2018春青山中学高一数学必修四期末考试

2018春季青山中学高一数学必修四期末考试

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

11

1. 设?? =(??1，??1)， ??=(??2，??2)，若|?? |=2，| ??|=3，?? ? ??=?6，则??+??=

2

2

??+??

(??)

A. 3

2. 若

=

2

B. 2

3

C. ?3 2

D. ?2

3

，则tan2??=(??)．

A. ?B.

C. ?

D.

3. ??=sin???|sin??|的值域是(??)

A. [?1，0] B. [0，1] 4. 若tan(4+??)=?2，则cos2??=(??)

??

sin2??

C. [?1，1] D. [?2，0]

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 D. 120°

??

|=|?? |，则?? 与?? 的夹角为(??) 5. 若|?? |=|?? ??? +??A. 30° B. 60° C. 150°

??

6. 把函数??=tan??(??∈{??|??≠2+????，??∈??}的图象上所有点向左平行移动3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数解析式是(??)

??

??

??1

A. ??=tan(2???3) C. ??=tan(2??+3)

??

??

??

B. ??=tan(2+6) D. ??=tan(2??+3)

2??

7. 已知函数??(??)=sin(3??+??)(|??|<2)的图象关于直线??=1对称，把??(??)的图象向

右平移3个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为(??)

A. ??=sin(3??+6) C. ??=cos(3??+6)

8. 已知

，

??

??

????

B. ??=sin(3???6) D. ??=sin(3???6) ，则

的值等于( )

??

5??

????

A.

B.

??

C.

D.

9. 函数??(??)=cos(2??+4)的最小正周期是(??)

A. 2 10. 若

??

B. ??

，则

C. 2??

等于(??)

第1页，共12页

D. 4??

A.

2

B.

7

??

C.

D.

11. 已知cos(3???2??)=?9，则sin(6+??)的值等于(??)

A. 3

1

B. ±3 ??

1

C. ?9 1

D. 9 ??

1

12. 设函数??(??)=sin(????+4)(??>0)与函数??(??)=cos(2??+??)(|??|≤2)的对称轴完

全相同，则??的值为(??)

A. 4 ??

B. ?4

??

C. 2

1

??

D. ?2 ??

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知函数??(??)=( 3sin????+cos????)cos?????2(??∈??，??>0).若??(??)的最小正周期为4??．

(1)求函数??(??)的单调递增区间； (2)在△??????中，角??，??，??的对边分别是??，??，??，且满足(2?????)cos??=??cos??，求函数??(??)的取值范围． 14. 比较下列各组正弦值的大小

(1)sin(?) ______ sin(?)

10

8

??

??

(2)sin(8) ______ sin() 8

7??5??

15. 在平面直角坐标系内，已知

任意一点，则

16.

中，若

的最大值为

则

，且

是曲线

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知tan??=1，求sin??+cos??的值．

与 18. (1)已知向量??且??求|?? ， ??满足|?? + ??|，|2?? ? ??|； |=| ??|=3，??的夹角为120°，

(2)已知非零向量?? ， ??满足?? +3 ??与7?? ?5 ??互相垂直，?? ?4 ??与 7???2 ??互相垂

与 直，求????的夹角．

sin???cos??

第2页，共12页

19. 已知△

的内角

??，??，?? 所对的边分别为??，??，?? 且

①若??=4 ，求 的值；

②若 的面积

20. 已知sin??=3，??∈(0，2)．

(Ⅰ)求cos2??的值； (Ⅱ)求sin(2??+3)的值； (Ⅲ)求tan2??的值．

??1

??

21. 已知函数??(??)=2 3cos2???2sin??cos??? 3，

(1)求函数的最小正周期及取得最小值的x的集合； (2)求函数??(??)的单调递增区间． (3)求??(??)在??=3处的切线方程．

??

第3页，共12页

22. 已知函数

(Ⅰ)求函数

的最小正周期；

在区间

(Ⅱ)请用“五点法”作出函数上的简图．

第4页，共12页

答案和解析

【答案】

1. C 8. B 2. B 9. B 3. D 10. A 4. D 11. B 5. B 12. B 6. C

7. D

31

13. 解：(1)??(??)= sin(2????)+cos(2????) 22

=sin(2????+)，

6

∴4??=2??，解得??=4． ∴??(??)=sin(??+)．

26

由?2+2????≤2??+6≤2+2????， 解得4?????

4??3

??

1

??

??

1

??

2??

1

??

≤??≤

2??3

+4????，??∈??．

4??3

∴函数??(??)的单调递增区间是[4?????

，2??3

+4????]，??∈??．

(2)(2?????)cos??=??cos??，∴(2sin???sin??)cos??=sin??cos??，

∴2sin??cos??=sin(??+??)=sin??， sin??≠0，

∴cos??=，??∈(0，??)，

21

∴??=．

3

函数??(??)=sin(2??+6)， ∵??∈(0，2??

1

??

??

)，(2??+6)∈(6，2)． 3

1??????

∴??(??)=(，1)．

2

1

14. >；< 15.

16.

17. 解：∵tan??=1，

∴原式=tan??+1=1+1=0．

tan???1

1?1

第5页，共12页

与 18. 解：(1)∵向量?? ， ??满足|?? |=| ??|=3，且????的夹角为120°， =|?? |?cos120°=3×3×(?)=?， ∴?? ??? |?|??

22

9

∴|?? + ??|2=|?? |2+| ??|2+2?? ? ??=9+9+2×(?2)=9，|2?? ? ??|2=4|?? |2+9| ??|2?4?? ? ??=36+9?4×(?)=63，

2

1

9

∴|?? + ??|=3，|2?? ? ??|=3 7； (2)设?? 与 ??的夹角为??， ∵非零向量?? ， ??满足?? +3 ??与7?? ?5 ??互相垂直，?? ?4 ??与 7???2 ??互相垂直，

)?(7?? )=0，(?? )?(7 )=0， ∴(?? +3?? ?5?? ?4?????2??

∴7|?? |2?15| ??|2+16?? ? ??=0，7|?? |2+8| ??|2?30?? ? ??=0， ∴| ??|2=2?? ? ??，|?? |2=2?? ? ??， ∴| ??|?|?? |=2?? ? ??， ∴cos??=

?????

||?? |?| ??

=

2

1

又??∈[0，??] ∴??= 3

??

19. ①，

②，??=5．

20. 解：(Ⅰ)∵已知sin??=3，??∈(0，??2)，∴cos2??=1?2sin2??=9．

(Ⅱ)由于cos??= 1?=

9

??3

1

2 231

??

7

，所以，sin2??=2sin??cos??=

??

4 2192

4 29

， ．

∴sin(2??+)=sin2??cos+cos2??sin=

3

3

??

+

7 392

=

4 2+7 318

(Ⅲ)∵tan??=∴tan2??=

sin??cos??

==

2， 44 27

2tan??1?tan2??

．

21. 解：(1)∵??(??)=2 3cos2???2sin??cos??? 3= 3(cos2??+1)?sin2??? 3…(2分)

=2cos(2??+)=?2sin(2???)…(4分)

6

3

??

??

最小正周期为??…(5分)

当2??+6=??+2????时，即??=12+????,??∈??函数有最小值?2…(7分) (2)2???????≤2??+6≤2????…(8分) ∴?????12≤??≤?????12，??∈??

7??

????

??

5??

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函数??(??)的单调递增区间为[?????12，?????12]，??∈??…(10分) (3)因为??/(??)=?4cos(2???3)…(11分) 所以??=??/(3)=?2…(12分) 而??(3)=? 3

从而??(??)在??=3处的切线方程为??+ 3=?2(???3) 即6??+3??+3 3?2??=0…(14分) 22. (1) (2)

??

??

??

??

??

7????

【解析】 1. 解：|?? |=2，| ??|=3，?? ? ??=?6，则?? 与 ??反向 =?3 ?? 则由向量共线定理可得，????1=?3??2，??1=?3??2 则

??1+??1??2+??2

2

2

2

=

??1+??1??2+??2

=

?(??2+??2)??2+??2

2

32=?

3

故选C．

2

=? ?? 由|?? |=2，| ??|=3，?? ? ??=?6可得?? 与 ??反向，则由向量共线定理可得，??3

从而有??1=?3??2，??1=?3??2，代入可求

本题主要考查了向量共线定理的应用，解题的关键是要由已知|?? |=2，| ??|=3，?? ?

， ??反向，从而可得坐标之间的关系，属于基本知识的简单运用． ??=?6观察出向量??

22

2. 【解析】由

∴tan??=?3，则tan2??=

=，得=

．

=．

3. 解：??=sin??+|sin??|

①当??∈[2????，2????+??](??∈??)时，0≤sin??≤1

此时，??=sin??+|sin??|=sin???sin??=0

②当??∈(2????+??，2????+2??)(??∈??)时，?1≤sin??<0 此时，??=sin???|sin??|=sin??+sin??=2sin?? 此时??∈[?2，0) 综上，??∈[?2，0]． 故选D．

根据x的取值范围写出分段函数，然后利用正弦函数的值域求解．

本题考查了正弦函数的定义域和值域，考查了分段函数值域的求法，分段函数的值域要分段求，最后去并集，是基础题．

第7页，共12页

4. 解：tan(4+??)=?2，

可得1?tan??=?2， 解得tan??=3． 则cos2??=2tan??=6．

故选：D．

利用两角和的正切函数求出正切函数值，化简所求的表达式为正切函数的形式，求解即可．

本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的化简求值，考查计算能力．

|=|?? |， 5. 解：∵|?? |=|?? +??

∴由向量加法平行四边形法则得到由两个向量为邻边组成的四边形是菱形， 菱形的一条对角线同边相等 ∴夹角是3，

故选B． 根据|?? |=| ??|=|?? + ??|，得到由两个向量为邻边组成的四边形是菱形，且一条对角线等于边长，得到特殊的关系．

大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．

??

sin2??1+tan??

??

6. 解：把函数??=tan??(??∈{??|??≠2+????，??∈??}的图象上所有点向左平行移动3个单

位长度，可得函数??=tan(??+3)的图象；

再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数解析为??=tan(2??+3)，

故选：C．

由条件根据函数??=??sin(????+??)的图象变换规律，可得结论．

本题主要考查函数??=??sin(????+??)的图象变换规律，属于基础题．

??

1

??

????

7. 解：∵函数??(??)=sin(3??+??)(|??|<2)的图象关于直线??=1对称，

∴可得：sin(3+??)=1，

∴3+??=2????+2，??∈??，解得：??=2????+6，??∈??， ∵|??|<2，

∴??=6，可得：??(??)=sin(3??+6)，

??=sin[3(???∴把??(??)的图象向右平移3个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为：3)+6]=sin(3???故选：D．

??

??

5??6

??

??

??

??

??

??

??

??

??

????

).

第8页，共12页

由已知利用正弦函数的图象和性质可求sin(3+??)=1，结合范围|??|<2可求??的值，进而利用三角函数平移变换规律即可得解．

本题主要考查了由正弦函数的图象和性质，??=??sin(????+??)的部分图象确定其解析式，三角函数平移变换规律的应用，属于基础题．

8. 本题考查诱导公式及同角三角函数之间的关系，灵活运用公式是解答本题的关键，考查了学生的计算能力..

????

解：，则

，

∵∴

，

是第三象限角，

∴

，

∴

．

故选B．

9. 解：根据复合三角函数的周期公式??=|??|得，

函数??(??)=cos(2??+4)的最小正周期是??， 故选：B．

由题意得??=2，再代入复合三角函数的周期公式??=|??|求解．

本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式??=|??|应用，属于基础题．

2??

2??

??

2??

10. 解：

故答案选：A．

11. 解：∵cos(3???2??)=?9，

∴cos[???(3+2??)]=?cos(3+2??)=?cos2(6+??)=?[1?2sin2(6+??)]=?9，解得：

??

??

??

??

7

27

第9页，共12页

sin2(6+??)=9， ∴sin(+??)=±．

63

故选：B．

由已知利用诱导公式，二倍角公式化简即可计算得解．

本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

??

1

??1

12. 解：由题意，∵函数??(??)=cos(2??+??)(|??|≤2)，

令2??+??=????， ∴对称轴??=

???????2

??

(??∈??)；

??

∵函数??(??)=2sin(????+4)， 令????+4=????+2， ∴对称轴??=

????+??

??4????

(??∈??)；

又∵函数??(??)与函数??(??)的对称轴完全相同， ∴??=2，??=?．

4

故选：B．

根据题意，求出两个函数的对称轴，利用对称轴完全相同，求出⊕的值．

本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查一定的运算与化简能力，是基础题．

13. (1)利用倍角公式、和差公式可得??(??)，利用周期公式、单调性即可得出．

(2)(2?????)cos??=??cos??，利用正弦定理可得(2sin???sin??)cos??=sin??cos??，再利用和差公式可得：B，可得??∈(0，2??3

??

)，即可得出．

本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

14. 解：(1)sin(?10)=?sin10，

sin(?)=?sin，

88且0<10<

????

??8

??

??

????

<，

2

??

??

∴sin10?sin8， ∴sin(?10)>sin(?8)； (2)sin(8)=sin(???8)=sin8， sin(8)=sin(???

5??

3??

7??

??

??

??

??

??

??

)=sin8

3??8

，

第10页，共12页

且0<

??

??8

<

3??8

<2，

3??8

??

∴sin

8

， ．

∴sin

7??8

5??8

故答案为：(1)>，(2)<．

(1)利用诱导公式化简sin(?10)、sin(?8)，根据正弦函数的单调性比较大小； (2)利用诱导公式化简sin(8)、sin(8)，根据正弦函数的单调性比较大小． 本题考查了诱导公式以及正弦函数的单调性问题，是基础题．

7??

5??

??

??

15. 解：由题意： ，

，当且仅当 时取最大值．

即 的最大值为．

故答案为

．

16. 本题考查的是向量的运算。

分析：

，∴

．

17. 原式分子分母除以cos??，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tan??的值代入计

算即可求出值．

此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 18. (1)根据向量的数量积的运算和向量模的计算即可， (2)根据向量垂直的条件以及向量的夹角公式计算即可． 本题考查向量的夹角与向量的数量积的关系，属中档题．

19. ①∵ ，且 ，∴ ，

由正弦定理得 ，∴ ；

②∵ ∴ ∴

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由余弦定理 ，

∴

20. 由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式，求得要求

式子的值．

本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式的应用，属于基础题．

21. 利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，

(1)直接利用周期公式求出函数??(??)的最小正周期；利用正弦函数的最值，求出函数??(??)的最小值，以及取得最小值时x的取值集合；

(2)通过正弦函数的单调增区间，直接求出函数??(??)的单调减区间； (3)先求函数的导数，然后求出切线的斜率，即可求出结果．

22. 试题分析：

根据题意，由于得到表格为 X y

1 ，最小正周期为，

，那么可知函数五点法

1 1

考点：三角函数的图象与性质

点评：主要是考查了三角函数的图像与性质的运用，属于基础题。

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