第三章 一元函数积分学

第三章 一元函数积分学

3.1 不定积分

一 基本概念

定义1 原函数：如果F?(x)?f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数．

定义2 不定积分： f(x)的所有原函数或带有任意常数项的原函数称为f(x)的不定积分．

二 基本结论

定理1 （原函数存在定理） 连续函数一定存在原函数．

定理2 （原函数个数）如果函数存在原函数，一定有无限多个原函数． 定理3 （原函数差别）同一个函数的任意两个原函数最多相差一个常数． 定理4 (不定积分公式)

（1）?kdx?kx?C； （2）?xdx?（3）?（5）?1xdx?lnx?C； （4）?11?x2?1??1x??1?C；

dx?arctanx?C；

11?x2dx?arcsinx?C； （6）?sinxdx??cosx?C；

（7）?cosxdx?sinx?C； （8）?tanxdx??lncosx?C； （9）?cotxdx?lnsinx?C； （10）?secxdx?lnsecx?tanx?C； （11）?cscxdx?lncscx?cotx?C； （12）?（13）?1sinx21cosx2dx?tanx?C；

dx??cotx?C； （14）?secxtanxdx?secx?C；

x（15）?cscxcotxdx??cscx?C； （16）?adx?（17）?exdx?ex?C； （18）?（19）?（21）?（22）?1x?a1x?a22222axlna2?C；

1aarctanxa?C；

1a?x2dx?dx?12alnx?ax?a2?C； （20）?21a?x22dx?arcsinxa?C；

dx?lnx?x?a2?C；

22x?adx?2x2x?a?2a22lnx?x?a?C；

三 基本方法

1 按积分方法分类：凑微分、变量代换、分部积分； 一 凑微分（凑微分，利用公式）

1

原理：若?f(u)du?F(u)?C，u??(x)，则?f[?(x)]??(x)dx?F[?(x)]?C． 凑微分是积分最基本的方法，也是求不定积分最简单的方法，因此在求不定积分时，我们首先想到的是能否用凑微分，将积分变成公式的形式．要完全掌握这个方法，需要熟悉凑微分公式．

常见函数的凑微分公式 1．凑成一次函数微分 2．凑成n次函数微分 3．凑成倒微分 4．凑成根微分

??f(ax?f(ax?nb)dx?n?11?a1f(a?x； )b)bd(?ax(fnb)xd?x?ana?x)db(?ax； )bn??1?1?1??1?f??2dx???f??d??； ?x?x?x??x??f(x)1xxdx?x?2f(x)d(；x ) 5．凑成指数函数微分 6．凑成对数函数微分

??f(a)adx?f(lnx)1x?lna?1f(a)d(a)；

xxdx?f(lnx)d(lnx)；

7．凑成三角函数微分?f(sinx)cosxdx??f(sinx)dsinx；

???f(cosx)sixnx?d?f(tanx)sexcx?d?2?fff(cxos1(txan2)cosx1(cxot2)sinx )；dx??xdff(xtan； )xdtan(xcot； )xdcotf(cotx)csxcx?d?2?x?d?1?x1f(arcxtan)dxa rctan ?f(arctaxn)2x?d；?1?xf?(x)19．凑成整体或局部的微分 ? dx??df(x)；?f(x)f?(x)dx??f(x)df(x)．

f(x)f(x)8．凑成反三角函数微分?f(arcsinx)12dx??f(arcsinx)darcsinx；

例1 用凑微分法计算下列不定积分： （1）?（3）?（5）?11?2x1?x2dx； （2）?dx； （4）?1x?2x?22dx；

arctanx2x544(x?1)dx；

dx2sinx?4cosx1?e13dx； （8）?sinxcosxdx； （7）?x(1?x)； （6）?exxdx；

（9）?11?x2ln1?x1?xdx?dx； （10）?sinx?cosx(cosx?sinx)2dx．

解（1）?

11?2x?1?2x1(?12)d(1?2x)??2

12ln1?2x?C；

（2）?（3）?（4）?（5）?（6）?（7）?1x?2x?2arctanx1?x22dx??(x?1)12d(x?1)?arctan(x?1)?C； ?112(arctanx)?C；

2dx??arctanxdarctanx?1x54(x?1)2dx?4?5(x?15?1)d(x?1)??45151315(x?1)?C；

dxsinx?4cosxex2?(tandx2x?4)cosxx2??(tandtanx2x?4)?12arctantanx2 ?C；

1?edx?x1?1?e1d(1?e)?ln(1?e)?C； x1(1?(x))3xx(1?x)3dx?2?2dx?2arctan144x?C；

（8）?sinxcosxdx???cosxdcosx??11?x1cosx?C；

21?x?1?x?1?1?x?（9）?lndx?lnd?ln???ln??C； 2?1?x1?x21?x?1?x?4?1?x?sinx?cosx11（10）?dx??d(cosx?sinx)??C． 2?(cosx?sinx)2(cosx?sinx)cosx?sinx二 变量代换法

1 三角代换（含根式，作三角代换，将其变成三角函数积分） 若被积函数含有：

??22（1）a?x，作变量代换x?asint；??t?，则

22a?x2222?acost，dx?acostdt；

（2）a?x，作变量代换x?atant；?22?2?t?a?2，则

dt；

a?x?asect，dx?cost2（3）x?a，作变量代换x?asect；当x?a，0?t?22?2，则

22x?a?atant，dx?asecttantdt．

当x??a时，??2?t?0，22x?a??atant，dx?asecttantdt．

例2 计算下列无理函数的不定积分： （1）?dx2x1?x解（1）令x?sint，dx?costdt，于是

； （2）?x?ax422dx (a?0)．

?xdx1?x2??sintcostdt??sintdt?ln?2cost1csct?cott?C?ln1?1?xx2?C．

（2）令x?asect，x?a，0?t?，则

22x?a?atant，dx?asecttantdt

3

?x?ax422dx??atantasecttantasect44dt??atant22sect3dt?31a2?sintcostdt

22211?x?a?3?sint?C????C． 22??3a3ax??当x??a时，令x??u，则u?0，dx??du，于是

?x?ax422dx???u?a1?du???42u3a??22u?a?1??C?2?u3a?223????x?a???C． ?x?2232 指数代换（被积函数含有指数函数） 例4 计算下列不定积分：

（1）?dx1?ex； （2）?1tdt，于是

dx1?ex．

解（1）令ex?t，则x?lnt，dx??1?exdxx??t(1?t)dt?11dt??t?1?tdt

ln?1xx?t?C?lne ?lnt?ln1??eC．

2tt?12（2）令e?1?t，则ex?t2?1，exdx?2tdt，dx?dt，于是

?dx1?ex??t2dt2?1?1?t?1?1?dt?ln?C ???t?1t?1t?1??x?ln1?e?11?e?1x?C

3 对数代换（被积函数含有对数函数） 例5 计算下列不定积分：

?lnx?（1）???dx； （2）?cos(lnx)dx．

x??tt解 令t?lnx，则x?e，dx?edt，于是

2?lnx?（1）???dx?x??2?tedt??te1x22?t2?t??2tedt??te?t2?t?2te?t?2e?t?C

??(lnx?2lnx?2)?C．

（2）?cos(lnx)dx??costetdt?costet??sintetdt?costet?sintet??costetdt，于是

?cos(lnx)dx?12(coste?sinte)?C?tt12x(coslnx?sinlnx)?C．

4 反三角函数代换（被积函数含有反三角函数） 例7 计算下列不定积分：

4

（1）?sin(arctanx)dx； （2）?解（1）令arctanx?t，则x?tant，dx?sec2tdt，于是

arccosxx21?x2dx．

?sin(arctanx)dx? ??cos1sint2tdt???1cost22dcost

?C．

cost（2）令arccosx?t，则x?cost(0?t??)，dx??sintdt，于是

?C?1?x?xarccosx21?x2dx???tsintcostsint2dt???tcost2dt

??ttant?? ??arccoxs? 三 分部积分

tatntd??ttatn? sClncto?． tan(arxcc?osx)?Cln理论原理：?f(x)dx??u(x)dv(x)?u(x)v(x)??u?(x)v(x)dx

具体方法：将f(x)分成两部分，一部分作为u(x)，另一部分和dx凑成dv(x)，而u(x)更多的是：xk，lnx，arcsinx，这样等式右端的积分中的u?(x)是更加有利于积分的形式，同时还要保证剩余部分很容易求其原函数，和dx凑成dv(x)．

被积函数是如下形式，常用分部积分：

kxkkxxsinx；xarcsinx；xe；esinx；arcsinx；lnx．

注1 一般的，如果被积函数是两类不同函数的积，要考虑分部积分．分部积分的基本思想是将被积函数转化为单一类函数（有理函数、无理函数或三角函数）．

例8 用分部积分法计算下列不定积分：

xcosxlnxdx （1）?； （2）2?(x?3)2dx． sinxsinxcosx1dx?d和凑成，于是有 u(x)，剩余部分2sinxsinxxcosx1x1dx??x?d????sin2x??sinxdxsinxsinx??xsinx2解（1）被积函数

xcosx2是两类不同函数的积，于是考虑分部积分．显然应选择x作为

?lncsxc?cxot?C．

（2）被积函数剩余部分

1(x?3)2lnx(x?3)是两类不同函数的积，于是考虑分部积分．选择lnx作为u(x)，

1x?3和dx凑成?d，于是有 )??lnxx?3??(x?3)lnxdx???lnxd(2lnxx?3?1x?3?x(x?3)dx

1xln?C． 3x?31 ??1?11?lxn?dx??????3?xx?3x?3? 5

2 按被积函数分类：有理函数、无理函数、三角函数． 一 有理函数的积分

1．基本方法

（1）将有理函数积分凑成可以利用公式的积分；

（2）将有理函数积分表示为整式、简单的一次分式以及简单二次分式的积分的和． 根据多项式理论：

（1）假分式 = 整式 + 真分式；

（2）真分式 = 若干一次分式 + 若干二次分式． 简单的一次分式与二次分式形式分别是：

11一次分式：，； nx?a(x?a)二次分式：

1x?px?q2，

x?bx?px?q2，

1(x?px?q)2n，

x?b(x?px?q)2n．

注2 这里的二次分式中的x2?px?q是不能再分解，即p2?4q?0． 上述六种的一次分式和二次分式积分的基本思想和基本方法： （1）? （2）?（3）?（4）?1x?a1dx?lnx?a?C；

(x?a)12dx??n1121n?1n?1(x?a)?C 1aarctan?x?px?qx?bx?px?q22dx?dx??u??a222du?ua（配成完全平方） ?C；1d(x?px?q)x?px?q12?x2?px?q dx（用一次项凑成分母的微分）1aarctanua?C；

??2d(x?px?q)x?px?q2??u?adu?lnx?px?q?22（5）?（6）?1(x?px?q)x?b(x?px?q)2dx?n?(u?(x12?a)22n（配成完全平方，用递推公式） du；

?dx?nd(x?px?q)2?px?q)n?(x12?px?q)ndx（用一次项凑成分母的

微分）

公式中的“?”表示原积分可以转化为这种形式的积分，它们最多相差一个常数． 递推公式

In??(x12?a)2dx?n??x?(2n?3)In?1? ?222n?12a(n?1)?(x?a)?1至少要掌握n?2的递推公式：

?(xdx2?a)22?1?x?2222a?x?a??? dx22?x?a?12 有理函数的分解

（1）把假分式化为真分式：假分式 ? 多项式（整式）? 真分式．例如

6

x?x?123x?1x?1（2）把真分式分解为若干一次分式和二次分式和的形式的具体方法：

?x?12

待定系数法：将分母分解成若干一次因式与二次因式的积（二次因式不能再分解）．依据分母的一次因式和二次因式得到真分式表示为一次分式和二次分式的一般形式．例如

?1(x?a)(x?px?A(x?a)B(x?a)232

q)2(x?a)(x?a)(x?px?q)其中A,B,C,D,E,F,G是待定常数．

?B2?C3?Dx?E2?Fx?G(x?px?q)22

这里

2，

C(x?a)3都称为一次分式，

Fx?G(x?px?q)22也称为二次分式．并且

p?4q?0．

在确定待定系数时，可以对上述等式去分母，利用多项式恒等，对应项系数相等，解得待定系数．

注3 用待定系数法将真分式分解成若干简单一次分式与二次分式的和，实在是无奈之举，因为这种方法计算量很大．所以通常情况下，都是用“凑”的方法，将真分式分解．例如

1x(1?x)32?1?x?x3222x(1?x)?1x3?1x(1?x)2?1x3?1?x?x222x(1?x)?1x3?1x?x1?x2

注4 掌握有理函数积分的基本思想和基本方法是至关重要的，一方面是因为有理函数积分占积分很大比例，而且有很多积分通过变换（凑微分、变量代换、分部积分），最终转化为有理函数积分；另一方面，有理函数的表现形式不尽相同，掌握了有理函数积分的基本方法和思想，就可以确定怎样变化，朝着什么方向变化．

例9 计算下列有理函数的不定积分：

2x?x?1x?2（1）?dx； （2）?dx；

x(x?1)x（3）?（5）? （7）?（9）?1dx； （4）?dx， 2x?1x(x?1)1x?2x?22x3dx； （6）?xx?2x?22dx；

x2(x?1)dx； （8）?51(x?2x?2)1x?1322dx；

x82114x?3x?2dx； （10）?dx?dx；

1?12?x?1?dx?x?x?lnx?C； ???xx?2?x?2x?1?1111（2）?dx? dx?dx?dx?2?(x?1)x?x?(x?1)x?xdx?(x?1)x解 （1）?x?x?1?x?1dx

1?2lnx?lnx?1?C；

（3）?dx?x?1x3?x?1?1dx?x?13?(x?x?1)dx?7

2?x?1dx

1

?13x?312x?x?lnx?1?C；

222（4）?1x(x?1)2dx??1?x?x2x(x?1)12dx?2?x1dx??xx2?1dx

?lnx?ln(x?1)?C；

（5）?（6）?1x?2x?2xx?2x?222dx?dx??(x?1)121 ?212d(x?1)?arctan(x?1)?C

?1dx?22x?2x?2x?21?x12?2x?2dx（用一次项凑分母微分）

??21 ?x?2x?222d(x?2x?2)??(x?1)12d(x?1)

?12（7）令t?x?1，则x?t?1，dx?dt，于是有

ln(x?2x?2)?arctan(x?1)?C；

?(x?1)x2dx?511?121?1+2+dt?????C 543?432?t5??ttt4t3t2t??121?????C； 4324(x?1)3(x?1)2(x?1)dt?(1?t)2（8）?1(x?2x?2)2dx?2??[(x?1)12?1]2d(x?1) （递推公式）

?d(x?1)? ?[(x?1)2?1]2?11?x?1??22?x?2x?2?41?x?1??arctan(x?1)?C 2??2?x?2x?2?3（9）令x?u，则du?4xdx，于是

?xx8114?3x?2dx?14u?3u?24u?1u?211?u?ln(1?u)?ln(2?u)?C 4414144?x?ln(1?x)?ln(2?x)?C； 4422?u22du?1?(1?1?4)du

（10）?dx?x?131?1?x?xx?11213dx??x1?x2dx??x?11?xx32dx ?1x2dx??2dx??3dx ?x?12x?x?1x?112x?1123??ln(x?x?1)?arctan()?lnx?1?C．

2333注5 在（2）（3）（4）（10）题中，对被积函数的分解，都是采用“凑”的方法，而没用待定系数法分解．这是因为“凑”的方法更容易、简捷些，而待定系数法计算量太大．当然，有时在没有看出如何去凑时，也只能用待定系数法去分解．有时作变量代换也是必要的，如第（7）题．

???x2x?112 8

二 简单无理函数的积分

基本方法：凑微分、有理代换、三角代换．

1 凑 微 分 变形、凑微分，再利用积分公式； 2 有理代换 化无理函数积分为有理函数积分； 3 三角代换 化无理函数积分为三角函数积分．

例10 用凑微分法计算下列无理函数的不定积分：

x?2（1）?dx； （2）?1?x（3）?解（1）?x?2x?5dx； （4）?21x?2?x?12dx．

x5?4x?xdx

dx；

x?21?xdx???23x?1?1dx?1?x3?1?xdx??11?x(1?x)2?21?x?C．

（2）分母有理化

1x?2?x?1（3）配方，利用公式（或配方，变量代换）

?dx? ?(x?2?x?1)dx?2x?1?2x?2?C．

?x?2x?5dx??2?2(x?1)?2d(x?1)

x?2x?5?2lnx?1?222x?1x?2x?5?C

2（4）?x5?4x?x2dx??1?2?2x?45?4x?x22dx??225?4x?x22dx

??5?4x?x? ??5?4x?x2?3?(x?2)2dx ?C．

x?2?2arcsin3例11 用变量代换法计算下列无理函数的不定积分：

（1）?（3）?（5）?1x3x?1xdx； （2）?dx； （4）?x1?3x2dx； dx；

1(x?1)(x?1)241xx?1x222a?xdx； （6）?x(x?a)223/2dx；

解（1）令x?1xx?1x?t，则x?1t?122，dx??2t(t?1)22dt，于是

2?x1dx??(t2?1)?t??2t(t?1)2dt??2?dt 2t?1t??2t?lnt?1t?1?C??2x?1x?lnx?1?x?1?xx?C．

9

（2）令x?t6，则dx?6t5dt，于是

?1?x3xdx??1?tt32?6tdt?6?5t?1?11?t281?42dt?6??(t?1)(t?1)?21?t?? ?dt??171513??6?t?t?t?t?arctant??C

53?7??677x?6655636161x?2x?6x?6arctanx6?C．

（3）变形得到

?于是令313(x?1)(x?1)24dx?3?1333x?1x?1(x?1)(x?1)3dx??(x?1)(x?1)13x?1x?1dx．

x?1x?11?t，则x?x?1x?1t?1t?1dx?3，dx?(t?1)4t33?6t3222(t?1)?t?3dt，因此

2?(x?1)(x?1)3??6t(t?1)dt?233?dt??t?C ?22?C．

2x?1（4）令x?sect，则dx?secttantdt，于是

11dx??xx2?1?secttantsecttantdt??dt?t?C

1?arccos?C

x（5）令x?asint，则dx?acostdt，于是

??33x?1?x222dx?a?x?a2asintacost222?acostdt?a2?sin2tdt?a22?(1?cos2t)dt

2?(t?12sin2t)?C?a22(arcsinxa?xaa?x)?C；

222（6）令x?atant，则dx?asectdt，于是

x1tant112dx?sectdt?sintdt??cost?C??3?(x2?a2)3/2??asectaa1a?x22?C．

注6 求无理函数不定积分，一般是凑微分和变量代换（有理代换、三角代换）．另外

在解题时，可先尝试（考虑）将无理函数的分子或分母有理化，使被积函数有更简单的形式． 如例10（2）．

将无理函数积分转化为有理函数积分时，采用有理代换要慎重．在代换过程中，要考虑两个因素：被积函数变化，微元变化．有时，直接令尽管被积函数变成有理函数，但微元又出现无理函数的形式，结果并没有实现有理化的目的．因此说对一些无理函数积分的变化，如例11（3）的变化，是十分必要的．

三 三角函数的积分

基本方法：1. 凑微分；2.降幂；3.简化分母；4.万能公式．

1 凑微分；化三角函数积分为有理函数积分 （1）?f(sinx)cos2n?1xdx?

?f(sinx)(1?sinx)dsinx；

2n10

（2）?f(cosx)sin2n?1xdx???f(cosx)(1?cos2x)ndcosx； （3）?f(tanx)（4）?f(cotx)1cosx1sinx22dx??f(tanx)dtanx；

dx???f(cotx)dcotx．

例12 计算下列三角函数的不定积分：

dx（1）?； （2）?sin3xcos4xdx．

cosx(sinx?cosx)（3）?secxdx； （4）?解（1）?dxcosx(sinx?cosx)?6cosxsinx14dx．

?cos12x(tanx?1)dx??tanx?1dtanx

?lntanx?1?C．

（2）?sin3xcos4xdx???sin2xcos4xdcosx??(cos2x?1)cos4xdcosx

??cosxdcosx?6?cosxdcosx?417cosx?715cosx?C

5（3）?sec6xdx??sec4xdtanx??(1?tan2x)2dtanx

?24(1?2tanx?tanx)dtanx?tanx??23tanx?315tanx?C；

5（4）?cosxsinx44dx??sint24cosx24xsinxdx???cosxsinx24dcosx，令cosx?t，于是

?cosxsinxdx???t13?1dt?121??2t?1??dt 2??t?1??lnt?1t?1?C?13cosx?cosx?3t?t?312lncosx?1cosx?1?C．

注7 化三角函数积分为有理函数的积分，是计算三角函数积分的常用、有效方法．在

例12的4个题中，都是利用凑微分方法，把三角函数积分变成有理函数的积分，如例12（4）,或相当于有理函数积分，如例12（1~3）题，只是没有作变量代换而已．

2 降幂

（1）直接降幂 利用倍角公式、积化和差公式降幂：

sinxcosx?（a） 倍角公式：

12sin2x；sinx?12121212(1?cos2x)；cosx?212(1?cos2x)

（b）积化和差：sin?xcos?x?sin?xsin?x?[sin(???)x?sin(???)x]； [cos(???)x?cos(???)x]； [cos(???)x?cos(???)x]．

cos?xcos?x?2例13 计算下列三角函数的不定积分：

（1）?sin2xdx； （2）?sin2xcos4xdx；

11

（3）?cos4xdx； （4）?sinxcos2xdx． 解 （1）?sin2xdx?12?(1?cos2x)dx?1212x?14sin2x?C． 14cos2x?1122（2）?sin2xcos4xdx?（3）?cos4xdx???141438?(sin6x?sin2x)dx?2cos6x?C．

?(1?cos2x)dx??[1?2cos2x?x?1sin2x?11214?(1?2cos2x?cos2x)dx

(1?cos4x)]dx sin4x?C．

43212（4）?sinxcosxdx? ?sinx(1?cos2x)dx

211??sinxdx??sinxcos2xdx 22????1212cosx?cosx?1(sin3x?sinx)dx ?4112cos3x?14cosx?C

（2）间接降幂 利用公式sin2x?cos2x?1降幂： 例14 计算下列三角函数的不定积分 （1）?dxsinxcosx2； （2）??dxsin2x?2sinx．

解 （1）?dxsinxcosx2?sinx?cosxsinxcosx222dx??cosx1dx??sincosx2xdx

?lnsexc?（2）?dxsin2x?2sinx?dx1taxn?sinx?C．

?2sinx(1?cosx)?sin2?dx8sinx2cos3x2

x2 ?12dx?12dx?1dx ???xxxxx88338sincoscossincos2222211??lncscx?cotx?C．

42x8cos2?cos2xsinx3 简化分母 把分母的和与差的形式化为积的形式： （1）?（2）?R(sinx,cosx)1?cosxR(sinx,cosx)1?sinxdx?dx???R(sinx,cosx)(1?cosx)sinxR(sinx,cosx)(1?sinx)cosx22dx

dx

12

例15 计算下列三角函数的不定积分： （1）?dx1?sinxdx； （1）???dx解 （1）?1?sinx?1?sinx?cosx1?sinx1?sinxdx??dx 2(1?sinx)(1?sinx)cosx12.

?cos?xdx??coscossinx2xdx?tanx?1cosx?C．

（2）?dx1?sinx?cosx?dx2sinxx?2cos2x??dx2cos2x2 ??222xd(tan)2?lntaxn?1?C． x2tan?12(tanx2

?1)4 万能公式 作变量代换，将三角函数积分转化为有理函数积分： 令x?2arctant，则

t?tanx2，dx?22例16 计算?1?t1?sinx?cosxdt，sinx?2t1?t2，cosx?1?t1?t22，tanx?2t1?t2．

(2?sinx)(1?cosx)dx．

dt，sinx?2解 令x?2arctant，则dx?21?t22t1?t2，cosx?1?t1?t22，于是

?(2?sinx)(1?cosx)1?sinx?cosxdx??tt?t2?t?1x2dt?t?lnt?t?1?C

xxta?n2C?．1

2 ?tan?lnt2an?2注8 之所以把上述公式称为万能公式，是因为这种变换，可以把常见的三角函数积分

可以转化为有理函数的积分．同时，我们还会发现，万能公式比较适合次数较低的三角函数积分，一般是一次的，最多是二次的．不然，通过万能公式变换，得到的分式，其分子或分母次数较高，对这样的有理函数积分，有时没有更好的处理方法．因此，如果有其它办法，最好不用万能公式．万能公式的实质就是变量代换．

四 分段函数的不定积分

例17 计算不定积分?max?x,1?dx

?1,(??,1],maxx,1?解 由于 于是 ???x,[1,??).??x?C1,(??,1],? maxx,1dx????12??x?C2,[1,??).?2??根据原函数的连续性，f(1)?f(1)，则1?C1?12?C2，于是C2?C1?12，故

13

(??,1]?x?C1,? maxx,1dx????121??x??C1,[1,??)?22 注9 求分段函数的不定积分，首先求出每段函数的不定积分，然后利用原函数的连续

性，确定各段不定积分的任意常数的关系，最后用一个任意常数表示其他任意常数，进而得到分段函数的不定积分，

练习 3-1

1 计算下列有理函数的积分： （1）?x4； x2?1dx （3）?x2dx； x?1（5）?x； (1?x)3dx （7）?x?2x2?2x?5dx； （9）?1(1?x)2(1?x2dx； )2 计算下列无理函数的积分：

（1）?1 x1?xdx； （3）?1 1?3x?1dx； （5）?1dx； 1?4x?x2?3（7）?12dx； x?2x?10x2（9）??9xdx； 3 计算下列三角函数的积分：

（1）?sinx?cosx3dx； sinx?cosx（3）?sin2xcos5xdx； （5）?13?sin2xdx （7）?1sinx?cosxdx； （9）?x?sinx1?cosxdx； 4 用分部积分法求下列不定积分

（2）?4 (x?1)2(x?1)dx； （4）?1x3?xdx； （6）?1x2?2x?5dx； （8）?1(x2?2x?5)2dx；

（10）?x3(1?x8)2dx； （2）?1

x?4xdx； （4）?xd2?x?1x；

x? （6）?1dx；

(x?2)x2?4x?3 （8）?2x?3

x2dx； ?2x?10 （10）?1dx．

x?1?x2 （2）?sin4xdx；

（4）?sin5xcos3xdx； （6）?sinx1?cosxdx， ；

（8）?1sinx?tanxdx； ．

（10）?coslnxdx； 14

（1）?xsec2xdx； （2）?xcos2xdx； （3）?x2arctanxdx； （4）?ln(1?x2)dx； （5）?（7）?arctanxx(1?x)xarctanx(1?x)2222dx； （6）?xexx2(1?e)dx；

2dx； （8）?1?xarcsinxdx；

3.2 定积分

一 基本概念

定义1 定积分 设f(x)在[a,b]上有定义，对于任意分法T，任意取法?k?[xk?1,xk]，若极限

n?(T)?0lim?k?1f(?k)?xk?I

存在，且I与分法T、取法?k无关，则称f(x)在[a,b]上可积，且称极限值是f(x)在[a,b]上的定积分，记作

ban?成的曲边梯形的面积．

f(x)dx?limb?(T)?0?k?1f(?k)?xk．

定积分的几何意义 若f(x)?0，则?f(x)dx表示由x?a,x?b,y?f(x)和x轴围

a定义2 积分上限函数：若f(x)可积，则称?(x)? 二 基本结论

?xaf(t)dt为积分上限函数．

定理1 （牛顿莱布尼兹公式） 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]的一个原函数，则

?F(x)?baf(x)dx?F(b)?F(a)

定理2（变限积分函数的导数） 若f(x)连续，?(x)与?(x)可导，则变限积分函数

???(x)(x)f(t)dt可导，且

F?(x)?f(?(x))??(x)?f(?(x))??(x)．

定理3 （定积分中值定理） 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点?，使

?baf(x)dx?(b?a)f(?)．

定理4 （定积分性质和公式）

1．对称区间上的定积分 若f(x)在[?l,l]是连续函数，则

?l?l0,??f(x)dx??l2f(x)dx,???0f(x)是奇函数,f(x)是偶函数.

15

2．周期函数的定积分 若f(x)是以T为周期的连续函数，则

?3．三角函数的定积分

a?Taf(x)dx??f(x)dx．

0T?(n?1)!!?,n是偶数????n!!2（1）?2sinnxdx??2cosnxdx??

00(n?1)!!?,n是奇数?n!!????2???42sinnxdx,n偶数nnn （2）?sinxdx???0，?sinxdx?2?2sinxdx

000?0，n奇数? （3）?2?0????n??42cosxdx,n偶数?22cosnxdx,n偶数nncosxdx???0， ?cosxdx???0；

0??0，n奇数0，n奇数??（4）?xf(sinx)dx?0???2?0??f(sinx)dx．?20f(sinx)dx??20f(cosx)dx

4．三角函数定积分的常用变换

?（1）形如?2f(sinx,cosx)dx的积分，常作变换x?0?2?t；这样可以使积分区间（积

分的上下限）不变，被积函数正弦和余弦互换，从而被积函数发生变化．

（2）形如?f(sinx,cosx)dx或?xf(sinx,cosx)dx不定积分，常作变换

00?? x???t 或

或再令x??2?t，这样可以将??2???0?0??2????

?2??2也变为?20，最终都转化为?20．

（3）形如?02?f(sinx,cosx)dx的不定积分，常作变换 ????0??2?0? 或

?2?0???????0?????0（以2?为周期函数性质）．

三 计算定积分的基本方法：

计算定积分的基本方法是求出原函数，应用牛顿莱布尼兹公式．这和计算不定积分在

方法上并没有本质区别，所以如果仅用这个方法计算的定积分，这里不再赘述．

1． 换元积分

定积分的换元积分和不定积分的变量代换本质是相同的，但是对计算两类积分所起到的作用有时是不同的，并且有一定的差别，体现在：

（1）不定积分的变量代换求得的结果一定要还原（换回原变量），而定积分是不需要的．正因为这个原因，在计算定积分时，只要通过换元能够得到较简单的定积分，就可以进行换元，不必考虑还原的麻烦．

（2）对一些定积分来说，通过换元积分后，尽管所得到的定积分可能仍然没办法计算，但是这个定积分或通过拆分后得到的定积分可能与原来定积分有一定的关系，如相等、其和或差是可求的定积分，这样的换元仍是有意义的．

（3）计算三角函数不定积分的一个常用方法是降次，但是对一些三角函数的定积分来

16

说，可以不用降次，只需利用三角函数的积分公式．在区间[0,?2]，[0,?]，[0,2?]上的定

积分，若将被积函数转化为sinnx或cosnx，就可以得到定积分的结果．

例1 计算下列定积分：

1 （1）?214arcsinxx(1?x)dx； （2）?a0dxx?a?x22；

（3）?x21?x2dx； （4）?xsin9xdx；

?101?解（1）令t?arcsin1x，则x?sin2t，dx?2sintcostdt，于是

??214arcsinxx(1?x)1dx???4tsintcost???62sintcostdu??4?62tdt?5144?．

2（2）令x?asint，则dx?acostdt，于是

?令t??2dxx?a?x220?20asintasint?acost?dt??20costsint?costdt；

?u，可以证明

??所以

20costsint?costdx?dt??20sinusinu?cosu?du??20sintsint?costdt．

?1010x?a?xdx2222????1?2sintcost???dt??2dt??．

0sint?cost2?0sint?cost?4或者求出原函数

?

x?a?x（3）令x?sint，则dx?costdt，于是

???20sintsint?costdt?12??t?lnsint?cost?2220??4

?1?1x21?xdx?2?x021?21?xdx?2?2sintcostdt

02?20?40?2?2costdt?2?2sintdt?2??1?3??． ??2??822829（4）令x???t，则dx??dt，于是

?因此

?0xsinxdx?9??0(??t)sintdt???sintdt??tsintdt，

009??9

??0xsinxdx?9?2??0?sintdt??9?20sinttd?98!!9!!?．

此题也可直接利用积分公式，不必做变量代换．

2 分部积分

定积分的分部积分与不定积分的分部积分的思想、方法是相同的，使用的范围和对象也

是相同的．

例2 计算下列定积分：

（1）?ln(x?1)dx； （2）?2(arcsinx)dx；

00121 17

?x0?（3）?2esinxdx； （4）??24xsinx2dx．

解（1）取u(x)?ln(x?1)，显然v(x)?x，于是

?0?0x?1dx?ln2?[x?ln(x?1)] （2）令arcsinx?t，则x?sint，dx?costdt，于是

ln(x?1)dx?xln(x?1)?11101x10?2ln2?1．

???20(arcsinx)dx?2?60tcostdt?22?60tdsint

?602?[sint?t?2tcost?2sint]??272?36??1．

（3）分部积分

????20esinxdx?x?20sinxde?esinx?xxx?/20??20ecosxdx

??x??e2?ecosx?/20??20esinxdx?e2?1??x?20esinxdx，

x移项，则有

???20esinxdx?x12(e2?1)．

?（4）??24xsinx2?dx????2xdcotx??xcotx4?/2?/4???2cotxdx

4 ??4?lnsinx?/2?/4??4?12ln2．

3．对称区间的积分

对称区间的积分是定积分的常见题型，一旦遇到这类积分，就要考虑、研究被积函数是 否是奇函数或偶函数，从而利用对称区间积分的性质，如果被积函数不是奇函数，可能将被积函数表示为几个函数的和，拆分，将和的积分写成积分的和，对某部分积分利用对称区间积分性质．

例3 计算下列对称区间的积分：

（1）?(x?1?x)dx； （2）??113221?1sinx?11?x2dx．

解（1）拆分，对第二个积分利用对称区间积分性质，有

?1?1(x?1?x)dx?322?1?1xdx?6?1?12x31?xdx?2?1?1(1?x)dx?23421．

（2）拆分，对第一个积分利用对称区间的积分性质，对第二个积分作变量代换，有

1?x1?x1?x例4 设f(x),g(x)是连续函数，g(x)是偶函数，且f(x)?f(?x)?A（常数）

?1?1?1?1sinx?12dx??1sinxdx?2?11dx?0?arctanx21?1??．

（1）证明：??a?af(x)g(x)dx?A?g(x)dx；

0a（2）计算 解（1）?a?a?2??2sinxarctanedx．

axf(x)g(x)dx??[f(x)g(x)dx?0?0?af(x)g(x)dx

a0?

?a0[f(x)g(x)+f(x)g(x)]dx?A?g(x)dx．

18

（2） 因为 (arctanex?arctane?x)??0，令x?0，得到

arctane?arctanex?x??2．

根据结论（1），得到

???2??2sinxarctanedx??x?20sinxdx??．

4．非初等函数的定积分

计算非初等函数积分的基本方法：将被积函数在积分区间的范围上表示为分段函数，把 定积分表示为在若干区间上积分的和，使被积函数在每个积分区间上都是初等函数．或者说把被积函数在积分区间上表示为分段函数．

例5 计算下列非初等函数的积分

（1）?max?x,x2?dx； （2）??2202?02sinx?sinxdx；

3（3）?[x]lnxdx； （4）?x2sgn(x?1)dx．

0解（1）由于

max?x,x2??x2,???x,?2?x,02x?[?2,0]x?(0,1]x?(1,2]102，

于是

?（2）??02?2max?x,x2?dx???2xdx??xdx??1xdx?2112．

sinx?sinxdx?3??0sinxcosxdx sinxcosxdx?sinxcosxdx??x?[0,1)x?[1,2]2 ?????/20????/2sinxcosxdx sinxcosxdx?43?/20?/2．

（3）根据取整函数定义，有

?0,[x]???1,，

于是

?20[x]lnxdx???10[x]lnxdx??1[x]lnxdx21

?21lnxdx?(xlnx?x)??1,?sgnx??0,?1,??2ln2?1．

（4）根据符号函数定义，有

x?(??,0)x?0x?(0,??)

于是

??201xsgn(x?1)dx xsgn(x?1)dx?22?0?21xsgn(x?1)dx

2 19

???xdx?012?21xdx??213?83?13?2．

?x2,x?[0,1) 例6 设f(x)??，求?(x)?x,x?[1,2]?解 当x?(0,1)时，

?(x)??x0f(t)dt在(0,2)上的表达式．

?x0f(t)dt??x0xdx?213x；

3当x?[1,2]时，

?(x)??x0f(t)dt??10xdx?2?x1xdx?13?12(x?1)?212x?216，

于是

?13x,x?(0,1)??3． ?(x)???1x2?1,x?[1,2)?6?25．反常积分（广义积分） （1）无穷限反常积分：???af(x)dx，?a??f(x)dx，?????f(x)dx．

b（2）无界函数反常积分：瑕积分分类

a为函数f(x)的瑕点，?f(x)dx； b为函数f(x)的瑕点，?f(x)dx；

aabc?(a,b)为函数f(x)的瑕点，?f(x)dx?ab?caf(x)dx??bcf(x)dx．

广义积分计算和正常积分计算基本没有区别，只是在有牛顿—莱布尼兹公式时，若不

能直接代入，就求极限．

例 7 计算下列反常积分

（1）?（3）?a021a?x?x2dx； （2）?lnxdx；

0????1??0xedx； （4）?a0211?x2dx

10解 （1）?（3）????x1a?x?x2dx?arcsinxaa0??2??； （2）?lnxdx?(xlnx?x)01??1；

)?? ．

0xedx?(?xe?e?x)??0?1；（4）???11?x2dx?arctanx??????2?(??2注 （1）题只需将上下限直接代入原函数即可；（2）题原函数在x?0没定义，所以只能，并且limxlnx?0；（3）题的上限是不能直接代入，只能求原函数在正无穷大的极限；

x?0?（4）题需要分别求正无穷和负无穷的极限．

练习 3-2

1 计算下列三角函数的定积分：

（1）?sinxdx； （2）?(1?sinx)dx；

00??3 20

（3）?sin2xcos8xdx； （4）?2?cos3xcos2xdx；

0?2???（5）?21asinx?bcosx2222?0dx(a,b?0)； （6）?601cosxsinx3dx

2 计算下列无理函数的定积分

11（1）?3dx； （2）?11?x?14x3 计算下列非初等函数的定积分

a1x22x?12dx；

（3）?2ax?a422dx(a?0)； （4）?x0aa?xdx；

22（1）?xsgn(cosx)dx； （2）?[x]sin00?3?x64dx；

（3）?max{1,x}dx， （4）??222?0xsinxcosx1?sinxdx；

4 利用函数的周期性、奇偶性计算下列定积分 x?15 利用分部积分计算下列定积分

?1（1）?1xsinx?1232dx； （2）?2n?0cosxdx；

（1）?arcsinxdx； （2）?0130xarctanxdx；

x（3）?(xsinx)dx； （4）?xedx；

00?21 第三章答案与提示

练习 3-1答案与提示

1 （1）

（3）（5）（7）

x1233?x?212lnx?1x?1?C； （2）lnx?1x?112?2x?12?C

x?x?lnx?1?C； （4）lnx?lnx?1?C x?12?C

12(1?x)12122?11?x?C； （6）

12arctanx?1?C

12arctan2x?11x?1?arctan]?C （8）[28x?2x?5221112（9）lnx?1??ln(1?x)?C

22(x?1)4lnx?2x?5?（10）

x4828(1?x)?18arctanx?C

42 计算下列无理函数的积分：

（1）arcsin(2x?1)?C． 提示：分母变形

21

x1?x?x?x?214?14?x?x?21212()?(?x) 22（2）2x?44x?4ln(4x?1)?C．令；4x?u，则x?u4，dx?4u3du． （3）（4）（5）32252311/3(x?1)?x(x?1)3?3ln(x?1)5?1?C 233(x?2)2?2433(x?2)2?255(x?1)2?(x?1)2?C．提示：分母有理化．

1?4x?x?32?x1?arcsin(x?2)?C．

提示：1?14x?x?322?cos?11?1?(x?2)2，令x?2?sin?，dx?cos?d?，则

11?cos?2sin2?1?dx?4x?x?31x?2?1?cos?d???(?1?)d???????2d?

（6）arccos?C．提示：令 x?2?sec?

（7）lnx?1?2x?2x?10?C．提示：配方，利用公式．

（8）2x2?2x?10?lnx?1?（9）（10）

x?9?3arccos122x?2x?10?C

3x?C 1?x2arcsinx?lnx??22??C

3 计算下列三角函数的积分：

2131142 （2）(x?sin2x?sin4x)?C：提示：降次sinx?(1?2cos2x?cos2x)

4284121357（3）sinx?sinx?sinx?C；提示：凑微分，化为有理函数积分

357sinxcosxdx??sinxcosxdsinx?(sinx?sinx)dsinx

252442（1）

3(sinx?cosx)3?C；提示：凑微分 (sinx?cosx)dx?d(sinx?cosx)

（4）?（5）116cos8x?14cos2x?C；提示：降次sin5xcos3x?12(sin8x?sin2x)

123arctan2tanx32?C；提示：

1cosx(1213?sinx?3cosx2??tanx)21cosx(3?4tanx)22

（6）lncscx?cotx?sinxsinx??C；提示：可用万能公式，也可简化分母

?1sinx?cosxsinx2sinx(1?cosx)1?cosx22

21?cosx

（7）

12lntan(x2??8)?C；提示：

1sinx?cosx?12sin(x??4?)22csc(x??4 )．

（8）

12lntanx2x2?14tan2x2?C；提示：利用万能公式

（9）xtan?2lncosdx?x2x?ln(1?cosx)?C；提示：拆分，

dx??1?cosxx2x?sinx?1?cosx?1?cosxsinxdx??x2cos2x2dx?ln1?cosx?C

对第一部分积分利用分部积分．

（10）

tt(coslnx?sinlnx)?C；提示：变量代换，令lnx?t，x?e，dx?edt，

再两次运用分部积分．

4 用分部积分法求下列不定积分

（1）xtanx?lncosx?C． （2）（3）

1413x?32x4sin2x?16182cos2x?C；提示：?xcosxdx?1622212?(x?xcos2x)dx．

xarctanx?x?ln(1?x)?C．

2（4）xln(1?x2)?2x?2arctanx?C． （5）?1xarctanx22arctanx??12arctanxx2x(1?x)1?x2arctanx?，前者用分部积分，后者凑微分用公式． 21?xlnx?1arctanx?C，提示：

2（6）

xexx1?e?ln(1?e)?C．

x（7）?12(1?x)2arctanx?14arctanx?x4(1?x)2?C．

1x12221?xarcsinx?x?C；提示：令arcsinx?t，x?sint，（8）(arcsinx)?

424dx?costdt，则?1?xarcsinxdx?2?tcost2dt?21t(1?cos2t)dt． ?2练习3-2答案与提示

43725641. （1）2；（2）??；（3）?；（4）；（5）

5?2ab；（6）ln(1?2)?arctan22

2. （1）1?2ln2；（2）2?233；（3）a238（提示：作到变换）；（4）

?a164；

23

3. （1）?式．

4．（1）

?2?24；（2）

3?(1?（3）3)；

203；（4）

?28．提示：利用三角函数的积分公

； （2）2n；

2?3325．（1）

?2（2）?1；

3?；

（3）

?6??4；提示：(xsinx)2?x2?12(1?cos2x)?12x?212xcos2x，

2（4）1．

24

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