上海市上海实验中学2022-2022学年高一下学期期中数学试卷(简答)

上海实验学校高一期中数学试卷

2020.06

一. 填空题

1. arccos(arctan(+=

2. 已知一扇形的圆心角为1弧度，半径为1，则该扇形的面积为

3. 已知函数sin(2)y x ?=+（22π

π

?-<<）的图像关于直线3x π

=对称，则?的值为

4. 已知tan 7α=，则tan2α=

5. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，

已知4a =，5b =，6c =，则sin 2sin A C

=

6. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2555a S =+，则数列{}n a 的公差为

7. 若数列{}n a 的前n 项和为2133

n n S a =

+，则数列{}n a 的通项公式是n a = 8. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若△ABC

， 且A 、B 、C 成等差数列，则ac 的最小值为 9. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201620171a a >， 20162017101

a a -<-，给出下列结论：①01q <<；②2016201810a a ->；③2016T 是数列{}n T 中的最 大项；④使1n T >成立的最大自然数等于4031；其中正确结论的序号为

10. 已知正项数列{}n a 中，若存在正实数p ，使得对数列{}n a 中任意一项k a ，k p a 也是数列 {}n a 中的一项，称数列{}n a 为“倒置数列”，p 是它的“倒置系数”；若等比数列的{}n a 项数是m ，数列{}n a 所有项之积是T ，则T = （用m 和p 表示）

二. 选择题

11. 已知()(1)(2)2f k k k k k =+++++???+（k *∈N ），则（ ）

A. (1)()22f k f k k +-=+

B. (1)()33f k f k k +-=+

C. (1)()42f k f k k +-=+

D. (1)()43f k f k k +-=+

12. 下列等式中正确的是（ ） A. cos(arccos )33ππ

= B. 1

arccos()1202-=

C. arcsin(sin )33ππ=

D. 2arctan 24

π= 13. 已知函数()sin()f x A x ω?=+（0A >，0ω>，||2π?<

）的部分图像如图所示， 则下列判断正确的是（ ）

A. 函数的图像关于点(,0)3π

-对称

B. 函数图像关于直线6x π

=-对称

C. 函数(2)f x 的最小正周期为π

D. 当766

x π

π≤≤时，函数()f x 的图像与直线2y =围成的封闭图形面积为2π 14. 已知||0x y >>；将四个数x ，x y -，x y +，22x y -按照一定顺序排列成一个数列，则（ ）

A. 当0x >时，存在满足已知条件的x 、y ，四个数构成等比数列

B. 当0x >时，存在满足已知条件的x 、y ，四个数构成等差数列

C. 当0x <时，存在满足已知条件的x 、y ，四个数构成等比数列

D. 当0x <时，存在满足已知条件的x 、y ，四个数构成等差数列

三. 解答题

15. 已知函数2()sin cos 3cos f x x x x =+，x ∈R .

（1）求函数()f x 的最小正周期；

（2）当[,]44x ππ∈-

时，求函数()f x 的最大值与最小值.

16. 已知数列{}n a 是等差数列，110a =-，公差0d ≠，且2a 、4a 、5a 是等比数列.

（1）求n a ；

（2）求数列{||}n a 的前n 项和n T .

17. 已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，数列{}n b 为等差数列，且111b a ==，331b a =+，557b a =-.

（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；

（2）n S 为数列2{}n a 前n 项和，对于任意n *∈N ，有123

n b n S t +=?，求实数t 的值； （3）求数列{}n n a b 的前n 项和n A .

18. 已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足11a =，12(1)n n S n a +=-，n *∈N .

（1）求2a 、3a 的值；

（2）求数列{}n a 的通项公式；

（3）证明：对一切正整数，n 有1211174n S S S ++???+<.

四. 附加题

19. 已知函数()sin()cos()g x x x ππ=-

，()f x =1544x ≤≤）. （1）试讨论并直接写出()g x 的单调性；

（2）试求()f x 的最小值.

20. 设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=

+，1,2,n =???. （1）令1(1)n n b a n n =+

+，求证：数列{}n b 为等比数列； （2）求n S .

参考答案

一. 填空题 1. 2

π 2. 12- 3. 6π- 4. 724- 5. 1 6. 1- 7. 1(2)

n -- 8. 4 9. ①③ 10. 2m T p =

二. 选择题 11. B 12. C 13. D 14. D

三. 解答题

15.（1）T π=；（2）最大值12+，最小值12

. 16.（1）212n a n =-；（2）当6n ≤，211n T n n =-；当6n ≥，21160n T n n =-+.

17.（1）12n n a -=，21n b n =-；（2）23

t =；（3）2(23)3n n -+. 18.（1）23a =，35a =；（2）21n a n =-；（3）证明略.

四. 附加题

19.（1）增区间，13[2,2]44k k -++；减区间，37[2,2]44

k k ++，k ∈Z ；

（2）min 5

()()4

f x f ==. 20.（1）证明略；（2）1112n n S n =

-+.

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