信号与系统习题7-1

第七章 连续系统的频域分析

（一） 系统的傅里叶变换分析法

系统响应分为零输入响应和零状态响应两部分，即

r(t)?rzi(t)?rzs(t)

零输入响应的求解与时域分析法相同，即rzi(t)?Kn?Ceii?1nait或

rzi(t)??Cite?i?1a1ti?1i?K?1?Ceiait

零状态响应rzs(t)求解步骤：

（1）求激励信号e(t)的频谱函数E(?)?（2）求系统函数H(?)?????e(t)e?j?tdt

R(?) E(?)（3）求响应的频谱函数R(?)?H(?)E(?) （4）求R(?)的反变换得响应rzs(t)?12?????R(?)ej?td?

（二） 无失真传输条件

要使任意波形信号通过线性系统而不产生波形失真，该系统的传输函数必须满足如下条件 时域：r(t)?Ke(t?t0) 或h(t)?K?(t?t0) 频域：R(w)?KE(w)e?jwt0 或H(?)?Ke?j?t0

?H(?)?K(常数) ??(?)???t0?即系统的幅频特性为一常数，相频特性是一通过原点的直线。

习题

7-1 图选7-1所示电路中输出电压v(t)，输入电流is(t)，试求该电路频域系统函数H(?)。为了能无失真传输，试确定R1和R2的数值。

?R1R2C1F— 图7-1

解：根据图选6-1所示电路，系统函数为

is(t)?L1Hv(t)1)(R1?j?L)U(?)j?C? H(?)?1Is(?)(R?)?(R1?j?L)2j?C(R2?其幅频特性和相频特性为

H(?)?(R1?R2?2)?[(1?R1R2)?]2(1??)?[(R1?R2)?]222 ?(?)?arctan(1?R1R2)?(R1?R2)? ?arctanR1?R2?21??2为了使系统无失真传输，必须满足

H(?)?K

将H(?)代人，有整理，得

2242R12?(1?R12R2)?2?R2??K2[1?(R12?R2?2R1R2?2)?2??4]

(R1?R2?2)2?[(1?R1R2)?]2(1??)?[(R1?R2)?]222?K

令等式两边对应项系数相等，有

?R12?K2?22222?1?R1R2?K(R1?R2?2R1R2?2) ?22K?R2?解方程组，得R1?R2?1

当R1?R2?1时

?(?)?arctan(1?1)?(1?1)??0 ?arctan221??1??因而R1?R2?1?，同时满足了系统无失真传输所序的幅频特性和相频特性。

本题亦可从无失真传输的相频特性出发进行计算，然后用幅频特性进行检验。但应注意，此时必令相频特性为零?(?)?0，即相频特性为水平的直线（横轴）。

在求解无失真传输所需要的系统参数问题时，在参数满足幅频特性的基础上，一定还要检验是否满足相频特性的要求，二者缺一不可。

7-2电路如图7-2所示，写出电压转移函数H(w)?V2(w)，为得到无失真传输，元件参数V1(w)R1,R2,C1,C2应满足什么关系？

+ R1 v1(t) -

解：电压转移函数

R2 C2 V2(t)

图7-2

H(w)?V2(w)?V1(w)11?1/R1?jwC11/R2?jwC211/R2?jwC2=

1/R1?jwC1

1/R1?1/R2?jw(C1?C2)1?jwC1R1C1?=

R?RC1?C2jw?12R1R2?C1?C2?1?w222C1R1C1其幅率特性为H(w)? ?2C1?C2?R?R2?w2?2212R1R2?C1?C2?其相频特性?(w)?arctanR1C1w?arctanR1R2?C1?C2?w R1?R2若信号无失真传输，相频特性必为过原点的一条直线，现令?(w)=0，则有

R1C1w?R1R2?C1?C2?w?R1C1?R2C2?常数 R1?R2C1=常数，此时可知满足无失真传输条件。

C1?C2检验H(w)=

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