平面向量学生版

第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入

第一节 平面向量的基本概念与线性运算

考纲要求：

1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表

示；

2. 掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义；

3. 掌握向量的数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义； 4. 了解向量线性运算的性质及其几何意义。

考点梳理：

1．向量的有关概念 (1)向量：既有________又有________的量叫做向量，向量的大小叫做向量的________(或模)． (2)零向量：________的向量，其方向是任意的． 3)单位向量：长度等于__________的向量．

(4) 平行向量：方向________的非零向量．平行向量又叫________． 规定：0 与任一向量平行．

(5)相等向量：长度________的向量． (6)相反向量：长度________的向量． 2．向量的加法和减法

(1)加法法则：服从三角形法则，平行四边形法则． 运算性质：a＋b＝________；(a＋b)＋c＝________.(2)减法与________互为逆运算；服从三角形法则． 3．实数与向量的积

(1)实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作λa，规定：

①长度：|λa|＝________；②方向：当________时，λa 与 a 的方向相同；当________时，λa与a的方向相反；当________时，λa＝0．

(2)运算律：设 λ、μ∈R，则：① λ(μa)＝________；②(λ＋μ)a＝________；③λ(a＋b)＝________． 4．两个向量共线定理

向量 b 与 a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得________成立。

基础自测：

1．(教材改编题)平面向量a，b 共线的充要条件是（ ）

A．a，b方向相同 B．a，b两向量中至少有一个为零向量 C．??∈R，b＝?2．已知O、

a D．存在不全为零的实数 ?1、?2，使?1a＋?2b＝0

A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C,满足2AC?CB?0,则

OC?( )

- 1 -

A．2OA?OB B．?OA?2OB C．

1221OA?OB D．?OA?OB

33333．已知向量a、b，且AB?a?2b，BC??5a?6b，CD?7a?2b，则一定共线的三点是（ ）

A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D

讲练互动：

考向一 向量的有关概念 例1给出下列四个命题：

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a?b，则a??b；

③若AB?DC，则ABCD为平行四边形；

④若a//b，b//c，则a//c. 其中不正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

变式训练:

(1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；(2)两个向量不能比较大小，但它们的模能 比较大小；(3)?a＝0(?为实数)，则?必为零；(4) 已知?，?为实数，若?a??b，则

a与 b共线。

其中错误的命题的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

考向二 向量的线性运算

例2 设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC则AM2?16，AB?AC?AB?AC，

?( )

A．8 B．4 C．2 D．1

延伸探究：

1. 若在例2的条件下，再添加一个条件

- 2 -

AC?22，试判断?ABC的形状。

2. 在?ABC中，AB?c,AC?b，若点D满足BD?2DC，则AD?( )

21521b?c B．c?b 33332112C．b?c D．b?c

3333A．

考向三 共线向量定理的应用 例3 设两个不共线的非零向量e1,e2。

(1)如果AB?e1?e2，BC?3e1?2e2，CD??8e1?2e2，求证：A、C、D三点共线． (2)如果AB?e1?e2，BC?2e1?3e2，AF?3e1?ke2，且

A、C、F 三点共线，求

k的值．

变式训练：(1)如图，在?ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交→→→→

直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m?n的值为________

(2) 设a，b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，t?R，t为何值时，a，tb，

1a?b三向量的终点在一条直线上？ 3

- 3 -

??巩固练习： 1．(2012·青岛质检)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的 a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是（ ）

A．若 a 与 b 共线，则 a⊙b＝0 B．a⊙b＝b⊙a

C．对任意的 λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b) D．(a⊙b)＋(a·b)＝|a||b|

2．(2012年*四川卷)设设a,b是两个非零向量。下列四个条件中，使件是（ ）

A．a??b B．a//b C．a?2b D．a//b,且a

→→→

3．已知AB＝a?2b，BC＝?5a?6b，CD＝7a?2b，则下列一定共线的三点是( ) A．A、B、C B．A、B、D C．B、C、D D．A、C、D

→→→

4.（2012·揭阳模拟)已知点O为?ABC外接圆的圆心，且OA＋OB＋OC＝0，则?ABC的内角A等于( )

A．30 B．60

C．90 D．120

→→→

5．已知P是?ABC所在平面内的一点，若CB＝λPA＋PB，其中??R，则点P一定在( ) A．?ABC的内部 B．AC边所在直线上 C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上

→→→

6．设O在?ABC的内部，D为AB的中点，且OA＋OB＋2OC＝0，则?ABC的面积与?AOC的面积之比为( )

A． 3 B．4 C． 5 D． 6

→1→→

7．(2012·济南质检)如图4－1－4，在?ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝

3

→2→

mAB＋AC，求实数m的值．

11

?2222aa?bb成立的充分条?b

???

- 4 -

第二节 平面向量的基本定理及坐标运算

考纲要求：

1．了解平面向量的基本定理及其意义； 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；

3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

考点梳理：

1．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个________的向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对实数?1，?2，使a?________成立。

2．平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a?xi?yj，把有序数对________叫做向量a的坐标，记作a＝________． 3．平面向量的坐标运算: 已知a??x1,y1?,b??x2,y2?

AB?________

(1)AB?________ (2)a?b?________

(3)a//b?________

基础自测：

1．(教材改编题)若向量a?a?b?________ ?a?________

a?b?________

?1,1?,b???1,1?,c??4,2?，则c＝( )

3a?b C．?a?3b D．a?3b

A．3a?b B．

2．(2012·中山调研)已知平面向量a??x,1?，b???x,x2?，则向量a?b( )

A．平行于x轴 B．平行于第一、三象限的角平分线 C．平行于y轴 D．平行于第二、四象限的角平分线 3．设向量

a??1,?3?,b???2,4?，若表示向量 4a、3b?2a、c的有向线段首尾相接能

构成三角形，则向量c为（ ）

A．?1,?1? B．??1,1?

- 5 -

C．??4,6? D．?4,?6?

?3,1?,b??0,?1?,c??k,3?，若a?2b与c共线，则k＝

4．(2011·北京高考)已知向量a?_______．

考向一 平面向量基本定理的应用

例1 在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若

AC??AE??AF，其中?,??R，则???＝________

变式训练：

（1）如图，在?ABC中，AD?2DB,CB?a,CA?b，则向量CD?( )

1212a?b B．b?a 33333443C． a?b D．a?b

5555(2)(2012年*大纲全国卷)?ABC中，AB边上的高为CD。若

A．

CB?a,CA?b,a?b?0,a?1,b?2，则AD?（ ） 1122a?b B．a?b 33333344C． a?b D．a?b

5555A．

考向二 平面向量的坐标运算

4，B3，?1，C例2 已知A?2，??????3，?4?．设AB?a，且CM?3c，CA?c，BC?b，

CN??2b，

(1)求：3a?b?3c；

(2)求满足a?mb?nc的实数m,n； (3)求

- 6 -

M、N的坐标及向量MN的坐标．

变式训练：

已知点A??1,2?,B?2,8?以及AC?11AB,DA??BA，求点C、D的坐标和CD的坐标。 33

考向三 平面向量共线的坐标表示

例3（1）（2011年*广东高考）已知向量a?与c共线，则?A．

?1,2?,b??1,0?,c??3,4?，若?为实数，a??b?（ ）

11 B． 42C． 1 D． 2

（2）（2012年*郑州质检）若平面向量a,b满足则a= ________

变式训练：

（2012年*重庆卷）设x,y?R，向量a?a?b?1，且a?b平行于x轴，b??2,?1?，

?x,1?,b??1,y?,c??2,?4?,且a?c,b//c，则

a?b=（ B ）

A.

5 B. 10 C. 25 D. 10

考向四 与平面向量有关的存在探索性问题 例4 设坐标平面上有三点A、B、C,ij分别是平面上x轴、y轴正方向上的单位向量，

若向量AB?i?2j,BC?i?mj，那么是否存在实数m，使A、B、C三点共线。

变式训练：设i、

j分别是平面直角坐标系Ox，Oy轴正方向上的单位向量，且

OA??2i?mj,OB?ni?j,OC?5i?j，若点A、B、C在同一条直线上，且m?2n，

求实数m、n的值．

- 7 -

巩固练习：

1．(211年*湖南高考)设向量a,b满足a?25,b??2,1?，且a与b的方向相反，则a的坐

标为________

2．（2012年*沈阳质检）已知

1A?7,1?,B?1,4?，直线y?ax与线段AB交于C，且

2AC?2CB，则实数a等于（ ）

A．

3．设向量a?A．

45 B． C． 1 D． 2 5311??1,0?,b???,?，则下列结论中正确的是(

?22?)

a?b B．a?b?2 C．a?b?b D．a//b 2??→→→

4．在?ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，且AN＝?AB＋?AC，则

???的值为(

A.

)

111 B. C. D．1 234

5．（2012年*天津卷）已知

?ABC为等边三角形,AB?2。设P,Q满足

3AP??AB,AQ??1???AC,??R。若BQ?CP??，则?=（ ）

211?21?10?3?22A. B. C. D.

2222

6．已知向量a??sin?,cos??2sin??,b??1,2?．

(1)若a//b，求tan?的值； (2)若

- 8 -

a?b，???0,??，求?的值．

第三节 平面向量的数量积

考纲要求：

1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系；

3. 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

4. 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

考点梳理：

1．平面向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量________叫做a与b的数量积(或内积，或点积)．

规定：零向量与任一向量的数量积为 0 ． (2)几何意义：数量积 a·b 等于a的长度|a|与b在a方向上的投影________的乘积．或等于b的长度|b|与a在b方向上的投影________的乘积。 2．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a； (2)(λa)·b＝________＝________．λ∈R； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

3．平面向量数量积的性质 设非零向量a??x1,y1?，b??x2,y2?，?a,b???．

基础自测：

1．(教材改编题)已知向量a、b满足A.

a?1,b?4,a?b?2，则a与b的夹角为( )

???? B. C. D. 64322．已知a???3,2?,b???1,0?，向量??a?b???a?2b?垂直，则实数?的值为( )

A.?

1111 B. C. ? D.

7676- 9 -

3．（2012年*辽宁卷）已知两个非零向量a，b满足（ ）

a?b?a?b，则下面结论正确的是

A．a//b B．a?b C．4．(2011·湖北高考)若向量a?A．

a?b D．a?b?a?b

)

?1,2?,b??1,?1?，则?2a?b,a?b?等于(

??3? C. D.

4464?5．（2012年*课标全国卷）已知向量a,b的夹角为，且a?1,2a?b?10，则

4? B.

?b?________

讲练互动：

考向一 平面向量数量积的概念与运算 例1（1）若a?

?3,?4?，b??2,1?，则?a?2b???2a?3b??________

（2）（2011年*湖南高考）在边长为1的正三角形ABC中，设BC?2BD，CA?3CE，则AD?BE?________

延伸探究：

(1) 若将本例中第(2) 题改为“在△ABC 中”，如图所示，

AD?AB,BC?3BD，则

AC?AD?( )

A.23 B.

33 C. D.3 23(2)(2011·江西高考)已知两个单位向量e1，e2的夹角为

?，若向量 3b1?e1?2e2,b2?3e1?4e2，则 b1?b2?________．

考向二 向量的夹角与模 例2 已知a?4,b?3,2a?3b?2a?b?61，

????(1)求a与b的夹角?； (2)求a?b；

(3)若AB?a,BC?b，求ABC的面积．

- 10 -

变式训练：

(1)(2011·江西高考)已知向量a、b，且夹角为________．

(2)(2012·余杭调研)已知平面向量?,?，?是________．

考向三 平面向量的垂直

a?b?2|，a?2b?a?b??2， 则a与 b的

?1,??2，????2?， 则2???的 值

??????例3（1）（2011年*课标全国卷）已知向量a,b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a?b与向量ka?b垂直，则k=________.

（2）（2012年*浙江卷）设a,b是两个非零向量。（ ） A. 若a?b?a?b，则a?b

a?b?a?b

B. 若a?b，则C. 若a?b?a?b，则存在实数?，使得b??a

a?b?a?b

D. 若存在实数?，使得b??a，则

变式训练： （1）已知向量a?A.?

?1,2?,b??2,?3?，若向量c满足?c?a?//b,c??a?b?，则c?（ ）

?77??77?，? B. ?-，-? C. 9339?????77??77?-? ?，? D. ?-，3993????（2）若?ABC的三个内角A、 B、C成等差数列且AB?AC?BC?0，则?ABC一定

是( )

A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角非等腰三角形

巩固练习：

1．（2011年*广东高考）若向量a,b,c满足a//b，a?c，则c?A.4 B.

???a?2b??（ ）

- 11 -

3 C. 2 D. 0

2．（惠州质检）在Rt?ABC中，?C?A．?16 B．

?2→→

，AC?4，则AB·AC等于( )

?8 C． 8 D． 16

→→→

3．已知P是边长为2的等边?ABC的边BC上的动点，则AP·(AB＋AC) ( ) A．最大值为8 B．是定值6 C．最小值为2 D．是定值2 4．（2012年*江西卷）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则

PA?PBPC222=( )

A．2 B．4 C．5 D．10

5．（2012年*广东卷）对任意两个非零的平面向量?，?，定义??????。若平面向???????n?量a,b满足a?b?0,a与b的夹角???0,?，且a?b和b?a都在集合?|n?Z??4??2??中，则a?b=( ) A．

6．(2011年*浙江高考)若平面向量?,?满足?边形的面积为

7．已知向量a?

8．（2012年*安微卷）若平面向量a,b满足

9．(2012·常州调研)在平面直角坐标系xOy中，已知点A?1,?2，B(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

→→→

(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值．

135 B．1 C． D． 222?1,??1，且以向量?,?为邻边的平行四

1，则??,???________。 2?1.sin??,b??1,3cos?，则|a?b的最大值为________．

?2a?b?3，则a?b的最小值为_______。

???2,3?，??2,?1?．

- 12 -

第四节 平面向量的应用举例

考纲要求：

1. 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；

2. 会用向量方法解决某些简单的力学问题和其他一些实际问题；

考点梳理：

1．向量在几何中的应用

(1)证明线段平行或点共线问题，常用共线 向量定理：a//b?a??b?x1y2?x2y1?0b?0．

??(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：

a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0.

(3)平面几何中夹角与线段长度计算，常用

?1?cos?a,b??a?b?abx1x2?y1y2x?y22121x?y2222

?2?AB?AB?AB??x2?x1?2??y2?y1?2

2．向量在物理中的应用

(1)向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用． (2)向量在速度的分解与合成中的应用．

(3)向量的数量积在合力做功问题中的应用：W＝f·s. 3．向量与相关知识的交汇

平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．

基础自测:

1．(教材改编题)若向量OF1（ ） A.

??2,2?,OF2???2,3?分别表示两个力F1,F2，则F1?F2为

2.5 B. 42 C. 22 D. 5

ABC所在平面上一点，若OA?OB?OB?OC?OC?OA，则O是

2．已知O是三角形

?ABC的（ ）

A. 内心 B. 重心 C. 外心 D. 垂心 3．（2012年*江苏卷）在矩形ABCD中，AB?边CD上，若AB?AF?2,BC?2，点E为BC的中点，点F在

2，则AE?AF的值是________.

4．平面直角坐标系xOy系中，若定点A1,2与动点P

???x,y?满足OP?OA?4，则点P的

- 13 -

轨迹方程是________

讲练互动：

考向一 向量在平面几何中的应用

例1(1)如图所示，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB＝90°， CA＝CB，D为 BC 的中点，E 是 AB 上的一点，且 AE＝2EB. 求证：AD⊥CE。 (2)（2012年*北京卷）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE?CB的值为_______；DE?DC的最大值为为_______。

变式训练：

(2011·天 津 高 考 ) 已 知 直 角 梯 形

ABCD中，AD//BC，?ADC??2，

AD?2,BC?1，P是腰DC上的动点，则PA?3PB的最小值为________

考向二 向量在物理中的应用

例2 如图所示，已知力F与水平方向的夹角为30(斜向上)，F的大小为50N，F拉着一个重80N的木块在摩擦因数???0.002的水平平面上运动了20，问

F、摩擦力f所做的功分别为多少？

变式训练：

一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知 成

F1、F2

?角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为( ) 327 B. 25 C. 2 D. 6

- 14 -

A.

考向三 向量在三角函数中的应用 例3 (2012·南京模拟)已知向量a??cos?,sin??,b??cos?,sin??，c???1,0?．

(1)求向量a?b的长度的最大值； (2)设???4且a??b?c?，求cos?的值。

变式训练： 已知向量a?(1)若x??cosx,sinx?,b???cosx,cosx?，c???1,0?．

?6，求向量a,c的夹角；

(2)当x?????9??,?时，求函数f?x??2a?b?1的最大值． 28??

考向四 向量在解析几何中的应用 例4 已知点P?0,?3?，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足PA?PM?0，

3AM??MQ，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．

2

变式训练：

设过点Px,y的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关

??于y轴对称，O为坐标原点，若BP?2PA,OQ?AB?1，求P点的轨迹方程．

- 15 -

巩固练习： 1.共点力F1??lg2,lg2?,F2??lg5,lg2?作用在物体上，产生位移s??2lg5,1?，则共点力

对物体所做的功W为( )

A． lg2 B． lg5 C． 1 D． 2

2.(2011·课标全国卷)已知a与b均为单位向量，其夹角为?，有下列四个命题：

2π2π

p1：a?b?1?θ∈[0，) p2：a?b?1?θ∈(，π]

33ππ

p3：a?b?1?θ∈[0，) p4：a?b?1?θ∈(，π]

33

其中的真命题是( )

A．p1，p4 B．p1，p3 C．p2，p3 D．p2，p4

3．已知向量a??1,0?,b??0,1?，若向量c??m,n?满足?a?c???b?c??0，则点?m,n?到

直线x?y?1?0的距离的最小值为( )

A.

12 B. 1 C. D. 2 22???Asin??x????A?0,??0,???在一个周期内的图象如

2??图所示，M,N分别是这段图象的最高点和最低点，且OM?ON?0(O为坐标原点)，则A4．(2012·郑州调研)若函数y?等于( )

A.

?7? B. 612 C.

7? D. 67? 35.已知在?ABC中，AB?a,AC?b,a?b?0,S?ABC?15，4a?3,b?5，则?BAC等于________．

6．已知i,j分别是与x,y轴方向相同的单位向量，一动点P与M?1,1?连结而成的向量与另一向量n?4i?6j垂直，动点P的轨迹方程是________．

7．在?ABC中，?A?2??1?，BC?3，向量m???,cosB?,n??1,tanB?，且m?n，3?3?则边AC的长为________．

8.（2012年*湖南卷）在?ABC中，AB?2,AC?3,AB?BC?1,则BC?________.

- 16 -

第五节 数系的扩充与复数的引入

考纲要求：

1. 理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；

2. 了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在平面上用点或者向量表

示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示；

3. 能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义。

考点梳理：

1．复数的有关概念

(1)复数的概念：形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中 a，b 分别是它的实部和虚部．若________，则 a＋bi 为实数，若________，则 a＋bi 为虚数，若________，则 a＋bi 为纯虚数．

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di?________ (a，b，c，d∈R)．

(3)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭?________ (a，b，c，d∈R)．

(4)复数的模：向量OZ的模 r 叫做复数 z＝a＋bi 的模，即|z|＝|a＋bi|＝________． 2．复数的几何意义

复数z＝a＋bi 与复平面内的点_______，与平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系． 3．复数的运算

(1)运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），

（2）几何意义：

复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行。如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即

OZ?OZ1?OZ2,Z1Z2?OZ2?OZ1

基础自测：

1．(教材改编题)在复平面内，复数6?5i,?2?3i6＋5i，对应的点分别为A,B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )

A．4?8i B．8?2i C．2?4i D．4?i 2．(2012年*湖北卷) A．

x2?6x?13?0的一个根是( )

?3?2i B．3?2i C．?2?3i D．2?3i

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3．（2012年*陕西卷）设a,b?R，i为虚数单位，“ab?0”是“复数a?bi为纯虚数”的

（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2012年*课标全国卷）下面是关于复数z?2的四个命题： ?1?iP1:z?2； P2:z2?2i；

P3:z的共轭复数为1?i； P4:z的虚部为?1。

其中真命题为：（ ）

A．P1,P2 C．P2,P4 D．P2,P3 B．P3,P4

讲练互动：

考向一 复数的有关概念

例1 (1)(2012年*湖南卷) 设i是虚数单位，若复数z (2)(2011·安徽高考)设i是虚数单位，复数

??3?i?2，则z＝________.

1?ai为纯虚数，则实数a为（ ） 2?i11A．2 B． ?2 C． ? D．

22

变式训练：

（1）（2012年*大连质检）设a,b为实数，若复数（2）已知复数z11?2i?1?i，则2a?bi?______. a?bi?3?i,z2是复数?1?2i的共轭复数，则

iz2?的虚部是________. z14考向二 复数的代数运算

例2 (2011·上海高考)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z2的虚部 为2，且z1?z2是实数，求z2.

变式训练：

（1）（2012年*江苏卷）设a,b?R，且a?bi?i是虚数单位，（2）(2012年*长沙调研)已知复数z11?7i，则a?b?_______； 1?2i??1?3i?3?i2，z是z的共轭复数，则z?z等于（ ）

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A．

11 B． 2 C． 1 D． 422?i（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ） 2?i

考向三 复数及运算的几何意义 例3 复数z?A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

变式训练：

设O坐标原点，复数z?i13，且复数z与?i分别在复平面内对应点Z与A，试求1?i22OZ?OA所对应点的坐标。

巩固练习：

1．（2011年*浙江高考）把复数z的共轭复数记作z，i为虚数单位，若z?1?i，则

?1?z??z=( )

A．3?i B． 2．(2012年*合肥模拟)若复数的值为（ ）

3?i C． 1?3i D． 3

?sin??i???? 是纯虚数，则角?-???,i是虚数单位??2?i?22???? B． - C． 0 D． -

626a?i3．a为正实数，i为虚数单位，?2，则a＝( )

iA． 2 B. 3 C. 2 D． 1

A．

4．已知i是虚数单位，若实数x,y满足?1?i??x?yi???1?i??2?3i?，则点P?x,y?所在的象限是( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

????5．(2012·沈阳模拟)已知复数z1?cos23?sin23i和复数z2?cos37?sin37i，则

z1?z2为( )

13311331A.＋i B.＋i C.－i D.－i 22222222

z2均为实数(i为虚数单位)，且复数?z?ai?在复平面上对应2?i的点在第一象限，求实数a的取值范围．

6．已知z是复数，z?2i,

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