高等数学复习

第七章 常微分方程

1．常微分方程的基本概念

常微分方程的阶

线性微分方程和非线性微分方程

y(n)?a1(x)y(n?1)???an?1(x)y??an(x)y?g(x) n阶微分方程的特解和通解

一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）

例 试指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的阶数.

dy(1)?x2?y;dx3dy?dy?(2)x???2?4x;dx?dx?2d2y?dy?(3)x2?2???5xy?0;(4)cos(y??)?lny?x?1.dx?dx? 例 验证函数y?(x2?C)sinx(C为任意常数)是方程

dy?ycotx?2xsinx?0 dx的通解, 并求满足初始条件y|2．可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程

x??2?0的特解

dy?f(x)g(y) dx齐次方程

dy?y??f?? dx?x?dy?2xy的通解. dx例 求微分方程

例 求微分方程dx?xydy?y2dx?ydy的通解 例 求解微分方程

dyyy??tan满足初始条件dxxxyx?1??6的特解

3．一阶线性微分方程 形如

dy?P(x)y?Q(x) (3.1) dx的方程称为一阶线性微分方程. 其中函数P(x)、

Q(x)是某一区间I上的连续函数.

当Q(x)?0,方程(3.1)成为

dy?P(x)y?0 (3.2) dx这个方程称为一阶齐次线性方程. 相应地，方程(3.1)称为一阶非齐次线性方程

1sinxy?的通解. xxdy2y??(x?1)5/2的通解 例 求方程

dxx?1例 求方程y??4．可降阶的二阶微分方程

y???f(x)型 y???f(x,y?)型

d2ydy?0的通解 例 求方程(1?x)2?2xdxdx2y???f(y,y?)型

例 求方程yy???y??0的通解

25．二阶常系数齐次线性微分方程

例 求方程y???2y??3y?0的通解. 例 求方程y???4y??4y?0的通解. 例 求方程y???2y??5y?0的通解. 6．二阶常系数非齐次线性微分方程

f(x)?Pm(x)e?x型

当f(x)?Pm(x)e?x时，二阶常系数非齐次线性微分方程具有形如

y*?xkQm(x)e?x

的特解，其中Qm(x)是与Pm(x)同次（m次）的多项式，而k按?是不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2

例 下列方程具有什么样形式的特解?

(1) y???5y??6y?e3x; (2) y???5y??6y?3xe?2x; (3) y???2y??y??(3x2?1)e?x.

例 求方程y???2y??3y?3x?1的一个特解. 例 求方程y???3y??2y?xe2x的通解. 例 求微分方程y???y?x?ex的通解.

第八章 空间解析几何与向量代数 1.空间两点间的距离

|M1M2|?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2.

例 求证以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 2．平面的点法式方程及一般方程

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 Ax+By+Cz+D=0

3．曲面及其方程

旋转曲面

若将曲线C的方程f(y,z)=0中的y改成

?x2?y2，z保持不变，便得曲线C绕y轴旋转

22所成的旋转曲面的方程f(?x?y,z)?0

x2z2例 将xoz坐标面上的双曲线2?2?1分别绕x

ac轴和z轴旋转一周，求所形成的旋转曲面方程

柱面

如果柱面的准线是xoy面上的曲线C，它在平面直角坐标系中的方程为F(x,y)=0，那么，以C为准线，母线平行于z轴的柱面方程就是F(x,y)=0

第九章 多元函数的微分法及其应用 1．多元函数的基本概念

例 已知函数f(x?y,x?y)?求f(x,y)

例 求极限 lim(x2?y2)sinx?0y?0x2?y2x2?y2,

1. 22x?y例 求极限limx?0y?0sin(x2y)x?y22.

例 证明limx?0y?0xy不存在 22x?y??. ???y例 求lim?ln(y?x)?x?0?1?x2y?1?ex?y. 例 求limx?0x?yy?12．偏导数

例 求z?x的偏导数.

例 求三元函数u?sin(x?y?e)的偏导数. 例 求r?2zyx2?y2?z2的偏导数.

?xy,(x,y)?(0,0)?例 函数f(x,y)??x2?y2?(x,y)?(0,0)?0,的偏导数fx(0,0),fy(0,0)存在, 但f(x,y)在(0,0)

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