2012综合问题(动态、图形变换、存在性)综合讲解

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2012综合问题讲解------动态问题1

例1：在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝８ｃｍ，ＡＢ＝６ｃｍ，现有一动点Ｐ按如图所示的方式在矩形内运动：它从Ａ点出发，沿着与ＡＢ夹角为４５゜的方向做直线运动，每当碰到矩形的边时，按光线的传播规律前进，问：Ｐ点第一次与Ｄ点重合前与边相碰几次？Ｐ点第一次与Ｄ点重合时所经过的路线总长度是多少？

例２：如图过Ａ（８,０），Ｂ（０，83）两点的直线与直线y?3x交于Ｃ点。平行于ｙ轴的直线l从Ｏ出发，以每秒１个单位长度的速度沿ｘ轴向右运动，到点Ｃ时停止，l分别交线段ＢＣ、ＯＣ与点Ｄ、Ｅ，以线段ＤＥ为边向左侧作等边△ＤＥＦ，设△ＤＥＦ与△ＢＯＣ重叠部分的面积为Ｓ，直线l的运动时间为ｔ秒。

①直接写出Ｃ点坐标和ｔ的取值范围； ②求出Ｓ与ｔ的函数关系式；

③设直线l与Ｘ轴交与点Ｐ。是否存在这样的点Ｐ，使得以Ｐ、Ｏ、Ｆ为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出Ｐ点坐标；若不存在，请说明理由。

综合练习第 1 页

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例3：如图两个直角边为6的全等的等腰直角三角形按如图①所示的位置放置，A与C重合，O与E重合。①求图①中的A、B、Ｄ三点的坐标；②Ｒｔ△ＡＯＢ固定不动，Ｒｔ△ ＣＤＥ沿着Ｘ轴以每秒２个单位长度的速度向右运动，当Ｄ点与Ｂ点重合时停止，设运动ｘ秒后两三角形重叠部分的面积为ｙ，求ｙ与ｘ之间的函数关系式；③当ｘ＝４时，如图②所示，求经过Ａ、Ｇ、Ｃ三点的抛物线的解析式。

例４：如图所示，四边形ＯＡＢＣ是矩形，点Ａ（３,０），Ｃ（０,１），点Ｄ是线段ＢＣ上的动点（不与端点重合），过Ｄ点做直线y??1x?b交折线ＯＡＢ于点Ｅ，设△ＯＤＥ的面积为Ｓ。①求Ｓ与ｂ的函数关系式；②当Ｄ点在线2段ＯＡ上时，若矩形ＯＡＢＣ关于折线ＤＥ的对称图形为ＯＡ１Ｂ１Ｃ１试探究矩形ＯＡ１Ｂ１Ｃ１与矩形ＯＡＢＣ的重叠面积是否发生变化，若不变，求出该面积；若改变，请说明理由。

综合练习第 2 页

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练习题

１、如图，菱形ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝６０゜，点Ｅ、Ｆ分别从点Ｂ、D出发以相同的速度沿BC、DC向点C运动，给出下列四个结论：① AE=AF ，② ∠CEF=∠CFE，③当点E、F分别是边BC、DC的中点时，△AEF是等边三角形；④当点E、F分别是边BC、DC的中点时，△AEF的面积最大。上述结论中正确的序号 。

２、如图，在锐角三角形ABC中，AB=42，∠BAC=45゜，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 。

３、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=5，CD=7，AB=13，点P从A点出发，以3个单位/秒的速度沿AD→DC向终点C运动，同时Q从B点出发，以1个单位/秒的速度沿BA向终点A运动，在运动期间，当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为 秒。 ４、如图，点Ａ（１,０），点Ｂ在直线y??x上运动，当线段ＡＢ最短时，点Ｂ的坐标为 。 ５、如图，点Ａ（２,０）、Ｂ（０.１）。若将线段ＡＢ平移到Ａ１Ｂ１，则ａ＋ｂ＝ ．

６、如图，在Ｒｔ△ABC中，∠C=90゜，AC=3，将其绕B点按顺时针方向旋转一周，则分别以BA、BC为半径的园形成的圆环的面积为 。

７、如图①，在矩形ABCD中，动点P沿着B→C→D→A方向运动至点A停止，设P点运动的旅程为x,△ABP的面积为y。如果y关于x的函数图象如图②所示，则△ABC的面积为 。

８、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=42，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．

（1）当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形； （2）当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；；

（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．

ADBPEC

综合练习第 3 页

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9.如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2。动点M、N分别

从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上）， 当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动。连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时， 可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW。设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的 时间为x秒。试解答下列问题： （1）说明△FMN∽△QWP；

（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）。试问x为何值时，△PQW为直角三角形？

当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？

（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值。

F D C F D C

W P P W

M Q A B N A B N M Q

图（1）

题图（2） 10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，?B?90?，AD = 6，BC = 8，AB?33，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止． 设点P，Q运动的时间是t秒(t＞0)．

（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）． （2）当BP = 1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积．

（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回

答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由． ．．

A D A D E B C M B C P M Q （备用图）

综合练习第 4 页

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2012综合问题讲解------动态问题2

例5．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．

m，4)，B(a，b)，其中a?1．过（x?0，m是常数）的图象经过A(1xy 点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连结AD，DC，CB．

例6、如图，在直角坐标平面内，函数y?（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标；

A （2）求证：DC∥AB；

B （3）当AD?BC时，求直线AB的函数解析式． D

x O C

图9

例7、如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和(0，33）.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动，速度分别为1，3，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以

3 (长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，3

AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动． 请解答下列问题：

（1）过A，B两点的直线解析式是 ；

（2）当t﹦4时，点P的坐标为 ；当t ﹦ ，点P与点E重合；

（3）① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？ ② 当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q的坐标； y 若不存在，请说明理由．

B

E F l

A x O P

(第24题

综合练习第 5 页

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?例8、如图24－1，在△ABC中，?A?90，AB?4，AC?3．M是边AB上的动点（M不与A，B重合），

MN∥BC交AC于点N，△AMN关于MN的对称图形是△PMN．设AM?x．

A M B P 图24—1

N C B M P 图24—2

A N C B P 图24—3 M A N C （1）用含x的式子表示△AMN的面积（不必写出过程）；

（2）当x为何值时，点P恰好落在边BC上；

（3）在动点M的运动过程中，记△PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式；并求x为何值时，重叠部分的面积最大，最大面积是多少？

例9、如图，在△ABC中，∠A=∠B=30゜，AB=23把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点与原点重合，且△ABC可以绕原点作任意旋转。1、当点在第一象限，纵坐标是

6时，求点 B的横坐标；2、如果抛物线2y?ax2?bx?c(a?0)的对称轴经过点C，请你探究：

①当a?5135,b??,c??时，A、B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由； 425 ②b=-2am,是否存在这样的m值，使A、B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直角写出m的值；若不存在，

请说明理由。

综合练习第 6 页

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练习题

1、如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD的边上有一动点P沿A?B?C?D?A运动一周，则P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（ ）

y y y y A D 2 P 2 2 2 C B 1 1 1 1

O 1 2 x O 1 2 3 4 A.

s O 1 2 3 4 s O 1 2 3 4 y 2 1 s O 1 2 3 4 D.

s C. B.

2、在⊙O中，已知⊙O的直径AB为2，弦AC长为3，弦AD长为2．则DC2＝______ 。 3、直角三角形的两边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆的半径为 。

4、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，四边形OABC是矩形，点A(10,0)，B（0,4）, 点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△OPD是腰长为5的等腰三角形时，P点的坐标 是 。

5、在△ABC中，AB?AC?12cm，BC?6cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以 每秒1cm的速度沿B?A?C的方向运动．设运动时间为t，那么当t? 秒时， 过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍． 6、如图，在平面直角坐标系中，已知点P（-2，-1），点T（t，0）是x轴上一个动点。

①求P点关于原点的对称点P` 的坐标； ②当t为何值时，△P`TO是等腰三角形？

7、CD经过?BCA顶点C的一条直线，CA?CB．E，F分别是直线CD上两点，且?BEC??CFA???． （1）若直线CD经过?BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若?BCA?90?，???90?，则BE CF；EF BE?AF（填“?”，“?”或“?”）； ②如图2，若0???BCA?180?，请添加一个关于??与?BCA关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．

（2）如图3，若直线CD经过?BCA的外部，????BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． B B B

E F

D

C C A （图1）

A

（图2） （第3题）

E F D

E C F A

D （图3）

综合练习第 7 页

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8、 (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°. 求证：BE＝CF.

(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°, EF＝4.求GH的长.

(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,

∠FOH＝90°,EF＝4. 直接写出下列两题的答案：

①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；

图3

②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).

图1

图2

9、如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN?4，MA?1，MB?1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB?x．

C （1）求x的取值范围；

（2）若△ABC为直角三角形，求x的值； （3）探究：△ABC的最大面积？

综合练习第 8 页

M A B （第24题）

N 内部资料、严禁外传

10、如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，?DAB?90?，AD?2DC?4，AB?6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．

（1）当t?0.5时，求线段QM的长；

（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；

CQ（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理

RQ由．

D

E P C

D

C

D

C

Q A

M

B A

（备用图1）

B A

（备用图2）

B l

2 11、如图，已知经过原点的抛物线y??2x?4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m（m?0）个单位，

所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P.

（1）求点A的坐标，并判断?PCA存在时它的形状（不要求说理）；

（2）在x轴上是否存在两条相等的线段？若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；

（3）设?PCD的面积为S，求S关于m的关系式.

y P O C A D x

综合练习第 9 页

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2012综合问题讲解------动态问题3

例10、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）.

⑴△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______； ⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求

A D ①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式； ②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式； G ⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时， 存在最大值，并求出最大值.

B E→ F→ C

例11、已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正

半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.

（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围； （2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐

标；

（3）如图（2），现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°

＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

综合练习第 10 页

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例12、如图，在直角梯形OABC中，CB∥OA，?OAB?90，点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，对角线OB，AC相交于点M，OA?AB?4，OA?2CB．

（1）线段OB的长为 ，点C的坐标为 ； （2）求△OCM的面积；

（3）求过O，A，C三点的抛物线的解析式；

（4）若点E在（3）的抛物线的对称轴上，点F为该抛物线上的点，且以A， O，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标．

练习题

1、如图，在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是(4，0)，点P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B’处，则B’点的坐标为 2、如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称. y （1）画出对称中心E，并写出点E、A、C的坐标；

y （2）P(a,b)是△ABC的边AC上一点，△ABC经

C B 平移后点P的对应点为P2(a+6, b+2)，请画出 A P 上述平移后的△A2B2C2，并写出点A2、C2的坐

60° ? 1 B 标；

P C O 1 x （3）判断△A2B2C2和△A1B1C1的位置关系（直接写

C1 x B’ 出结果）.

O A 3、在平面直角坐标系中，一动点P（x，y）从M（1，0） B1 (第1题图) 出发，沿由A（-1，1），B（-1，-1），C（1，-1）， A1 D（1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定

2图 方向运动。图②是P点运动的路程s（个单位）与运动

时间t（秒）之间的函数图象，图③是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分.

?·P

综合练习第 11 页

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（图①） （图②） （图③） （1）s与t之间的函数关系式是： ；

（2）与图③相对应的P点的运动路径是： ；P点出发 秒首次到达点B； （3）写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象. 4、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，

OA?82 cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿

CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒． （1）用t的式子表示△OPQ的面积S；

（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；

（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y?14x2?bx?c经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．（10长沙）

5、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y?x2?bx?c的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，

-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．

（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP/C， 那么是否存在点P，使四边形POP/C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

综合练习第 12 页

y C B Q O P A x

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6、如图，已知O为原点，点A的坐标为（4，3），⊙A的半径为2．过A作直线l平行于x轴，交y轴于点B, 点P在直线l上运动．

(1)当点P在⊙A上时，请你直接写出它的坐标；

(2)设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由.

B 图10

7、一辆客车从甲地开往甲地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1（km），出租

车离甲地的距离为y2（km），客车行驶时间为x（h），y1，y2与x的函数关系图象如图所示： （1）根据图象，直接写出 ．．．．y1，y2关于x的函数关系式。 （2）分别求出当x=3，x=5，x=8时，两车之间的距离。 （3）若设两车间的距离为S（km），请写出S关于x的函数关系式。

（4）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200km，若客车进入A站加油

时，出租车恰好进入B站加油。求A加油站到甲地的距离。

8、.已知抛物线y=ax+bx+c与y轴交于点A(0,3)，与x轴分别交于B(1,0)、C(5,0)两点. (1)求此抛物线的解析式； (2)若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式； (3)若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F)，最后运动到点A.求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长.

综合练习第 13 页

2

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9、如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；

（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点

P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

10．已知二次函数y?ax?bx?c的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)．

(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；

(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．

①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形； ②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关

y 于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值． Q O A x

N M

P B C

综合练习第 14 页

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2012综合问题讲解------动态问题4

例13、在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M． A(1)判断四边形AEMF的形状，并给予证明．

(2)若BD=1，CD=2，试求四边形AEMF的面积．

CBD

y 例14、●探究 (1) 在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F．

①若A (-1，0)， B (3，0)，则E点坐标为_______；②若C (-2，2)， D (-2，-1)，则F点坐标为______； CB A (2)在图2中，已知线段AB的端点坐标为A(a，b) ，B(c，d)，求出图中AB中点D的坐标（用含a， x O b，c，d的代数式表示），并给出求解过程． D ●归纳 无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A(a，b)，B(c，d)， AB中点为 y 图1 D(x，y) 时，x=_________，y=___________．（不必证明）

B 3D ●运用 在图2中，一次函数y?x?2与反比例函数y?的图象交点为A，B．

A x①求出交点A，B的坐标；

②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标．

综合练习第 15 页

O 图2 3y= y xB O y=x-2 A 图3 x x

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例15、如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF．下列结论：①tan∠ADB=2；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；④BD=BF；⑤S四边形DFOE=S△AOF，上述结论中正确的结论有哪些？并说明理由。

例16已知直线y=3x?43与x轴、y轴分别交于A、B两点，∠ABC=60°，BC与x轴交于点C．

（1）试确定直线BC的解析式．

（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动（不与C、A重合），动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

（3）在（2）的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

综合练习第 16 页

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练习题：

1、如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP =EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD= 2EC．其中正确结论的番号是 ．

2、直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则

tan?CBE的值是（ ）A．

AD24 7B．7 3C．

7 24D．

1 3

C E 8 6

PFB A

D

（第2题） 第4题 C第3题 BE 第1题 3．如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是____________cm. 4．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）A．

121 B． C． D．不能确定

2333

5．如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C

4的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去?．利用这一图形，能直观地计算出 3 3 3 3

＋2＋3＋?＋n＝________．

4444

AB’

D

B

A1

A2 A3

E

P A第7图

第8题

C

B1 B2 B3 C

B

第5题

第6题

6．矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B’处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为________． 7、（2010?台州）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为（结果保留π） ．

8、在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8．过点A作直线l平行于BC，折叠三角

综合练习第 17 页

ECDA 300AE P F BC

B

G 内部资料、严禁外传

形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的T处，折痕为MN．当点T在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，则线段AT长度的最大值与最小值之和为_________

9、 如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P线段EF上一个动点，

连接BP、GP，则△BPG周长的最小值是 。 10、 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到R t△ADE，点B经过

的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积是___________.

11．如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。

=0时，（1）当x折痕EF的长为 ；当点E与点A重合时，折痕EF的长为 ；

（2）请写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长； （3）令EF2?y，当点E在AD、点F在BC上时，写出y与x的函数关系式。当y取最大值时，判断△EAP与△PBF是否相似？若相似，求出x的值；若不相似，请说明理由。

12. 在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为?（0°＜?＜180°），得到△A′B′C． （1）如图（1），当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D．证明：△A′CD是等边三角形； （2）如图（2），连接A′A、B′B，设△ACA′ 和△BCB′ 的面积分别为S△ACA′ 和S△BCB′．求证：S△ACA′ ：S△BCB′ =1：3； （3）如图（3），设AC中点为E，A′B′中点为P，AC=a，连接EP，当?= °时，EP长度最大，最大值为 ．

A AA A A

A

′ θ

E θ B C θ C B P

C B

B

图1 B B图3 ′ 图2

综合练习第 18 页

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2012综合问题讲解------方案设计问题

例17、为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，

需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？

（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B

种纪念品数量的6倍，且不超过B种纪念品数量的8倍，那么该商店共有几种进货方案？

（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，

哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？

例18、今年春季，我国云南、贵州等西南地区遇到多少不遇旱灾，“一方有难，八方支援”，为及时灌溉农田，丰收农机公司决定支援上坪村甲、乙、丙三种不同功率柴油发电机共10台（每种至少一台）及配套相同型号抽水机4台、3台、2台，每台抽水机每小时可抽水灌溉农田1亩.现要求所有柴油发电机及配套抽水机同时工作一小时，灌溉农田32亩. (1)设甲种柴油发电机数量为x台，乙种柴油发电机数量为y台.

①用含x、y的式子表示丙种柴油发电机的数量； ②求出y与x的函数关系式；

(2)已知甲、乙、丙柴油发电机每台每小时费用分别为130元、120元、100元，应如何安排三种柴油发电机的数量，既能按要求抽水灌溉，同时柴油发电机总费用W最少？

例19．青青商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元． （1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？

（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润=售价?进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案；

（3）在“五·一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：

按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种打折前一次性购物总金额 优惠措施 商品一次性付款200元，第二天只购买乙种不超过300元 不优惠 商品打折后一次性付款324元，那么这两天超过300元且不超过400元 售价打九折 他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少超过400元 售价打八折 综合练习第 19 页

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件？（通过计算求出所有符合要求的结果）

例20、某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同. （1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？

（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来.

例21、一手机经销商计划购进某品牌的A型、

手机型号 A型 B型 C型 B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要

1200 1100 购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进 价（单位：元/部） 900 1600 1300 进A型手机x部，B型手机y部．三款手机的预售价（单位：元/部） 1200 进价和预售价如下表：

（1）用含x，y的式子表示购进C型手机的部数； （2）求出y与x之间的函数关系式； （3）假设所购进手机全部售出，考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元． ①求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；（注：预估利润P＝预售总额-购机款-各种费用） ②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．

例22、 君实机械厂为青扬公司生产A、B两种产品，该机械厂由甲车间生产A种产品，乙车间生产B种产品，两车间同时生产．甲车间每天生产的A种产品比乙车间每天生产的B种产品多2件，甲车间3天生产的A种产品与乙车间4天生产的B种产品数量相同．

（1）求甲车间每天生产多少件A种产品？乙车间每天生产多少件B种产品？

（2）君实机械厂生产的A种产品的出厂价为每件200元，B种产品的出厂价为每件180元．现青扬公司需一次性购买A、B两种产品共80件，君实机械厂甲、乙两车间在没有库存的情况下只生产8天，若青扬公司按出厂价购买A、B两种产品的费用超过15000元而不超过15080元．请你通过计算为青扬公司设计购买方案．

综合练习第 20 页

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练习题：

1、某种服装原价为200元，经过连续两次涨价后，售价为242元，则a的值为 。

２、9．用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉

1子的长度后一次为前一次的k倍（0

744424444248 A. ?k?k?1 B. ?k?1 C. k?k?1 D. ?k?1

777777777A落在点A? 处，且点A?在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm．

3A E C D 3、如图，等边△ABC的边长为1 cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点B 3题图

A′ 4、如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的 ，

1另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为55 cm，此时木桶中水的深度是 cm．

5 5、为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．

（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？ 4题图 （2）若该县的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所？

（3）我市计划今年对该县A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国

家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？

6、某工厂计划为震区生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m，工厂现有库存木料302m． （1）有多少种生产方案？

（2）现要把生产的全部桌椅运往震区，已知每套A型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B型桌椅的生产成本为120元，运费4元，求总费用y（元）与生产A型桌椅x（套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用．（总费用?生产成本?运费）

（3）按（2）的方案计算，有没有剩余木料？如果有，请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅，最多还可以为多少名学生提供桌椅；如果没有，请说明理由．

综合练习第 21 页

333内部资料、严禁外传

7、建华小区准备新建50个停车位．以解决小区停车难的问题．己知新建1个地上停车位和1个地下停车位需0.5万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位需1.1万元． （1）该小区新建l个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元?

（2）若该小区预计投资金额超过l0万元而不超过11万元，则共有几种建造方案?

（3）已知每个地上停车位月租金l00元．每个地下停车位月租金300元．在（2）的条件下． 新建停车位全部租出．若该小区将第一个月租金收入中的3600元用于旧车位的维修， 其余收入继续兴建新车位，恰好用完．请直接写出该小区选择的是哪种建造方案?

8、某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为lO万元，今年销售额只有8万元． (1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元?

(2)为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案?

(3)如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使(2)中所有方案获利相同，a值应是多少?此时，哪种方案对公司更有利?

9、去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件． （1）求饮用水和蔬菜各有多少件？

（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；

（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？

综合练习第 22 页

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10． 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形AOCB是梯形，AB∥OC，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（10，0），OB＝OC． （1）求点B的坐标；

（2）点P从C点出发，沿线段CO以5个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OB，垂足为H，设△

HBP的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，过点P作PM∥CB交线段AB于点M，过点M作MR⊥OC，垂足为R，线段MR分别交

直线PH、OB于点E、G，点F为线段PM的中点，连接EF，当t为何值时，EF?5？

EG2

11．已知：在△ABC中AB＝AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM．

（1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AE＝2MD；

（2）如图2，当∠ABC＝60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为： 。 （3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝27， 求tan∠ACP的值．

综合练习第 23 页

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12、已知：在△ABC中，BC=2AC, ∠DBC=∠ACB,BD=BC,CD交线段AB于点E。 （1）如图1，当∠ACB=90°时，则线段DE、CE之间的数量关系为 。 （2）如图2，当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE;

（3）如图3，在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于点G,△DKG和△DBG关于直线DG对称（点B的对称点是点K）,延长DK交AB于点H，若BH=10，求CE的长。

综合练习第 24 页

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2012综合问题讲解------存在性问题

例23、已知正比列函数和一次函数的图像如图，它们的交点A(-3,4),且5OB=3OA。

①求正比列和一次函数的解析式 ②求△ABO的面积和周长

同题同图变式：

一、构成三角形类： ① 在X轴上是否存在一点P，使△ABP是等腰三角形，若存在，求P的坐标，若不存在，说明理由。 ② 在平面直角坐标系中是否存在一点P,使△ABP是等边三角形，若存在，求P的坐标，若不存在，说明理由。

综合练习第 25 页

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③ 在平面直角坐标系中是否存在一点P,使△ABP是等腰直角三角形，若存在，求P的坐标，若不存在，说明理由。

二、构成四边形类： ① 在平面直角坐标系中是否存在一点P,使四边形ABPO是平行四边形，若存在，求P的坐标，若不存在，说明理由。 ② 在平面直角坐标系中是否存在一点P,使四边形ABPO是等腰梯形，若存在，求P的坐标，若不存在，说明理由。

综合练习第 26 页

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③ 在平面直角坐标系中是否存在一点P,使四边形ABPO是直角梯形，若存在，求P的坐标，若不存在，说明理由。

练习题

1、如图，A，B，C，D为?O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O?C?D?O路线作匀速运动，设运动时间为t（s）．∠APB?y(?)，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ）

D P O

A

B C y 90 45 0 A．

t y 90 45 0 B．

t y 90 45 0 C．

t y 90 45 0 D．

t 2、如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F． FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．． （1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG．

（2） 当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．

（3）设BE＝x，△DEF的面积为 y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时,y有最大值，最大值是多少？

AD

F

My BCx EC D E 6 P G 图10

4

23、已知抛物线y?ax?bx?c经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点.

2

（1）求抛物线的函数关系式；

?（2）若过点B的直线y?kx?b与抛物线相交于点C（2，m），请求出?OBC的面积

1 2 -2 F G A

5

x

S的值.

综合练习第 27 页

-4

-6

B

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（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E. 直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED（如图），是否存在点P，使得?OCD与?CPE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

综合练习第 28 页

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