初中数学论文：中考数学“新定义”试题浅析

中考数学“新定义”试题浅析

随着新课改的深入，中考试题中考查学生的学习能力，促进学生发展的创新型试题不断地涌现。而“新定义”试题是创新型试题的主要表现之一，也是2009年中考数学试题中的一个热点。“新定义”试题具有新颖公平的问题背景，且与已学数学知识密切关联的知识基础，能有效考查学生的数学阅读理解能力和运用已学知识分析问题、解决问题的综合能力，在中考试题中有较好地效度。现举例说明如下： 考点一：利用“新定义”构建数、式模型 例1、（2009年绍兴市）李老师从油条的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数

轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后（点A与B重合）再均匀地拉成1

个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB上的

1，4311均变成，变成1，等）．那么在线段AB上（除A，B）的点中，在第二次操作422后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是____________．

A

B

0 1 21 ?3 ?2 ?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （例3图）

1311，均变成，变成1， ∴在第二次操作后，44221313原线段AB上的，均变成1，∴点所对应的数之和是??1。

4444解：∵在第一次操作后，原线段AB上的

【剖析】本题是一道PISA型试题，以学生已学的数轴和已有的生活经验为基础，对某种操作进行了新的定义。解答本题，关键是要读懂新定义中“一次操作”的真正含义：先对折再拉长到与原线段长度相等的线段即为1个单位长度。第一次操作后，在拉长后

1处为对折点，均匀21131变成1，原线段AB上的，均变成，这在题目中已有提示。第二次操作后，2442113在线段处有两个数和为对折点，均匀拉长后这两个数都江堰市变为1，根据题意，

24413在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点对应的数为和，这样马上可以得出结论。

4413解：??1。本题是对学生的抽象概括、空间想象能力要求较高。

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例2、（2009年台州市）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式

为完全对称式，如a?b?c就是完全对称式.下列三个代数式：①(a?b)2；②

ab?bc?ca；

③ab?bc?ca．其中是完全对称式的是( A )

A．①② B．①③ C． ②③ D．①②③

解：由新定义“完全对称式”知，①?a?b???b?a?，所以是完全对称式；②若将a、b字母交换，则ab?bc?ca变为ba?ac?bc，∵ab?bc?ca=ba?ac?bc，∴是完全对

22c称式；③若将a、b字母交换，则ab?b?22c变a为b2a?a?c222222c，b∵

2a2b?b?c22c?ab2a?a?c2c，∴不是完全对称式。b

所以答案应选择为（A）

【剖析】本题是以已学的整式的乘除、乘法公式为知识为基础，对代数式的变换进行了新的定义。解答本题，关键是要读懂新定义中数学的本质含义，在理解“新定义”的基础上，再进行具体的代入、计算、判断，就能把问题解决。

考点二：利用“新定义”构建方程、函数模型

例3、（2009年孝感）对于任意两个实数对（a，b）和（c，d），规定：当且仅当a＝c且b＝d时， （a，b）=（c，d）．定义运算“?”：（a，b）?（c，d）=（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）?（p，q）=（5，0），则p＝ ，q＝ ．

解：由新定义“?”运算规定得：∵（a，b）?（c，d）=（ac－bd，ad＋bc），∴ （1，2）?（p，q）=?p?2q,q?2p?，∴?p?2q,q?2p???5,0?

∴??p?2q?5?p?1 ， 解得：?， 所以答案为：1，–2;

?q?2p?0?q??2【剖析】本题是以学生已学的实数运算和二元一次方程组为知识基础，给出了一个新定义的运算法则，学生在阅读和理解新运算的基础上，来解决与新运算有关的问题。这类试题考查了学生的逻辑推理能力，由一般到特殊地读懂新运算的本质，关键是要准确理解新符号的数学意义。

例4、（2009年杭州市）某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如

下：第k棵树种植在点Pk(xk，yk)处，其中x1?1，y1?1，当k≥2时，

k?1k?2?x?x?1?5([]?[])kk?1??55，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.6]=2，??y?y?[k?1]?[k?2]kk?1?55?[0.2]=0。按此方案，第2009棵树种植点的坐标为

A.（5，2009） B.（6，2010） C.（3，401） D（4，402） 解：从特殊点的坐标出发，来探求它的变化周期性，从而来得出一般性的结论。 ∵x2?1?1?5????????2?5?0?2，y2?1???????1?0?1，∴p1?1,1?

5555∵x3?2?1?????????3?5?0?3，y3?1???????1?0?1，∴P2?2,1? 5555同理可得：PPPP,2?，PPPP3?3,1?，4?4,1?，5?5,1?，6?17?2,2?，8?3,2?，9?4,2?，10?5,2?，

??1??0?????????1??0???????2??1?????????2??1?????P,3?，…，得出五个数的循环。所以2009?5?401……4， 11?1所以x2009?x4?4，y2009?401?1?402，因此得结论P2009?4,402?。

【剖析】本题是一道探索性试题，以学生已学的点的坐标和已有的探究经验为基础，对[a]的数学符号进行了新的定义, 即：[a]表示非负实数a的整数部分。解答本题，关键是要读懂新定义中“[a]”的真正含义，先通过对特殊和简单数的探索对折再拉长到与原线段长度相

1处为对折点，均 2例5、（2009年义乌市）已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图像

等的线段即为1个单位长度。第一次操作后，在

上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形。例如：如图，正方形ABCD是一次函数y?x?1图像的其中一个伴侣正方形。

（1）若某函数是一次函数y?x?1，求它的图像的所有伴侣正方形的边长； （2）若某函数是反比例函数y?k(k?0)，他的图像的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）x2（m <2）在反比例函数图像上，求m的值及反比例函数解析式；

（3）若某函数是二次函数y?ax?c(a?0)，它的图像的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）.写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标 ， 写出符合题意的其中一条抛物线解析式 ，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个

数是奇数还是偶数？ 。(本小题只需直接写出答案)

简解：（1）如图（1），正方形边长为12； 32； x1223（3）??1,3?，?7,?3?，??4,7?，?4,1?对应的函数为y?x?，

88722233213255y?x?，y?x?，y?x?。

40407777（2）如图（2），∵△ADE≌△BAD≌△CBF，∴解得反比例函数为y?【剖析】本题以正方形和一次函数、反比例函数、二次函数为知识基础

和问题背景，给出了“函数图像的伴侣正方形”的新定义，解答本题，关键是读懂“新定义”，看懂函数图象。本题主要考查了全等三角形、点坐标、函数图象等相关知识和数形结合思想的运用，考查学生综合运用知识的能力。 例6、（2009年益阳市）阅读材料：

如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S?ABC?平宽与铅垂高乘积的一半.

1ah，即三角形面积等于水2y C B

铅垂高

C D 1 O

水平宽 a

1

A

x

h B

解答下列问题：

如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B. （1）求抛物线和直线AB的解析式；

（2）点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S?CAB； （3）是否存在一点P，使S△PAB=明理由.

简解：解：(1) y1??(x?1)2?4??x2?2x?3

9S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说8y2??x?3

(2)CD＝4-2＝2

S?CAB?1?3?2?3(平方单位) 222(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，

△PAB的铅垂高为h，则铅垂高h?y1?y2?(?x?2x?3)?(?x?3)??x?3x

1992S△CAB，得：?3?(?x?3x)??3 82832化简得：4x?12x?9?0，解得，x?

233152将x?代入y1??x?2x?3中，解得P点坐标为(,)

224由S△PAB=

【剖析】本题以阅读材料的形式提出了新定义：△ABC的“水平宽”、“铅垂高(h)”，从而得出一种计算三角形面积的新方法：S?ABC?1ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积2的一半.运用新定义中的新方法，可解答一类在以抛物线为背景下的斜三角形的最大面积问题，解答本题，关键是读懂“新定义”和理解运用新公式。本题主要考查学生阅读理

解能力和数形结合思想的运用。以

考点三：利用“新定义”构建四边形、相似形模型 例7、（2009年台州市）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的

点叫凸四边形的准内点．如图1，PH?PJ，PI?PG，则点P就是四边形ABCD的准内点． E

A J

A B G J G P D H D I P C I F 图3 图4

图2 B C H

（第23题）

图1 （1）如图2， ?AFD与?DEC的角平分线FP,EP相交于点P． 求证：点P是四边形ABCD的准内点．

（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．

（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明） （3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”． ①任意凸四边形一定存在准内点．（ ） ②任意凸四边形一定只有一个准内点．（ ）

③若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则PA?PB?PC?PD

或PA?PC?PB?PD．( )

简解：（1）如图2，过点P作PG?AB,PH?BC,PI?CD,PJ?AD， ∵EP平分?DEC， ∴PJ?PH．

同理 PG?PI，∴P是四边形ABCD的准内点． G（2） HADADA

EGPPE1 1 BCBCFB

图3（1）

图3（2）

DP2 图4

FC平行四边形对角线AC,BD的交点P1就是准内点，如图3（1）. 或者取平行四边形两对边中点连线的交点P； 1就是准内点，如图3（2）梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点P2就是准内点．如图4. （3）真；真；假．

【剖析】本题以四边形、特殊四边和角平分线的性质为知识基础，给出了“四边形ABCD的准内点”的新定义，解答本题，关键是读懂“新定义”和看懂几何图形，理解点到直线的距离和

角平分线的性质是解题的关键。本题主要考查学生的数学阅读理解能力、逻辑推理能力和画图操作能力。

例8、（2009年绍兴市）若从矩形一边上的点到对边的视角是直角，则称该点为直角点．例如，如图的矩形ABCD中，点M在CD边上，连AM，BM，?AMB?90°，则点M为直角点． （1）若矩形ABCD一边CD上的直角点M为中点，问该矩形的邻边具有何种数量关系？

M 并说明理由； D （2）若点M，N分别为矩形ABCD边CD，AB上的直角点，且AB?4，BC?3，求MN的长． 解：（1）AB=2AD，如图（1）

∵ 直角点M为CD边的中点，∴ MD=MC， ∵AD=BC ，∠D=∠C=Rt∠,

∴ △ADM≌△ADM，∴∠AMD=∠BMC ∵∠AMB=Rt∠, ∴∠AMD+∠BMC=90°

∴∠AMD=∠BMC=45°，∴ AD=DM，∴AB=2AD 如图（2），作MH⊥AB于点H，连结MN， ∵∠AMB=90°，∴∠AMD+∠BMC=90°， ∵∠AMD+∠DAM=90°，∴∠DAM=∠BMC， 又∵∠D=∠C，∴△ADM∽△MCB， ∴

A DC

B

（例8图）

MCA(1)BADDM34?MC?，既，∴MC?1或3。 ?MCBCMC3当MC?1时，AN?1，NH?2。 ∴MN?MH?NH?∴MN?7 当MC?3时，MN?BC?3 【剖析】本题以全等三角形、矩形和相似三角形为知识基础，给出了“直角点”的新定义，解答本题，关键是读懂“新定义”和看懂几何中的基本图形。本题主要考查学生逻辑推理能力和分类讨论思想的运用，以及解方程和计算能力。解答本题，可从不同角度和思路来解答，是一道解法多样性的试题。

年湖州市）若P为△ABC所在平面上一点，且?APB??BPC??CPA?120°，则点P叫做△ABC的费马点. （1） 若点P为锐角△ABC的费马点，且

A B? ?ABC?60°，PA?3，PC?4，则PB的值为________； 例

9、（2009

C 第（25）题 B 222?3?2?22?7

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