第二节 刚体转动的动能定理

§ 3.2 刚体转动的动能定理

一、力矩的功 1 力矩的定义

若作用的质点上的力为F,则将r×F定义为力F对O点的力矩，记为M。

??? M?r?F

z M、F、r三者的方向构成右手螺旋关系。 M 大小：

M?Frsin??Frto Fnr???F?Ft方向：右手法则

2 力矩的功

设：；转盘上的微小质量元Δm在力F作用下以R 为半径绕O轴转动，在dt时间内转过角度d?， 对应位移dr,路程ds,此时F所做的元功为

?? dA?F?dr?Ftds?Frtd?

dA?Md?则总功为

d? F?Ft?dro r d??Ft ?dr

A??Md??1?2o r 二、转动惯量

设初速为零，质量元Δm 的动能为

转盘的总动能

Eki?1mivi211Ek??Eki???mivi2?(??miri2)?22iii21 定义：

I???miri2为物体的转动惯量。

i意义：由质量和质量对于转轴的分布情况决定。描述转动的惯性。

例：一头粗，一头细的杆以不同端作轴转动是，其转动惯量不同。 单位：SI制 kg m2

2 定轴转动物体转动惯量的计算 质量不连续分布的质点系：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量之和

I??miri2

i质量连续分布的刚体：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量的积分。

I??r2dm

m转动惯量的大小不仅取决于物体的质量，还与质量的分布和轴线的位置有关。 例1 求小球m的转动惯量。 解：m看作质点 I = m R2

例2 质量为m的细圆环，求I。 解：把环分成无限多个质量为dm的小段，对每个dm有 dJ = R2

对整个环有

? m

R I = ? R2dm = mR2

例3质量m，半径 R的薄圆盘，求I。

? R dm 解：把盘分成无限多个环。取其中的一个环(半径r，宽dr，质量 dm)， 其转动惯量 dI = r2dm

dm?

m2?rdr ?R2dm R 整个盘的转动惯量

r Rdr dS m2m312 I??dI??rdm??r 2?rdr?rdr?mR22??RR0200022RRR

例4 长为L、质量为m的细长直杆，转轴垂直于细杆且通过杆中心 解：杆长为L,质量为m, 则密度为 ?＝m / L。

以杆中心O点为转轴，在距o点为r处取微小质量元dm =?dr, 杆的转动惯量为

I?l22r?dm?l2l2m O I?112mL2L O’ ?2r??dr?l2l132??rl?32例5 转轴垂直于细杆且通过杆的一端 以杆中心O/点为转轴，同上

lI??r2dm0l??r2?dr0l1??r3o3I?13mL2

3 几种典型的匀质刚体的转动惯量

刚体 细棒（质量为m，长为l） 细棒（质量为m，长为l） 转轴位置 过中心与棒垂直 过一点与棒垂直 转动惯量J ml212 ml23 mR2 细环（质量为m，半径为R） 过中心对称轴与环面垂直 细环（质量为m，半径为R） 圆盘（质量为m，半径为R） 圆盘（质量为m，半径为R） 球体（质量为m，半径为R） 薄球壳（质量为m，半径为R） 4 影响转动惯量的三个因素

直径 过中心与盘面垂直 直径 过球心 过球心 mR22 mR22 mR24 2mR25 2mR23

(1)刚体自身的性质如质量、大小和形状；

(2)质量的分布； (质量分布越靠近边缘转动惯量越大) (3)转轴的位置。（同一个刚体对不同的轴转动惯量不同） 5 平行轴定理和转动惯量的可加性 1） 平行轴定理

设刚体相对于通过质心轴线的转动惯量为Ic，相对于与之平行的另一轴的转动惯量为I，则可以证明I与Ic之间有下列关系 I?Ic?md2 2）转动惯量的可加性

对同一转轴而言，物体各部分转动惯量之和 等于整个物体的转动惯量。

过端点a的垂直轴的转动惯量J.

解：建立如图坐标Ox，在棒上取一小段dx，则

I?Ic?md2o z d c rci ri ? ?mi o? 例6质量m，长为l的均匀细棒，求对于通过质心的垂直轴的转动惯量Jc和通

?l2dx A c x

O Jc?由平行轴定理有

l?2?x2dm?ml?l2l2??x2dx?12ml 121?l?1 Ja?ml2?m???ml2

12?2?3

例 3-2 如图所示，一圆盘状刚体的半径为 R，质量为 m ，且均匀分布。

1Ic?mR2它对过质心并且垂直于盘面的转轴的转动惯量用Ic表示。 2如果刚体偏心转动，转轴通过半径的中点且垂直于盘面。求盘对此轴的转动惯量I。

解：题给两平行轴之间的距离

由平行轴定理

得刚体绕偏心轴的转动惯量

I?2d?1R2Ic?1mR22 d O C I?Ic?md21R3mR2?m()2?mR2224m

1例3-3 如图所示，某装置由均质细杆和均质圆盘构成。杆的质量为 ，长 L。

1杆对O 轴的转动惯量 I1?m1L23圆盘质量是 2，半径为R。，得知它对过质心C 且垂直于盘面的转轴的转动

2惯量为 I2c?2m2Rm1

求此装置对轴O的转动惯量I。

解：已知杆对轴O的转动惯量

I1?盘对轴C的转动惯量

1m1L231m2R22O m1 R m2 C I2c?由平行轴定理得盘对轴O的转动惯量

L I2?I2c?m2(R?L)2?1m2R2?m2(R?L)22由转动惯量的可加性，得整个装置对轴 O 的转动惯量 11I?I1?I2?m1L2?m2R2?m2(R?L)232三、刚体绕定轴转动的动能定理 1 刚体绕定轴转动的转动动能

1112222Ek???mivi???miri??I?2i2i22 动能定理

由于刚体的大小、形状不变，其上任何两质点间没有相对位移。即：

Ai?0刚体作为一个特殊的质点系，此质点系的动能定理为

Ae?Ek2?Ek1刚体定轴转动的动能定理

? θ

θ2Mdθ?11 21 2Iω 2?Iω 122

合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。

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