四边形、一次函数综合训练（含答案）

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

四边形、一次函数综合训练（含答案）

一、选择题（共 4 小题 ，每小题 3 分 ，共 12 分 ）

1.一个寻宝游戏的寻宝通道由正方形 的边组成，如图 所示．为记录寻宝者的行进路线，在 的中点 处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为 ，寻宝者与定位仪器之间的距离为 ，若寻宝者匀速行进，且表示 与 的函数关系的图象大致如图 所示，则寻宝者的行进路线可能为（ ）

6.如图，边长为 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 ， ，则 的值为________．

三、解答题（共 6 小题 ，每小题 10 分 ，共 60 分 ）

7.在菱形 中， ， ，动点 以每秒 个单位的速度从点 出发运动到点 ，点 以相同的速度从点 出发运动到点 ，两点同时出发，过点 作 交直线 于点 ，连接 、 ，设运动时间为 秒．

A. B. C. D.

2.下表是某校合唱团成员的年龄分布： 年龄（岁） 频数 则合唱团成员年龄的中位数和众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，

3.如图，点 是矩形 的边 上的一动点， ， ，则点 到矩形的两条对角线 和 的距离之和是（ ）

A. B. C. D.

4.如图，正方形 的面积为 ，则以相邻两边中点连线 为边正方形 的周长为（ ）

当 时， ________度；

求 为何值时，以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形；

当 为直角三角形时，求此时 的值．

8.如图，平面直角坐标系中，直线 分别交 轴， 轴于 ， 两点，点 在 轴负半轴上，且 ．

A. B. C.

二、填空题（共 2 小题 ，每小题 3 分 ，共 6 分 ）

D.

5.如图 中， ， 为 的中点， 在边 上， ， ，当 ，则 ________．

求 ， 两点的坐标．

若点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿射线 运动，连接 ，设 的面积为 ，点 的运动时间为 ，求出 关于 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

点 是 轴上的点，在坐标平面内是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接

第1页，共6页

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

写出 点的坐标；若不存在，说明理由．

9.如图，在矩形 中， ， 的平分线 与 ， 分别交于点 ， ，点 是 的中点，直线 ，交 于点 ，交 于点 ．

求证： ；

探究线段 、 、 三者之间的关系，并证明你的结论；

若 ， ，求 的长度．

10.如图，已知四边形 为正方形， ，点 为对角线 上一动点，连接 ，过点 作 ，交射线 于点 ，以 ， 为邻边作矩形 ，连接 ．

12.已知 是坐标原点，点 的坐标是 ，点 是 轴正半轴上一动点，以 、 为边作矩形 ，点 、 分别在边 和边 上，将 沿着 对折，使点 落在 上的 点处，将 沿着 对折，使点 落在 上的 点处．

如图 ，求证：四边形 是平行四边形；

如图 ，当点 运动到使得点 、 重合时，求点 的坐标，并判断四边形 是什么四边形？说明理由；

当点 运动到使得点 ， 将对角线 三等分时，如图 ，如图 ，分别求点 的坐标．

求证：矩形 是正方形；

探究： 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；

设 ，四边形 的面积为 ，求出 与 的函数关系式．

11.如图 ，在正方形 中， 是 上一点， 是 延长线上一点，且 ． 求证： ；

在图 中，若 在 上，且 ，则 成立吗？为什么？

根据你所学的知识，运用 、 解答中积累的经验，完成下列各题：

①如图 ，在直角梯形 中， ， ， ， 是 的中点，且 ，求 的长；

②如图 ，在 中， ， ， ， ，则 的面积为________（直接写出结果，不需要写出计算过程）．

答案 1.A 2.B 3.A 4.B

5.[ \ 或 \6.[ \ \

7.[ \ \ 若点 在线段 上时，过 作 于 ，

在菱形 中， ， ，

第2页，共6页

题※※※答…※※※※※线※订装※※…在※※※要…※※※※※请※… …………线…………○………… ○…※……订…内………※○……装……不……………○…………外…………○………线…………○………… ………线…………○…………

∴ ， ，

∴ ，

要使四边形 为平行四边形，则 ∴ 得 ．

若点 在线段 延长线上时，四边形 不是平行四边形． 若点 在线段 上时，不存在 ， ∴只有当 在线段 延长线上时，才存在 ，

如图 中，当 时，则 、 、 在同一直线上，

如图 所示：∵ ， ， ， ……∴ ， ○○∴

，即 ， …… …__解得， _ ．

_…_…___…如图 中，当 时， _…__：…

订号订…考__…_…____…_…___…

…：级…○班_○_…___…_

…____…易知 ， ，

_…：……名 ，

姓…

，

装___∵ ，

_装_…__∴ ， _…_…__:…∴

…校

，

学………解得 ，不合题意，

○○综上所述，

时， 是直角三角形． ……8.解： 当 时， ；当 时， ．

……∴点 坐标为 ，点 坐标为 ， ……在 中， ， ， ……∴ ．

外内∴…… ．

……∴点 坐标为 ．

…………○○……

………………∴ ，

同理： ， ， ∴ ， ∴ ，

分两种情况考虑：若 在线段 上时， ， ，可得 ， 此时

； 若 在 延长线上时， ， ，可得 ， 此时

；

综上所述， ； 是 轴上的点，在坐标平面内存在点 ，使以 、 、 、 为顶点

的四边形是菱形， 如 图所示，

当 在 轴正半轴上，四边形 为菱形，①可得 ，且 与 的横坐标相同， 此时 坐标为 ，②

， 与 的横坐标相同，此时 坐标为

， 当 在 轴负半轴上，四边形 为菱形，①可得 ，且 与 横坐标相同， 此时 坐标为 ，② 垂直平分 ，此时 坐标为 ， 综上，满足题意 坐标为 、 、

、 ． 9.解： ∵在矩形 中， ， ∴ ， ． ∵点 是 的中点； ∴ ．

在 和 中，

∴ ． ；证明如下： ∵四边形 是矩形；

∴ ， ． 又∵ 平分 ，

∴ ．

第3页，共6页

∴ ．

∵ ， ，

∴四边形 是平行四边形．

∴ ． ∵ ；

∴ ．

∵四边形 是平行四边形． ∴ ，

又∵ ，且 ， ∴ ．

设 ，则 ．

∴ ， ． ∴ ． 解得 ．

∴ ．

10.解： 如图，作 ，

∴ ，

∵点 是正方形 对角线上的点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中，

，

∴ ， ∴ ，

∵四边形 是矩形，

∴矩形 是正方形； 的值是定值，定值为 ， ∵正方形 和正方形 ， ∴ ， ，

∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ．

∴ ， 如图，

∵正方形 中， ， ∴ ，

过点 作 ， ∴ ， ∵ ，

∴ ，

在 中， ，

，

根据勾股定理得， ，∵四边形 为正方形，

∴ 正方形

．

11. 证明：在正方形 中 ， ， ∴ ． 在 和 中，

，

∴ ． ∴ ．

解： 成立．理由如下： ∵ ， ， ∴ ． ∵ （已证）， ∴ ．

∴ ． ∴ ．

第4页，共6页

……………………○○……………………线线……………………○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※…装要※装…※…不…※……※请……※○※…○……………………内外……………………○○……………………

………线…………○………… ………线…………○…………

在 和 中，

，

∴ ． ∴ ．

∵ ，

∴ ．[ \ 解：①如图 ，过点 作 交 的延长线于点 ，

由 和题设知： ，

……设 ，则 ， ， ○○在 中，由勾股定理，得： ……

…____…∴ _…___…解得 ．

_…__：…∴ ；

订号订②将 沿着 边折叠，使 与 重合， 沿着 边折叠，使 与 重合，…考_可得 ， ， _…_…__∴ ， __…_…_ ， __……： ， 级… ，

○班_○_∴四边形 为正方形， …___…_设正方形的边长为 ，

…____…可得 ， ， _…：…在 中， …名姓…根据勾股定理得： 装___ ，

_装_…__即 ， _…_…__解得： 或 （舍去）， :……校学…∴ ，

……则 ．

○○\\\题库\\\……\

……12. 证明：如图 ， ……

……外内……………………○○……

………………∵四边形 为矩形， ∴ ， ， ∴ ，

又∵ 沿着 对折，使点 落在 上的 点处； 沿着 对折，使点 落在 上的 点处， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ，

∴四边形 是平行四边形； 解：点 的坐标是

；四边形 是菱形．理由如下：如图 ，

∵ 沿着 对折，使点 落在 上的 点处； 沿着 对折，使点 落在 上的 点处， ∴ ， ， ∵点 ， 重合， ∴ ，

又∵四边形 是平行四边形， ∴平行四边形 是菱形， ∴ ，

∴ ， 又∵ ，

∴ ， 又∵点 的坐标是 ， ∴ ， ∴ ，

在 中，

， 第5页，共6页

∴点 的坐标是

； 解：①当点 在点 ， 之间时，如图 ，

∵ 沿着 对折，使点 落在 上的 点处； 沿着 对折，使点 落在 上的 点处，∴ ， ， 而 ， ∴ ，

∵点 ， 将对角线 三等分， ∴ ， 设 ，则 ， 在 中， ， ∵ ， ∴ ，解得

，

∴

， ∴点 的坐标是

； ②当点 在 ， 之间时，如图 ，

同理可得 ，

设 ，则 ， 在 中， ， ∵ ，

∴ ，解得 ， ∴ ，

∴点 的坐标是 ．

第6页，共6页 ……………………○○……………………线线……………………○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※…装要※装…※…不…※……※请……※○※…○……………………内外……………………○○……………………

∴点 的坐标是

； 解：①当点 在点 ， 之间时，如图 ，

∵ 沿着 对折，使点 落在 上的 点处； 沿着 对折，使点 落在 上的 点处，∴ ， ， 而 ， ∴ ，

∵点 ， 将对角线 三等分， ∴ ， 设 ，则 ， 在 中， ， ∵ ， ∴ ，解得

，

∴

， ∴点 的坐标是

； ②当点 在 ， 之间时，如图 ，

同理可得 ，

设 ，则 ， 在 中， ， ∵ ，

∴ ，解得 ， ∴ ，

∴点 的坐标是 ．

第6页，共6页 ……………………○○……………………线线……………………○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※…装要※装…※…不…※……※请……※○※…○……………………内外……………………○○……………………

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xhe5.html