专题二 全等三角形的判定

专题一 全等三角形的判定 1. 全等三角形的判定方法：

2. 如何在复杂图形中找出全等三角形？

（1） 翻折模型：两个三角形经某一条线对折后重合，易找到对应元素 （2） 旋转模型：两个三角形经某一点旋转后能够重合，易找到对应元素 （3） 平移模型：两个三角形经某一条线平移后能够重合，易找到对应元素

ADCIN

CDJAMOBR

B

AKALPQ

DBDCECBE

F例1：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；

变式1-1在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，AE=(1/2)（AD+AB），求∠ADC+∠ABC的度数.

专题二证明两个三角形全等的基本思路

1. 已知两边：找第三边，利用SSS证明；找两边的夹角，利用SAS证明.

2. 已知一边一角：(1)已知一边和它的邻角：找这边的另一个邻角，利用ASA证明；找这个角的另一条边，利用SAS证明；

找这边的对角，利用AAS证明.

(2)已知一边和它的对角：找另外任何一角；找夹边外的任意边，利用AAS证明.

例2：如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D,E,则可得DE=BD+CE.①

1

AEBDC将题中的条件改为：在△ABC中,AB=AC,DAE三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D,E,则可得DE=BD+CE. ①将题中的条件改为：在△ABC中,AB=AC,DAE三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD＋CE是否仍然成立?若成立,请你给出证明；若不成立,请说明理由.

②拓展与应用：D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点﹙D、A、E三点互不重合﹚,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连结BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,求证：DE=DF

变式2-1两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置.图2是由它抽象出的几何图形，B、C、E在同一条直线上，连接DC.⑴.请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；⑵.证明：DC⊥BE.

变式2-2 如图，在△ABC中，AB=BC=AC=BF，∠BAC=∠ABC=∠ACB，BD=DA，∠1=∠2，求∠BFD的度数．

专题三 全等三角形中常见的辅助线作法 1)

遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．

2)

遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．

3)

遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

2

4) 5)

过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识

解答．

一、倍长中线（线段）造全等

例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

ABDC例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

EA

BFDC

例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

BDECA遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

例3：已知，如图，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求证：∠B+∠ADC=180°。

3

CBDA（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 例4：如图，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF。 求证：DE=DF。

例5：△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。

（5）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 例6：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。 求证：CD=AD+BC。

这几道题一定要认真思考啊，都是要添加辅助线的，开动脑筋好好想一想吧！加油！你一定行！ 1、已知，如图1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC。 求证：∠BAD+∠BCD=180°。

A

2、已知，如图2，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD。 求证：∠BAP+∠BCP=180°。

4

BDC3、已知，如图3，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB=AC+CD。

4．如图AB=DC，∠A=∠D.求证：∠ABC=∠DCB.

5. 如图已知△ABC中 AB=AC=10 ∠B=∠C BC=8 D为AB的中点（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动1 若点Q的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请 如图已知△ABC中 AB=AC=10 ∠B=∠C BC=8 D为AB的中点

（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动

1 若点Q的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由

2 若点Q的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使,△BPD与△CQP全等 （2）若点Q以2中的运动速度从点C出发,点P以原来的速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇

走进重高：1.若两个三角形的两边和其中一边上的高线对应相等，则这两个三角形的第三边所对的角之间的关系为__________________

BCAD如图，∠MON内有一点P，PP1、PP2分别被OM、ON垂直平分，P1P2与OM、ON分别交于点A、B．若P1P2=10cm，则△PAB的周长为（ ）

角MON=40度，P为角MON内一点、A为OM上动点，B为OM上一动点，当三角形PAB的周长取最小值时，求角APB的度数

数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，

5

那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD。 （1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?不需要证明，请直接写出你的猜想；

（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明。

如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC=∠BDE．

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．

(1)当直线l不与底边AB相交时，求证：EF=AE+BF．

(2)如图2，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下三种可能的位置时，EF、AE、BF三者之间的数量关系．(直接填空) ①当AD＞BD时，关系是：_____． ②当AD=BD时，关系是：_____． ③当AD＜BD时，关系是：_____．

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