2018年四川省成都实验外国语学校自主招生考试数学试卷（模拟）

2018年四川省成都实验外国语学校自主招生考试模拟试卷

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（4.00分）下列等式中，不一定成立的是（ ） A．

=2

B．

C．a

=﹣

D．

2．（4.00分）中国人民银行授权中国外汇交易中心公布，2014年1月14日银行间外汇市场人民币汇率中间价为：1美元对人民币6.0930元，某上市公司持有美元资产为980万美元，用科学记数法表示其美元资产折合成人民币为（ ）元（保留两位有效数字） A．5.97×107

B．6.0×107 C．5.97×108

D．6.0×108

3．（4.00分）如图，一条信息可通过网络线由上（A点）往下（沿箭头方向）向各站点传送，例如信息要到b2点可由经a1的站点送达，也可由经a2的站点送达，共有两条传送途径，则信息由A点传达到d3的不同途径中，经过站点b3的概率为（ ）

A． B． C． D． 4．（4.00分）已知x+y=A．

B．

，|x|+|y|=5

D．

，则x﹣y的值为（ ）

C．

5．（4.00分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示（a、b、c为常数），则函数y=（4ac﹣b2）x+abc和y=

在同一平面直角坐标系中的图象，可能是（ ）

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A． B． C． D．

6．（4.00分）关于x的一元二次方程mx2+根，则m的取值范围是（ ） A．mC．﹣

且m≠0 B．﹣

且m≠0 D．0

x+1=0有两个不相等的同号实数

7．（4.00分）由于货源紧缺，小王、小李两名商贩连续两次以不同的价格在同一公司购进了A型香米，两次的购买单价分别为a、b（a＜b，单位：元/千克），小王的采购方式为：每次购进c千克大米；小李的采购方式为：每次购进d元的大米（d＞c），若只考虑采购单价，下列结论正确的是（ ） A．小王合算 C．一样合算

B．小李合算

D．无法确定谁更合算

8．（4.00分）函数y=|x2+2x﹣3|图象的草图如图所示，则关于x的方程|x2+2x﹣3|=a（a为常数）的根的情况，描述错误的是（ ）

A．方程可能没有实数根

B．方程可能有三个互不相等的实数根

C．若方程只有两个实数根，则a的取值范围为：a=0

D．若方程有四个实数根，记为x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4=﹣4

第2页（共33页）

9．（4.00分）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE上一点，且EF=2DF，BF的延长线交AC于点H，CF的延长线交AB于点G，则S四边形AGFH：S△BFC=（ ）

A．1：10 B．1：5 C．3：10 D．2：5

的中点，弦

10．（4.00分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是

DE⊥AB，垂足为点F，DE交AC于点G，EH为⊙O的切线，交AC的延长线于H，AF=3，FB=，则tan∠DEH=（ ）

A．

B． C． D．

二、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分） 11．（4.00分）计算：（π﹣3.14）0﹣2﹣2×

2014

+（tan60°﹣2）2013（4sin30°+

）

+= ．

12．（4.00分）已知实数x，y满足方程（x2﹣4x+6）（9y2+6y+6）=10，则yx= ．

第3页（共33页）

13．（4.00分）如图，正方体（图1）的展开图如图2所示，在图1中M、N分别是FG、GH的中点，CM、CN、MN是三条线段；请在图2中画出CM、CN、MN这三条线段 ．

14．（4.00分）已知实数x满足方程﹣=2，则= ．

15．（4.00分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连结CE交DB、DF于G、H，则EG：GH：HC= ．

16．（4.00分）已知直线l1：y=x﹣a﹣3和直线l2：y=﹣2x+5a相交于点A（m，n），其中a为常数，且m＞n＞0，化简|1﹣a|﹣

= ．

17．（4.00分）在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，4），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为 ．

18．（4.00分）若y关于x的函数y=（a﹣2）x2﹣2（2a﹣1）x+a（a为常数）的图象与坐标轴只有两个不同交点，则a可取的值为 ．

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19．（4.00分）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AB，以C为圆心，CA为半径作圆弧交BC于点E，交CD的延长线于点F，以AC上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点G，交AD于点N，若AC=6cm，OA=2cm，则图中阴影部分的面积为 cm2（结果不取近似值）．

20．（4.00分）如图，直线l：y=﹣x+b（b＞0，且b为常数）与双曲线c1：y=（x＞0）相交于A、B两点，与坐标轴交于C、D点，连接OA、OB，过点B、点A分别作x轴、y轴的垂线，交坐标轴于E、F两点，两垂线的交点为G，双曲线c2：y=（x＞0）经过点G，其中点A的坐标为A（x1，y1）．则下列结论： ①点B的坐标为B（y1，x1）； ②图中全等的三角形共有3对； ③若AB=

，则OF﹣AF=1；

④四边形GAOB的面积为k﹣1； ⑤若∠AOB=45°，则S△AOB=1．

其中正确的结论是 （只填序号）

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为（ ）

A． B． C． D． 【解答】解：画树状图得：

所以共有6种情况，则经过站点b3的概率为：． 故选：A．

4．（4.00分）已知x+y=A．

B．

，|x|+|y|=5

D．

，则x﹣y的值为（ ）

C．

【解答】解：当x＞0，y＞0时，x+y=5当x＜0，y＜0时，x+y=﹣5当x＞0，y＜0时，x﹣y=5当x＜0，y＞0时，x﹣y=﹣5故选：D．

与x+y=2， ，

与x+y=2矛盾，

矛盾，

5．（4.00分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示（a、b、c为常数），则函数y=（4ac﹣b2）x+abc和y=

在同一平面直角坐标系中的图象，可能是（ ）

第11页（共33页）

A． B． C． D．

【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0，

∵抛物线与y轴交于（0，c）， ∴c＜0，

∵抛物线的对称轴为直线x=﹣∴b＜0， ∴abc＞0；

∵抛物线与x轴有2个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴4ac﹣b2＜0；

∴函数y=（4ac﹣b2）x+abc经过第一、二、四象限； ∵0＜﹣

＜1，而a＞0，

＞0，

∴﹣b＜2a，即2a+b＞0， ∴函数y=故选：C．

6．（4.00分）关于x的一元二次方程mx2+根，则m的取值范围是（ ） A．mC．﹣

且m≠0 B．﹣

且m≠0 D．0

的图象位于第一、三象限；

x+1=0有两个不相等的同号实数

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【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+数根，

x+1=0有两个不相等的同号实

∴，

解得：0＜m＜． 故选：D．

7．（4.00分）由于货源紧缺，小王、小李两名商贩连续两次以不同的价格在同一公司购进了A型香米，两次的购买单价分别为a、b（a＜b，单位：元/千克），小王的采购方式为：每次购进c千克大米；小李的采购方式为：每次购进d元的大米（d＞c），若只考虑采购单价，下列结论正确的是（ ） A．小王合算 C．一样合算

B．小李合算

D．无法确定谁更合算

=

元/千克，

【解答】解：根据题意得：小王两次购买香米的平均价格为小李两次购买香米的平均价格为

=

元/千克，

∴﹣==，

∵（a﹣b）2＞0，2（a+b）＞0， ∴

﹣

＞0，即

＞

，

则小李的购买方式合算． 故选：B．

8．（4.00分）函数y=|x2+2x﹣3|图象的草图如图所示，则关于x的方程|x2+2x﹣3|=a（a为常数）的根的情况，描述错误的是（ ）

第13页（共33页）

A．方程可能没有实数根

B．方程可能有三个互不相等的实数根

C．若方程只有两个实数根，则a的取值范围为：a=0

D．若方程有四个实数根，记为x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4=﹣4

【解答】解：如图所示，关于x的方程|x2+2x﹣3|=a可视为函数y=|x2+2x﹣3|与函数y=a的交点问题，且函数y=|x2+2x﹣3|的顶点坐标为（﹣1，4），

由函数图象可知，当a＜0时，y=|x2+2x﹣3|与函数y=a没有交点，故原方程没有实数根，故A正确；

当a=4时，函数y=|x2+2x﹣3|与函数y=a有三个交点，故方程有三个不相等的实数根，故B正确；

当a=0或a＞4时，函数y=|x2+2x﹣3|与函数y=a有两个交点，故方程有两个互不相等的实数根，故C错误；

当0＜a＜4时，函数y=|x2+2x﹣3|与函数y=a有四个交点，故方程有四个互不相等的实数根，根据函数的对称性可知，x1+x2+x3+x4=﹣2﹣2=﹣4，故D正确． 故选：C．

9．（4.00分）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE上一点，且EF=2DF，BF的延长线交AC于点H，CF的延长线交AB于点G，则S四边形AGFH：S△BFC=（ ）

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A．1：10 B．1：5 C．3：10 D．2：5

【解答】解：设DF=x，EF=2x，S△GDF=S， 则DE=3x，

∵DE是△ABC的中位线， ∴BC=2DE=6x， ∵DE∥BC， ∴△GDF∽△GBC，∴

=（

=

=， =（

）2=

，

）2，即

∴S△GBC=36S， ∵

=

=，

∴S△BGF=6S， ∴S△BFC=30S， ∵EF∥BC， ∴∴

==

=

=

=，

=，

∴S△CFH=S△BCF=15S， ∴S△BCH=45S， 而AE=CE， ∴AH：HC=1：3， ∴S△BAH=S△BCH=15S，

∴S四边形AGFH=S△BAH﹣S△BGF=15S﹣6S=9S， ∴S四边形AGFH：S△BFC=9S：30S=3：10．

第15页（共33页）

故选：C．

10．（4.00分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是

的中点，弦

DE⊥AB，垂足为点F，DE交AC于点G，EH为⊙O的切线，交AC的延长线于H，AF=3，FB=，则tan∠DEH=（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：连接OE，如图2， ∵EH为⊙O的切线， ∴OE⊥EH，

∴∠OEF+∠DEH=90°， 而∠OEF+∠FOE=90°， ∴∠FOE=∠DEH， ∵AF=3，FB=， ∴AB=AF+BF=∴OB=AB=

， ，

∴OF=OB﹣FB=， 在Rt△OEF中，OE=∴EF=

，OF=，

=2．

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=

∴tan∠DEH=tan∠EOF===．

故选：A．

二、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分） 11．（4.00分）计算：（π﹣3.14）0﹣2﹣2×

2014

+（tan60°﹣2）2013（4sin30°+

）

+= 1 ．

﹣2）2013×（4×++2）+1+

【解答】解：原式=1﹣×（﹣4）+（=1+1+（=2﹣2﹣=1， 故答案为：1

﹣2）2013×（+1+

）2014+

+2）2013（

12．（4.00分）已知实数x，y满足方程（x2﹣4x+6）（9y2+6y+6）=10，则yx= 【解答】解：∵（x2﹣4x+6）（9y2+6y+6）=10， ∴[（x﹣2）2+2][（3y+1）2+5]=10， ∴x﹣2=0，3y+1=0， 解得x=2，y=﹣， ∴yx=

=．

．

故答案为：．

13．（4.00分）如图，正方体（图1）的展开图如图2所示，在图1中M、N分

第17页（共33页）

别是FG、GH的中点，CM、CN、MN是三条线段；请在图2中画出CM、CN、

MN这三条线段 ．

【解答】解：作图如下：

故答案为：

．

14．（4.00分）已知实数x满足方程【解答】解：设则原方程化为y﹣=2， ∴y2﹣2y﹣3=0， 解得：y1=3，y2=﹣1， 当y1=3时，∴x2﹣3x+2=0， ∵△=1＞0，

∴y1=3符合题意，当y2=﹣1，

=3，

=y，

﹣=2，则= 3 ．

=﹣1，

第18页（共33页）

∴x2，+x+2=0， ∵△=﹣71＜0， ∴y2=﹣1不符合题意， 故答案为3．

15．（4.00分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连结CE交DB、DF于G、H，则EG：GH：HC= 5：4：6 ．

【解答】解：过点G作GP∥BC交DF于P，如图所示： 则

，

设GH=2a，则HC=3a， ∴EG=a，

∴EG：GH：HC=5：4：6． 故答案为：5：4：6．

16．（4.00分）已知直线l1：y=x﹣a﹣3和直线l2：y=﹣2x+5a相交于点A（m，n），其中a为常数，且m＞n＞0，化简|1﹣a|﹣【解答】解：根据题意得：解得：∵m＞n＞0，

，

，

= 1 ．

第19页（共33页）

∴∴a＞2， ∴|1﹣a|﹣

，

=a﹣1﹣（a﹣2）=1．

故答案为：1．

17．（4.00分）在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，4），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为 （﹣2，0） ．

【解答】解：作点A（﹣1，﹣1）关于x轴的对称点A′（﹣1，1），作直线A′B交x轴于点M，

由对称性知：MA′=MA， ∴MB﹣MA=MB﹣MA′=A′B，

若N是x轴上异于M的点，则NA′=NA，这时NB﹣NA=NB﹣NA′＜A′B=MB﹣MA′， 所以，点M就是使MB﹣MA的值最大的点，MB﹣MA的最大值是A′B， 设直线A′B的解析式为：y=kx+b， 把A′（﹣1，1），B（2，4）代入得：解得：

，

，

∴直线A′B的解析式为y=x+2， ∵点M为直线A′B与x轴的交点， 当y=0时，x+2=0， x=﹣2，

∴点M的坐标为（﹣2，0）． 故答案为：（﹣2，0）．

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