五年级数学下册,图形与几何,整理与复习

五年级数学下册《总复习》

图形与几何整理与复习

整理教师：刘新民

一、基础知识回顾 （一）观察物体。

1. 摆物体：根据从一个角度看到的物体形状，可以摆出不同的立体图形。 2. 确定立体图形：根据从三个不同方向看到的形状还原立体图形，首先从一个方向看到的形状分析，推测可能出现的各种情况；再结合从其它两个方向看到的形状综合分析；最后确定立体图形。具体地说，从正面和侧面可以确定这个立体图形上下有几层，只要效果相同，但上一层的位置可以不同；从上面看，可以确定这个立体图形前后有几行，每行有几个，只要效果相同，上一层的个数不一定相同。

（二）长方体和正方体 1. 长方体和正方体的认识。

（1）长方体的特征：有6个面，相对的面完全相同；相对的棱的长度相等；有8个顶点。

（2）长方体的长、宽、高：相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。它的12条棱，被分成长、宽、高3组，每组4条，其棱长总和=（长+宽+高）×4。

（3）正方体的特征：6个面完全相同，12条棱长度都相等，它的棱长总和=棱长×12，有8个顶点。 2. 正方体侧面展开图

（1）正方体的平面展开图的形式。

形式一：上面有1个正方形，中间有4个正方形，下面有1个正方形，这样的展开图可以折叠成正方体。如下图所示〔称作（1、4、1）形展开图〕

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形式二：上面有2个正方形，中间有3个正方形，下面有1个正方形，这样的展开图可以折叠成正方体。如下图所示〔称为（2、3、1）形展开图〕

形式三：上、中、下各有2个正方形，这样的展开图可以折叠成正方体。如下图所示〔称为（2、2、2）形展开图〕

形式四：仅有2行，每行有3个正方形，这样的展开图可以折叠成正方体。如下图所示〔称为（3、3）形展开图〕

（2）、正方体平面展开图的特点：

①、当我们从正方体的某个顶点出发，最多只能观察到三个面，这三个面中必包括三组相对面中的各一个，且两个相对的面不能被同时看到。 ②、平面展开图形中的每一个正方形至少有一边与其他正方形相连。 ③、正方体的平面展开图中一个公共顶点处最多只能出现三个正方形，与一个正方形相邻的正方形最多只能有四个。

④、正方体中原来处于相对位置上的两个面，展开后的正方形无公共顶点和公共边；反之，有公共顶点或公共边的两个正方形折叠成正方体后，必成为相邻面，不可能成为相对面。

注意：凡是出现“田”字形、“凹”字形、五连长链和六连长链均不是正方体的平面展开图。

（3）、巧记正方体展开图的儿歌。

中间4个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便。

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两两相连各错一，三个两排一对齐。要找两个相对面，切记相隔一个面。 3. 长方体和正方体的表面积和侧面积。

（1）长方体、正方体表面积和侧面积的意义：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积；长方体、正方体4个侧面的面积叫做它的侧面积。 （2）长方体表面积和侧面积的计算方法。 ①长方体表面积的计算方法：

方法一：长方体的表面积=（长×宽+宽×高+长×高）×2，用字母表示为S=（ab+bh+ah）×2。

方法二：长方体的表面积=长×宽×2+宽×高×2+长×高×2，用字母表示为S=2ab+2bh+2ah。

②长方体侧面积的计算方法：

方法一：长方体侧面积=（长×高+宽×高）×2，用字母表示为S=（ah+bh）×2。 方法二：长方体侧面积=长×高×2+宽×高×2，用字母表示为S=2ah+2bh。 方法三：长方体侧面积=底面周长×高，用字母表示为S=Ch。 （3）正方体的表面积和侧面积的计算方法：

①正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a2。 ②正方体的侧面积=棱长×棱长×4，用字母表示为S=4a2。 4. 长方体和正方体的体积。

（1）体积的意义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。

（2）体积单位：常用的体积单位有立方米、立方分米和立方厘米，用字母表示为m3、dm3、㎝3。

（3）长方体的体积公式：长方体的体积=长×宽×高，用字母表示为V=abh。 （4）正方体的体积公式：正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示为V= a3。

（5）长方体、正方体体积的统一公式：长方体（或正方体）的体积=底面积×高。用字母表示为V=Sh。

（6）体积单位间的进率：1m3=1000dm3,1 dm3=㎝3。

（7）容积的意义：容器所能容纳物体的体积，叫做它们的容积。 （8）容积单位：升和毫升，用字母表示为L和mL。

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（9）容积单位间的进率：1L=1000mL。

（10）容积单位和体积单位间的换算：1L=1dm3,1mL=1000㎝3。

（11）容积的计算方法：长方体、正方体等规则容器的容积的计算方法和体积的计算方法相同，但要从容器的里面量长、宽、高。 （三）图形的运动 1. 旋转。

（1）旋转的意义：物体绕某一点或轴运动，这种运动现象叫做旋转。 （2）图形旋转的性质：图形旋转，对应点、对应线段都旋转相同的角度，对应点到旋转点的距离相等，对应角相等。

（3）图形旋转的特征：图形旋转后，形状、大小都没有变化，只是位置发生了变化。 2. 解决问题。

利用旋转和平移可以进行图形拼组。 二、例题讲解

例1、用小正方体摆出从正面看是 ，从上面看是 ，从左面看是

的立体图形。

分析与解答：（1）从正面看是 ，说明这个立体图形有上下两层，左边层，

右边两层，即

（2）从左边看是 ，说明这个立体图形有上下两层，前面一层，后面两 层，即

（3）从上面看是 ，说明第一层有4个小正方体，即 ，综

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合上述，这个立体图形是

例2、以A为旋转中心把图形逆时针旋转90°。

D′ B′ C D A B C′ 分析与解答：根据旋转的性质，这个图形绕A逆时针旋转90°，那么它的对应点也旋转90°，则点D绕A旋转90°后得到D′，线段AD和AD′的长度不变，即AD′也是4格，以AD′为准顺次作出“日”字的对角线分别找出B、C的对应点B′、C′，顺次连接AB′D′C′A，则图形AB′D′C′就是绕A旋转90°的图形(如上图)。

例3、一个长方体的底面周长是28㎝，高是4㎝。这个长方体的棱长总和是多少？

分析与解答：因为长方体的12条棱分成了长、宽、高3组，每组4条，根据“ 长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4”可知只要求出长、宽的和，由于长方体的底面周长是28㎝，所以长+宽=28÷2=14（㎝），那么这个长方体的棱长总和是（14+5）×4=76（㎝）。

例4、现在有几种规格的长方形、正方形铁皮。

① 8dm

6dm

② 6dm

4dm

③ 8dm 4dm

④ 6dm

6dm

从中选择6张铁皮，焊接一个长方体和一个正方体油箱，应选择哪种规格的铁皮？

分析与解答：因为长方体的6个面一般是长方形，相对两个面完全一样，所以可以选①号铁皮2张，焊接成该长方体的上、下两个面，选②号铁皮2张，焊接成

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该长方体的左、右两个面，选③号铁皮2张，作该长方体的前、后两个面；因为正方体的6个面都是完全一样的正方形，所以选④号铁皮6张就可以焊接成一个正方体。

例5、工人师傅挖了一个长30m，宽25m，深2m的游泳池。这个游泳池的占地面积是多少平方米？如果给这个游泳池的底面和四周抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？

分析与解答：游泳池的占地面积就是游泳池的底面积，它的底面是一个长方形，则它的面积是长×宽，即30×25=750（平方米）；抹水泥的面积就是求这个游泳池的侧面积与底面积的和，侧面积=底面周长×高（深），则四周抹水泥的面积为（30+25）×2×2=220（平方米），所以抹水泥的面积为220+750=970（平方米）。 例6、用一张长40㎝，宽20㎝的长方形铁皮制作一个高5㎝的无盖小铁盒。画一画，可以怎样制作？做成的长方体小铁盒的容积是多少？（铁皮的厚度不计） 分析与解答：方法一：在长方形的铁皮四角上剪去一个边长为5㎝的正方形，如下图。

5㎝ 10㎝ 5㎝ 5㎝ 30㎝ 5㎝ 要求这个长方体的容积关键求出它的长、宽、高，从图上可以看出它的长=40-5×2=30（㎝），宽=20-5×2=10（㎝），高为5㎝，那么它的容积是30×10×5=1500（㎝3）。

方法二：从长方形铁皮的左边剪去两个边长为5㎝的正方形，再将这两个正方形焊接在右边，如下图。

5㎝ 5㎝ 10㎝ 5㎝ 35㎝ 6

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从上图中可以看出，这个长方体铁盒的长为40-5=35（㎝），宽为20-5×2=10（㎝），高为5㎝，那么这个长方体小铁盒的体积为35×10×5=1750（㎝3）。 方法三：因为长方体体积=底面积×高，当高一定时，底面积越大，长方体的体积就越大，由于这块长方形铁皮的长40㎝，宽20㎝，底面边长为20㎝时，底面积最大，故先把这块铁皮截取一个边长为20㎝的正方形，再把剩下的平均分成4份焊接在正方形的四周，如下图。

20㎝ 20㎝ 5㎝ 5㎝ 5㎝ 5㎝

从图中可以看出，这个小长方体铁盒的长为20㎝，宽也为20㎝，高为5㎝，故该小长方体铁盒的容积为20×20×5=2000（㎝3） 三、考点练习 1. 填空。

（1）物体旋转时应抓住三点：（ ）、（ ）、（ ）。 （2）图形在旋转前后，它的（ ）和（ ）不变。 （3）3.5mL=（ ）㎝3 450dm3=（ ）m3 2500㎝2=（ ）dm2 6.7m3=（ ）L

（4）正方体的棱长扩大到原来的5倍，它的一个面的面积扩大到原来的（ ）倍，它的表面积扩大到原来的（ ）倍，它的体积扩大到原来的（ ）倍。 （5）长方体的长是5m，宽是4m，它的体积是60m3.它的高是（ ）。 （6）把一个长9dm，宽7dm，高4dm的长方体木块削成尽可能大的正方体，这个正方体木块的体积是（ ）。

（7）把一个长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，它的（ ）不变；将它切割成两个长方体，（ ）不变，（ ）增加了。

（8）一个长方体的底面积是30㎝2，它的高是6㎝，它的体积是（ ）㎝3。 （9）若一个水池正好装56m3的水，则56m3既是水池的（ ）。也是池中水的（ ）。

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（10）用8个棱长为2㎝的小正方体拼成一个稍大的正方体，拼成的正方体的体积是（ ），表面积是（ ）。 2. 判断。

（1）两个长方体的表面积相等，那么它们的体积必然相等。（ ） （2）体积相等的两个正方体，它们的大小一定相同。（ ） （3）一个长方体（不包含正方体）最多有4条棱长相等。（ ） （4）容积和体积的计算方法相同，但两者的意义不同。（ ） （5）用16个边长为1㎝的小正方体可以拼成一个大正方体。（ ） 3. 选择。

（1）用棱长为1㎝的小正方体木块拼成长8㎝、宽5㎝、高3㎝的长方体，一共要用（ ）个这样的小正方体木块。

A. 16 B. 158 C. 120 D. 40

（2）体积是1m3的物体放在地面上，它的占地面积是（ ）。

1A. m2 B. 1m2 C.0.5m2 D. 无法确定

3（3）一个长方体的棱长之和是120㎝，相交于一个顶点的三条棱的长度和是（ ）。

A. 12 B. 40 C. 30 D. 60

（4）把4个棱长为2dm的正方体顺次拼成一排，变成一个长方体，则表面积减少（ ）。

A. 16 B. 12 C. 24 D. 72

（5）如果大正方体的表面积是小正方体表面积的4倍，那么大正方体的棱长是小正方体棱长的（ ）倍。 4. 解决问题。

（1）一个长方体的长是12㎝，宽是8㎝,。沿它长边的中点处切成两个相等的长方体，这两个长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了96㎝2（如下图）。求原来长方体的表面积和体积各是多少。

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12㎝ 8㎝

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（2）一个无盖的玻璃鱼缸，从里面测量长是6dm，宽是4.5dm，高是4dm。现在缸内水深2.5dm,。这个鱼缸里现在有多少升水？再加入40L水可以吗？

（3）一个长方体水槽，长10dm，宽6dm，高4dm，往里面倒入150L水，水离槽口还有多少分米？

（4）根据变化规律，在空白处填图形。

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