数学建模 - 血液中葡萄糖浓度的稳定性问题

血液中葡萄糖浓度的稳定性问题

摘 要 本文讨论人体注射葡萄糖溶液时，血液中葡萄糖浓度的稳定情况与人体血液容积的关系。

首先，分析在人体注射葡萄糖溶液时血液中葡萄糖浓度的变化率

体血液的容积v和血液中葡萄糖浓度g的关系，在人体血液容积不变的前提下建立关于葡

dg与注射速率r、人dt萄糖浓度的微分方程模型。

其次，考虑到人体的血液容积会因溶液的注射而增加，但又不能无限增加，利用常数变易法可解微分方程模型（2）的通解，但通解很难实现积分，故考虑实际情况，采用数值逼近法做进一步修改与完善，使其更符合实际。

最后，通过对Logistic模型的分析与Mathematica软件的运用，得出人体血液中葡萄糖浓度在不同人体血液容积机理下的稳定性。

一、问题重述

输液就是让某种液体以稳定的速率进入静脉的过程。当输入葡萄糖溶液时，血液中的葡萄糖浓度的增长率与注射速率成正比，与人体血液溶积成反比，而由于人体组织的吸收作用，血液中葡萄糖浓度的减少率与其本身成正比。根据是否考虑人体血液容积V的变化情况，可分以下3中情况，并在3种假设下建立模型，进而讨论稳定情况。 问题1 人体血液容积V不变；

问题2 V随着注入葡萄糖溶液而增加；

问题3 由于排泄等因素V的增加有极限值。

二、问题分析

讨论人体血液葡萄糖浓度的稳定情况时，由于血液中葡萄糖浓度的变化率等于浓度增长率与减少率之差，而葡萄糖浓度的增长率又与注射速率r成正比，与人体血液体积成反比；同时，考虑到人体组织的吸收作用，葡萄糖浓度的减少率与本身成正比。

针对问题1 利用血液中葡萄糖浓度的变化率等于浓度的增长率与减少率之差建立一阶线性微分方程，得到血液中葡萄糖浓度与时间的函数关系，根据自治微分方程的求法得到平衡点；

针对问题2 由注射速率的微分表达式，结合葡萄糖浓度随时间变化的微分表达式得到葡萄糖浓度与实践的函数关系，利用数学软件画出图像得到平衡点；

针对问题3 人体血液容积增加有极限值，符合阻滞增长模型，结合葡萄糖浓度随时间变化的微分表达式最终得到平衡点。

三、基本假设

1、假设注射为静脉注射，注射速率r恒定； 2、假设人体所注射的溶液浓度不变； 3、假设该人的各项生理机能正常；

4、不考虑其他因素对人体内血液中葡萄糖浓度的影响.

0

四、符号表示

g0 注射葡萄糖溶液之前，人体血液中的葡萄糖浓度； g 人体血液中葡萄糖浓度； r 注射速率； v 人体血液容积；

p 人体中葡萄糖浓度的增加率； q 人体中葡萄糖浓度的减少率；

k1 关于g的增加率与r、v之间的关系(k1?o)； k2 关于g的减少率与g本身的常数 (k2?o).

五、模型建立与求解

利用人体血液中葡萄糖浓度的变化率等于浓度增长率与减少率之差，建立以下微分方程模型。

5.1 人体血液容积V不变

分析人体血液容积不变的情况，利用一阶线性非齐次方程的求解方法得到人体血液中

葡萄糖浓度随时间变化的函数。先表示血液中葡萄糖浓度g的增长率P?由于人体组织的吸收作用，则g的减少率 q?k2g

注射葡萄糖溶液之前，人体血液中的葡萄糖浓度g0为微分方程的初值条件，即

k1r vg(0)?g0

因此，可建立人体血液容积V不变情况下的微分方程模型：

(1)

令错误！未找到引用源。 得平衡点 错误！未找到引用源。 而满足微分方程的初值解为

错误！未找到引用源。

又有 错误！未找到引用源。 所以 错误！未找到引用源。 即为(1)的稳定点。 5.2 人体容积V随着注入溶液而增加

当人体血液容积V变化不能忽略时，不再是常量，则可设

v?v0?rt

根据5.1中微分方程模型（1）的建立过程，同理可以得

dgk1r??k2g dtv1

因此，可建立人体血液容积V随着注入溶液而增加情况下的微分方程模型：

(2)

对于一阶线性微分方程求解，利用常数变易法，可得通解

由于微分方程不是自治方程，所以没有平衡状态。 5.3 由于排泄等因素V的增加有极限值

当V的增加有极限值时，符合Logistic模型。因此可建立由于排泄等因素人体血液容积V的增加有极限值情况下的微分方程模型：

错误！未找到引用源。 (3)

根据阻滞增长模型可得

解得 错误！未找到引用源。 可以建立微分方程

由微分方程稳定性有

错误！未找到引用源。

从而解得平衡点 错误！未找到引用源。 同时，有

综上所述，错误！未找到引用源。就是稳定点。

六、模型结果分析与检验

对于模型（1），可以画出图像来分析：

2

gk1rk2vt图1 人体中葡萄糖溶液浓度g与时间t的关系

g?g?k1rdg，即?0时，g为增函数； k2vdtk1rdg，即?0时，g为减函数。 k2vdt

对于模型（2），由于右端积分比较难以求出，因此如果像模型（1）一样来求解或

对解进行讨论，势必会出现混乱。

为了能够用数学软件Mathematica来描绘出的图形，我们分别取单位（1/min），（mg/min）， （cm3 ），1.0（cm3 /mg），（mg/ cm3），并假设人体含有4600ml的血液，输入的葡萄糖溶液为500ml，并假设输液过程进行了100min.在Mathematica软件中输入程序（程序见附录）得到如下g(t)随时间t在0至

100分钟内的变化图形：

g(t)g(t)1.751.51.2510.750.50.25tt20406080

图2 g(t)随时间t在0至100分钟内的变化图形

和许多微分方程一样，数值逼近看来是唯一可行的求解方法。 对于模型（3），人体的容量是有限的，静脉中液体的体积不可能无限增长；另一种机理，如排尿，将使体积保持协调，这是人体生理功能的一种实际极限。

七、模型的评价与改进

3

模型评价 本文研究了人体血液中葡萄糖浓度的稳定性问题，在静脉注射的前提条件下，讨论了人体血液中葡萄糖浓度在不同人体血液容积机理下的稳定情况， 建立的三个微分方程模型中的参数可以通过参数估计法得到，能够推广并应用到更一般的实际事例中，不足之处在于模型的求解和参数估计方面很难做到精确。

模型改进 对于（1）式中两个参数k1，k2，可以用参数估计的方法确定参数的值，并在注入葡萄糖溶液之前测量血糖浓度，确定g0的值，然后在t1，t2时刻对人的血糖浓度进行测量，由方程

gi?k1r?g0e?k2ti,i?1,2 k2v可确定k1，k2的值，进而可以做出图像进行分析。

八、模型推广

由（1）式表示的微分方程模型，它描述了葡萄糖血液浓度随时间变化的规律，在药物动力学、农业种植和社会经济等方面也有着广泛的应用，因此可以推广到更一般的形式：

dx?a?bx （4） dt其中 a,b?0， 初始条件为x(to)?对于（4）式进行分离变量

x，

dx?dt bx对上式两端求不定积分得

1lnx??t?c1 即 x?ce?bt b再由常数变易法得（4）式的解为

x?ce?bt?由初始条件可得

a bbc?ebt0(x0?)

a由此得（4）的解为

bax(t)?ebt0(xo?)e?bt?

ab由（1）和（4）可知x(t)具有如下性质：

4

1. 稳定点 x?a； b2. 当x?adx时，?0，即表明x(t)严格单调递增； bdtadx时，?0，即表明x(t)严格单调递减； bdtax0e?.

bbt0当x?3. limx(t)?t??因此在药物动力学、农业种植和社会经济等方面，只要符合微分方程模型（1）和关系式（4）的情况，都具有上述3点性质，可以更好的为社会实践、生产服务。

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1. 稳定点 x?a； b2. 当x?adx时，?0，即表明x(t)严格单调递增； bdtadx时，?0，即表明x(t)严格单调递减； bdtax0e?.

bbt0当x?3. limx(t)?t??因此在药物动力学、农业种植和社会经济等方面，只要符合微分方程模型（1）和关系式（4）的情况，都具有上述3点性质，可以更好的为社会实践、生产服务。

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