微积分-积分公式定理集锦

各种积分公式,公式大概分为四类,

北京理工大学

微积分-积分定理集锦

常用积分公式 定理

程功 2010/12/22

各种积分公式,公式大概分为四类,

定理

1.积分存在定理

1）当函数f(x)在区间 a,b 上连续时，称f(x)在区间 a,b 上可积.

2）设函数f(x)在区间 a,b 上有界，且只有有限个间断点，则f x 在区间 a,b 上可积。

2.性质：1 [f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx（此性质可以推广到有限多个函数求和的

a

a

a

bbb

情况）。

性质2. kf(x)dx k f(x)dx k为常数

a

a

bb

假设a c b，性质3： f(x)dx f(x)dx f(x)dx（定积分对于积分区间具有可加性）

a

a

c

bcb

性质4: 1 dx badx b a

a

b

性质5：如果在区间 a,b 上f(x) 0,则 f(x)dx 0 (a b)

a

b

推论（1）：如果在区间[a,b]上，f(x) g x 则 f(x)dx g(x)dx(a b)

a

a

bb

推论（2）：

b

a

f()xdx fx a b

a

b

性质6：设M及m分别是函数f x 上的最大值与最小值，则

m(b a) f(x)dx M(b a)

a

b

3.定积分中值定理

如果函数f x 在闭区间 a,b 上连续，则在积分区间 a,b 上至少存在一点 ，使

b

a

f(x)dx f( )(b a)(a b) 4.积分上限函数函数的性质

如果f x 在 a,b 上连续，则积分上限的函数 (x) f(t)dt在 a,b 上具有导数，且

ax

导数为 (x)

dx

f(t)dt f(x)(a x b) adx

b(x)a(x)

补充：如果f t 连续，a x 、b x 可导，则F(x)

f(t)dt的导数F (x)为

F (x)

b(x)

f(t)dt f b x b x f a x a x

x

5．原函数存在定理

如果f x 在 a,b 上连续，则积分上限的函数 (x) f(t)dt就是f x 在 a,b 上的

a

各种积分公式,公式大概分为四类,

一个原函数。

定理的重要意义：

1）肯定了连续函数的原函数是存在的.

2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.

6.牛顿-莱布尼茨公式

如果F(x)是连续函数f x 在区间 a,b 上的一个原函数，则

b

a

f(x)dx F(b) F(a) F(x) a 7.不定积分的性质

(1)

b

[f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx;此性质可推广到有限多个函数之和的情况

(2)

kf(x)dx k f(x)dx k是常数，k 0

8.换元公式

设f u 具有原函数，u (x)可导，则有换元公式 f[ (x)] (x)dx [ f(u)du]u (x)常见类型：

1f()

f(lnx)xdx; dx;4.21.f(xn 1)xndx

;;3.xx5.f(sinx)cosxdx;6.f(ax)axdx;7.f(tanx)sec2xdx;8.

f(arctanx)

dx; 2

1 x

设x (t)是单调的、可导的函数，并且 (t) 0，又设f[ (t)] (t)有原函数，则有换元公式 f(x)dx f[ (t)] (t)dt t (x)，其中 (x)是x (t)的反函数。

三角代换的目的是化掉根式，一般规律如下：当被积函数中含有：

x asint

;x atant

;x asect.

简单无理函数的积分:

讨论类型：R(x

R(x解决方法:作代换去掉根号．

令t 令t

9.分部积分

设函数u u(x)和v v(x)具有连续的导数， uv u v uv ,uv uv u v

（分部积分公式） uv dx uv u vdx, udv uv vdu。

分部积分顺序：反、对、幂、指、三 前者为u。

10.有理函数化为部分分式之和的一般规律：

各种积分公式,公式大概分为四类,

（1）分母中若有因式(x a)k，则分解后为

AkA1A2

,其中kk 1

x a(x a)(x a)

A1,A2, ,Ak都是常数。特殊的，k 1分解后为

A

; x a

（2）分母中含有因式(x2 px q)k，其中p2 4q 0，则分解后为

Mkx NkM1x N1M2x N2

其中Mi,Ni都是常数(i 1,2, k)。特殊 2k2k 12

(x px q)(x px q)x px q的k 1分解后为

Mx N

; 2

x px q

11.将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况： （1） 多项式：(2)

Mx NAMx N

讨论积分：;(3); (x2 px q)ndx, (x2 px q)n(x a)n

2

p p2p

x px q x q ,令x tMx N Mt b,

2 42

2

p2Mp

则a q ,b N ,

42

2

Mx NMtb

dx dt (t2 a2)n (t2 a2)ndt (x2 px q)n

(1)n 1, (2)n 1

Mx NMb2

dx ln(x px q) arctan

x2 px q2a

x a

p

C;

Mx NM1

dx bdt. 2n22n 122n (x px q)2(n 1)(t a)(t a)

这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数

结论：有理函数的原函数都是初等函数

12.三角函数有理式积分

三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为R(sinx,cosx)

xxx

2tan1 tan21 tan2

xx ,cosx cos2x sin2x sinx 2sincos

xxx2222sec21 tan2sec21 tan2

222

2tan

x

, x2

各种积分公式,公式大概分为四类,

1 u2x2u2

dx du cosx ,令u tan，x 2arctanu则：sinx

21 u21 u21 u2

2u1 u2

,22 R(sinx,cosx)dx R

1 u1 u

13.定积分换元公式

2

du. 2

1 u

设f(x)在[a,b]上连续，函数x (t)在[ , ]上是单值的且有连续导数；当f(x)在区间 a,b 上变化时，x (t)的值在 a,b 上变化，且 ( ) a, ( ) b，则有

b

a

f(x)d x

](t。 t [f( t))d

注意：（1）用x (t)把变量x换成新变量t时，积分限也相应改变。

求出f[ (t)] (t)的一个原函数 (t)后，不必像计算不定积分那样再要把 (t)变换成原变量x的函数。而只要把新变量t的上下限分别代入 (t)然后相减就行了。

14.定积分分部积分公式

设函数u x 、v(x)在区间 a,b 上具有连续导数，则有 udv uv vdu

a

a

a

b

b

b

15无穷限广义积分

设函数f(x)在区间 a, 上连续，取b a，如果极限lim f(x)dx存在，则称此极

b a

b

限为函数f(x)在无穷区间

a, 上的广义积分记作

a

f(x)dx

a

f(x)dx lim f(x)dx

b a

b

当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散。

类似的，设函数f(x)在区间 ,b 上连续，取b a，如果极限lim

a a

b

f(x)dx存在，

则称此极限为函数f(x)在无穷区间 ,b 上的广义积分记作

b

f(x)dx

b

f(x)dx lim

a a

b

f(x)dx当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积

分发散。

设函数f(x)在区间 , 上连续，如果广义积分

f(x)dx,

f(x)dx都收敛，则

称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间 , 上的广义积分记作

f(x)dx

f(x)dx f(x)dx

0

f(x)dx lim

a a

称广f(x)dx lim f(x)dx 当极限存在时，

b 0

b

义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散。

各种积分公式,公式大概分为四类,

16.无界函数的广义积分

设函数f(x)在区间(a,b]上连续，而在点a的右邻域内无界．取 0，如果极限

0a

lim

ba

b

f(x)dx存在，则称此极限为函数f(x)在区间(a,b]上的广义积分，记作 f(x)dx

a

b

b

f(x)dx lim

0a

f(x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称

广义积分发散。

设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a c b)外连续，而在点c的邻域内无界.如果两个广义积分

c

a

f(x)dx和

b

b

c

f(x)dx都收敛，则定义

a

b

a

f(x)dx f(x)dx f(x)dx

a

c

cb

lim

c

0a

f(x)dx lim

0c

f(x)dx否则，就称广义积分 f(x)dx发散.定义中C为瑕点，

b

以上积分称为瑕积分.

说明：若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类间断点,则本质上是常义积分,

1x2 1

dx (x 1)dx 而不是广义积分，例如： 1x 1 1

1

17.微元法的一般步骤

1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]； 2）设想把区间[a,b]分成n个小区间，取其中任一小区间并记为[x,x dx]，求出相应于这小区间的部分量 U的近似值.如果 U能近似地表示为[a,b]上的一个连续函数在x处的值f(x)与dx的乘积，就把f(x)dx称为量U的微元且记作dU，即dU f(x)dx； 3）以所求量U的微元f(x)dx为被积表达式，在区间[a,b]上作定积分，得U f(x)dx，

ab

即为所求量U的积分表达式.

应用方向：平面图形的面积、体积；平面曲线弧长；功；水压力；引力和平均值等． 18.几何应用 1）面积计算

直角坐标系：A f(x)dxA [ (y) (y)]dy

a

c

b

d

参数方程

t2 x (t)

如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积A (t) (t)dt（其中t1

t1

y (t)

和t2对应曲线起点与终点的参数值）在[t1,t2]（或[t2,t1]）上x (t)具有连续导数，

y (t)连续.

各种积分公式,公式大概分为四类,

极坐标情形

设由曲线r ( )及射线 、求其面积．这里， ( )在[ , ] 围成一曲边扇形，

1

上连续，且 ( ) 0．面积元素dA 1[ ( )]2d 曲边扇形面积A ( )]2d .

22

2）旋转体体积：一般地，如果旋转体是由连续曲线y f(x)、直线x a、x b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，体积微元：dV [f(x)]2dx体积：

V [f(x)]2dx

a

b

类似地，如果旋转体是由连续曲线x (y)、 直线y c、y d及y轴所围成的曲边梯形

绕y轴旋转一周而成的立体，体积为V

[ (y)]2dy

cd

思考：如果曲线由参数方程表示，如何求旋转体的体积？

V [f(x)]dx [y(t)]dx(t) [y(t)]2x (t)dt

a

t1

t1

b

2

t2

2

t2

3）平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上 垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立 体的体积也可用定积分来计算.A(x)表示过点x 且垂直于x轴的截面面积。A(x)为x的已知连续 函数dV A(x)dx,立体体积V A(x)dx.

ab

4）平面曲线弧长

设A,B是曲弧上的两个端点，在弧上插入分点A M0,M1, M ,Mn 1,Mn Bi,

并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，

此折线的长 |Mi 1Mi|的极限存在，则称此极限为曲线弧AB的弧长.

i 1

n

直角坐标情形

设曲线弧为y f(x)(a x b)，其中f(x)在[a,b]上有一阶连续导数取积分变量为x，在[a,b]上任取小区间[x,x dx]，以对应小切线段的长代替小弧段的长小切线段的长

dx弧长元素ds 弧长s

a

各种积分公式,公式大概分为四类,

参数方程情形

曲线弧为 x (t)

y (t)

, ( t )其中 (t)

,t(在)[ , ]上具有连续导数

. ds

弧长s

极坐标情形

曲线弧为r r( ) ( 其)中 ( )在[ , ]上具有连续导数.

x r( )cos ds

y

r( )sin ( )

弧长s 19．物理应用

1）变力做功设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到x b,力的方向与运动方向平行,求变力所做的功

在[a,b]上任取子区间[x,x dx]，在其上所作的功近似为dW F(x)dx因此变力F(x) 在区间 [a,b]上所作的功为W b

aF(x)dx

2）当桶内充满液体时,小窄条上的压强为 g(R x),侧压力近似

为

dP 2 g(R xx,故端面所受侧压力为： 奇函数

P R

2g (R xx 2g [ R

x

R

R R

R

x]

4Rg

x g R3

3)细棒的质量( (x)为线密度)m l

dm l

(x)dx 4)引力Fl

y dFl

Ga dx ly

l

3

Fx 0.(G为引力系数)

(a2 x2)

2

5)函数的平均值

y 1b

b

a af(x)dxy

各种积分公式,公式大概分为四类,

公式

一．

ax

0dx C 1dx x C adx lna C

x

xxedx e

C

C1

xdx lnx C

xa 1

xdx a 1 C

a

二．三角公式（一）

sinxdx cosx C cosxdx sinx C tanxdx lncosx C

cotxdx lnsinx C secxdx lnsecx tanx C cscxdx lncscx cotx C sinhxdx coshx C coshxdx sinhx C

三．三角公式（二）

cosxdx sinx C sinxdx cosx C sec

2

xdx tanx C

csc2xdx cotx C secxtanxdx secx C cscxcotxdx cscx C

coshxdx sinhx C sinhxdx coshx

C

1

1 x2dx arctanx C arccotx C

四．

arcsinx C arccosx C

x

arcsin C

a

1nx

arcsin C na

11x11nx

dx arctan Cdx arctan C a2 x2

a2

nx 2

aaana

lnx

C

lnx C

11a xdx ln C a2 x2

2aa x

11x a

dx ln C x2 a2

2ax a

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