【新】人教版九年级数学上册期末测试题附答案

九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个符合题目要求）

1．下列事件是必然事件的是（）

A．打开电视机，正在播放篮球比赛

B．守株待兔

C．明天是晴天

D．在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球

2．一元二次方程2x2﹣x+1=0的一次项系数和常数项依次是（）

A．﹣1和1 B．1和1 C．2和1 D．0和1

3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

4．方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根是（）

A．x=B．x=3 C．x1=，x2=3 D．x1=﹣，x2=3

5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB=60°，则∠ABO的大小为（）

A．30°B．40°C．45°D．50°

6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（）

A．25πB．65πC．90πD．130π

7．如图，抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x，当y1＜y2时，x的取值范围是（）

A．0＜x＜2 B．x＜0或x＞2 C．x＜0或x＞4 D．0＜x＜4

8．已知点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，则a+b的值为（）

A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3

9．王洪存银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年的年利率不变，到期后取出2750元，则年利率为（）

A．5% B．20% C．15% D．10%

10．x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（）

A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在

11．若函数，则当函数值y=8时，自变量x的值是（）

A．± B．4 C．±或4 D．4或﹣

12．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0；②2a+b=0；③a+b+c＞0；

④△＞0；⑤4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案直接填写在题中横线上）13．小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这是个数字．从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是．

14．同圆的内接正三角形与外切正三角形的周长比是．

15．△ABC中，E，F分别是AC，AB的中点，连接EF，则S△AEF：S△ABC=．

16．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径AB是mm．

17．将抛物线y=x2﹣2向上平移一个单位后，又沿x轴折叠，得新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是．

18．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为．

三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或推理步骤）19．（1）解方程：x2﹣3x+2=0．

（2）已知：关于x的方程x2+kx﹣2=0

①求证：方程有两个不相等的实数根；

②若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．

20．（1）解方程：+=；

（2）图①②均为7×6的正方形网络，点A，B，C在格点上．

（a）在图①中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形（画一个即可）．

（b）在图②中确定格点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画一个即可）

21．一只不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是黄色的概率．

22．用一段长为30m的篱笆围成一个边靠墙的矩形菜园，墙长为18米

（1）若围成的面积为72米2，球矩形的长与宽；

（2）菜园的面积能否为120米2，为什么？

23．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D，E分别是∠ACB的平分线与⊙O，直径AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．

（1）求AC、AD的长；

（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴是x=﹣且经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）求抛物线解析式．

（2）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析

一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个符合题目要求）

1．下列事件是必然事件的是（）

A．打开电视机，正在播放篮球比赛

B．守株待兔

C．明天是晴天

D．在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球

【考点】随机事件．

【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．

【解答】解：打开电视机，正在播放篮球比赛是随机事件，A不正确；

守株待兔是随机事件，B不正确；

明天是晴天是随机事件，C不正确；

在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球是必然事件；

故选：D．

【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

2．一元二次方程2x2﹣x+1=0的一次项系数和常数项依次是（）

A．﹣1和1 B．1和1 C．2和1 D．0和1

【考点】一元二次方程的一般形式．

【分析】根据一元二次方程的一般形式进行选择．

【解答】解：一元二次方程2x2﹣x+1=0的一次项系数和常数项依次是﹣1和1．

故选：A．

【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A． B． C． D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【专题】常规题型．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；

C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．

故选：C．

【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

4．方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根是（）

A．x= B．x=3 C．x1=，x2=3 D．x1=﹣，x2=3

【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【分析】先把方程变形为：2x（x﹣3）﹣5（x﹣3）=0，再把方程左边进行因式分解得（x﹣3）（2x ﹣5）=0，方程就可化为两个一元一次方程x﹣3=0或2x﹣5=0，解两个一元一次方程即可．

【解答】解：方程变形为：2x（x﹣3）﹣5（x﹣3）=0，

∴（x﹣3）（2x﹣5）=0，

∴x﹣3=0或2x﹣5=0，

∴x1=3，x2=．

故选C．

【点评】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程右边化为0，再把方程左边进行因式分解，然后一元二次方程就可化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可．

5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB=60°，则∠ABO的大小为（）

A．30°B．40°C．45°D．50°

【考点】圆周角定理．

【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得∠AOB=120°，再根据三角形内角和定理可得答案．

【解答】解：∵∠ACB=60°，

∴∠AOB=120°，

∵AO=BO，

∴∠B=÷2=30°，

故选：A．

【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（）

A．25πB．65πC．90πD．130π

【考点】圆锥的计算；勾股定理．

【专题】压轴题；操作型．

【分析】运用公式s=πlr（其中勾股定理求解得到母线长l为13）求解．

【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，

∴AB==13，

∴母线长l=13，半径r为5，

∴圆锥的侧面积是s=πlr=13×5×π=65π．

故选B．

【点评】要学会灵活的运用公式求解．

7．如图，抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x，当y1＜y2时，x的取值范围是（）

A．0＜x＜2 B．x＜0或x＞2 C．x＜0或x＞4 D．0＜x＜4

【考点】二次函数与不等式（组）．

【分析】联立两函数解析式求出交点坐标，再根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．

【解答】解：联立，

解得，，

∴两函数图象交点坐标为（0，0），（2，4），

由图可知，y1＜y2时x的取值范围是0＜x＜2．

故选A．

【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目利用数形结合的思想求解更加简便．

8．已知点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，则a+b的值为（）

A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3

【考点】关于原点对称的点的坐标．

【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点可得a、b的值，进而得到答案．

【解答】解：∵点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，

∴b=﹣1，a=﹣2，

a+b=﹣3，

故选：D．

【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．

9．王洪存银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年的年利率不变，到期后取出2750元，则年利率为（）

A．5% B．20% C．15% D．10%

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【分析】设定期一年的利率是x，则存入一年后的本息和是5000（1+x）元，取3000元后余[5000（1+x）﹣3000]元，再存一年则有方程[5000（1+x）﹣3000]?（1+x）=2750，解这个方程即可求解．【解答】解：设定期一年的利率是x，

根据题意得：一年时：5000（1+x），

取出3000后剩：5000（1+x）﹣3000，

同理两年后是[5000（1+x）﹣3000]（1+x），

即方程为[5000（1+x）﹣3000]?（1+x）=2750，

解得：x1=10%，x2=﹣150%（不符合题意，故舍去），即年利率是10%．

故选D．

【点评】此题考查了列代数式及一元二次方程的应用，是有关利率的问题，关键是掌握公式：本息和=本金×（1+利率×期数），难度一般．

10．x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（）

A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在

【考点】根与系数的关系．

【分析】先由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，则=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．

【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，

∴x1+x2=m，x1x2=m﹣2．

假设存在实数m使+=0成立，则=0，

∴=0，

∴m=0．

当m=0时，方程x2﹣mx+m﹣2=0即为x2﹣2=0，此时△=8＞0，

∴m=0符合题意．

故选：A．

【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q．

11．若函数，则当函数值y=8时，自变量x的值是（）

A．±B．4 C．±或4 D．4或﹣

【考点】函数值．

【专题】计算题．

【分析】把y=8直接代入函数即可求出自变量的值．

【解答】解：把y=8代入函数，

先代入上边的方程得x=，

∵x≤2，x=不合题意舍去，故x=﹣；

再代入下边的方程x=4，

∵x＞2，故x=4，

综上，x的值为4或﹣．

故选：D．

【点评】本题比较容易，考查求函数值．

（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；

（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．

12．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0；②2a+b=0；③a+b+c＞0；

④△＞0；⑤4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x=1计算2a+b与0的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由抛物线的开口向下知a＜0，故本选项错误；

②由对称轴为x==1，

∴﹣=1，

∴b=﹣2a，则2a+b=0，故本选项正确；

③由图象可知，当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0，故本选项正确；

④从图象知，抛物线与x轴有两个交点，

∴△＞0，故本选项错正确；

⑤由图象可知，当x=﹣2时，y＜0，则4a﹣2b+c＜0，故本选项正确；

故选D．

【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案直接填写在题中横线上）

13．小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这是个数字．从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是．

【考点】概率公式．

【分析】由小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这是个数字．其中能被4整除的有4，8，直接利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：∵小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这是个数字．其中能被4整除的有4，8；

∴从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是：=．

故答案为：．

【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

14．同圆的内接正三角形与外切正三角形的周长比是1：2．

【考点】正多边形和圆．

【分析】作出正三角形的边心距，连接正三角形的一个顶点和中心可得到一直角三角形，解直角三角形即可．

【解答】解：如图所示：

∵圆的内接正三角形的内心到每个顶点的距离是等边三角形高的，设内接正三角形的边长为a，∴等边三角形的高为a，

∴该等边三角形的外接圆的半径为a

∴同圆外切正三角形的边长=2×a×tan30°=2a．

∴周长之比为：3a：6a=1：2，

故答案为：1：2．

【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题时利用了圆内接等边三角形与圆外接等边三角形的性质求解，关键是构造正确的直角三角形．

15．△ABC中，E，F分别是AC，AB的中点，连接EF，则S△AEF：S△ABC=．

【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．

【分析】由E、F分别是AB、AC的中点，可得EF是△ABC的中位线，直接利用三角形中位线定理即可求得BC=2EF，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：∵△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，EF=4，

∴EF是△ABC的中位线，

∴BC=2EF，EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴S△AEF：S△ABC=（）2=，

故答案为：．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，熟记三角形的中位线的性质是解题的关键．

16．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径AB是8mm．

【考点】相交弦定理；勾股定理．

【专题】应用题；压轴题．

【分析】根据垂径定理和相交弦定理求解．

【解答】解：钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，

则下面的距离就是2．

利用相交弦定理可得：2×8=AB×AB，

解得AB=8．

故答案为：8．

【点评】本题的关键是利用垂径定理和相交弦定理求线段的长．

17．将抛物线y=x2﹣2向上平移一个单位后，又沿x轴折叠，得新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是y=﹣x2+1．

【考点】二次函数图象与几何变换．

【专题】几何变换．

【分析】先确定抛物线y=x2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），再根据点平移的规律和关于x轴对称的点的坐标特征得到（0，﹣2）变换后的对应点的坐标为（0，1），然后根据顶点式写出新抛物线的解析式．

【解答】解：抛物线y=x2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），点（0，﹣2）向上平移一个单位所得对应点的坐标为（0，﹣1），点（0，﹣1）关于x轴的对称点的坐标为（0，1），

因为新抛物线的开口向下，

所以新抛物线的解析式为y=﹣x2+1．

故答案为

【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

18．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”

被y轴截得的弦CD的长为3+．

【考点】二次函数综合题．

【分析】连接AC，BC，有抛物线的解析式可求出A，B，C的坐标，进而求出AO，BO，DO的长，在直角三角形ACB中，利用射影定理可求出CO的长，进而可求出CD的长．

【解答】解：连接AC，BC，

∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，

∴点D的坐标为（0，﹣3），

∴OD的长为3，

设y=0，则0=x2﹣2x﹣3，

解得：x=﹣1或3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）

∴AO=1，BO=3，

∵AB为半圆的直径，

∴∠ACB=90°，

∵CO⊥AB，

∴CO2=AO?BO=3，

∴CO=，

∴CD=CO+OD=3+，

故答案为：3+．

【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、圆周角定理、射影定理，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键．

三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或推理步骤）19．（1）解方程：x2﹣3x+2=0．

（2）已知：关于x的方程x2+kx﹣2=0

①求证：方程有两个不相等的实数根；

②若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．

【考点】根的判别式；解一元二次方程-因式分解法．

【分析】（1）把方程x2﹣3x+2=0进行因式分解，变为（x﹣2）（x﹣1）=0，再根据“两式乘积为0，则至少一式的值为0”求出解；

（2）①由△=b2﹣4ac=k2+8＞0，即可判定方程有两个不相等的实数根；

②首先将x=﹣1代入原方程，求得k的值，然后解此方程即可求得另一个根．

【解答】（1）解：x2﹣3x+2=0，

（x﹣2）（x﹣1）=0，

x1=2，x2=1；

（2）①证明：∵a=1，b=k，c=﹣2，

∴△=b2﹣4ac=k2﹣4×1×（﹣2）=k2+8＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

②解：当x=﹣1时，（﹣1）2﹣k﹣2=0，

解得：k=﹣1，

则原方程为：x2﹣x﹣2=0，

即（x﹣2）（x+1）=0，

解得：x1=2，x2=﹣1，

所以另一个根为2．

【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0?方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0?方程没有实数根．

也考查了用因式分解法解一元二次方程．

20．（1）解方程：+=；

（2）图①②均为7×6的正方形网络，点A，B，C在格点上．

（a）在图①中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形（画一个即可）．

（b）在图②中确定格点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画一个即可）

【考点】利用旋转设计图案；解分式方程；利用轴对称设计图案．

【分析】（1）化分式方程为整式方程，然后解方程，注意要验根；

（2）可画出一个等腰梯形，则是轴对称图形；

（3）画一个矩形，则是中心对称图形．

【解答】解：（1）由原方程，得5+x（x+1）=（x+4）（x﹣1），

整理，得2x=9，

解得x=4.5；

（2）如图①所示：等腰梯形ABCD为轴对称图形；

；

（3）如图②所示：矩形ABDC为轴对称图形；

．

【点评】此题比较灵活的考查了等腰梯形、矩形的对称性，是道好题．

21．一只不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是黄色的概率．

【考点】列表法与树状图法．

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都是黄球的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是黄球的有4种情况，

∴两次摸出的球都是红球的概率为：．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

22．用一段长为30m的篱笆围成一个边靠墙的矩形菜园，墙长为18米

（1）若围成的面积为72米2，球矩形的长与宽；

（2）菜园的面积能否为120米2，为什么？

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】几何图形问题．

【分析】（1）设垂直于墙的一边长为x米，则矩形的另一边长为（30﹣2x）米，根据面积为72米2列出方程，求解即可；

（2）根据题意列出方程，用根的判别式判断方程根的情况即可．

【解答】解：（1）设垂直于墙的一边长为x米，

则x（30﹣2x）=72，

解方程得：x1=3，x2=12．

当x=3时，长=30﹣2×3=24＞18，故舍去，

所以x=12．

答：矩形的长为12米，宽为6米；

（2）假设面积可以为120平方米，

则x（30﹣2x）=120，

整理得即x2﹣15x+60=0，

△=b2﹣4ac=152﹣4×60=﹣15＜0，

方程无实数解，

故面积不能为120平方米．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

23．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D，E分别是∠ACB的平分线与⊙O，直径AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．

（1）求AC、AD的长；

（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

【考点】切线的判定．

【分析】（1）连结BD，如图，根据圆周角定理由AB为直径得∠ACB=90°，则可利用勾股定理计算出AC=8；由DC平分∠ACB得∠ACD=∠BCD=45°，根据圆周角定理得∠DAB=∠DBA=45°，则△ADB为等腰直角三角形，由勾股定理即可得出AD的长；

（2）连结OC，由PC=PE得∠PCE=∠PEC，利用三角形外角性质得

∠PEC=∠EAC+∠ACE=∠EAC+45°，加上∠CAB=90°﹣∠ABC，∠ABC=∠OCB，于是可得到

∠PCE=90°﹣∠OCB+45°=90°﹣（∠OCE+45°）+45°，则∠OCE+∠PCE=90°，于是根据切线的判定定理可得PC为⊙O的切线．

【解答】解：（1）连结BD，如图1所示，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ACB中，AB=10cm，BC=6cm，

∴AC==8（cm）；

∵DC平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠DAB=∠DBA=45°

∴△ADB为等腰直角三角形，

∴AD=AB=5（cm）；

（2）PC与圆⊙O相切．理由如下：

连结OC，如图2所示：

∵PC=PE，

∴∠PCE=∠PEC，

∵∠PEC=∠EAC+∠ACE=∠EAC+45°，

而∠CAB=90°﹣∠ABC，∠ABC=∠OCB，

∴∠PCE=90°﹣∠OCB+45°=90°﹣（∠OCE+45°）+45°，

∴∠OCE+∠PCE=90°，

即∠PCO=90°，

∴OC⊥PC，

∴PC为⊙O的切线．

【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解决问题的关键．

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴是x=﹣且经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）求抛物线解析式．

（2）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、C点坐标，根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据相似三角形的性质，可得关于m的方程，根据自变量与函数值的对应关系，可得M点坐标．

【解答】解：（1）当x=0时，y=2，即C（0，2），

当y=0时，x+2=0，解得x=﹣4，即A（﹣4，1）．

由A、B关于对称轴对称，得

B（1，0）．

将A、B、C点坐标代入函数解析式，得

，

解得，

抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2；

（2）抛物线上是存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，

如图，

设M（m，﹣m2﹣m+2），N（m，0）．

AN=m+4，MN=﹣m2﹣m+2．

由勾股定理，得AC==2，BC==．

当△ANM∽△ACB时，=，即=，

解得m=0（不符合题意，舍），m=﹣4（不符合题意，舍）；

当△ANM∽△BCA时，=，即=，

解得m=﹣3，m=﹣4（不符合题意，舍），

当m=﹣3时，﹣m2﹣m+2=2，

即M（﹣3，2）．

综上所述：抛物线存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，点M的坐标（﹣3，2）．

【点评】本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等的两点关于对称轴对称得出B点坐标是解题关键；利用相似三角形的性质得出关于m的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xhm4.html