材料力学习题集

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第1章 引 论

1－1 图示矩形截面直杆，右端固定，左端在杆的对称平面内作用有集中力偶，数值为M。关于固定端处横截面A－A上的内力分布，有四种答案，根据弹性体的特点，试分析哪一种答案比较合理。

正确答案是 C 。 习题2-2图 习题2-1图

A－A截面上的内力分布，有四种答案，根据 1－2 图示带缺口的直杆在两端承受拉力FP作用。关于弹性体的特点，试判断哪一种答案是合理的。 正确答案是 D 。

1－3 图示直杆ACB在两端A、B处固定。关于其两端的约束力有四种答案。试分析哪一种答案最合理。 正确答案是 D 。

习题2-3图 习题2-4图

1－4 等截面直杆在两端承受沿杆轴线的拉力F P。关于杆中点处截面A－A在杆变形后的位置（图中虚线所示），有四种答案，根据弹性体的特点，试判断哪一种答案是正确的。 正确答案是 D 。

1－5 图示等截面直杆在两端作用有力偶，数值为M，力偶作用面与杆的对称面一致。关于杆中点处截面A－A在杆变形后的位置（对于左端，由A?A?；对于右端，由A?A??），有四种答案，试判断哪一种答案是正确的。 正确答案是 C 。

习题2-6图 习题2-5图

1，有四种答 －6 等截面直杆，其支承和受力如图所示。关于其轴线在变形后的位置（图中虚线所示）案，根据弹性体的特点，试分析哪一种是合理的。 正确答案是 C 。

第2章 杆件的内力分析

— 58 —

2－1 平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定？简支梁受力及Ox坐标取向如图所示。试分析下列平衡微分方程中哪一个是正确的。

dFQdM?FQ； （A）?q(x)；dxdxdFQdM （B）??FQ； ??q(x)，dxdxdFQdM?FQ； （C）??q(x)，dxdxdFQdM （D）??FQ。 ?q(x)，dxdx习题2-1图 正确答案是 B 。 2－2 对于图示承受均布载荷q的简支梁，其弯矩图凸凹性与哪些因素相关？试判断下列四种答案中哪几种是正确的。 正确答案是 B、C、D 。 习题2-2图 2－3 已知梁的剪力图以及 a、e截面上的弯矩Ma和Me，如图所示。为确定b、d二截面上的弯矩Mb、Md，现有下列四种答案，试分析哪一种是正确的。 （A）Mb?Ma?Aa?b(FQ)，Md?Me?Ae?d(FQ)； （B）Mb?Ma?Aa?b(FQ)，Md?Me?Ae?d(FQ)； （C）Mb?Ma?Aa?b(FQ)，Md?Me?Ae?d(FQ)； （D）Mb?Ma?Aa?b(FQ)，Md?Me?Ae?d(FQ)。 上述各式中Aa?b(FQ)为截面a、b之间剪力图的面积，以此类推。 习题2-3图 正确答案是 B 。 2－4 应用平衡微分方程，试画出图示各梁的剪力图和弯矩图，并确定 |FQ|max。 解：（a）?MA?0，FRB? ?Fy?0，FRAM 2l |M|max?2M M（↑） 2lM?（↓） 2l |FQ|max? 习题2-4图 （b）?MA?0，?ql2?ql?FRB1?ql（↑） 4l?ql?l?FRB?2l?0， 2FQFQ(ql)CABM2lA14B1454 ?Fy?0，FRAMC?FRB1?ql（↓）， 411?l?ql?l?ql2（＋）

44AM2 (a-1) (b-1) MA?ql2

CDEM2BM2MAC142B MqlM3 — 59 — 2M2 (a-2) (b-2) M |F5Q|max?ql2 4

|M|max?ql2

（c）?Fy?0，FRA?ql（↑） ?MA?0，MA?ql2 ?MD?0，ql2?ql?l?ql?l2?MD?0 M3D?2ql2 |FQ|max?ql

|M|3max? (c) 2ql2 （d）?MB?0

FRA?2l?q?3l?1?ql?l?0 F(gl)2Q F5RA?ADB4ql（↑）

Cl ?F31y?0，FRB?4ql（↑）

(c-1) ?Mq2B?0，MB?2l

?M25D?0，MD?32ql2 |F5ADBCQ|max?4ql

11 |M|25max?1.532ql2 M(ql2) （e）?Fy?0，FRC = 0

(c-2) ?M3lC?0，?ql?2l?ql?2?MC?0 MC?ql2 ?M12B?0，MB?2ql ?Fy?0，FQB?ql

|F (e) Q|max?ql |M|max?ql2 （f）?M1A?0，FRB?2ql（↑） FQql ?Fy?0，FRA?12ql（↓） ABC ?Fy?0，?1(e-1) 2ql?ql?FQB?0 FQB?12ql ABC ?MD?0，

10.52ql?lll2?q2?4?MD?0 M(ql2)1 M1D??8ql2

(e-2) M12E?8ql

∴ |F|1Qmax?2ql

— 60 — (a) (d) FQ(gl)1.25ADBC0.751 (d-1) ADBCM(ql2)251322 (d-2) (f) Fql0.5QDEBC0.50.5 (f-1) 0.125AEDBC0.125M(ql2)(f-2) (b) 12ql 8 2－5 试作图示刚架的弯矩图，并确定|M|max。

|M|max? 解： 图（a）：?MA?0，FRB?2l?FP?l?FP?l?0 FRB?FP（↑）

?Fy?0，FAy?FP（↓） ?Fx?0，FAx?FP（←） 弯距图如图（a-1），其中|M|max?2FPl，位于刚节点C截面。 图（b）：?Fy?0，FAy?ql（↑） ?MA?0，FRB? ?Fx?0，FAx?1ql（→） 2(c) (d) 1ql（←） 2C 弯距图如图（b-1），其中|M|max?ql2。 图（c）：?Fx?0，FAx?ql（←） ?MA?0 ql2?ql?l?FRB?l?0 21BM(FPl)11222CBD1 FRB?ql（↓）

21 ?Fy?0，FAy?ql（↑） 2M(ql2)A(a-1) 1122 112A(b-1) 弯距图如图（c-1），其中|M|max?ql。 图（d）：?Fx?0，FAx?ql ?MA?0

l?ql2?FRB?l?0 23 FRB?ql

23 ?Fy?0，FAy?ql2（↑） 2211M(ql2)12 ?ql?M(ql2) B1A(c-1) B A(d-1) 弯距图如图（d-1），其中|M|max?ql。 2

2－6 梁的上表面承受均匀分布的切向力作用，其集度为p。梁的尺寸如图所示。若已知p、h、l，试导出轴力FNx、弯矩M与均匀分布切向力p之间的平衡微分方程。 解：

1．以自由端为x坐标原点，受力图（a） ?Fx?0，px?FNx?0 FNx??px ∴

dFNx??p dx h?0 2p ?MC?0，M?px? M?习题2-6和2-7图 1phx 2MCdM1?ph dx2 方法2．?Fx?0，FNx?dFNx?pdx?FNx?0

FNxx(a) pdF ∴ Nx??p

dx — 61 —

M?dMFNxdxCFNx?dFNx (b) ?MC?0，M?dM?M?pdx?∴

phdM? dx2h?0 2

2－7 试作2－6题中梁的轴力图和弯矩图，并确定|FNx|max和|M|max。

FNlplx 解：|FNx|max?pl（固定端） p |M|max?hl（固定端） 2

2－8 静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示。若已知A端弯矩M(A)?0，试确定梁上的载荷及梁的弯矩图，并指出梁在何处有约束，且为何种约束。 解：由FQ图线性分布且斜率相同知，梁上有向下均布q载荷，由A、B处FQ向上突变知，A、B处有向上集中力；又因A、B处弯矩无突变，说明A、B处为简支约束，由A、B处FQ值知 FRA = 20 kN（↑），FRB = 40 kN 由 ?Fy?0，FRA?FRB?q?4?0 OlMx1phl2 q = 15 kN/m 习题2-8图 由FQ图D、B处值知，M在D、B处取极值 7.54142404 MD?20??15?()?kN·m m32333AC1B MB??q?12??7.5kN·m 2MkN?m40梁上载荷及梁的弯矩图分别如图（d）、（c）所示。 3

(c)

q?15kN/m

A

CB

(d)

2－9 已知静定梁的剪力图和弯矩图，如图所示，试确定梁上的载荷及梁的支承。 解：由FQ图知，全梁有向下均布q载荷，由FQ图中A、B、C处突变，知A、B、C处有向上集中力，且

FRA = 0.3 kN（↑） FRC = 1 kN（↑） FRB = 0.3 kN（↑） 0.3?(?0.5)?0.2kN/m（↓） q?4由MA = MB = 0，可知A、B简支，由此得梁上载荷及梁的支承如图（a）或（b）所示。

q?0.2kN/m

ABC 1kN 习题2-9图 (a)

0.2kN/m

AC(b) — B62 — 0.3kN

2－10 静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示。若已知截面E上的弯矩为零，试：

1．在Ox坐标中写出弯矩的表达式； 2．画出梁的弯矩图； 3．确定梁上的载荷； 4．分析梁的支承状况。

解：由FQ图知，全梁有向下均布q；B、D处有相等的向上集中力4ql；C处有向下的集中力2ql；结合M，知A、E为自由端，由FQ线性分布知，M为二次抛物线，B、C、D处FQ变号，M在B、C、D处取极值。

1 MB?MD??ql2，FQB = 4ql

217 MC??q(3l)2?4ql?2l?ql2 22习题2-10图 1．弯矩表达式：

0.50.51 M(x)??q?x?0?2，(0?x?l) C2AEBD1 M(x)??q?x?0?2?4ql?x?l?，(l?x?2l) 2M(ql2)13.5 M(x)??q?x?0?2?4ql?x?l??2ql?x?3l? 2(a) (3l?x?5l)

1M(x)??q?x?0?2?4ql?x?l?q 2 ?2ql?x?3l??4ql?x?5l?EABDC (5l?x?6l)

2ql1 M(x)??q?x?0?2?4ql?x?l?即 (b) 2 ?2ql?x?3l??4ql?x?5l? (0?x?6l) 2．弯矩图如图（a）； 3．载荷图如图（b）；

4．梁的支承为B、D处简支（图b）。 2－11 图示传动轴传递功率P = 7.5kW，轴FQ的转速n = 200r/min。齿轮A上的啮合力FR与水平切线夹角20°，皮带轮B上作用皮带拉力FS1 和FS2，二者均沿着水平方向，且FS1 = 2FS2。试：（分轮B重FQ = 0和FQ = 1800N两种情况） 习题2-11图 1．画出轴的受力简图；

FDzy 2．画出轴的全部内力图。 3FS2FCz 解：1．轴之扭矩：

DBCAx7.5TB?358N·m Mx?9549?FτF z200TAFDy FCy FrzFQ TA?TB?Mx?358N·m

T Fτ?A?2387N

0.32 Fr?Fτtan20??869N

yFQz(a) 23871432A(N)TB?1432N 0.52 轴的受力简图如图（a）。 2．① FQ = 0时， Fs2?

CD4296(b) Bx (N)FQy864— 63 — AC434D(c) BxFQ?0 ?MCz?0

?0.2Fr?0.4FDy?0.6FQ?0 FDy?434N ?Fy?0 FCy??1303N ② FQ = 1800 N时， ?MCz?0 FDy?1254N ?Fy?0 FCy??323N ?MCy?0

?0.2Fτ?0.4FDz?0.3?3FS2?0 FDz?5250N

?Fz?0，FCz?1432N MCy?0.2Fτ?477N·m MDy?3Fs2?0.2?859N·m MCz?Fr?0.2?173N·m FQ = 0时，MDz?0

FQ = 1800 N时，MDz??360N·m

M(N?m)

2－12 传动轴结构如图所示，其一的A为斜齿轮，三方向的啮合力分别为Fa = 650N，Fτ = 650N，Fr = 1730N，方向如图所示。若已知D = 50mm，l = 100mm。试画出： 1．轴的受力简图； 2．轴的全部内力图。

解：1．力系向轴线简化，得受力图（a）。 50 Mx?650??10?3?16.25N·m

2 Mz?650?0.025?16.25N·m

yFQy(N)8691800 546ACDBxFQ?1800N1335 Mx(d) (N?m) 1335x358 (e) 859477ACC (f) Mz(N?m)173DD B FQ?0ACC Mz(N?m)173D(g) xD FQ?1800NDABC(h) x360 习题2-12图 y1730NFByMxFAxFAzFAy650NMz ?Fx?0，FAx?650N ?MAz?0，FBy?784N ?Fy?0，FAy?946N ?MCy?0，FAz?FBz

650?325N 2 2．全部内力图见图（a）、（b）、（c）、（d）、AMx650NCFBzBz FNx(N) (a) ?Fz?0，FAz?FBz?AC650B — 64 — (b) （e）、（f）、（g）所示。

FQy(N)784AC946(c) B 325 AFQz(N)C325B(d)

Mx(N?m)AB 3－1 桁架结构受力如图示，其上所有杆的横截面均为20mm×50mm的矩形。试求杆CE和杆DE横

16.25 截面上的正应力。 15kN5kN4m4(e) 解：图（a）中，cos?? （1）

53m 截面法受力图（a） 325N?m?5kN15kN ?MD?0，FCE?4?(15?5)?3?0 （2） C?D FCE = 15 kN FDE A ?Fx?0，FDEcos??40 （3）

BCFCE （1）代入（3），得FDE = 50 kN

C第3章 弹性杆件横截面上的正应力分析

FCE(a) 15?103??15MPa A0.02?0.05 F(f) 习题3-1图 ?DE?DE?50MPa A Mz(N?m)p= 10kN/m，在自由端D 3－2 图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷，其集度-42AFP = 20 kNBC处作用有集中呼。已知杆的横截面面积A = 2.0×10m，l = 4m。试求：

40FNx(kN) 1．A、B、E截面上的正应力； A 2．杆内横截面上的最大正应力，并指明其作用位置。 78.4E 解：由已知，用截面法求得 3094.6 FNA = 40 kN FNB = 20 kN (g) C20 FNE = 30 kN FNA40?103B （1）?A???200MPa ?4A2.0?10FD ?B?NB?100MPa

A(a) F ?E?NE?150MPa

A （2）?max??A?200MPa（A截面）

习题3-2图

3－3 图示铜芯与铝壳组成的复合材料杆，轴向拉伸载荷FP通过两端的刚性板加在杆上。试： 1．写出杆横截面上的正应力与FP、d、D、Ec、Ea的关系式；

2．若已知d = 25mm，D = 60mm；铜和铝的单性模量分别为Ec = 105GPa和Ea = 70GPa，FP = 171 kN。试求铜芯与铝壳横截面上的正应力。 解：1．变形谐调：

FNcF （1） ?Na

EcAcEaAa ∴ ?CE?

— 65 —

My FNc?FNa?FP FNc? FNa?（2）

EcAcFP

EcAc?EaAaEaAaFP

EcAc?EaAaFNcEcFPEcFP???c?A?EA?EA?πd2πcccaa?Ec??Ea?(D2?d2)?44 ∴ ?

FEFNaaP?????aAaπ(D2?d2)πd2Ec?Ea?44? 2． ?c??83.5MPa

105?109?π?0.0252?70?109?π?(0.062?0.025)2E70 ?a??ca?83.5??55.6MPa

Ec105 3－4 图示由铝板钢板组成的复合材料柱，纵向截荷FP通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。试： 1．导出复合材料柱横截面上正应力与FP、b0、b1、h和Ea、Es之间的关系式；

2．已知FP = 385kN；Ea = 70GPa，Es = 200GPa；b0 = 30mm，b1 = 20mm，h = 50mm。求铝板与钢板横截面上的最大正应力。 解：变形谐调：

FF Ns?Na （1）

EsAsEaAa FNs?FNa?FP （2） EsAs??FNs?EA?EAFP?ssaa ?

EAaa?F?FPNa?EA?EAssaa??FNsEsFPEsFP 1． ?s? ??AsEsb0h?Ea?2b1hb0hEs?2b1hEa4?105?109?171?103

习题3-4图

?a??FNaEaFP ??Aab0hEs?2b1hEa?200?09?385?103 2． ?s???175MPa（压）

0.03?0.05?200?109?2?0.02?0.05?70?109?175Ea70 ?a???175??61.25MPa（压）

Es200 3－5 从圆木中锯成的矩形截面梁，受力及尺寸如图所示。试求下列两种情形下h与b的比值：

1．横截面上的最大正应力尽可能小； 2．曲率半径尽可能大。

MMz6Mz 解：1．??z? ?Wzbh2b(d2?b2)6

dWzd?(bd2?b3)?d2?3b2?0 dbdb b?3d 322d 3习题3-5图

h2?d2?b2?h ∴ ?2（正应力尽可能小）

bM1 2． ?z

?zEIz — 66 —

bh3d2?h2h3 Iz? ?1212dIz3 ?0，得h2?d2

dh41 b2?d2?h2?d2

4h ∴ ?3（曲率半径尽可能大）

b 3－6 梁的截面形状为正方形去掉上、下角，如图所示。梁在两端力偶Mz作用下发生弯曲。设正方形截面时，梁内最大正应力为?0；去掉上、下角后，最大正应力变为?max?k?0，试求： 1．k值与h值之间的关系；

2．?max为尽可能小的h值，以及这种情形下的k值。

43h0h0 解：Izh0?，Wz0?

33M3M ?0??0max?z?3z

Wz0h0 Izh?Izh0?2Iz04h0??23?h0h2y2(h0?y)dy

4h044434 ??h0(h0?h3)?(h0?h4)?h0h3?h4?h3(h0?h)

3333MMz ?max??hmax?z?

Wh24h(h0?h)33h033?maxh0h03???2 k? （1） ?02424h(4h?3h)0h(h0?h)3h(h0?h)334d(h2(h0?h))dWh43 ??h0?2h?3h2?0 dhdh388 h(h0?3h)?0，h = 0（舍去），h?h0

39 代入（1）：k?3h08888(h0)2(4h0?3?h0)()2(4?)9993 3－7 工字形截面钢梁，已知梁横截面上只承受Mz = 20 kN·m一个内力分量，Iz = 11.3×106mm4，其他尺寸如图所示。试求横截面中性轴以上部分分布力系沿x方向的合力。

MM 解：FNx?A?xdA??zydA??zydA

A 1A 2IzIz2?1?81?3?0.9492

64?(12?8)???0.080Mz?0.07?y?0.006dy?y?0.088dy? ?0.07Iz?0?M?11? ??z?6??702?88?(802?702)??10?9

Iz?22? ???? ??20?103?611.3?10 ??143?103??143kN

M习题3-7图 |FNx|?yc*?z

220?0.0699m?70mm yc*?2?143 即上半部分布力系合力大小为143 kN（压力），作用位置离中心轴y = 70mm处，即位于腹板与翼缘交界处。

3－8 图示矩形截面（b·h）直梁，在弯矩Mz作用的Oxy平面内发生平面弯曲，且不超出弹性范围，

?10?93?702?44?(802?702)

?? — 67 —

假定在梁的纵截面上有y方向正应力?y存在，且沿梁长均匀分布。试： 1．导出?y??y(y)的表达式； 2．证明：?ymax??h?xmax，?为中性面的曲率半径。 4? 解：1．先求?y(y)表达式： ?Fy?0

? ?Fy??2???y?1??y?d??cos??22??h?x2ysin?2?1?dy?0

yO' 即 2?y?ysin?22??y?h2M?Mz?（?x??zy） ysindy?0，

IzIz2Mz?12h2 即 2?y?ysin?2sin?(y?)?0

2Iz224? ?x-??2 ?2 22 ???d? ∴ ?y?Mzh2?(?y2) 2?yIz4?y?x?2（a）

Ox

2．由（a）式，令

d?ydy?0，得y = 0，则

(a)

?h2Mz?hMz?hMz?h ?y,max???????xmax （b）

8?yIz4?yIz4?yWz4?h2 3－9 图示钢管和铝管牢固地粘成复合材料管，在两端力偶Mz作用下发生平面弯曲，试： 1．导出管横截面上正应力与Mz、D1、D2、D3和钢的Es、铝的Ea之间的关系式；

2．已知D1 = 20mm，D2 = 36mm，D3 = 44mm；Mz = 800N·m；Es = 210GPa，Ea = 70GPa。求钢管和铝和铝管横截面上的最大正应力?max。

解：静力平衡： Ma?Ms?Mz 变形谐调：?a??s得

（1）

MaMs ?EaIaEsIs（2） （3） （4）

习题3-9图

444π(D3?D2)π(D2?D14) Ia?，Is?

6464EI 由（2）Ma?aaMs

EsIs 代入（1），得 (1? Ms? ∴ Ma? 1． ?s? ?a?EaIa)Ms?Mz EsIs（5） （6）

EsIsMz

EsIs?EaIaEaIaMz

EsIs?EaIaD1D2?MsEsMz64EsMzy?y?，（） y??y??44422IsEsIs?EaIaπ [Es(D2?D14)?Ea(D3?D2)]D3D2?MaEaMz64EaMzy?y?，（） y??y??44422IaEsIs?EaIaπ [Es(D2?D14)?Ea(D3?D2)] 2． ?smax? ?amax?64?210?800?18?10?3π[210?(36?20)?70?(44?36)]?1064?70?800?22?10?34444?12?133MPa

?54.1MPa

π[210?(364?204)?70?(444?364)]?10?12 3－10 由塑料制成的直梁，在横截面上只有Mz作用，如图所示。已知塑料受拉和受压时的弹性模量分别为Et和Ec，且已知Ec = 2Et；Mz = 600N·m。试求： 1．梁内最大拉、压正应力；

— 68 —

2．中性轴的位置。

解：根据平面假设，应变沿截面高度作直线变化 ∵ Ec = 2Et，??E?

∴ ?沿截面高度直线的斜率不同 ∴中性轴不过截面形心。 1．确定中性轴位置。设拉压区高度分别为ht、hc

11 由?Fx?0，得：??cmax?hc?b??tmax?ht?b?0

22?hh?hc 即 cmax?t? （1）

?tmaxhchc 又∵

习题3-10图

?C?C?cmaxEc?cmax2?cmaxh???2c ?tmaxEt?tmax?tmaxht（2）

hC 由（1）、（2），得

h?hc2hc2hc2 即 (h?hc)2?2hc ??hchth?hc?t?hc?(2?1)h?41.4mm?? ?（中性轴的位置）

?ht?(2?2)h?58.6mm?? 2．Mz?ht (a)

?t

?Aty?tdA??Acy?cdA??AtyEt?tdA??AcyEc?cdA?dA?2?AtyEt?tdA?y?Acy?2Et?cdA

? ?Et???Aty?tdA????2y?cdA??Et?Ac???Aty?y??Acy??EdA??t(It?2Ic) ???3bht3bhcbh3 其中It?2Ic??2??(6?42)

333Mz1 ∴ ??Et(It?2Ic) ∴ ?cmax? ?Ec?hc?EcMz2Mzhc?hc

EtIt?2IcIt?2Ic?8.69MPa（压）

2?600?41.4?10?350?1003(6?42)?10?123Mz600?(2?2)?100?10?3ht?ht??6.15MPa（拉） ∴ ?tmax??It?2Ic50?1003?12?10(6?42)3 3－11 试求图a、b中所示的二杆横截面上最大正应力的比值。 解：（a）为拉弯组合

aFP?FP4?4?FP ? ?a?333a2a?aa(a)2226 （b）为单向拉伸

F ?b?P

a2?4 ∴ a?

习题3-11图 ?b3Et

3－12 桥墩受力如图所示，试确定下列载荷作用下图示截面ABC上A、B两点的正应力：

1．在点1、2、3处均有40 kN的压缩载荷； 2．仅在1、2两点处各承受40 kN的压缩载荷； 3．仅在点1或点3处承受40 kN的压缩载荷。

FNx40?103解：??2.67Mpa

A200?75?10?6

Mz40?103?0.125??40MPa W75?1002?9?106 — 69 —

习题3-12图

1． ?A3FNx3?40?103??B?????8MPa

A200?752FNxMz?2?40?10???AW200?75380?103? 2． ?A??1252??15.3MPa 275?2006 3．在点1加载： ?A?FNxMz?40?10340?103?125??????12.67MPa

AW200?7575?20026?FNxMz?40?10340?103?125????7.33MPa ?B?AW200?7575?20026 由对称性，得

在3点加载：?A?7.33MPa，?B??12.67MPa

3－13 图示侧面开有空洞的正方形截面管，管壁厚?= 5mm，管在两端承受轴向载荷FP。已知开孔处截面的形心为C，形心主惯性矩Iz?0.177?10?6m4，Fp = 25kN。试求： 1．开孔处横截面上点F处的正应力； 2．最大正应力。

解：FNx?FP?25kN

Mz?Fp?(25?18.57)?10?3?160.75N·m A?(50?5?2?40?5)?10?6?700?10?6m2

FM 1． ?F?Nx?z?18.57?103??18.85MPa

AIzFNx AM ?z?(50?18.57)?10?3

Iz2． ?max?

习题3-13图

?64.26MPa（在y正向最大位置）

3－14 图示矩形截面杆在自由端承受位于纵向对称面内的纵向载荷FP，已知FP = 60kN。试求： 1．横截面上点A的正应力取最小值时的截面高度h； 2．在上述h值下点A的正应力值。

hFP(?d)FMF2 解：?A?Nx?z?P? AWz40h40h26F2h?3d) ?P(（1）

20h2 ??A6hd?2h2习题3-14图

?0， 1．令?0 ?hh4 ∴ h = 3d = 75mm （2） 2．由（1）、（2）式得：

60?1032?75?3?25 ?A?()?40MPa

20752 3－15 图中所示为承受纵向载荷的人骨受力简图，假定实心骨骼为圆截面。试：

1．确定截面B－B上的应力分布；

2．假定骨骼中心部分（其直径为骨骼外径的一半）由海绵状骨质所组成，且忽略海绵状承受应力的能力，确定截面B－B上的应力分布；

3．确定1、2两种情况下，骨骼在截面B－B上最大压应力之比。

0.795 yyA OB

z14.526

(a) — 70 —(b)

?13.73MPa?14.43MPaOyACO BB z12.6mmyACOO B14.1mm?15.32MPa16.55MPazC

(c)

zCz

(d)

解：1．?N1FNx445?106?????0.795MPa

A1π?26.724 ?MmaxMz445?61?10?3???14.526MPa Wz1π?26.73?10?932??14.526?0.795?13.73MPa ∴ ?max???14.526?0.795??15.32MPa ?max 沿y方向应力分布如图（c）所示，中性轴为zc。

?4?445?1064FNx445?106???0.795???1.06MPa ??126.72A23π?26.72(1?)π(26.72?()424MMz16 ?M2max?z??14.526??15.494MPa

14Wz215Wz1(1?())2??15.494?1.06?14.43Mpan ?max

???15.494?1.06??16.55MPa ?max2． ?N2? zC为中性轴，沿y轴应力分布如图（d） ??2?1?15.3216.55??1.08?0.926 3． ?，或???216.55?115.32 3－16 正方形截面杆一端固定，另一端自由，中间部分开有切槽。杆自由端受有平行于杆轴线的纵向

力FP。若已知FP =1kN，杆各部分尺寸示于图中。试求杆内横截面上的最大正应力，并指出其作用位置。 解：A?5?10?10?6?50?10?6m2

5?10?21 Wy??10?9??10?6m3

61210?521 Wz??10?9??10?6m3

624 FNx = 1 kN

My?1000?5?10?3?5N·m Mz?1000?2.5?10?3?2.5N·m ?max?FNxMyMz?? AWyWzyAMz10CMyz5 (a)

习题3-16图

????100052.5??106?140MPa ?? ??11??50??1224?? 最大正应力作用位置位于中间开有切槽的横截面的左上角点A，如图（a）所示。

3－17 钢制立柱上承受纵向载荷FP如图所示。现在A、B、D三处测得x方向的正应变

— 71 —

?x(A)??300?10?6，?x(B)??900?10?6，?x(D)??100?10?6。若已知钢的弹性模量E = 200GPa。试求：

1．力FP的大小；

2．加力点在Oyz坐标中的坐标值。 解：A?100?60?10?6?6?10?3m2

60?1002 Wz??10?9?100?10?6m3

6100?60?2 Wy??10?9?60?10?6m3

6 FNx??FP Mz?FP?y My??FPy ?A?FNxMzMy?FFy?FPz???(P?P?)?106 （1） AWzWy600010060?FPFy?FPz（2） ?P?)?106

600010060?FFyFz ?D?(P?P?P)?106 （3）

600010060 ??E? （4）

yz?1?P?P)?106?FP?200?109?(?300?10?6) 由（1）、（4），(600010060yz?1?P?P)FP??60 即 (（5） 600010060zy?1??P)FP??180 由（2）、（4），(（6） 600010060yz?1?P?P)FP??20 由（3）、（4），(（7） 600010060 解（5）、（6）、（7）：zP?0.02m?20mm

?B?( yP??0.025m??25mm FP = 240 kN

3－18 矩形截面柱受力如图所示，试证明：

1．当铅垂力FP作用在下面方程所描述的直线上的任意点时，点A的正应力等于零：

zy P?P?1

bh66 2．为了使横截面的所有点上都不产生拉应力，其作用点必须位于由类似上述方程所描述的直线围成的区域内（图中虚直线围成的区域）。

解：1．写出K点压弯组合变形下的正应力（图a）。

F(F?zP)?z(FPyP)?y ???P?P3 ?Ahbbh3习题3-18图

ADCzhFPK(yP.zP)By(y.z)F1212????FP?zPyP? ??（1） 1?2z?2y

?hb?bh??1212??hb 将A(?,?)代入（1）式，并使正应力为零，得

22FP所作用的直线方程

zy 1?P?P?0

bh66b

(a)

nzotCyotzFPn

— 72 —

y(b)

zPyP??1 bh66 2．若FP作用点确定，令（1）式等于零，得截面的中性轴方程（图b）：

zyP1?Pz?y?0b2h21212 （2） 整理得：

1h?y??2?0t6yP? 中性轴n－n的截距：? （3）

h?z??20t?6zP?Cz 说明中性轴n－n，与力FP作用点位于形心C的异

FP2侧，说明n－n划分为FP作用下的区域为压应力区，另

FP1一区域是拉应力区（见图b）。

yz 如果将（2）改写为2zP?2yP??1 （4）

1bh1212 并且把中心轴上一点（y, z）固定，即中性轴可绕该

z点顺时针转动（从1―1转到2―2）

由（4）式，FP作用必沿直线移动。由（3）式，2

(c)

－2直线的截距值大于1－1直线的。所以，当中性轴1－1顺时针转向中性轴2－2时，FP作用点FP1、FP2沿12直线，并绕形心也顺时针转向。

A33 如果中性轴绕A点从1―1顺时针转动至3―3（中性轴始终在截

面外周旋转），则截面内就不产生拉应力，将A坐标代入（4）式：zPyP??1，即FP沿该直线移动。从FP1→FP2→FP3，反之铅垂力FP1bhz662FP3FP2FP从FP1→FP2→FP3直线移动，截面不产生拉应力，同理过B、F、D分别找另三条FP移动的直线。这四条直线所围区域为截面核心。铅垂

BF压力在截面核心内作用，则横截面上不会有拉应力。

3－19 矩形截面悬臂梁受力如图所示，其中力FP的作用线通过截面形心。试： y 1．已知FP、b、h、l和?，求图中虚线所示截面上点a的正应力；

(d) 2．求使点a处正应力为零时的角度?值。

解：My?FPlsin?，Wy? Mz?FPlcos?，Wz? ?a?hb2 6bh2 6MzMy6lF??2P(bcos??hsin?) WzWybh2

习题3-19图

bb，??tan?1 hh 3－20 矩形截面柱受力如图所示。试：

1．已知?= 5°，求图示横截面上a、b、c三点的正应力。 2．求使横截面上点b正应力为零时的角度?值。 解：FNx?FPcos?

令?a?0，则tan?? My(a)?FPsin??0.04

My(b)?2My(a)，My(c)?3My(a) 1．?a?FNxMyFcos?0.04FPsin???P? AWy0.1?0.040.1?0.0426 — 73 —

习题3-20图

FP(cos??6sin?)0.1?0.04

60?103?(cos5??6sin5?)0.004 ?7.10MPa

FNx2My(a)60?103????(cos5??12sin5?)??0.745MPa bAWy0.004? ?c? 2． ?b?FNx3My(a)???8.59MPa AWyFNx(cos??12sin?)?0 A1 tan??，?= 4.76°

12 3－21 交通信号灯柱上受力如图所示。灯柱为管形截面，其外径D = 200mm，内径d = 180mm。若已知截面A以上灯柱的重为4kN。试求横截面上点H和K处的正应力。

3.25 解：tan??，?=22.62°

7.8 FNy??(400?900?1950cos?)??6700N

Mz?1950sin??(7.8?0.6)?900?2.1?3510N·m

FNx?6700???1.12MPa πA22(0.2?0.18)4FNyMz3510 ?K????1.12??11.87MPa

πAWz34?0.2(1?0.9)32 3－22 No. 25a普通热轧工字钢制成的立柱受力如图所示。试求图示横截面上a、b、c、d四点处的正应力。

解：A?48.5?10?4m2 ?H? Wz?401.88?10?6m3 Wy?48.283?10?6m3 FNx??100kN

Mz?100?103?0.125?25?103?0.5?25?103N·m My?(8?2)?103?0.6?9.6?103N·m

习题3-21图

习题3-22图

Mz?62.6MPa WzMyWy?199MPa

dMzCMyFNx??20.6MPa AFM ?a?Nx?z?41.6MPa

AWz ∴ ?c?z ?b? ?d?FNxMzMy???240MPa AWzWyFNxMzMy???116Mpa AWzWyay(a)

b

3－23 承受集度为q = 2.0kN/m均布载荷的木制简支梁，其截面为直径d = 160mm的半圆形。梁斜置如图所示。试求梁内的最大拉应力与最大压应力。

2d 解：qy?qcos20?，qz?qsin20?，yc?

3π习题3-23图

qy — 74 —

AqyBCqyBAMz(N.m)qy2?939.7N.mMzmax?qy?1?qy?1?

12 Mymax11?qy?qcos20??940N?m221?qsin20??342N·m 2

1πd41π?1604?10?12 Iy????16.1?10?6m4

2642641πd4πd22d2 Iz???()?4.4956?10?6m4

26483πMydM??z?yc?? ?maxIzIy29402?0.16342???0.08)?10?6 ?6?63π4.4956?1016.1?10 ?8.80MPa（左下角A点） 最大压应力点应在CD弧间，设为??

AqZqZqyBCAMyB342N?m ?(

(b)

yCDRCyC yC?M(Rsin??yc)Mymax?Rcos??? ?????zmax? （1）

II??zy??MzmaxIy940?16.1?10?6d????9.834 ?0，得：tan??IzMymaxd?4.4956?10?6?342?B ??84.19?代回（1）式，

A (c) 2?160??)?10?3?940(80sin84.19???3?342?80cos84.19??10??3π?????10?6??9.71MPa ?max?6?6??4.4956?1016.1?10???? 3－24 简支梁的横截面尺寸及梁的受力均如图所示。试求N－Ｎ截面上a、b、c三点的正应力及最大拉应力。

解：MN?N?30kN·m

yc?

160?20?10?2?180?20?90160?20?2?180?20

16?2?2?18?2?9??65.38mm1.6?2?2?1.8?2160?203?160?20?55.382)1220?1803?20?180?(90?65.38)2) ?2(12 ?33725128mm4?33.725?10?6m4Iz?(习题3-24图

?c??0.05538?49.3MPa（压应力）

33.725?10?630000 ?b??(180?65.38?80)?10?3?30.8MPa（拉应力） ?633.725?10 ?a?30?10330?10333.725?10?6?(180?65.38?40)?10?3?66.4MPa（拉应力）

?(180?65.38)?10?3?102MPa（拉应力）

?max??d?30?103?633.725?10 3－25 根据杆件横截面正应力分析过程，中性轴在什么情形下才会通过截面形心？试分析下列答案中哪一个是正确的。

（A）My = 0或Mz = 0，FNx?0； （B）My = Mz = 0，FNx?0； （C）My = 0，Mz = 0，FNx?0； （D）My?0或Mz?0，FNx?0。 正确答案是 D 。

— 75 —

解：正如教科书P168第2行所说，只要FNx?0，则其中性轴一定不通过截面形心，所以本题答案选（D）。

3－26 关于中性轴位置，有以下几种论述，试判断哪一种是正确的。 （A）中性轴不一定在截面内，但如果在截面内它一定通过形心； （B）中性轴只能在截面内并且必须通过截面形心； （C）中性轴只能在截面内，但不一定通过截面形心；

（D）中性轴不一定在截面内，而且也不一定通过截面形心。 正确答案是 D 。

解：本题解答理由可参见原书P167倒数第1行，直至P168页第2行止，所以选（D）。 3－27 关于斜弯曲的主要特征有四种答案，试判断哪一种是正确的。

（A）My?0，Mz?0，FNx?0，中性轴与截面形心主轴不一致，且不通过截面形心； （B）My?0，Mz?0，FNx?0，中性轴与截面形心主轴不一致，但通过截面形心； （C）My?0，Mz?0，FNx?0，中性轴与截面形心主轴平行，但不通过截面形心； （D）My?0或Mz?0，FNx?0，中性轴与截面形心主轴平行，但不通过截面形心。

正确答案是 B 。

解：本题解答理由参见原书P167第2-3行。

3－28 承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图a、b、c所示。图a中的截面为一整体；图b中的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图c中的截面由两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正应力分别为?max(a)、?max(b)、?max(c)。关于三者之间的关系有四种答案，试判断哪一种是正确的。

（A）?max(a)＜?max(b)＜?max(c)； （B）?max(a)＝?max(b)＜?max(c)； （C）?max(a)＜?max(b)＝?max(c)； （D）?max(a)＝?max(b)＝?max(c)。 正确答案是 B 。

M6M 解：?max(a)?3z?3z

dd6Mzd6M ?max(b)?23??3z

dd2d?212Mz2?d?12Mz ?max(c)?dd3d()34212 ∴选（B）。

习题3-28图

第4章 弹性杆件横截面上的切应力分析

4－1 扭转切应力公式?(?)?Mx?/Ip的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。

（A）等截面圆轴，弹性范围内加载； （B）等截面圆轴；

（C）等截面圆轴与椭圆轴；

（D）等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。 正确答案是 A 。

解：?(?)?Mx?Ip在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时推导过程中还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。

4－2 两根长度相等、直径不等的圆轴受扭后，轴表面上母线转过相同的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大切应力分别为?1max和?2max，切变模量分别为G1和G2。试判断下列结论的正确性。

（A）?1max＞?2max； （B）?1max＜?2max；

（C）若G1＞G2，则有?1max＞?2max； （D）若G1＞G2，则有?1max＜?2max。

— 76 —

正确答案是 C 。 解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即?1??2??由剪切胡克定律??G?知G1?G2时，?1max??2max。

4－3 承受相同扭矩且长度相等的直径为d1的实心圆轴与内、外径分别为d2、D2(??d2/D2)的空心圆轴，二者横截面上的最大切应力相等。关于二者重之比（W1/W2）有如下结论，试判断哪一种是正确的。 （A）(1??4)32； （B）(1??4)32(1??2)； （C）(1??4)(1??2)； （D）(1??4)23/(1??2)。 正确答案是 D 。 解：由?1max??2max得

16Mx16Mx ?33πd1πd2(1??4)1d 即 1?(1??4)3

D2（1） （2）

W1A1d12 ??2W2A2D2(1??2)（1）代入（2），得 W(1??4) 1?W21??223

4－4 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外

层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1 = 2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中所示的四种结论，试判断哪一种是正确的。

正确答案是 C 。

G1?8-42G图解：因内、外层间无相对滑动，所以交界面上切应变相等?1??2，因习题2，由剪切胡克定律得交界面上：?1?2?2。

习题4-5图

4－5 等截面圆轴材料的切应力－切应变关系如图中所示。圆轴受扭后，已知横截面上点a(?a?d/4)的切应变?a??s，若扭转时截面依然保持平面，则根据图示的???关系，可以推知横截面上的切应力分布。试判断图中所示的四种切应力分布哪一种是正确的。 正确答案是 A 。

4－6图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kN·m。试求： 1．轴横截面上的最大切应力；

2．轴横截面上半径r = 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比； 3．去掉r = 15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。

MxTT3?103?16????70.7MPa 解：1．?1max?WPWPπd3π?0.06316Mx2πMxr4???dA?????2π?d??? 2． Mr? A10IpIp4??r ∴

Mr2πr42πr416r41541????16?()??6.25% Mx4Ip6016πd4d44?32习题4-6图

— 77 —

3． ?2max?MxT? Wpπd3?14??1?()?16?2?41()4???2max??1max?12?????6.67% ??1max1??41?(1)4152 4－7 图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合，二者在B、C处连成一体；在D处无接触。已知芯轴直径d = 66mm；轴套的外径D = 80mm，壁厚?= 6mm。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa。试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T。

MT 解：?轴max?x?13?60?106

Wp1πd1636π?66 T1?60?10??10?9?3387N·m

16MT2?60?106 ?套max?x?3Wp2πd?684??1?()?16?80? T2?60?106?π?80317???10?9?1?()4??288N3·m 1620??

习题4-7图

∴ Tmax?T2?2883N·m?2.88?103N·m

4－8 由同一材料制成的实心和空心圆轴，二者长度和质量均相等。设实心轴半径为R0，空心圆轴的

内、外半径分别为R1和R2，且R1/R2 = n，二者所承受的外扭转力偶矩分别为Ts和Th。若二者横截面上的最大切应力相等，试证明：

Ts1?n2? Th1?n22R 解：由已知长度和质量相等得面积相等：

2πR02?π(R2TSTS??R12)Tsπ?

3R0（1）

（2）

Th ?max?Tsπd163R2R12Th ?max?Thπ(2R2)3(1?n4)16 由（2）、（3）式

3TsR0?3 ThR2(1?n4)22?R2?R12 由（1） R0 （3）

（4）

代入（4） ∴

Ts?Th3222(R2?R1)3R2(1?n4)?(1?322n)1?n4?322(1?n)(1?n2)(1?n2)?1?n21?n2

4－9 图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为D、壁厚均为?，横截面上的扭矩均为T = Mx。试：

1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大切应力

2Mx?max?

?πD2 2．证明开口圆管受扭时横截面上最大切应力

3M?max?2x

?πD 3．画出两种情形下，切应力沿壁厚方向的分布。

DD??dA????πD? 解：1．Mx?习题4-9图 A22?

— 78 —

∴ ??

8πD2?πD2 2．由课本（8－18）式

2Mx3Mx3M??2x ?max?22hbπD???πD

4－10 矩形和正方形截面杆下端固定，上端承受外扭转力偶作用，如图所示。若已知T = 400N·m，试分别确定二杆横截面上的最大切应力。

Mx400 解：?amax???15.4MPa

c1hb20.208?50?502?10?9 ?bmax?2Mx 即：?max?2Mx (a)

(b)

Mxc1hb2?4000.246?70?352?10?9?19.0MPa

习题4-10图

4－11 图示三杆受相同的外扭转力偶作用。已知T = 30N·m，且最大切应力均不能超过60MPa。试确定杆的横截面尺寸；若三者长度相等，试比较三者的重量。

Mx?60?106 解：?amax?3πd16 da?3 ?amax?29.4mm

π?60?1060π?106MxMxMx????60?106 233c1hbc1db0.208db616T?316?300 db?3 ?cmax?0.02886m?28.9mm 0.208?60?106Mx300???60?106 23c1hb0.246?2dc3006300

习题4-11图

dc?32?0.246?60?10 三者长度相同，重量之比即为面积之比。

2πdaAπ0.029422)?0.816 a?42?(Ab40.02886db?0.02166m?21.66mm

π2daAaπdπ0.0294224??(a)2?()?0.724 2Ac8dc80.021662dc ∴ Aa:Ab:Ac?1:0.816:0.724

4－12 直径d = 25mm的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径D = 75mm、壁厚?=1.25mm的薄壁管，

当杆承受外扭转力遇矩T = 73.6N·m时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量G = 40MPa。试：

1．分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？ 2．确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。 解：设轴受T = 73.6N·m时，相对扭转角为?0 且

d?0T ?dxGIp1（1）

T撤消后，管受相对扭转角?2，则轴受相对扭转角

习题4-12图

?1??0??2，此时轴、管受扭矩大小相等，方向相反，整个系统平衡。

?1??2??0

（2）

— 79 —

TlMlM?l?x?x GIp1GIp1GIp2Ip2Ip1?Ip2（3） （4）

Mx?M?x ∴ Mx?T

?0?1?2（5） （6）

?hmax? Ip1Tp2MxTTD???? Wp2Ip1?Ip2Wp2Ip1?Ip22πd4π??(25)4?10?12?38349.5?10?12 3232 (a)

πD4?D?2?4?π?754?72.54? Ip2?1?()??1?()??10?12?393922?10?12m4 ??32?D32?75?? 将Ip1、Ip2值代入（6）得

7573.6??10?32 管：?hmax??6.38MPa

(38349.5?393922)?10?122573.6??393922?10?3Ip2?TMxdd2?????21.86 MPa 轴：?smax?Ip12Ip1(Ip1?Ip2)2(38349.5?393922)?38349.5?10?12 4－13 由钢芯（直径30mm）和铝壳（外径40mm、内径30mm）组成的复合材料圆轴，一端固定，另一端承受外加力偶，如图所示。已知铝壳中的最大切应力?amax?60MPa，切变模量Ga = 27GPa，钢的切变模量Gs = 80GPa。试求钢芯横截面上的最大切应力?smax。 解：复合材料圆轴交界面上剪应变相同?s??a??（r = 15mm） ?amax? ?a(r)? Ma?Ma WpaMar?Ga?a Ipar

rGaIpa?aR ∴ ?amax?Wpa? ?smax(r)?GaIpa?ar 习题4-13图

Gs??amax?Wpa?rGs??amax?r80?60?15Ms?Gs?s?Gs?a????133MPa WpsGa?IpaGa?R27?20 4－14 若在圆轴表面上画一小圆，试分析圆轴受扭后小圆将变成什么形状？使小圆产生如此变形的是

什么应力？

答：小圆变形成椭圆，由切应力引起。

小圆方程为：x2?y2?R2，R为小量 小圆上一点A(x,y)，

当圆轴扭转时，A无水平位移，所以x??x（平面假设） A垂直位移：v?(d?x)?2LdA(x,y)A(x?,y?)x?

y??y?v?y?(d?x) ∴ y?y??(d?x)2?2L

2ly?2L

2 ???2 将坐标代入：(x?)??y??(d?x?)??R

2L?? (1???2d?dd2?222??????)(x)?2()xy?(y)?2()x?2y?(?R2)?0 2222L2L4L4L4L1??2?2?4L2?2L?0，所以为椭圆型方程。

1 二次项系数：?2?2L — 80 —

* 4－15 关于弯曲切应力公式??FQSz/(bIz)应用于实心截面的条件，有下列论述，试分析哪一种是正

确的。

（A）细长梁、横截面保持平面；

（B）弯曲正应力公式成立，切应力沿截面宽度均匀分布； （C）切应力沿截面宽度均匀分布，横截面保持平面； （D）弹性范围加载，横截面保持平面。

正确答案是 B 。

* 解：公式??FQSz(bIz)推导时应用了局部截面的正应力合成的轴力，该正应力?x则要求弯曲正应力

公式成立；另外推导时在?Fx?0时，应用了?沿截面宽度均匀分布假设。

4－16 试判断梁横截面上的切应力作用线必须沿截面边界切线方向的依据是： （A）横截面保持平面； （B）不发生扭转；

（C）切应力公式应用条件； （D）切应力互等定理。 正确答案是 D 。

4－17 槽形截面悬臂梁加载如图示。图中C为形心，O为弯曲中心。并于自由端截面位移有下列结论，试判断哪一种是正确的。

（A）只有向下的移动，没有转动； （B）只绕点C顺时针方向转动；

（C）向下移动且绕点O逆时针方向转动； （D）向下移动且绕点O顺时针方向转动。

正确答案是 D 。

4－18 等边角钢悬臂梁，受力如图所示。关天截面A的位移有以下习题4-17图 论述，试分析哪一种是正确的。

（A）下移且绕点O转动； （B）下移且绕点C转动； （C）下移且绕z轴转动； （D）下移且绕z?轴转动。 正确答案是 D 。

习题4-18图

4－19 试判断下列图示的切应力流方向哪一个是正确的。

正确答案是 A 。

(a) (b) (c) (d)

习题4-19图

4－20 四种不同截面的悬臂梁，在自由端承受集中力，作用方向如图所示，图中O为弯曲中心。试

*分析哪几种情形下可以直接应用?x??Mzy/Iz和??FQSz/(bIz)计算横截面上的正应力和切应力。 （A）仅（a）、（b）可以； （B）仅（b）、（c）可以； （C）除（c）之外都可以； （D）除（d）之外都不可能。 正确答案是 D 。

习题4-20图

4－21 简支梁受力与截面尺寸如图所示。试求N－N截面上a、b 两点的铅垂方向的切应力以及腹板与翼缘交界处点c的水平切应力。 解：FQ = 120kN，形心C位置。

180?20?90?2?160?20?10?65.38mm d?180?20?2?160?20?20?1803?160?2032?20?180?(90?65.38)???160?20?55.382?33725128mm4 Iz?2???1212?? — 81 —

*? Sza*? Szb*? Szc????74.62?114.62?34.6220ydy?10(74.622?114.622)??75696mm3 20ydy?10(34.622?114.622)??119392mm3 20ydy?10(65.382?114.622)??88632mm3 ?120?103?75696?10?920?10?3?33.725128?10?6?13.5MPa（↓）

?114.6265.38?114.62 ?a? ?b? ?c?*FQSza? Iz120?103?119392?10?920?10?3?33.725128?10?6120?103?88632?10?920?10?3?33.725128?10?6?21.2MPa（↓） ?15.8MPa（→）

习题4-21图

F(kN)

y120

120

4－22 梁的受力及横截面尺寸如图所示。试：

1．绘出梁的剪力图和弯矩图； 2．确定梁内横截面上的最大拉应力和最大压应力；

3．确定梁内横截面上的最大切应力； 4．画出横截面上的切应力流。 解：1．图（a）：?MA?0

QycdzCFRAba

yczCba

习题4-22图

8kN?myq zC 8?q?4?2?FRB?4?0 FRB?18kN

?Fy?0，FRA?22kN

剪力与弯矩图如图（b）、（c）； 2．形心C位置

80?20?10?80?20?60?60?20?110d? 80?20?2?60?20?55.45mm33CAFRABFRB(a)

d

(d)

22(kN)yFQCA1800B1880?2020?80?80?20?45.452?8121260?203 ?20?80?4.552??60?20?54.552 C

1264?7.855758?10mmMMmax??3 ?max??55.45?10

IzIz?z(b) A16.2(kN.m)B (e)

(c)

— 82 —

16.2?103?55.45?10?3 ??114MPa

7.855758?10?6M? ?max?max?64.55?10?3?133MPa

Iz* 3． Szmax?80?20?45.45?20?35.45?*FQSzmax35.45?85287?10?9m3 2?11.94MPa

?max?? Iz?22?103?85287?10?920?10?3?7.855758?10?64．切应力流如图（e）。

4－23 木制悬臂梁，其截面由7块木料用A、B两种钉子连接而成，形状如图所示。梁在自由端承受沿铅垂对称轴方向的集中力FP作用。已知FP = 6kN，Iz?1.504?109mm4；A种钉子的纵向间距为75mm，B种钉子的纵向间距为40mm，间距在图中未标出。试求： 1．A类钉子每个所受的剪力； 2．B类钉子每个所受的剪力。

1(400?4003?250?3003?100?2003) 12 ?1504166667mm4

解：Iz?*?100?50?150?750000mm3 SzA*FQSzA ?A?? Iz

习题4-23图

?3

*FQSzA 每根A种然受剪力： FQA??A??75?10?Iz?75?10?3?6?103?750000?10?9?75?10?31504166667?10?12?224N

*?2?100?50?150?300?50?175?4125000mm3 SzB 每根B种钉子受剪力：

*FQSzB6?103?4125000?10?9?40?10?3?3F??40?10??658N QBIz1504166667?10?124－24 由四块木板粘接而成的箱形截面梁，其横截面尺寸如图所示。已知横截面上沿铅垂方向的剪力

FQ = 3.56kN。试求粘接接缝A、B两处的切应力。

2292?1? 解：Iz?2???25?2293?()?127?25??1.3329?108mm4

2?12?*?( SzA127229?12.5)?25??1.460?105mm3 22?3.56?10?3?1.46?10?9?0.154MPa

25?1.35?10?7 ?A?*FQSzA?Iz*FQSzA*?76?25?114.5?2.176?105mm3 SzB ?B??Izy AAABy ?A AB ?B zzCC

(a) (b) 习题4-24图

4－25 图示两根尺寸相同的木梁，左端用垫木和螺栓将二者固结在一起，右端用直径d = 10mm的钢

制螺栓拧紧。若木梁中最大正应力不允许超过47MPa，钢制螺栓中最大正应力不允许超过400MPa，试分析当不断拧紧钢制螺栓时，木梁和钢制螺栓中的最大正应力哪一个先达到其极限值。

*SzB?0.154?*?0.230Mpa

SzA — 83 —

解：木梁视为悬臂梁，螺栓视为平面拉伸，设螺栓受力FP，则

F ?s?Ps?400MPa （1）

A 木梁中固定端 M?FPw?2

2FPwM??47MPa （2） W120?2002?10?96π?122 由（1）FPs?400?（3） ?31416N

4 由（2）FPw?18800N （4） ?w?

习题4-25图

由（3）、（4）式可知，木梁中最大正应力先达到极限值。

4－26 悬臂梁受国力如图a所示。若将梁从中性面处分成两部分，下面部分如图b所示。试： 1．确定中性面上的切应力沿x方向的变化规律； 2．分析中性面以上或以下部分是否平衡，如何平衡。

解：FQx?qx ?(x)?*FQxSzmaxqx?b??bIz

4－27 图中所示均为承受横向载荷的梁的横截面。若剪力均为铅垂方向，试画出各截面上的切应力流方向。

hh?24?3qx

2bhbh3b?12

(a) (b)

习题4-26图

(a) (b) (c)

习题4-27图

(d) (e) (f)

第5章 应力状态分析

5－1 木制构件中的微元受力如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂方向的夹角。试求： 1．面内平行于木纹方向的切应力；

2．垂直于木纹方向的正应力。 1.6MPa

x15x15?4MP a?-15 1.25MPa-15??x'y'?x'x' ?x'y'?x'x'

(b-1)

(a-1)

习题5-1图

解：（a）平行于木纹方向切应力

?4?(?1.6)sin(2?(?15?))?0?cos(2?(?15?))?0.6MPa ?x?y??2? — 84 —

习题5-2图

垂直于木纹方向正应力

?4?(?1.6)?4?(?1.6) ?x???cos(2?(?15?))?0??3.84MPa

22 （b）切应力

?x?y???1.25cos(2?(?15?))??1.08MPa 正应力

?x???(?1.25)sin(2?(?15?))??0.625MPa

5－2 层合板构件中微元受力如图所示，各层板之间用胶粘接，接缝方向如图中所示。若已知胶层切应力不得超过1MPa。试分析是否满足这一要求。

?2?(?1) 解：?x?y??sin(2?(?60?))?0.5?cos(2?(?60?))??1.55MPa

2 |?x?y?|?1.55MPa?1MPa，不满足。

?x'y' 30?2MPa0.5MPax'?x'-60?(a) 5－3 结构中某点处的应力状态为两种应力状态的叠加结果。试求叠加后所得应力状态的主应力、面内最大切应力和该点处的最大切应力。

?y ?x= ?xy

?y ?xx=

?xy

? y ?xx=

?xy

习题5-2图

解：

?0?0?1?cos2?????cos(?2?)?0??0?x222??0sin2?? 左微元??? sin(?2?)???0xy?22??1?cos2??0y??0???x????2?3?cos2???0x??0???x???2?sin2???0 叠加 ??xy??x?y??0??2??1?cos2??0y?0???y???2?3?cos2?1?cos2???1?13?cos2?1?cos2?22sin2?22?0?(?)?0?4(??0)2???2?22222?(1?cos?)?0 ???(1?cos?)?0?3?0

?? 面内最大切应力：?max?1??22??0cos?

— 85 —

该点最大切应力：?max??1??32?1?cos??0 2 左微元??x??(?0)sin(2?(?30?))??033 ?0，??y?0????0，??xy??0cos(2?(?30?))?x??222???(?0)sin(2?30?)? 右微元??x?33??(??0)cos(2?(30?))??0 ??0???????0，??y?0，??xyx222??0 ???3?0，?xy??? 叠加 ?x???xy???xyy???yx???y?3?0，?y??? ?1?3?0，?2?0，?3??3?0 ?|? 面内|?max?3?0

2???3|?1?3?0

2?1??3 该点|?max??50?(?30)50?(?30)??cos(2?(?45?))??90MPa??x?80??22???? 叠加??y?0??(50?30)?10??10MPa

????70??50?(?30)sin(2?(?45?))??30MPaxy???2????1?90?101?100MPa?[90?(100)]2?4?302???? 主应力?3?22?0MPa

?2?0100?0?50MPa

22 5－4 已知平面应力状态的最大正应力发生在与外力作用的自由表面AB相垂直的面上，其值为?0。?|?|?max|? 面内及该点：|?max试求应力分量?x、?y和?xy。 解：?x??1??3??02??02cos(2?(?2))?0?1?cos2???0cos2? 2 ?y??0??x? ?xy?1?cos2??0??0sin2? 2?02sin(2?(??))???02sin2?

A?x?10060?x ?x B??Oα ?xy?α A ?O 60?

BC ?yx92MPa

(a) 习题5-4图 习题5-5图 (a) ?x和?xy。 5－5 从构件中取出的微元受力如图所示，其中AC为自由表面（无外力作用）。试求

0?(?x?100)?cos(2?60?)

22 0.75?x??25 ∴?x??33.3MPa 解：?100??x?100? ?yx? ?xy0?[?33.3?100]sin(2?60?)?57.7MPa

2???yx??57.7Mpa

?x?92?14 5－6 构件微元表面AC上作用有数值为14MPa的压应力，其余受力如图所示。试求?x和?xy。

解：

cos2??2cos2??1

A????1 ??2?0.7?2??12?0.72???0.342?xy?x14MPaB

— 86 —

习题5-6图

(a)

C?yx92MPa

sin2??2sin?cos?10.7 ?2?22221?0.71?0.7?0.94(?x?92?14)?14(?14)?(?x?92?14)?14 ?(?0.342)?92

22 解得?x?37.97MPa

(?14)?(37.97?92?14)?0.94??74.25MPa

2 5－7 受力物体中某一点处的应力状态如图所示（图中p为单位面积上的力）。试求该点处的主应力。

2pA (2p,3p)60D ?3p

r

?2?1120? ?OC3p 2pB E(2p,?3p)

习题5-7图 习题5-7解图 (a)

?yx?? 解：应力圆半径r?3p?2p

sin60?1?3p 2 OC?2p?rcos60??2p?2p??1?OC?r?5p? ??2?OC?r?p

???0?3 5－8 从构件中取出的微元，受力如图所示。试： 1．求主应力和最大切应力；

2．确定主平面和最大切应力作用面位置。 x 14070MPa

120 120

(a)

习题5-8图

解：1．主应力?max

160MPa??1701?702?4?1202??? ??3?90MPa 22???140MPa?2???3160?(?90)??125MPa ?max?122 2．主平面，?max作用面位置。

90MPa140MPa

(b)

36o52'12??160MPa(?1)

35MPa125MPa35MPa8?7'48''45?x

12?120?)??36?52?12?? ?1主平面，?P?arctan((c) 270?0 5－9 一点处的应力状态在两种坐标中的表示方法分别如图a和b所示。试： 1．确定未知的应力分量?xy、?x?y?、?y?的大小；

?12．用主应力表示这一点处的应力状态。

— 87 —

?2?130?x

(c)

解：1．?x??cos(2?60?)??xysin(2?60?)

22100?50100?50?co1s20???xysin120? 代入数据 100?22 ?xy??43.3MPa

? ?y???x??y??x??100?50?100?50MPa ?x?y??100?50sin(2?60?)?(?43.3)cos(2?60?)?43.3MPa 2?x??y?x??y??1100?501?125MPa?(100?50)2?4?(?43.3)2???? 2． ??222?25MPa

???3?0MPa2?(?43.3)1?)?30? ?P?arctan(2100?50 5－10 试确定图示应力状态中的最大正应力和最大切应力。图中应力的单位为MPa。 140MPa14040MPa

?150 yx150 90 300240MPa200MPa 90 (a) (b)

(a-1) (b-1) 习题5-10图

??1300?1401?390MPa?(300?140)2?4?(?150)2???? 解：图（a）：??322?50MPa

?Pa??2?90M ?max?390?50?170MPa 2??1200?401?290MPa?(200?40)2?4?(?150)2???? 图（b）：??222??50MPa

?Pa??3??90M???3290?(?90)??190MPa ?max?122 5－11 对于图示的应力状态，若要求其中的最大切应力?max＜160MPa，试求?xy取何值。 解：1．当半径r＞OC

1240?1402(240?140)2?4?xy? 22 即 |?xy|?183.3MPa时

（1）

??1240?14012?(240?140)2?4?xy ?? 22??3 ?max? 解得|?xy?1??32|<152MPa

?121002?4?xy?160 2（2）

习题5-11图

由（1）、（2）知，显然不存在。 2．当r＜OC

— 88 —

1240?1402 (240?140)2?4?xy?22 即 |?xy|＜183.3MPa时

240?1401?2?(240?140)2?4?xy??1? ? 22??3?0????338012 ?max?1??1002?4?xy?160 解得|?xy|＜120MPa

244 所以，取|?xy|＜120MPa。

5－12 对于图示的应力状态，若要求垂直于xy平面的面内最大切应力???150MPa，试求?y的取值范围。

解：应力圆半径r????150MPa 1． CD??1502?802?126.9MPa OC??140?126.9??13.1MPa

?y?(?140) ??13.1

2 ?y?113.8MPa

2． CD??126.9

OC??140?126.9??266.9MPa

?y?(?140) ??266.9

2 ?y??393.8MPa

E(?y.?yx)r?OE(?y,?yx)?D'OD'Cr?C?

r =150 Dr?150D(?140.?80)(?140.?80)(a) (b)

5－13 图示外径为300mm的钢管由厚度为8mm的钢带沿20°角的螺旋线卷曲焊接而成。试求下列情形下，焊缝上沿焊缝方向的切应力和垂直于焊缝方向的正应力。 1．只承受轴向载荷FP = 250 kN；

2．只承受内压p = 5.0MPa（两端封闭）

3．同时承受轴向载荷FP = 250kN和内压p = 5.0MPa（两端封闭）

x x' xx'20?20?x ?x?x' ?x'y' ?x'y'

?y ?y ?x习题5-13图

(b) (a)

解：

（1）图a：?x? ?x??FP250?103??34.07MPa（压） πD?π?(300?8)?8?34.07?34.07?cos(2?20?)??30.09MPa 22?34.07sin(2?20?)??10.95MPa ?x?y??2pD5?(300?8)??45.63MPa （2）图b：?x?4?4?8pD5?(300?8)??91.25MPa ?y?2?2?845.63?91.2545.63?91.25?cos(2?20?)?50.97MPa ?x??2245.63?91.25sin(2?20?)??14.66MPa ?x?y??2 — 89 —

（3）图a、图b叠加：?x?45.63?34.07?11.56MPa ?y?91.25MPa

11.56?91.2511.56?91.25?cos(2?20?)?20.88MPa

2211.56?91.25sin(2?20?)??25.6MPa ?x?y??2 所以也可（1）与（2）结果叠加得到。

5－14 图示的薄壁圆筒，由厚度为8mm的钢板制成，平均直径1m。已知钢板表面上点A沿图示方向正应力为60MPa。试求圆筒承受的内压p。

3 解：tan?? ?y431?()22?1?tan??x4?0.28 ? cos2???x1?tan2?1?(3)24??90?p?100?62.5p ?x?2?8?yx'p?1000 ?31.25p ?y?

4?8习题5-14图 (a)

62.5p?31.25p62.5p?31.25p?cos(2(??90?))??x??60

2260?1.412MPa p?46.88?15.63?0.28 5－15 图示外径D = 760mm、壁厚?= 11mm的钢管，上端与蓄水池A连接，下端与泵房B连接。已知水的密度?= 1000kg/m3。试求钢管在静态下的最大正应力与最大切应力。

?x?? 解：管内内压p??gh?1000?9.8?122?10?6?1.20MPa

1.20?(760?11)?40.85MPa ?1??环向?2?11 ?3?0

40.85?0?20.43MPa

22

习题5-15图 5－16 结构中某一点处的应力状态如图所示。试：

1．当?xy?0，?x?200MPa，?y?100MPa时，测得由?x、?y引起的x、y方向的正应变分别为 ?max??1??3??x?2.42?10?3，?y?0.49?10?3。求结构材料的弹性模量E和泊松比?的数值。

2．在上述所示的E、v值条件下，当切应力?xy?80MPa，?x?200MPa，?y?100MPa时，求?xy。 1?v(?x??y)E 解：（1）两式相除

1?v?x??y?(?x??y)E1???x??y?x??y200?1002.42?10?3?0.49?10?3?????0.5

1???x??y?x??y200?1002.42?10?3?0.49?10?3?x??y? 解得r?1 3 E?(1??)(?x??y)1200?100?(1?)?68.7MPa

(?x??y)32.42?10?3?0.49?10?3E68.7?103 （2）G???25.77?103MPa

12(1??)2(1?)3

习题5-16图 ?xy80 ?xy???3.1?10?3 3G25.77?10 5－17 图示结构中，铝板的左边和下边被固定，上方与右方与刚性物体之间的间隙分别为?y= 0.75mm，?x= 1.0mm。已知E = 70GPa，?= 0.33。??24?10?6?1/℃。试求温升?t= 40℃和?t= 80℃时板中的最大切应力（假定板在自身平面内受力不发生弯曲）。

— 90 —

解：（1）当?t= 40℃

t?6 (?l)??0.768mm＜?x x?lx?t???800?40?24?10t?6 (?l)??0.576mm＜?y y?ly?t???600?40?24?10 所以铝板内无温度应力，?max?0 （2）当?t= 80℃

t?6 (?l)??1.536mm＞?x x?800?80?24?10t?6 (?l)??1.152mm＞?y y?600?80?24?10t ?x?800??x?(?l)?x

800t[?qx??(?qy)]??x?(?l)?x E1 ?x?(?x?v?y)

E1.536?1.0)?46.9 ∴qx?0.33qy?70?103?(800600t[?qy??(?qx)]??y?(?l)? y E1.152?0.75)?46.9 qy?0.33qx?70?103?(600 所以解得 qx = qy = 70MPa（压） ?1?0，?2??3??70MPa

（1）

（2）

0?(?70)?35MPa 2 5－18 对于一般平面应力状态，已知材料的弹性常数E、?，且由实验测得?x和?y。试证明：

?max? ?x?E ?y?E?x???y1???y???x2

1??2?(?x??y) ?z??1??E(?x??y) 解：?x??y?（1） 1??E(?x??y) ?x??y?（2） 1??2v?y??2?x?? （1）＋（2），2?x?E??1?v21?v2?

??2?y??2v?x?? （1）－（2），2?y?E??1?v21?v2?

???x?v?y?y?v?x ∴ ?x?E， ??Ey1?v21?v2??E?(?x??y)??(?x??y) ?z??(?x??y)???EE1??1?? 5－19 图示构件在z方向上的正应变被限制为零，即?z= 0。这时垂直这一方向上的截面保持平面，

而且两相邻截面间的距离保持不变，此即所谓平面应变问题的一种。已知?x、?y和E、?。试证明： ?z??(?x??y)

1[(1??2)?x??(1??)?y] E1 ?y?[(1??2)?y??(1??)?x]

E1解：?z= 0，[?z??(?x??y)]?0，所以?z??(?x??y)

E ?x? — 91 —

习题5-19图

1[?x??(?z??y)]E1?{?x??[?(?x??y)??y]}

E1?[(1??2)?x??(1??)?y]E1?y?[?y??(?z??x)]E1?{?y??[?(?x??y)??x]}

E1?[(1??2)?y??(1??)?x]E 5－20 承受内压的铝合金制的圆筒形薄壁容器如图所示。已知内压p = 3.5MPa，材料的E = 75GPa，?= 0.33。试求圆筒的半径改变量。

3.5?(254?2?7.6)?59.36MPa 解：?轴?4?7.63.5?(254?2?7.6)?118.72MPa ?环?2?7.6 ?径??3.5MPa

?x?2π(r??r)?2πr?r?

2πrr1?r??环?r?[?环??(?轴??径)]E

1 ?[118.72?0.33(59.36?3.5)]?254?0.34mm75?103 5－21 液压缸及柱形活塞的纵剖面如图所示。缸体材料为钢，E = 205GPa，?= 0.30。试求当内压p = 10MPa时，液压缸内径的改变量。

解：缸体上 ?轴?0

?环? ?环? ?径10?(50?4)?115MPa

2?2??10MPa

习题5-21图

1[115?0.3(0?10)](50?2?2)?2.65?10?2mm 3205?10 5－22 试证明对于一般应力状态，若应力应变关系保持线性，则应变比能

?d内?v??11222222[?x??y??z?2?(?x?y??y?z??z?x)]?(?xy??yz??zx) 2E2G111111?x?x??y?y??z?z??xy?xy??yz?yz??zx?zx （1） 222222 解：应变比能v??1???[?x??(?y??z)]x?E????1[???(???)]zx?yEy????1[???(???)]xy?zEz 广义胡克定律?

1?????xyGxy???yz?1?yzG??1??zx??zxG? （2）代入（1）得：

（2）

— 92 —

v??11222222[?x??y??z?2?(?x?y??y?z??z?x)]?(?xy??yz??zx) 2E2G 5－23 试求图a中所示的纯切应力状态旋转45°后各面上的应力分量，并将其标于图b中。然后，应用习题5－22中的结果，分别计算图a和b两种情形下的应变比能，并令二者相等，从而证明：

G?E

2(1??) 解：?1?|?0|，?3?1?|?0|，?2?0

由（a）图 v??1(|?0|)2 2G由（b）图 v??1[(|?0|)2?02?(?|?0|)2?2?|?0|?0 2E

习题5-23图

?0?(?|?0|)?|?0|(?|?0|)] ?1??(|?0|)2 E11??E(|?0|)2?(|?0|)2 ∴G? 2GE2(1??)1?2?(?1??2??3) E 两式相等

5－24 试证明主应力为?1、?2、?3的三向应力状态，其体积应变为

??? 解：由广义胡克定律：

1 ?1?[?1??(?2??3)]

E1 ?2?[?2??(?3??1)]

E1 ?3?[?3??(?1??2)]

E1?2?(?1??2??3) ?1??2??3?E1?2?(?1??2??3) 体积应变 ????1??2??3?E 5－25 关于用微元表示一点处的应力状态，有如下论述，试选择哪一种是正确的。 （A）微元形状可以是任意的；

（B）微元形状不是任意的，只能是六面体微元；

（C）不一定是六面体微元，五面体微元也可以，其它形状则不行；

（D）微元形状可以是任意的，但其上已知的应力分量足以确定任意方向面上的应力。 正确答案是 D 。

5－26 对于图示承受轴向拉伸的锥形杆上的点A，试用平衡概念分析下列四种应力状态中哪一种是正确的。

正确答案是 C 。 解：（A）不满足切应力互等定律； （B）不满足平衡；

（C）既可满足切应力互等，又能达到双向的平衡； （D）不满足两个方向的平衡。

习题5-26图

5－27 微元受力如图所示，图中应力单位为MPa。试根据不为零主应力的数目，它是：

— 93 —

（A）二向应力状态； （B）单向应力状态； （C）三向应力状态； （D）纯切应力状态。 正确答案是 B 。 解：?1? ?2?50?5050?502?()?502?100MPa 2250?5050?502?()?502?0MPa 22 ?3?0，为单向应力状态。

5－28 试分析图示的四个应力状态是否等价，有下列四种答案。 （A）四者均等价；

（B）仅（a）和（b）等价； （C）仅（b）、（c）等价； （D）仅（a）和（c）等价。 正确答案是 D 。 解：

（a）图：?x?0，?y?0，?xy???0 （b）图：?x??0?(??0)?0?(??0)?22 ?y??0?(??0)??x?0 ?xy?cos(2?45?)?0

sin(2?45?)??0 2(??0)??0(??0)??0 （c）图：?x??cos(2?45?)?0

22 ?y??0?(??0)??x?0 (??0)??0sin(2?45?)???0 2 （d）图：?x???0，?y??0，?xy?0 ?xy?

习题5-28图

?0?(??0) 5－29 关于习题5－28图示的四个应力状态，有如下论述，试选择哪一种是正确的。 （A）其主应力和主方向都相同； （B）其主方向都相同，主应力不同； （C）其主应力、主方向都不相同； （D）其应变比能都相同。 正确答案是 D 。

解：四个应力状态的主应力，?1??0、?2?0、?3???0；其主力

方向虽不全相同，但应变比能与主应力值有关，因此它们的应变比能相同。

5－30 关于图示应力状态，有如下论述，试选择哪一种是正确的。 （A）最大主应力为500MPa，最小主应力为100MPa； （B）最大主应力为500MPa，最大切应力为250MPa； 习题5-30图 （C）最大主应力为500MPa，最大切应力为100MPa； （D）最小主应力为100MPa，最大切应力为250MPa。 正确答案是 B 。

500?0?250MPa。 解：?1= 500MPa，?2= 100MPa，?3= 0，?max?2 5－31 对于图示的应力状态（?1＞?2＞0），最大切应力作用面有以下四种，试选择哪一种是正确的。 （A）平行于?2的面，其法线与?1夹45°角； （B）平行于?1的面，其法线与?2夹45°角；

（C）垂直于?1和?2作用线组成平面的面，其法线与?1夹45°角； （D）垂直于?1和?2作用线组成平面的面，其法线与?2夹30°角。 正确答案是 A 。

5－32 关于弹性体受力后某一方向的应力与应变关系，有如下论述，试选择哪一种是正确的。

— 94 —

习题5-31图

（A）有应力一定有应变，有应变不一定有应力； （B）有应力不一定有应变，有应变不一定有应力； （C）有应力不一定有应变，有应变不一定有应力；

（D）有应力一定有应变，有应变一定有应力。 正确答案是 B 。

5－33 对于图示的应力状态，若测出x、y方向的正应变?x、?y，试确定材料的弹性常数有： （A）E和?； （B）E和G； （C）G和?； （D）E、G和?。 正确答案是 D 。 解：E??E?，???，G?。 ??x2(1??)2(?x??y)?x?y

习题5-33图

5－34 试确定材料的三个弹性常数之间的关系G?E/[2(1??)]成立的条件是：

（A）各向同性材料，应力不大于比例极限； （B）各向同性材料，应力大小无限制； （C）任意材料，应力不大于比例极限； （D）任意材料，应力大小无限制。 正确答案是 A 。

第6章 杆件横截面的位移分析

6－1 直径d = 36mm的钢杆ABC与铜杆CD在C处连接，杆受力如图所示。若不考虑杆的自重，试： 1．求C、D二截面的铅垂位移；

Fl2．令FP1 = 0，设AC段长度为l1，杆全长为l，杆的总伸长?l?P2，写出E的表达式。

EAFN(kN)

150

100 x

习题6-1图

(a) (F)l(F)l 解：（1）uC?uA?NAB2AB?NBC2BC

πdπdEsEs44 ?0? uD?uC?150?103?2000?100?103?3000200?103?2.947??4π?362?2.947mm

(FN)CDlCDπd2Ec4100?103?2500?4105?103?π?362?5.286mm

（2）

FP2lFlF(l?l1) ??l??lAC??lCD?P21?P2EAEsAEcA?1??1 ??EEsEclEcEs 令??1

lEc??(1??)Es?A0xFP E? 6－2 承受自重和集中载荷作用的柱如图所示，其横截面积沿高度方向按A(x)?A0e

— 95 —

变化，其中?为

FPO?lAoxd?材料的比重。试作下列量的变化曲线： 1．轴力FNx(x)； 2．应力?x(x)； 3．位移u(x)。 解：（1）???0，(FN

?dFN)??A(?)d??FN?0

?A0?FPdFN???A(?)d???A0?ed?

?FN(x)-FPdFN???A0?e0x?A0?FPd?

?A0x?A0x

FN(x)??FP?(FPeFP?FP)??FPe???A0xFP

?A0x （2）?(x)?FN(x)?FPeFP??A0xA(x)A0eFPFP A0 （3）du???FN(x)dx??EA(x)?FPeEA0eFP?A0xFPdx???FPdx EA0 u??FPxFlF?C，当u|x?l?0。∴C?P，则u(x)?P(l?x)

EA0EA0EA06－3 图示连接件由两片宽20mm、厚6mm的铜片与一片同样宽厚的钢片在B处连接而成。已知钢与

铜的弹性模量分别为Es = 200GPa，Ec = 105GPa，钢片与铜片之间的摩擦忽略不计。试求E和B处的位移。

B EC12KNC12kN 24kN BE24kN 24KNA24KNx 4m0.3m6mm

12KNFN12kN 0.9mFN xx

E B 习题6-3图 (a) (b) 3(FN)ABlAB12?10?0.3?103 解：uB?uA??0??0.2857mm

Ec?Ac105?103?20?6(FN)BElBE24?103?0.9?103 uE?uB??0.2857??1.186mm

Es?As200?103?20?6 6－4 长为1.2m、横截面面积为1.10?10?3m2的铝制筒放置在固定刚块上，直径为15.0mm的钢杆BC

悬挂在铝筒顶端的刚性板上，若二者轴线重合、载荷作用线与轴线一致，且已知钢和铝的弹性模量分别为

FP?60kNEs = 200Gpa，Ea = 70GPa，FP = 60kN。试求钢杆上C处位移。

OB BFP60kN AsA'2.1mEa

1.2mEs AFP?60kNC FPx x

(a) 习题6-4图 (b)

?FPlAB 解：uA?uB?（其中uA = 0）

EaAa ∴ uB?60?103?1.2?10370?103?1.10?10?3?106?0.935mm

— 96 —

FPlBC60?103?2.1?103?0.935??4.50mm 钢杆uC?uB?EsAs3π2200?10??154 6－5 变截面圆锥杆下端B处固定，上端A处承受外力偶矩T作用，如图所示，试证明A端扭转角表达式为

7Tl ?A?12πGr4 解：Mx = T

???llMxdx2Tdx?2Tl1?7Tl ?BA? ?????4πx43πr4?x3?00412GπrG[2r(x)]Gπ[(1?)r](1?)习题6-5图 ?32ll???0 6－6 试比较图示二梁的受力、内力（弯矩）、变形和位移，总结从中所得到的结论。

l??FPl3 48EIFllFl(P)?(P)()3lFPl3(b)22222 wmax? ???3EI23EI24EI 两者弯矩相同，挠曲线曲率相同，但（b）梁的最大挠度比（a）梁要大，即不相等。

(a) (b) 习题6-6图

?max(b) wmax

wmax

(a-1) (b-1)

xx

Fl MFpl4M 4

(a-2) (b-2)

6－7 对于图a、b、c、d所示的坐标系，小挠度微分方程可写成d2w/dx2??M/EI形式有以下四种。试判断哪一种是正确的。 （A）图b和c； （B）图b和a； （C）图b和d； （D）图c和d。

正确答案是 D 。

习题6-7图

6－8 图示悬臂梁在BC二处承受大小相等、方向相反的一对力偶，其数值为M0。试分析判断下列挠度曲线中哪一种是正确的。

正确答案是 D 。

MOMO

EICDA

B

(a) 解：wmax?pfmax习题6-8图

x

— 97 —

Mdw?EIdx22MoEIAB1C1D1

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