湖南省长沙市明德中学2016届高三上学期第三次月考数学(文)试题

明德中学2016届高三年级第三次月考

数学（文科）试题

时量：120分钟 满分：150分

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1.设i为虚数单位，则复数

3?4i= ( ) iA．3 B.4 C.5 D.6 2．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2?x}}，则M?N＝( )

A．{0} B．{0,1} C．{－1,1} D．{－1,0,1}

3．“函数f(x)?logax在区间（0，＋∞）上为增函数”是“a=3”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分

层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为( )

A．50

B．60

C．70

D．80

???5．已知向量a?(cos?,sin?)，向量b?(3,1)，且a?b，则tan?的值是（ ）

A.

33B. ? C.?3 D. 3 33

2x2y2??1的一个焦点重合，则n的值为( ) 6．若抛物线y?8x的焦点F与双曲线

3nA．1 B．－1 C．2 D．4 7. △ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c，若a＝

A.5

b，A＝2B，则cos B＝( ) 2

5555 B. C. D. 3456

8. 已知数列?an?是首项为1的等比数列，Sn是?an?的前n项和，且的前5项和S5为 （ ）

S411?，则数列{}anS817A．

311111211131或 B．或 C． D． 1616161616169．设函数f(x),g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）

A.f(x)g(x)是偶函数 B. |f(x)|g(x) 是奇函数 C. |f(x)g(x)|是奇函数 D. f(|x|)是偶函数 10.曲线y＝x＋ln x在点(e2，e2＋2)处的切线在y轴上的截距为( )

A．1 B．－1 C．e2 D．－e2 111

11．数列1，，，…，的前n项和Sn=( )

1＋21＋2＋31＋2＋3＋…＋n

3n－12n3n4n

A. B. C. D. n＋1n＋1n＋1n＋3

12．在长度为3的线段上随机取两点，将其分成三条线段，则恰有两条线段的长大于1的概率为（ ）

A．

1215 B． C． D． 3399第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题： (本大题共4小题，每小题5分，共20分．)

?2x?2,x?013．已知函数f(x)??，则f[f(?10)]的值为 ．

lg(?x),x?0?14．执行如下图的程序框图，那么输出S的值是 ．

15. 三棱锥D?ABC及其三视图中的正视图和侧视图如下图所示,?DCA?长为 ．

开始 ?2，则棱BD的

S?2,k?0Dk?2012否 AB是 1S?C 1?Sk?k?1 4输出S 2223结束 正视图第（15）题图

侧视图

第（14）题图

16．已知函数f(x)?x2?ax?a(x?R)，在定义域内有且只有一个零点，存在0?x1?x2， 使得不等式f(x1)?f(x2)成立． 若n?N*，f(n)是数列{an}的前n项和．设各项均不为零的数列{cn}中，所有满足ck?ck?1?0的正整数k的个数称为这个数列{cn}的变号数，令cn?1?4，则数列{cn}的变号数是 . an三、解答题: (本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．（本小题满分12分）在某高校自主招生考试中，所有选报II类志愿的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级．某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人． （1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；

（2）若等级A,B,C,D,E分别对应5分,4分,3分,2分,1分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；

（3）已知在本考场参加测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．

π1

x＋?＋3cos2x＋sin 2x. 18．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝2sin xcos??3?2

(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单调递增区间．

19．（本小题满分12分）如图所示，正方形ABCD和矩形ADEF所

在平面相互垂直，G是AF的中点． （1）求证：ED?AC；

（2）若直线BE与平面ABCD成45o角，求异面直线

GE与AC所成角的余弦值．

x2y2220．（本小题满分12分）已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，左、右焦

2ab点分别为F1,F2，点G在椭圆C上，且GF1?GF2?0，?GF1F2的面积为2．

（1）求椭圆

的方程；

相交于

，

两点．点

（2）直线l:y?k(x?1)(k?0)与椭圆

P(3,0)，记直线的斜率分别为，当

k1k2最大时，求直线的方程． k121．（本小题满分12分）已知函数f(x)?ax2?lnx，g(x)??bx，设h(x)?f(x)?g(x).

2（1）若f(x)在x?2处取得极值，且f?(1)?g(?1)?2，求函数h(x)的单调区间； 2（2）若a?0时,函数h(x)有两个不同的零点x1,x2.求证：

x1x2?1. 2e

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修４－４：坐标系与参数方程） 已知直线l的方程为?sin(????x?cos???为参数?． )?2，曲线C的方程为?4?y?sin?（1）把直线l和曲线C的方程分别化为直角坐标方程和普通方程；

（2）求曲线C上的点到直线l距离的最大值． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)?2x?1?x?2. （1）解不等式f(x)?0；

（2）若存在实数x，使得f(x)?x?a，求实数a的取值范围． 24．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，D，E分别是△ABC边AB,AC的中点，直线DE交△ABC 的外接圆于F,G两点，若CF∥AB，证明： (1) CD=BC;

(2)△BCD∽△GBD.

长沙市明德中学2016届高三第三次月考参考答案

数学试题（文科）2015年10月

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 答案 C B B C C A B A D A B A ?x?0?y?012.【解析】在长度为3的线段上随机取两点，将其分成三条线段，需满足区域?，?3?x?y?0?x?1??x?1?0?x?1???y?1y?1，而恰有两条线段的长大于1，需满足?或?0?y?1或??0?3?x?y?1?3?x?y?1?3?x?y?1???1?1?1?312所以画出区域，恰有两条线段的长大于1的概率为P??.

13?3?32二、填空题： (本大题共4小题，每小题5分，共20分．) 13．

11 14． 15．42 16．3. 22解析：（I）∵函数f(x)在定义域内有且只有一个零点

???a2?4a?0得a?0或a?4

当a=0时，函数f(x)?x在(0,??)上递增 故不存在0?x1?x2，使得不等式f(x1)?f(x2)成立 综上，得a?4,f(x)?x?4x?4

22n?1?1, ?Sn?n2?4n?4?an?Sn?Sn?1??2n?5,n?2?n?1??3,?（II）由题设cn?? 41?,n?2??2n?5?n?3时，cn?1?cn?

448???0 2n?52n?3(2n?5)(2n?3)1?n?3时，数列?cn?递增 ?c4???0

3由1?4?0得n?5 可知a4?a5?0

2n?5

即n?3时，有且只有1个变号数； 又?c1??3,c2?5,c3??3 即c1?c2?0,c2?c3?0 ∴此处变号数有2个. 综上得数列?cn?共有3个变号数，即变号数为3

三、解答题: (本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．【解析】（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人， 所以该考场有10?0.25?40人

所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为

40?(1?0.375?0.375?0.15?0.025)?40?0.075?3

（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

1?0.2?2?0.1?3?0.375?4?0.25?5?0.075?2.9

（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A， 所以还有2人只有一个科目得分为A，

设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为

??{{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}},有6个基本事

件

设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含

的基本事件有1个，则

P(B)?16．

π1

x＋?＋3cos2x＋sin 2x 18．【答案】（解：∵f(x)＝2sin xcos??3?2

ππ1

cos xcos－sin xsin?＋3cos2x＋sin 2x ＝2sin x?33??2

π1

2x＋?，….. 6分 ＝sin xcos x－3sin2x＋3cos2x＋sin 2x＝sin 2x＋3cos 2x＝2sin?3??22π

(I)f(x)的最小正周期为T＝＝π…………8分

2πππ

(II)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

2325ππ

kπ－，kπ＋? (k∈Z)， ∴x∈?1212??

5ππ

kπ－，kπ＋? (k∈Z)．…………… 12分 ∴f(x)的单调递增区间为?1212??19．【解析】

（1）证明：在矩形ADEF中，ED?AD

∵平面ADEF?平面ABCD，且平面ADEF?平面ABCD?AD

∴ED?平面ABCD 且AC?平面ABCD ∴ED?AC （2）由（1）知：ED?平面ABCD

∴?EBD是直线BE与平面ABCD所成的角，即?EDB?45? 设AB?a,则DE?BD?2a，取DE中点M，连接AM

∵G是AF的中点 ∴AM//GE

∴?MAC是异面直线GE与AC所成角或其补角 ∵AM?CM?a2?(226a)?a，AC?2a，在?ACM中，由余弦定理有： 2222cos?MAC?AM?AC?CM?2?AC?AM2(6262a)?(2a)2?(a)322? 362?2a?a23． 3∴ 异面直线GE与AC所成角的余弦值为

20．解析：（Ⅰ）因为e?c2，所以a?2c?2b，点G在椭圆C上，且GF?1?GF2?0，

a2122222所以GF1?GF2?2a,GF1?GF2?2,GF1?GF2?4c?2a，?GF1F2的面积为2，

x2y2??1 5分 解之a?4,b?2，所以椭圆方程为4222x2y2??1联立解得: （Ⅱ）l:y?k(x?1)(k?0)与C:42(1?2k2)x2?4k2x?2k2?4?0

4k22k2?4?x1?x2?,x1x2?1?2k21?2k2

k1k2y1y2k2(x1?1)(x2?1)xx?(x1?x2)?1 ???k12kk(x1?3)(x2?3)k(x1?3)(x2?3)x1x2?3(x1?x2)?92k2?44k2??1222k2?4?4k2?1?2k2?3k1?2k1?2k?k?2?k??2k?44k22k2?4?12k2?9(1?2k2)5?8k2?3()?91?2k21?2k2

?3k5?8k2?3?3410,当且仅当k??10时，取得最值。 (?5k)?(?8k)4此时l:y??104(x?1) 21．【解析】 ?（1）因为

f(x)?ax?1x，所以f?(1)?a?1,由f?(1)?g(?1)?2可得a=b-3.

x?2又因为f(x)2f?(2)?2a?2?0在

处取得极值，所以22， 所以a= -2,b=1 . 所以

h(x)??x2?lnx?x，其定义域为（0，+?） h?(x)??2x?1?2x2?x?1?(2x?1)(x?1)x?1=x?x

令h?(x)?0得x?11?2,x2?1，

当x?（0,1）时，h?(x)>0，当x?（1,+?）h?(x)<0，

所以函数h（x）在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+?）上单调减. （2）当a?0时，h(x)?lnx?bx，其定义域为（0，+?）. ①由h(x)?0得b?-lnxx，记?(x)??lnxx，则??(x)?lnx?1x2,

所以

?(x)??lnxx在(0,e)单调减，在(e,??)单调增， 所以当x?e时

?(x)??lnx1x取得最小值?e.

又?(1)?0，所以x?(0,1)时?(x)?0，而x?(1,??)时?(x)?0, ?1所以b的取值范围是（e，0）.

②由题意得lnx1?bx1?0,lnx2?bx2?0,

lnx1x2?x1?x2所以lnx1x2?b(x1?x2)?0,lnx2?lnx1?bx2(?1x?,)所0以

lnx2?lnx1x2?x1，x1

x2lnxx1?x21x2?1x?exx(lnx2?lnx1)?2要证2 , 只需要证

2?1.

不妨设

lnx2?lnx1?即证

2(x2?x1)xt?2(t?1)x2?x1，设x1,

14(t?1)22(t?1)4F?(t)????0F(t)?lnt??lnt??222t(t?1)t(t?1)t?1t?1则, 所以,

所以函数F(t)在（1，+?）上单调增，而F(1)?0， 所以F(t)?0即

22．【解析】 （1）??sin??lnt?2(t?1)2t?1, 所以x1x2?e .

????x??cos?22???2，根据??cos??，代入得：x?y?2 ?22??y??sin?22根据sin2??cos2??1，消参后的方程是：x?y?1．

（2）直线与圆相离，所以圆上的点到直线的最大距离是圆心到直线的距离加半径，即

d?

22?2，那么最大距离就是l?2?1

1时，?1?2x?x?2?x??3，所以x??3 211② 当??x?0时，2x?1?x?2?x?，所以为?

23③ 当x?0时，x?1?2?x?1，所以x?1

23．【解析】（Ⅰ）① 当x??综合①②③不等式的解集为???,?3???1,??? 5分 （Ⅱ）即2x?1?2x?2?a?x?1a?x?1? 22由绝对值的几何意义，只需?1a?1??a??3 10分 2224．【解析】

（1）CF//AB，DF//BC?CF//BD//AD?CD//AF，?BDC??DAF CF//AB?AF?BC?BC?CD （2）BC//GF?BG?FC?BD

BC//GF??GDE??BGD??DBC??BDC??BCD??GBD

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