第五章课后练习

第五章 思考题与练习题

思考题

5.1简述什么是异方差?为什么异方差的出现总是与模型中某个解释变量的变化有关？ 5.2试归纳检验异方差方法的基本思想，并指出这些方法的异同。 5.3什么是加权最小二乘法，它的基本思想是什么？

5.4 产生异方差的原因是什么？试举例说明经济现象中的异方差性。

5.5 如果模型中存在异方差性，对模型有什么影响？这时候模型还能进行应用分析吗？ 5.6 对数变化的作用是什么？进行对数变化应注意什么？对数变换后模型的经济意义有什么变化？

5.7 怎样确定加权最小二乘法中的权数？

练习题

5.1 设消费函数为 式中，

Yi??1??2X2i??3X3i?ui

Yi为消费支出；X2i为个人可支配收入；X3i为个人的流动资产；ui为随机误差

222E(u)?0,Var(u)??Xii2i（其中?为常数）项，并且。试回答以下问题：

(1)选用适当的变换修正异方差，要求写出变换过程；

(2)写出修正异方差后的参数估计量的表达式。 <<5.1答案 练习题5.1 参考解答

12f(X)?XX2i，用Wi乘给定模型两端，得 i2i，所以取（1）因为

YiXu1??1??2??33i?iX2iX2iX2i X2iW2i?上述模型的随机误差项的方差为一固定常数，即

Var(

（2）根据加权最小二乘法及第四章里（4.5）和（4.6）式，可得修正异方差后的参数估计式为

ui1)?2Var(ui)??2X2iX2i

??Y*???X*???X*?2233 1??2

W???2i**2****yi*x2i???W2ix3i????W2iyix3i???W2ix2ix3i?*22i2i??Wx???W*22i3ix????W**22i2i3ixx?

??3

其中

??W?2i**2****yi*x3i???W2ix2i????W2iyix2i???W2ix2ix3i?**??W2ix2*2i???W2ix3*2i????W2ix2ix3i?2

X

*2WX???W2i2i2i,X*3WX???W2i2i*33i,Y*WY???W

2ii2i**x?X?X2i2i2

*x3i?X3i?Xy*?Yi?Y*

5.2 根据本章第四节的对数变换，我们知道对变量取对数通常能降低异方差性，但

?2Y??Xu，对1须对这种模型的随机误差项的性质给予足够的关注。例如，设模型为

该模型中的变量取对数后得如下形式

lnY?ln?1??2lnX?lnu

(1)如果lnu要有零期望值，u的分布应该是什么？ (2)如果E(u)?1，会不会E(lnu)?0？为什么？ (3)如果E(lnu)不为零，怎样才能使它等于零？

5.3 由表中给出消费Y与收入X的数据，试根据所给数据资料完成以下问题： （1）估计回归模型Y??1??2X?u中的未知参数?1和?2，并写出样本回归模型的书写格式；

（2）试用Goldfeld-Quandt法和White法检验模型的异方差性； （3）选用合适的方法修正异方差。

Y 55 65 70 80 79 84 98 95 90 75 74 110 113 125 108 115 140

X 80 100 85 110 120 115 130 140 125 90 105 160 150 165 145 180 225

Y 152 144 175 180 135 140 178 191 137 189 55 70 75 65 74 80 84

X 220 210 245 260 190 205 265 270 230 250 80 85 90 100 105 110 115

Y 95 108 113 110 125 115 130 135 120 140 140 152 140 137 145 175 189

X 140 145 150 160 165 180 185 190 200 205 210 220 225 230 240 245 250

120 145 130

200 240 185

79 90 98

120 125 130

180 178 191

260 265 270

<<5.3答案

练习题5.3参考解答

（1）该模型样本回归估计式的书写形式为

??9.3475?0.6371XYii(2.5691)(32.0088)2R?0.9464,s.e.?9.0323,F?1023.56

（2）首先，用Goldfeld-Quandt法进行检验。

2 a.将样本按递增顺序排序，去掉1/4，再分为两个部分的样本，即1 b.分别对两个部分的样本求最小二乘估计，得到两个部分的残差平方和，即

n?n?22。

?e?e求F统计量为

2122?603.0148?2495.840

22212495.84?4.1390603.0148

给定??0.05，查F分布表，得临界值为F0.05(20,20)?2.12。

c.比较临界值与F统计量值，有F=4.1390>F0.05(20,20)?2.12，说明该模型的随机误

?差项存在异方差。

其次，用White法进行检验。具体结果见下表

White Heteroskedasticity Test: F-statistic Obs*R-squared

Test Equation:

Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Date: 08/05/05 Time: 12:37 Sample: 1 60

Included observations: 60

Variable C X X^2 R-squared

Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood

Coefficient -10.03614 0.165977 0.001800 Std. Error 131.1424 1.619856 0.004587 t-Statistic -0.076529 0.102464 0.392469 Prob. 0.9393 0.9187 0.6962 111.1375 12.14285 12.24757 6.301373

6.301373 Probability 10.86401 Probability

0.003370 0.004374

e?F??e0.181067 Mean dependent var 78.86225 0.152332 S.D. dependent var 102.3231 Akaike info criterion 596790.5 Schwarz criterion -361.2856 F-statistic

Durbin-Watson stat 0.937366 Prob(F-statistic) 20.003370 给定??0.05，在自由度为2下查卡方分布表，得??5.9915。

比较临界值与卡方统计量值，即nR?10.8640???5.9915，同样说明模型中的随机误差项存在异方差。 （2）用权数

22W1?1X，作加权最小二乘估计，得如下结果

Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 08/05/05 Time: 13:17 Sample: 1 60

Included observations: 60 Weighting series: W1 Variable C X Weighted Statistics R-squared

Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat Unweighted Statistics R-squared

Adjusted R-squared S.E. of regression Durbin-Watson stat

Coefficient 10.37051 0.630950 Std. Error 2.629716 0.018532 t-Statistic 3.943587 34.04667 Prob. 0.0002 0.0000 8.685376 6.973470 7.043282 1159.176 0.000000

38.68984 4739.526

0.211441 Mean dependent var 106.2101 0.197845 S.D. dependent var 7.778892 Akaike info criterion 3509.647 Schwarz criterion -207.2041 F-statistic 0.958467 Prob(F-statistic)

0.946335 Mean dependent var 119.6667 0.945410 S.D. dependent var 9.039689 Sum squared resid 0.800564

其估计的书写形式为

??10.3705?0.6310XY(3.9436)(34.0467)

R2?0.2114,s.e.?7.7789,F?1159.18

5.4 由表中给出1985年我国北方几个省市农业总产值，农用化肥量、农用水利、农业劳动力、每日生产性固定生产原值以及农机动力数据，要求：

（1） 试建立我国北方地区农业产出线性模型；

（2） 选用适当的方法检验模型中是否存在异方差；

（3） 如果存在异方差，采用适当的方法加以修正。

农业总产值 农业劳动力 灌溉面积 化肥用量 户均固定

地区 北京 天津 河北 山西 内蒙古 辽宁 吉林 黑龙江 山东 河南 陕西 新疆

5.5 表中的数据是美国1988研究与开发（R&D）支出费用（Y）与不同部门产品销售量（X）。试根据资料建立一个回归模型，运用Glejser方法和White方法检验异方差，由此决定异方差的表现形式并选用适当方法加以修正。

单位：百万美元 工业群体

1.容器与包装 2.非银行业金融 3.服务行业 4.金属与采矿 5.住房与建筑 6.一般制造业 7.休闲娱乐 8.纸张与林木产品 9.食品 10.卫生保健 11.宇航 12.消费者用品 13.电器与电子产品 14.化工产品 15.五金

16.办公设备与电算机 17.燃料

销售量X R&D费用Y

6375.3 11626.4 14655.1 21869.2 26408.3 32405.6 35107.7 40295.4 70761.6 80552.8 95294 101314.3 116141.3 122315.7 141649.9 175025.8 230614.5

62.5 92.9 178.3 258.4 494.7 1083 1620.6 421.7 509.2 6620.1 3918.6 1595.3 6107.5 4454.1 3163.9 13210.7 1703.8

利润Z 185.1 1569.5 276.8 2828.1 225.9 3751.9 2884.1 4645.7 5036.4 13869.9 4487.8 10278.9 8787.3 16438.8 9761.4 19774.5 22626.6

（亿元） 19.64 14.4 149.9 55.07 60.85 87.48 73.81 104.51 276.55 200.02 68.18 49.12

（万人） （万公顷） (万吨） 90.1 95.2 1639 .0 562.6 462.9 588.9 399.7 425.3 2365.6 2557.5 884.2 256.1

33.84 34.95 357.26 107.9 96.49 72.4 69.63 67.95 456.55 318.99 117.9 260.46

7.5 3.9 92.4 31.4 15.4 61.6 36.9 25.8 152.3 127.9 36.1 15.1

农机动力

资产（元） （万马力） 394.3 567.5 706.89 856.37 1282.81 844.74 2576.81 1237.16 5812.02 754.78 607.41 1143.67

435.3 450.7 2712.6 1118.5 641.7 1129.6 647.6 1305.8 3127.9 2134.5 764 523.3

18.汽车 293543 9528.2 18415.4

<<5.5答案

练习题5.5参考解答

（1）建立样本回归模型。

??192.9944?0.0319XY(0.1948)(3.83) R?0.4783,s.e.?2759.15,F?14.6692

（2）利用White检验判断模型是否存在异方差。

White Heteroskedasticity Test: F-statistic Obs*R-squared

Test Equation:

Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Date: 08/08/05 Time: 15:38 Sample: 1 18

Included observations: 18 Variable

Coefficient

C

-6219633.

X

229.3496

X^2

-0.000537

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum

2.61

Schwarz criterion

35.9

13195642

Akaike info criterion

35.77968

0.289582 0.194859

Std. Erro

r 6459811. 126.2197 0.000449 Mean dependent var

S.D. dependent var

6767029. 14706003

-1.194942

0.2507

1.817066

0.0892

-0.962820

0.3509

t-Statistic

Prob

.

3.057161 5.212471

Probability Probability

0.076976 0.073812

2squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

E+15 -319.0171 1.694572

Prob(F-statistic) F-statistic

2808 3.057161 0.076976

2??5.9915，??0.05给定和自由度为2下，查卡方分布表，得临界值而White222nR??(2)，则不拒绝原假设，说明模型中不存nR?5.21250.05统计量，有

在异方差。

（3）有Glejser检验判断模型是否存在异方差。经过试算，取如下函数形式

得样本估计式

e??2X??

??6.4435Xe(4.5658) R?0.2482

由此，可以看出模型中随机误差项有可能存在异方差。

（4）对异方差的修正。取权数为w?1/X，得如下估计结果

2???243.4910?0.0367XY(?1.7997)(5.5255)

2R?0.1684,s.e.?694.2181,F?30.5309

5.6 由表中给出的收入和住房支出样本数据，建立住房支出模型。

住房支出 1.8 2 2 2 2.1 3 3.2 3.5 3.5 3.6 4.2 4.2 4.5 4.8 收入 5 5 5 5 5 10 10 10 10 10 15 15 15 15 5 4.8 5 5.7 6 6.2 假设模型为

15 20 20 20 20 20 Yi??1??2Xi?ui,其中Y为住房支出,X为收入。试求解下列问题:

(1)用OLS求参数的估计值、标准差、拟合优度

(2)用Goldfeld-Quandt方法检验异方差（假设分组时不去掉任何样本值）

222???Xii(3)如果模型存在异方差，假设异方差的形式是，试用加权最小二乘法重新

估计?1和?2的估计值、标准差、拟合优度。

5.7 表中给出1969年20个国家的股票价格（Y）和消费者价格年百分率变化（X）的一个横截面数据。

国家 1.澳大利亚 2.奥地利 3.比利时 4.加拿大 5.智利 6.丹麦 7.芬兰 8.法国 9.德国 10.印度 11.爱尔兰 12.以色列 13.意大利 14.日本 15.墨西哥 16.荷兰 17.新西兰 18.瑞典 19.英国

20.美国

试根据资料完成以下问题:

股票价格变化率%Y

5 11.1 3.2 7.9 25.5 3.8 11.1 9.9 13.3 1.5 6.4 8.9 8.1 13.5 4.7 7.5 4.7 8 7.5 9

消费者价格变化率%X

4.3 4.6 2.4 2.4 26.4 4.2 5.5 4.7 2.2 4 4 8.4 3.3 4.7 5.2 3.6 3.6 4 3.9 2.1

(1)将Y对X回归并分析回归中的残差；

(2)因智利的数据出现了异常，去掉智利数据后，重新作回归并再次分析回归中的残差； (3)如果根据第1条的结果你将得到有异方差性的结论，而根据第2条的结论你又得到

相反的结论，对此你能得出什么样的结论？

<<5.7答案

练习题5.7参考解答 （1）求回归估计式。

??4.6103?0.7574XY(4.2495)(5.0516)2R?0.5864,s.e.?3.3910,F?25.5183

作残差的平方对解释变量的散点图

504030E220100051015X202530

由图形可以看出，模型有可能存在异方差。

（2）去掉智利的数据后，回归得到如下模型

??6.7381?0.2215XY(2.8254)(0.3987)作残差平方对解释变量的散点图

402R?0.0093,s.e.?3.3906,F?0.1589

30E220100051015X202530

从图形看出，异方差的程度降低了。

（3）比较情况（1）和情况（2），实际上根据所给的数据，我们发现情况（1）的异方差性比情况（2）的异方差性要低。

5.8 表中给出的是1998年我国重要制造业销售收入与销售利润的数据资料 行业名称 销售收入 销售利润 行业名称 销售收入 销售利润 食品加工业 食品制造业 饮料制造业 烟草加工业 纺织业 服装制造业 皮革羽绒制品 木材加工业 家具制造业 造纸及纸制品 印刷业 文教体育用品 石油加工业 化学原料制品 187.25 111.42 205.42 183.87 316.79 157.70 81.73 35.67 31.06 134.40 90.12 54.40 194.45 502.61 3180.44 1119.88 1489.89 1328.59 3862.90 1779.10 1081.77 443.74 226.78 1124.94 499.83 504.44 2363.80 4195.22 医药制造业 化学纤维制造 橡胶制品业 塑料制品业 非金属矿制品 黑色金属冶炼 有色金属冶炼 金属制品业 普通机械制造 专用设备制造 交通运输设备 电子机械制造 电子通讯设备 仪器仪表设备 238.71 81.57 77.84 144.34 339.26 367.47 144.29 201.42 354.69 238.16 511.94 409.83 508.15 72.46 1264.10 779.46 692.08 1345.00 2866.14 3868.28 1535.16 1948.12 2351.68 1714.73 4011.53 3286.15 4499.19 663.68 试完成以下问题: (1)求销售利润岁销售收入的样本回归函数，并对模型进行经济意义检验和统计检验； (2)分别用图形法、Glejser方法、White方法检验模型是否存在异方差； (3)如果模型存在异方差，选用适当的方法对异方差性进行修正。

5.9 下表所给资料为1978年至2000年四川省农村人均纯收入的数据。

Xt和人均生活费支出Yt四川省农村人均纯收入和人均生活费支出 单位：元/人

时间

农村人均纯收入农村人均生活费

X

支出Y

时间

农村人均纯收入农村人均生活费

X

支出Y

1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987

127.1 155.9 187.9 220.98 255.96 258.39 286.76 315.07 337.94 369.46

120.3 142.1 159.5 184.0 208.23 231.12 251.83 276.25 310.92 348.32

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999

557.76 590.21 634.31 698.27 946.33 1158.29 1459.09 1680.69 1789.17 1843.47

509.16 552.39 569.46 647.43 904.28 1092.91 1358.03 1440.48 1440.77 1426.06

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xhix.html