?n和B?(bij)s?t，

①A与B能相乘的条件是：n?s. ②A与B相乘的积记作AB.

运算方法规定为

AB的(i,j)元?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj

即A的第i行各元素与B的第j列对应元素的乘积之和为AB的(i,j)元.

2

?20?0??

?31??23?2??? 例如??23???147????7?2???2?3?3?(?2)?(?2)?72?1?3?3?(?2)?(?2)???1415????? ??1?1?4?3?7?(?2)??44?1??1?3?4?(?2)?7?7

定义5 设矩阵A为m?n型，

①A能乘方的条件是：m?n即A为方阵. ②k为非负整数，A的k运算方法规定为

次幂记作Ak.

?E,k?0?kA??A,k?1，

?Ak?1A,k?2?例如

?23??23??23??3?1???3?1??3?1? ??????3??23?2??2?3)? ?(? ?????3?1??3?1??3?1??133??23??? ????310??3?1??3536??? ??36?1?定义6 将矩阵A的行与列互换，得到的矩阵，称为A的转置.记作A?或AT，即

32?a11a12?aa2221?A??????am1am2

?a1n??a11?a?a2n??时，A???12????????amn??a1n3

a21?am1?a22?am2?? ?????a2n?amn?

例如

?31??345??42?

?A??时，A????123???53???

定义7 设矩阵A?(aij)m?n，

①A可取行列式的条件是：m?n即A为方阵. ②A的行列式即

例如

A?aij.

341?341???2?141??6 A??200?时，A?200?2?(?1)11??111??111??注：矩阵A与行列式A是完全不同的对象.矩阵A是一张数表，不是数，而行列式A就是数.记号上，

矩阵只能用圆括号或方括号，而行列式一定要用一对平行线.

定义8 设矩阵A?(aij)m?n，

①A能取伴随的条件是：A为方阵且m?n?2. ②A的伴随记作A，并称为A的伴随矩阵. 运算方法规定为

*

?A11?AA*??12????A1nA21A22?A2n?An1??An2?? ?????Ann?即在A中将每个元素换成它的代数余子式后，再转置.

例如

?ab??d?b??cd????ca? ?????123??00?5??11?1????2?64? ?????200???24?1?????

4

**

?a11a12?a?21a22?a?31a32a13?a23??a33??*?a22??a32?a???21?a31??a21?a?31a23a33a23a33a22a32?a12a32a11a11a13a33a13a12?a12a22a11a21a11a21a31a33?a31a32a13??a23?a13?? a23??a12?a22??定义9 设矩阵A?(aij)m?n，

①A可逆的条件是：A为方阵且A?0. ②A的逆记作A运算方法规定为

?1，并称A?1为A的逆矩阵

1*m?n?2时，A?A；

A?11m?n?1时，即一阶方阵的逆(a11)?.

a11?1当方阵A可逆的条件不满足，即A?0时，常说A不可逆或A是奇异矩阵。 例如

??2?12?1?4?2???1???3???(3)， ?????2??31???3??34??2?1?11?， 1???2??123??00?5??005??11?1???1??2?64??1?26?4? ????10??10?200???24?1??2?41???????1**?1有时，规定一阶矩阵的伴随(a11)?(1)，这样，求逆公式就统一为A?A.

A定义10 矩阵A的共轭记作A，规定为A?(aij)m?n.

例如

__________________?1i??3?i??3?4?i1?i???4?i1?i? ????

5

习题1

1.计算

?123?5??189?13114??（1）??3??1?90????654?；答案 ???????7?44?.（2）?123??2??；答案 10. ?368????321????689????1????（3）?2??2??12?；答案 ?24??24??01??.（4）(1,2,3)??20????；答案 (1,13). ?3????36?????14??2. 设A????24?,?11??23?1?2??B???1?1??,C????33?,计算AB;AC.答案 ?AB???13??26???AC.

3. 设 A???11???1?1??00??22???1?1???,B?????11???,计算 AB;BA. 答案AB????00???, BA???2?2?.

??4. 已知 A3?sB4?t?Cu?v?D3?5CTC，求s,t,u,v. 答案s?4,t?v?5,u?3.

?000?5. 设 ??(0,8,6),A??T?，计算 A101.答案 A101?100100??06448???.

?04836??6. 设A3?3?(?1,?2,?3),A??2，求?3?2?1,3?2,?1. 答案6.

?7.求矩阵的伴随矩阵以及逆矩阵（1） A???2?5?1?20??4?3?；（2）?A???2?13???. ?50?2??答案（1）A*????35?1??35???2?4?6??1???24??42? ，?A?1?14???42?；（2）?A*??19?2?3，A*??192??5?103???36????510

6

6?3?. ?3???

二 矩阵运算的性质

这一部分讲两个问题：

其一，矩阵运算性质的发现方法——类比；

其二，矩阵运算性质的证明方法（定义方法及其简化形式，举反例方法，连续性方法，逆矩阵方法）

其一，矩阵运算性质的发现方法——类比

矩阵运算是与数值运算不同的一种新运算对象的运算.研究它们的性质，当然还是从类比数值运算的性质开始.

注意到，运算的名称是规定的,因此，进行类比时，数值运算的某一运算性质就可能

会类比到矩阵的每一个运算上面去.

例如，类比交换性质，就是交换运算中两个运算对象的位置，就可类比出下列等式是否正确的问题： ①A?B?B?A ②A?B?B?A

③kA?Ak(定义中相等) ④AB?BA

⑤A?k（k不会算）

①②④这三个等式是否正确的判别就是下面要讲的证明方法。

kAA其二，矩阵运算性质的证明方法

于是要做的事情就很多了.类比数值运算，矩阵有哪些运算性质呢？在这一讲中，我们不可能将所有性质都列举出来，并逐一证明一遍，这也不必要.我们将针对某些类比性质，用举例的形式给出主

要用到的证明方法，希望大家学会以后，能举一反三.

①定义方法及其简化形式

例1 证明矩阵乘法满足结合律：A(BC)?(AB)C.

注意矩阵运算的等式是有前提条件的. 运算所要求的所有条件中，有些条件是必须作为前提条件的，有些条件是可由前提条件推出的. 而在等式中往往又写不出这些条件，那么怎么样区分哪些是前提条件呢？一般来说，等式两边的运算中，最基本运算的一边的条件是作为前提条件的，而另

7

一边（往往可能是复合运算时，更是如此）的条件是应该要推出来的.

证 等式两边都是复合运算，选取左边的运算条件为前提条件.

设B为n?s型，则C必须是s行，可设C为s?t型，从而BC是n?t型，则A必须是n列，可设A为m?n型，于是左边A(BC)为m?t型.而这时右边(AB)C的运算条件显然就都满足了，且也是m?t型,等式两边型相同了.

下面再来证明两边对应位置的元素相等.用(X)ij表示矩阵X的(i,j)元，这样，左边的(i,j)元为

(A(BC))ij?(A)i1(BC)1j?(A)i2(BC)2j???(A)in(BC)nj

?(A)i1[(B)11(C)1j?(B)12(C)2j???(B)1s(C)sj] ?(A)i2[(B)21(C)1j?(B)22(C)2j???(B)2s(C)sj]

?

?(A)in[(B)n1(C)1j?(B)n2(C)2j???(B)ns(C)sj] ?[(A)i1(B)11?(A)i2(B)21???(A)in(B)n1](C)1j ?[(A)i1(B)12?(A)i2(B)22???(A)in(B)n2](C)2j

?

?[(A)i1(B)1s?(A)i2(B)2s???(A)in(B)ns](C)sj ?(AB)i1(C)1j?(AB)i2(C)2j???(AB)is(C)sj ?((AB)C)ij

为右边的(i,j)元，i?1,2,?,m，j?1,2,?,t.

根据矩阵相等的定义，我们就证明了乘法结合律.

从这个例子，我们看到，要证明一个矩阵运算的等式，就要做两方面的工作. 一方面找出所需要的前提条件（尽可能少）并推证出其他的运算条件是满足的. 另一方面再证明矩阵运算的等式是成立的，即等式两边型相同，且所有对应位置的元素也相等，这可以叫做矩阵相等的定义方法

仿照例1的证明方法，显然可以证明下列矩阵运算的性质 ①A?B?B?A

②(A?B)?C?A?(B?C) ③A?B?A?(?B) ④(??)A??(?A) ⑤(???)A??A??A

8

⑥?(A?B)??A??B ⑦?(AB)?(?A)B?A(?B)

⑧A(B?C)?AB?AC，(B?C)A?BA?CA ⑨AA?Aklk?l，(Ak)l?Akl

⑩(AT)T?A ?(A?B)T?AT?BT ?(?A)T??AT ?(AB)T?BTAT ?A?B?A?B ??A??A ?AB?AB

其中，性质?是类比分配律考虑(AB)T?ATBT成立与否时发现的.

__________________例2 证明伴随矩阵满足AA*?A*A?AE.

证 根据行列式展开定理：同行展开等于行列式本身，异行展开等于零.

?a11?a*AA??21????an1同理AA?AE.

*a12a22?an2?a1n??A11???a2n??A12????????ann??A1nA21?A22?A2nAn1??A???An2??????????Ann???A?????AE ??A??这个证明中，省略了前提条件：A为方阵且阶?2，并推出其他运算条件的过程.且矩阵相等不是像例1那样分两步，而是直接计算的.

仿照例2的证明方法，显然可以证明下列矩阵运算的性质 ①A?O?A

②OA?O，AO?O，注意这些零矩阵可能不同型 ③EA?A，AE?A，注意这些单位矩阵可能不同阶

④diag?a1,a2,?,an??diag?b1,b2,?,bn??diag?a1?b1,a2?b2,?,an?bn? dia?ga1a,2?,a,n?db,?ia1gb2?n?,b?,?9

,b,dabgab1ia12?2,n?na

dia?ga1a,2?,an?,??k?kd?iaaak2?,an,k? ,1g?a1?⑤????a2??b1??a1b1?????2b2???????????????an??bn???1a2b2??? ???anbn??3?a1?????a2??a1k?1??????????an???ka2k??? ???ank???2对于方阵A和多项式f(x)?a0?a1x?a2x2???amxm，记

f(A)?a0E?a1A?a2A2???amAm

并称f(A)为矩阵A代入多项式f(x)所得的多项式，注意f(A)仍是与矩阵A同阶的方阵.

⑥对于两个多项式f(x)和g(x)及方阵A，交换律成立：

f(A)g(A)?g(A)f(A)

⑦如果f(x)为多项式，??diag??1,?2,?,?n?，则

f(?)?diag?f(?1),f(?2),?,f(?n)?

⑧如果f(x)为多项式，A为上三角形矩阵，

?a1?A?????则

a2??? ???an??1??? ??f(an)??f(a1)?f(A)?????对于下三角形矩阵，上述类似结论也成立.

?1f(a2)??1?1⑨若A?PBP，f(x)为多项式，则f(A)?Pf(B)P.

⑩AA?AA?E.

最后，我们还指出一个很有用的性质.

?1?1 10

?对于1阶方阵(k)，总有A(k)?kA，(k)A?kA. ②举反例方法

例3 举反例说明矩阵乘法交换律不成立：AB?BA.

解 当A，B不是同阶方阵时，显然AB?BA.

对于同阶方阵A，B，最简单的为2阶（显然1阶方阵时，没有反例）.这时，左边的(i,j)元为

(AB)ij?(A)i1(B)1j?(A)i2(B)2j

而右边的(i,j)元为

(BA)ij?(B)i1(A)1j?(B)i2(A)2j.

显然，i?1，j?1，(A)12?1，(B)21?1，(A)21?0时，(AB)11?(BA)11.于是，无论A，B的其他元素怎么取，都有AB?BA.故可选A，B的其他元素都为0，即

?01??00?，A??B????，

?00??10?这时

?10??00?AB???????BA.

?00??01?仿照例3举反例的方法，可对下列矩阵运算性质举反例进行说明. ①矩阵乘法有零因子，即AB?0?A?0或B?0

②矩阵乘法消去律一般不成立，即AB?AC且A?0?B?C

另外，由于矩阵乘法交换律不成立，从而有关因式分解的代数公式一般就都不成立，即 ③(A?B)2?A2?2AB?B2 ④(A?B)3?A3?3A2B?3AB2?B3 ⑤(A?B)?n?(?1)k?0nn?kkkn?kCnAB

⑥(A?B)(A?B)?A?B ⑦(A?B)(A?AB?B)?A?B ⑧(A?B)(A⑨(A?B)(An?1223322?An?2B?An?3B2???Bn?1)?An?Bn，n为奇数 ?An?2B?An?3B2???Bn?1)?An?Bn

n?1乘积乘方的公式也不成立，即

11

⑩(AB)k?AkBk

但是，要注意，仿照例2的证明方法，显然可以证明：对于乘法可以交换的两个具体矩阵A和B：AB?BA，上述公式③~⑩中的不等号“?”就都要换成等号“=”.

③连续性方法

另外，由于乘法没有交换律，因此，若想用乘法定义除法，对于可逆矩阵B，A除以B就应该分清是右除，还是左除，所以在矩阵运算中没有除法，因此，矩阵是永远不能出现在分母中的.

又由于矩阵取行列式后，就是上一章的行列式，是一个数了.前几例的方法就不能完全用来研究矩阵运算的行列式性质.

T①A?A（行列式转置，值不变）

②kAn?knAn（n个行都提出公因子k） ③AB?AB

④A?A（由③归纳） ⑤n?2时，An?An⑥A?1*n?1*，(a11)?1?1

kk?A____?1?1 A⑦A?A（行列式定义和数值共轭运算性质） ⑧A?B?A?B （举2阶反例） ⑨A?B?A?B （举2阶反例） 下面给出③、⑤、⑥的证明. 先证明③.首先

a11a21?D?an1?1a12?a1na22?a2n???b11?1??1?b12?b1n????A?EOB?AB

an2?annb21b22?b2nbn1bn2?bnn另一方面，我们对行列式D进行下列倍加列：第i列的bij倍加到第n?j列上去（i?1,2,?,n，

j?1,2,?,n），有

12

AD??EABn?E?(?1)OAO?(?1)n?EAB?AB AB这就证明了AB?AB.注意这里A、B为同阶方阵是前提.

再证明⑥.利用例2后面列出的性质⑩，AA?E，再根据刚证明的性质③，就得到

?1AA?1?A?1A?E?1,故A?1?1?1?A. A最后证明⑤.后一个等式是显然的.对前一个等式，我们采用一种连续性方法进行证明. 对n?2，当A可逆时，

?1?1An*?AAn?AAn?Ann?1.

当A不可逆时，记B?A?tE，显然B是t的n次多项式，至多n个不同根，其中一个根为t?0.

*因此在t?0的一个空心邻域内，B?0，B可逆.由前面已证明的结论知B?Bn?1在t?0的一个空心

邻域内总成立.

****令t?0，则B?A，B?A，B?A，B?An?1，而等式两边仍是t的多项式，由多项

式的连续性知，这时也有An?A④逆矩阵方法

*n?1.

对于矩阵的求逆运算，有如下特别重要的充要条件：

例4 对于方阵A，A?1?B的充要条件是AB?E（或BA?E）.

?1证 若A为1阶方阵，上述充要条件是显然的.若方阵A的阶?2，当A可逆且A?B时，由例2后

的性质⑩得AB?AA?1?E（或BA?A?1A?E）.

而当AB?E时，易知A、B为同阶方阵，由矩阵运算的行列式性质③知

AB?AB?E?1

就得A?0，从而A可逆，再利用例2后的性质⑩和③就得到

B?EB?A?1AB?A?1E?A?1

同样可证BA?E的情形.

利用这个充要条件，我们就得到一个证明逆矩阵问题的方法——逆矩阵方法：要证A?B，只

?1须证明A为方阵且AB?E（或BA?E）.下面逆矩阵的性质就可以用这个方法证明.

①(kA)?1?k?1A?1 ?B?1A?1

13

②(AB)

?1

③(Ak)?1?(A?1)k?A?k ④(AT)?1?(A?1)T ⑤(A*)?1?(A?1)* ⑥(A?1)?1?A ⑦(A)?1?(A)

______?1同样，举反例可说明 ⑧(A?B)?1?A?1?B?1 ⑨(A?B)?1?A?1?B?1

另外，对于可逆矩阵的乘法消去律是成立的 ⑩AX?AY或XA?YA且A可逆?X?Y

对于伴随矩阵，除前面已列举的性质外，还有一些性质，主要用前面的连续性方法进行证明，一并列出如下：

①(kAn)*?kn?1An*（用伴随的定义和行列式性质即得） ②(AB)*?B*A*

③(Ak)*?(A*)k（用②归纳）

④(AT)*?(A*)T（转置和伴随的定义即得） ⑤(A?1)*?(A*)?1（前面已有）

?An?2An?2?**⑥(A)??An?2

?(1)n?1?⑦(A)?(A)（用伴随的定义和行列式性质即得） ⑧AA?AA?AE（前面已有） 同样，举反例可证明 ⑨(A?B)?A?B ⑩(A?B)?A?B

*******______*** 14

习题2

1. 仿照例1的证明方法，证明下列矩阵运算性质 （1）A(B?C)?AB?AC （2）(AB)T?BTAT

2. 仿照例2的证明方法，证明下列矩阵运算性质

（1）对于两个多项式f(x)和g(x)及方阵A，交换律成立：

f(A)g(A)?g(A)f(A)

（2）如果f(x)为多项式，??diag??1,?2,?,?n?，则

f(?)?diag?f(?1),f(?2),?,f(?n)?

(3) 若A?PBP，f(x)为多项式，则f(A)?P?1f(B)P. (4)AA?AA?E.

(5)对于1阶方阵(k)，总有A(k)?kA，(k)A?kA.

3. 仿照例3举反例的方法，对下列矩阵运算性质举反例进行说明. (1)矩阵乘法有零因子，即AB?O?A?O或B?O

(2)矩阵乘法消去律一般不成立，即AB?AC且A?O?B?C (3)(A?B)2?A2?2AB?B2 (4)A?B?A?B （5） (A?B)?1?A?1?B?1

4. 用逆矩阵方法证明下列逆矩阵的性质 （1）(kA)?1?k?1A?1 （2）(AB)?1?B?1A?1 （3）(Ak)?1?(A?1)k?A?k （4）(A)（5）(A)T?1?1?1?1?(A?1)T ?(A?1)*

*?125. 证明：如果A?A,A?E,则A必为奇异矩阵.

6. 证明 (A?1?B?1)?1?A(A?B)?1B?B(A?B)?1A.

15

三 矩阵运算性质的应用

在这一部分，我们将列举一些应用矩阵运算性质解决的问题. ①性质AA?1?A?1A?E,AA??A?A?AE的应用

例5 设

?A??202??223??220??，B???011??044????2?11?，

???解矩阵方程3A?4X?2B?2X.

解 移项并合并同类项得

2X?2B?3A

??2240???1故 X?12(2B?3A?)1?2?2?3???01???1??20??322?2????0?1???2??6?42??????3???2?11????04??4?2???4?14?1??0??2例6 设

?210?A???031??

??001??解矩阵方程AX?4A?5X.

解 移项

AX?5X??4A

提出公因子

(A?5E)X??4A

消去系数矩阵求解

X?(A?5E)?1(?4A)

化简

X?(A?5E)?1[?4(A?5E)?20E]

??4E?20(A?5E?1 )?由A??210??031???知，A?5E???310?1??，A?5E??24， ?01??0?2?0???00?4??(A?5E)?1?1?8?1?1?A?5E(A?5E)*?1???24?0123??. ?006??从而

16

20??21??7?5???

5?8??36?100??8?1?1????5??X??4?010???0123???06??001?6?006??????00???例7 设

5???6?5? ?2?1????200???A??031?

?001???解矩阵方程AXA?4AX?4E.

解 化简

*A?1(AXA*?4AX)A?A?1(4E)A

即

AX?4XA?4E

提出公因子

X(AE?4A)?4E

消去系数矩阵求解

X(AE?4A)?4E(AE?4A)?1?4(AE?4A)?1

?200???由于A??031?，故A??6，

?001???于是

0??20??AE?4A??064?

?00?10???AE?4A??120

00???601??(AE?4A)?1?0?20?8? ?120??0012???因此

00?0???60?3001??1??X?0?20?8?0104. ?????30??15?00?6?0012???? 17

②性质A??AA?1的应用

.

例8 设A4??3，求A*?5A?1解

A?0AA*?5A?1AA?1?5A?1?(A?5)A?14(A?5)4A?1

A??3 ?(A?54)(?3?54A?)?3??13

6例9 设

?202A????031??

??005??求[2(A?3E)*]?1.

解

[2(A?3E)*]?1?[2A?3E(A?3E)?1]?1?2?1A?3E?1[(A?3E)?1]?1

?11??502?2A?3E(A?3E)?480?061? ???008??例10 设

?201A????310???

?401??求[3A*?2A?1]*.

解

[3A*?2A?1]*?[3AA?1?2A?1]*?[(3A?2)A?1]*?(3A?2)A?1[(3A?2)A?1]?1

?(3A?23)A?1(3A??21)A?(1??1)(3A?22)AA?216??201??20A?2?310?????8??31?401????40③性质:对于

1阶方阵(k)，总有A(k)?kA，(k)A?kA的应用

例11 设???1,2,3?，A??T?，求A101.

解

18

1???01??

?1????T??1,2,3??2???14

?3????1??123?????A??T???2??1,2,3???246?

?3??369??????123???A101?(?T?)101??T(??T)?(??T)???T(??T)100??14100?T??14100?246?.

?369???T例12 设??(1,?1,0)T，A?E?x??，求x，使A?A.

3解

A3?(E?x??T)3?E3?3E2x??T?3E(x??T)2?(x??T)3?E?x(3?6x?4x2)??T?A

?x?0或(3?6x?4x2)?0?x?0或x?④逆矩阵方法的应用：由

?3?3i?3?3i或x?. 88f(A)?O,证明g(A)可逆并求出[g(A)]?1(带余除法)

例13 设A满足A3?2A?3E?O，试证明A?E可逆，并求出(A?E)?1.

解 先将等于零矩阵的等式A?2A?3E?O左边A的多项式还原成变量x的多项式x?2x?3作为被除式，讲要求逆的A的多项式还原成变量x的多项式x?1作为除式，做多项式带余除法

33x2?x?3x?1x3?2x?3

?)x3?x2 x?2x?3

2

?)x2?x 3x?3

x?3 ?)3

6

即得

(x?1)(x2?x?3)?6?x3?2x?3

于是

(A?E)(A2?A?3E)?6E?A3?2A?3E?O

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从而

(A?E)[所以A?E可逆，且(A?E)?32?12(A?A?3E)]?E 6?12(A?A?3E). 62例14 设A满足A?6A?13A?6E?O，试证明A?3A?2E?O可逆，并求出(A2?3A?2E)?1. 解 由于A2?3A?2E?(A?E)(A?2E)，且由A?6A?13A?6E?O,可仿照例13求得

3212(A?5A?8E) 21A?2E可逆且(A?2E)?1?(A2?4A?5E)

4A?E可逆且(A?E)?1?从而A?3A?2E可逆且

2(A2?3A?2E)?1?(A?2E)?1(A?E)?1

?14(A?9A3?33A2?57A?4E0 )812?[(A?3E)A(3?6A?1A3?E6?)2A2?81?(A2?6A?11E )41A2? E22]2注：本题由于A3?6A2?13A?6E?(A?3A?2E)(A?3E?)，余式2A2A不是非零常数，直接

做不出来.

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习题3

?2?2n2n?1??12??10?n1. 设P???. ?????且AP?P?，求A. 答案?n?1n?12?1??14??02??2?2??111??1?????322,AP?P?2. 设P??102?,???,求 ?(A)?A?2A?3A. ??11?1???3??????505???答案 ?(A)??000?.

?505????1?13.设A,B为3阶方阵，且A?3,B?2，A?B?2，求A?B?? 答案：3.

?17?1??017?20?1??T??求ABT. 答案??.

4. 已知A??,B?423,AB?1413?????????132???201???310?????5. 解矩阵方程 （1）???17?28??1?5??32?. 答案：X???. ????1414?4?6???????1??. 5??21??32??01??1（2）??X?????. 答案：??74??11???23???3?110???*6. 设A,B满足ABA?2BA?8E且A??0?20?，求B.

?001????220???答案 B??0?40?

?002????100???*?1?9307. 设方阵A=?（2）A?, 求（1）2A?10A ，??57?2????1??6?4?3答案：（1）；（2）??23?5??6?0?127?6?0??0?. ??1?3?????1

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?10?7??1?11*??????*，

8.已知方阵A=?052?,计算（1）3?A?2E?（2）??A?2E??.

???3??00?1?????10?7??30?7???1??032072答案：??；7??. ?00?3??001??????2?1??T9. 设???2?,A?E???,计算

4?4???10.（1）若n 阶矩阵A满足A（2）若n 阶矩阵A满足A32?548??A2. 答案A2??458??.

?8817????1?2A?4E?O，试证明A?E可逆，并求?A?E?.

?1?2A?3E?O，试证明A?E可逆，并求?A?E?.

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