2014年六年级数学思维训练：计数综合四

2014年六年级数学思维训练：计数综合四

一、兴趣篇

1．在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？

2．冬冬妈妈每天让冬冬吃1个鸡蛋或者1个鸭蛋，那么冬冬吃完家里的4个鸡蛋和4个鸭蛋共有多少种吃法？

3．常吴与古力两人进行围棋“棋圣”冠军争霸赛，比赛没有平局，谁先胜4局即获得比赛的胜利，请问：比赛过程一共有多少种不同的方式？

4．10只相同的橘子放到3个不同的盘子里，每个盘子至少放1只，一共有多少种不同的放法？

5．一部电视连续剧共8集，电视台要在周一到周四这4天内按顺序播完，其中可以有若干天不播，共有多少种安排播出的方法？

6．某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在“应该提供”、“不应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择．请问：三个选项的统计数字共有多少种不同的可能？

7．海淀大街上一共有18盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的7盏．但为了行路安全，任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭，请问：一共有多少种熄灯方案？ 8．数字和为9，而且不含数字0的三位数共有多少个？四位数共有多少个？

9．有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂，相邻两节不能同色，那么可以染成多少种不同的圆棒？ 10．给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同．现有5种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后是一样的染色情况算是同一种方式）

二．拓展篇

11．在8×8的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图所示的由4个单位小正方形组成的“L”型？

12．一次射击比赛中，7个泥制的靶子挂成3列（如图）．一位射手按下列规则去击碎靶子：先挑选一列，然后击碎这列中尚未被击碎的靶子中最下面的一个，若每次都遵循这一原则，则击碎全部7个靶子共有多少种不同的顺序？

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13．（1）一只青蛙沿着一条直线跳跃4次后回到起点．如果它每一次跳跃的长度都是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？

（2）如果这只青蛙在一个方格边长为1分米的方格纸上沿格线跳跃4次后回到起点，每次跳跃的长度仍是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？

14．如图1，有两条平行线，如果每条直线上有3个点，连出3条线段，从图中最多可以数出7个三角形；如图2，如果每条直线上有4个点，连出4条线段，从图中最多可以数出16个三角形，如果每条直线上有10个点，连出10条线段，从图中最多可以数出多少个三角形？

15．把20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，共有多少种分苹果的方法？如果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？

16．冬冬有10块大白兔奶糖，他从今天起，每天至少吃一块，直到吃完．请问一共有多少种不同的吃法？

17．美国众议院435名议员对“拒绝缴纳联合国会费”的提案进行投票，每名议员都可以选择投赞同票、反对票和弃权票中的某一种，并且只要赞成票多于总票数的一半，提案就会被通过，否则不能通过．表决结果是拒绝缴纳．试问共有多少种可能的三种票数的统计情况？ 18．有10个小朋友排成一列，要从中选出3个互不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？ 19．一次自助餐，共有10种菜，每个人都有4个盘子可以选菜，每个盘子只能放1种菜，但可以重复选菜，请问：共有多少种选菜方案？

20．3个男生和7个女生站成一排，要求每2个男生之间至少有2个女生，共有多少种排列方法？如果站成一圈呢？

21．一个长方体的各边长都是整数，并且它的体积是2310，那么这样的长方体有多少个？（如果两个长方体经过旋转可以重合，则认为它们是同一个长方体．）

22．用4种颜色为一个正方体的6个面染色，要求每个面只能用1种颜色，且相邻面的颜色必须不相同，如果将正方体经过翻转后颜色相同，就认为是同一种染色方法，那么共有多少种不同的染色方法？

三．超越篇

23．某工厂生产一批玩具，玩具为一条圆环上均匀安装着13个小球，其中3个是红球，10个是白球．如果2个圆环通过翻转后可以叠放在一起，使得红球对红球、白球对白球，这样的两个圆环就认为是相同的．那么一共可以生产多少种不同的圆环？

24．对于由1至6组成的无重复数字的六位数，如果它的首位数字不是1，那么可以进行如下的1次操作：记首位数字为足，则将数字尼与第七位上的数字对换，例如，245136可以进行两次操作：245136→425136→125436．请问：可以进行5次操作的六位数有多少个？

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25．大小形状相同的红、黄、蓝三种颜色的珠子依次有2枚、2枚、3枚，现在要将它们穿成一串，要求相同颜色的珠子不能柑邻，共有多少种不同实质的穿法？如果要穿成一个圈呢？

26．有8个队参加比赛，采用如图的淘汰制方式．问：在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？

27．动物园的门票5元l张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有5元的钞票，另外5个小朋友只有10元的钞票，售票员没有准备零钱，请问：有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？

28．经理将要打印的信件交给秘书，每次给一封，且放在所有信件的最上面，秘书一有空就从最上面拿一封信来打．有一天共有7封信要打印，经理按1号信，2号信，…，7号信的顺序交给秘书，午饭时，秘书告诉同事，经理已经给了5封信，她已经把5号信打好了，但未透露上午工作的其他情况，问：

（1）如果上午秘书已经把五封信打完了，那么上午打印信的顺序有多少种可能？ （2）如果上午秘书还没有把信打完，那么下午打印信的顺序有多少种可能？ 29．（1）将8个黑球和20个白球排成一圈，每2个黑球之间至少有2个白球的排列方法有多少种？

（2）8名女生，20名男生站成一圈，要求每2名女生之问至少有2名男生．有多少种不同的站法？（经过旋转后相同的算作同一种排法，答案用阶乘表示．）

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2014年六年级数学思维训练：计数综合四

参考答案与试题解析

一、兴趣篇

1．在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？

【分析】数“不规则几何图形”的个数时，常用对应法，观察图形可知，每一种取法，有一个点与之对应，这就是图中的A点，它是棋盘上横线与竖线的交点，且不在棋盘边上．而且，棋盘内的每一个点对应着4个不同的取法（“L”形的“角”在2×2正方形的不同“角”上）．据此即可解答．

【解答】解：观察图形可知：在8×8的棋盘上，内部有7×7=49（个）交叉点， 所以不同的取法共有49×4=196（种）． 答：一共有196种不同的取法．

2．冬冬妈妈每天让冬冬吃1个鸡蛋或者1个鸭蛋，那么冬冬吃完家里的4个鸡蛋和4个鸭蛋共有多少种吃法？

【分析】4个鸡蛋和4个鸭蛋8天吃完，相当于8个位置，拿出4个鸡蛋或4个鸭蛋占据4个位置，根据组合公式共有【解答】解：

=

=

=70（种）

=70种吃法．

答：共有70种吃法．

3．常吴与古力两人进行围棋“棋圣”冠军争霸赛，比赛没有平局，谁先胜4局即获得比赛的胜利，请问：比赛过程一共有多少种不同的方式？

【分析】七局四胜，可以分常昊胜或古力胜，根据组合公式有2×同的方式． 【解答】解：2×=2×

=2×

=70种不

=2×35 =70（种）

答：比赛过程一共有70种不同的方式．

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4．10只相同的橘子放到3个不同的盘子里，每个盘子至少放1只，一共有多少种不同的放法？

【分析】利用插板法可知：10个橘子排成一行有9个间隔，从当中选出2个间隔各插入一个板子，将10个橘子分成了3份，保证两个板子中至少有一个橘子，即每份中至少有一个橘子，一共【解答】解：

==

=36种分法． =36（种）

答：一共36种分法．

5．一部电视连续剧共8集，电视台要在周一到周四这4天内按顺序播完，其中可以有若干天不播，共有多少种安排播出的方法？

【分析】8集可以分1天、2天、3天、4天播出，且电视剧播放顺序不能改变，采用插板法：+

×

+

×+

+×+

=165种安排播出的方法． +

× +

【解答】解：=4+

×7+4×

=4+42+84+35 =165（种）

答：共有165种安排播出的方法．

6．某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在“应该提供”、“不应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择．请问：三个选项的统计数字共有多少种不同的可能？

【分析】三种选项的统计数字的可能性就是将40分成3个数字的和，可以为0，所以我们可以用插板法，先加3个人，共43个人、42个间隔，插2个板进去分成3组，分完后再每组减1个人就剩下40个人了，而且满足有0的情况，所以共有【解答】解：有

=

=861（种）

=

=861种．

答：三个选项的统计数字共有861种不同的可能．

7．海淀大街上一共有18盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的7盏．但为了行路安全，任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭，请问：一共有多少种熄灯方案？

【分析】根据插空法可知：将这7盏灯，插到剩下的11盏灯里．有12个位置．所以熄灯方案有

=

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=792种．

【解答】解：=

=792（种）

答：一共有792种熄灯方案．

8．数字和为9，而且不含数字0的三位数共有多少个？四位数共有多少个？

【分析】利用插板法：9看成并排的9个苹果，求三位数可以看成三天来吃，每天至少吃一个．四位数也是如此．由此解决问题．

【解答】解：9看作9个苹果，中间插入2个挡板，分为3部分，每一部分最少为1，相当于8个空位放上2个间隔， 共有

=

=28（个）

中间插入3个挡板，分为4部分，每一部分最少为1，相当于8个空位放上3个间隔， 共有

=

=56（个）

答：三位数共有28个，四位数共有56个．

9．有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂，相邻两节不能同色，那么可以染成多少种不同的圆棒？ 【分析】利用数字1，2，3三个数分别代表三种颜色，它们组成的一个五位数代表一种涂法．每一位数都可能有三种取法，即1，2，3．得出所有的方法去掉反序数与数位上数字相同的得出答案案即可． 【解答】解：用1，2，3三个数分别代表三种颜色，它们组成的一个五位数代表一种涂法．每一位数都可能有三种取法，即1，2，3．

因为相邻两节不能同色，所以当前一节确定之后，后一节只有两种颜色可以使用，

因此，可能有3×2×2×2×2=48个不同的染色方法．由于棒的规格相同，均匀，又都是等分为五节．因此，将一个涂过色的棒倒转180°来看，它可能与另一个棒的涂色完全一样，这两个棒只能是同一种着色．这就是说一个数与它的反序数代表同一种涂法． 所以上面的结果中有一半是重复的，则可以得到48÷2=24种不同的圆棒． 10．给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同．现有5种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后是一样的染色情况算是同一种方式） 【分析】由于是正四面体，旋转后是一样的染色情况算是同一种方式，所以先从5种颜色中选4种，有5种选法，然后将四种不同颜色编号：1、2、3、4；将其中编号最小的做底面，上面三个面按编号从小到大排列2→3→4只有顺时针和逆时针两种情况，所以有两种结果，然后用5乘2即可得出结论． 【解答】解：

×2=5×2=10（种）

答：共有10种不同的染色方式．

二．拓展篇

11．在8×8的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图所示的由4个单位小正方形组成的“L”型？

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【分析】先讨论8×8中可以排多少个三个格子的直排： 1、8×8再次简化为单列为8格的方格组合： ①由如为3格的单列三个格子可以排成1个； ②4格可以排成2个； …

可以推出单列8格应该可以排出6个不重复的三个格子的直排；

2、8×8的格阵中那么应该可以排成6×8×2=96（单算行共有8行×8，行列相等×2）个三个格子的直排，再讨论可以排成多少个L：

①一般的三个格子直排加上一个格子组成L可以有四种（先是加到第一个，而左右不同，再加到第三个格子的左右），那么L就应该有96×4=384个；

②第一步总体讨论了左右，而最靠边的行与列则不满足左右均有，故要减去4×6×2=48（边框共有四，乘以单行三个格子组合数，再乘以左边或右边可以组合的2个）； ③384﹣48=336个；所以应该有336个． 【解答】解：6×8×2×4﹣4×6×2 =384﹣48 =336（个）

答：一共可以数出336个由4个单位小正方形组成的“L”型．

12．一次射击比赛中，7个泥制的靶子挂成3列（如图）．一位射手按下列规则去击碎靶子：先挑选一列，然后击碎这列中尚未被击碎的靶子中最下面的一个，若每次都遵循这一原则，则击碎全部7个靶子共有多少种不同的顺序？

【分析】由题意可知：只需保证同一列的靶子顺序为从下到上即可，一共7个靶子，第一列三个靶子共种顺序． 【解答】解：

×

×

种顺序，第二列和第三列依次有

和

种，由此由乘法原理得共

×

×

=35×6

=210（种）

答：击碎全部7个靶子共有210种不同的顺序． 13．（1）一只青蛙沿着一条直线跳跃4次后回到起点．如果它每一次跳跃的长度都是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？

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（2）如果这只青蛙在一个方格边长为1分米的方格纸上沿格线跳跃4次后回到起点，每次跳跃的长度仍是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？ 【分析】（1）青蛙必然是两步左，两步右，因此只要把两个“左”和两个“右”排成一列，每一种排法就对应着青蛙的一种跳法，有

=6（种）；

=24

（2）分为两类：第一类，上下左右各一步，相当于把“上”“下”“左”“右”排成一列，有（种）；第二类，上下各两步或左右各两步，类似（1），有（种）．

【解答】解：（1）

=6（种）

×2=12（种），所以共24+12=36

答：这只青蛙共有6种可能的跳法． （2）

+

×2

=24+12 =36（种）

答：这只青蛙共有36种可能的跳法．

14．如图1，有两条平行线，如果每条直线上有3个点，连出3条线段，从图中最多可以数出7个三角形；如图2，如果每条直线上有4个点，连出4条线段，从图中最多可以数出16个三角形，如果每条直线上有10个点，连出10条线段，从图中最多可以数出多少个三角形？

【分析】以边上的线段为底的三角形共有2C（N，2），其次讨论内部的三角形，依然按线段来确定三角形，按增量分析，有C（2，2）+C（3，2）+C（4，2）+…+C（N﹣1，2），依此即可确定三角形的个数．

【解答】解：一条直线上有3个点时，就有2+1=3条线段，分别对应3个三角形， 另一条直线也是如此，也有3个三角形． 以边上的线段为底的三角形共有2C（N，2）．

其次讨论内部的三角形，依然按线段来确定三角形，按增量分析，有C（2，2）+C（3，2）+C（4，2）+…+C（N﹣1，2）

当n=10时，90+1+3+6+10+15+21+28+36=210（个）． 答：从图中最多可以数出210个三角形．

15．把20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，共有多少种分苹果的方法？如果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？ 【分析】（1）每个小朋友至少分得3个苹果，先每个小朋友都分得3个苹果，满足要求；那么还剩（20﹣3=17）个苹果，这17个苹果重新分配，每个小朋友可能再分得0至17个苹果，当其中两个人再分的个数确定，第三个人再分的个数随之确定；

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当第一个小朋友分得0个，第二个小朋友可分得0～17个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有18种分法；

当第一个小朋友分得1个，第二个小朋友可分得0～16个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有17种分法；

当第一个小朋友分得2个，第二个小朋友可分得0～15个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有16种分法； …

当第一个小朋友分得17个，第二个小朋友可分得0个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有1种分法；

共有：18+17+16+…+1=171（种）．

（2）如果可以有小朋友没有分到苹果，分为两种情况：一个小朋友没有分到苹果，共有21种分法，2个小朋友没有分到苹果，共有1种分法，由此求得共有20+1=21种分法． 【解答】解：18+17+16+…+1=171（种） 20+1=21（种）

答：每个小朋友至少分1个，共有171种分苹果的方法；如果可以有小朋友没有分到苹果，共有21种分法．

16．冬冬有10块大白兔奶糖，他从今天起，每天至少吃一块，直到吃完．请问一共有多少种不同的吃法？

【分析】每吃完一块，都有两种选择：继续吃和明天吃；1块是1种，2块是2种，3块是4种，4块是8种，5块是16种…推算规律为2的n﹣1次方，一共有2的9次方，即有512种吃法．

9

【解答】解：2=512（块）； 答：一共有512种不同的吃法．

17．美国众议院435名议员对“拒绝缴纳联合国会费”的提案进行投票，每名议员都可以选择投赞同票、反对票和弃权票中的某一种，并且只要赞成票多于总票数的一半，提案就会被通过，否则不能通过．表决结果是拒绝缴纳．试问共有多少种可能的三种票数的统计情况？ 【分析】因为表决结果是拒绝缴纳，所以赞同票最多217票，反对票和弃权票的和最少为218票：

当赞同票217票，反对票和弃权票的和为218票时，共有219种可能的三种票数的统计情况， 当赞同票216票，反对票和弃权票的和为219票时，共有220种可能的三种票数的统计情况， 当赞同票215票，反对票和弃权票的和为220票时，共有221种可能的三种票数的统计情况， …

当赞同票0票，反对票和弃权票的和为435票时，共有436种可能的三种票数的统计情况， 由此共有219+220+221+…+435+436=（436+219）×218÷2=71395种可能的三种票数的统计情况．

【解答】解：赞同票最多217票，反对票和弃权票的和最少为218票： 当赞同票217票，反对票和弃权票的和为218票时，共有219种可能的三种票数的统计情况， 当赞同票216票，反对票和弃权票的和为219票时，共有220种可能的三种票数的统计情况， 当赞同票215票，反对票和弃权票的和为220票时，共有221种可能的三种票数的统计情况， …

当赞同票0票，反对票和弃权票的和为435票时，共有436种可能的三种票数的统计情况， 由此共有219+220+221+…+435+436=（436+219）×218÷2=71395（种）

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答：共有71395种可能的三种票数的统计情况．

18．有10个小朋友排成一列，要从中选出3个互不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？ 【分析】不相邻的问题，采用插空法，先排除学生甲、乙、丙三人的另外7个人形成8个空，然后插入甲、乙、丙三人，问题得以解决．

【解答】解：7个“不选”排成一列，8个空中插入3个“选”， 共有

=

=56（种）

答：有56种不同的选法．

19．一次自助餐，共有10种菜，每个人都有4个盘子可以选菜，每个盘子只能放1种菜，但可以重复选菜，请问：共有多少种选菜方案？ 【分析】考虑两种方法：

①逐一分析四盘都一样、三盘一样、两盘一样另两盘也一样、两盘一样另两盘不一样、没有两盘一样的，出现的选菜方案合并；

②利用插空法解决：相当于将4个相同的小球放入10个不同的盒子里，允许有空盒，插板法，有

=715种．

【解答】解：方法一： 四盘都一样：10， 三盘一样：10×9=90，

两盘一样另两盘也一样，10×9÷2=45，

两盘一样另两盘不一样，10×（9×8÷2）=360， 没有两盘一样的，

=210，

最后的答案就是10+90+45+360+210=715（种）． 方法二：

让盘子来“选”菜，将盘子放在菜的旁边，一种菜的旁边放几个盘子就表示这道菜被选了几次，相当于将4个相同的小球放入10个不同的盒子里，允许有空盒，插板法，有

=715种．

答：共有715种选菜方案．

20．3个男生和7个女生站成一排，要求每2个男生之间至少有2个女生，共有多少种排列方法？如果站成一圈呢？ 【分析】也有三种，（1）先看7个苹果与3个隔板的放法．每两个隔板之间至少有两个苹果．那就去掉4个苹果，相当于有两个苹果粘在后面两个隔板上，这样还剩了3个苹果．三个板子可以分类：3，2+1，1+1+1；共有20种，所以站成一排共有20×

×

种方法；

（2）10个位置，进行编号，左右对称，各有4个，正上正下各有一个，正上方为1，按顺时针编号．题目中没有说旋转后相同为同一种．所以不用旋转，是固定的．男生当成黑棋子，女生当成白棋子，这样看有多少种符合的方法．黑棋子可以有1，4，7；1，4，8；1，5，8三个位置；所以共有

×

种．

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【解答】解：（1）20××

=20×3×2×1×7×6×5×4×3×2×1 =604800（种）

答：3个男生和7个女生站成一排，要求每2个男生之间至少有2个女生，共有604800种排列方法； （2）

×

=3×2×1×7×6×5×4×3×2×1

=30240（种）

答：如果站成一圈共有30240种排列方法．

21．一个长方体的各边长都是整数，并且它的体积是2310，那么这样的长方体有多少个？（如果两个长方体经过旋转可以重合，则认为它们是同一个长方体．） 【分析】体积=长×宽×高=1998，且长宽高为整数，可对2310分解质因数：2310=2×3×5×7×11，根据质因数的个数分为（1，1，3）和（2，2，1）两种情况，第①种情况有4+3+2+1=10种情况，第②种有15种，总共有25种情况． 【解答】解：2310=2×3×5×7×11，

根据质因数的个数分为（1，1，3）和（2，2，1）两种情况，

第①种情况有4+3+2+1=10种情况，第②种有15种，总共有25种情况． 答：这样的长方体有25个．

22．用4种颜色为一个正方体的6个面染色，要求每个面只能用1种颜色，且相邻面的颜色必须不相同，如果将正方体经过翻转后颜色相同，就认为是同一种染色方法，那么共有多少种不同的染色方法？

【分析】首先分类用3种颜色和用4种颜色，用三种颜色先分步：4种颜色中选3种有4种结果，每相对的2个面颜色相同，先涂1个面3种情况，涂对面1种情况，涂邻面2种情况涂邻面的对面，涂剩下的2个面1种；当使用四种颜色，6个面4个颜色，相当于用3种颜色涂完之后把其中一面颜色，换成剩下的那个颜色，最后相加相乘得到结果． 【解答】解：首先涂法可分两类：用3种颜色和用4种颜色； 用三种颜色先分步：4种颜色中选3种N=4， 每相对的2个面颜色相同，

先涂1个面3种情况，涂对面1种情况， 涂邻面2种情况涂邻面的对面， 涂剩下的2个面1种，

此步情况数N=4×3×2=24（种）

当使用四种颜色，6个面4个颜色：

相当于用3种颜色涂完之后把其中一面颜色 换成剩下的那个颜色有24×3=72（种） 所以，总情况数24+72=96（种） 答：共有96种不同的染色方法．

三．超越篇

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23．某工厂生产一批玩具，玩具为一条圆环上均匀安装着13个小球，其中3个是红球，10个是白球．如果2个圆环通过翻转后可以叠放在一起，使得红球对红球、白球对白球，这样的两个圆环就认为是相同的．那么一共可以生产多少种不同的圆环？

【分析】当3个红球都不相邻时，7÷3=2…余1；所以最少间隔2+1=3个白球；因此按两个红球间隔白球的数量分：最多间隔3、4、5、6、7个；分类讨论即可得出答案． 【解答】解：按两个红球间隔白球的数量分类

用黑点代表红球，空心点代表白球，最多间隔3个白球的有2种不同规格：

最多间隔4个白球的有4种不同规格：

类似地，最多间隔5个白球的有3种不同的规格，最多间隔6个白球的有2种不同规格． 最多间隔7个白球的有1种规格． 所以，共有不同规格： 2+4+3+2+1=12（种）；

答：这类玩具一共可以有12种不同的规格．

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24．对于由1至6组成的无重复数字的六位数，如果它的首位数字不是1，那么可以进行如下的1次操作：记首位数字为足，则将数字尼与第七位上的数字对换，例如，245136可以进行两次操作：245136→425136→125436．请问：可以进行5次操作的六位数有多少个？ 【分析】它的首位数字不是1，是1的话没有继续操作的可能，它的首位既然不能是1，不妨首位数字分别是6、5、4、3、2，A、首位是6：形如：6﹣﹣﹣﹣﹣，因为第一次交换的是第六位，所以第六位不能是1，只能是5、4、3、2其中的一个，因此有四种情况：6﹣﹣﹣﹣5，6﹣﹣﹣﹣4，6﹣﹣﹣﹣3，6﹣﹣﹣﹣2；然后分类讨论，求出可以进行5次操作的六位数有多少个即可．

【解答】解：它的首位数字不是1，是1的话没有继续操作的可能， 它的首位既然不能是1，不妨首位数字分别是6、5、4、3、2， A、首位是6：形如：6﹣﹣﹣﹣﹣， 因为第一次交换的是第六位，

所以第六位不能是1，只能是5、4、3、2其中的一个，

因此有四种情况：6﹣﹣﹣﹣5，6﹣﹣﹣﹣4，6﹣﹣﹣﹣3，6﹣﹣﹣﹣2；

A1：6﹣﹣﹣﹣5时，（仅举四种情况之一） 因为第二次交换的是第五位，

所以第五位不能是1，只能是4、3、2其中的一个，

因此原数有6﹣﹣﹣45，6﹣﹣﹣35，6﹣﹣﹣25三种情况；

A11：6﹣﹣﹣45时，（仅举三种情况之一） 因为第三次交换第四位，

所以第四位不能是1，只能是3、2其中的一个， 因此有：6﹣﹣345；6﹣﹣245二种情况；

A111：6﹣﹣345时，（仅举两种情况之一） 因为第四次交换第三位，

所以第三位不能是1，只能是2， 因此有：6﹣2345一种情况； 第二位只能是1：即612345，

第五次交换第二位，结果是162345；

综上，以6开头的六位数，要能进行五次操作：这样的数共有： 4×3×2×1=24（个），

而开头的数字可以是2、3、4、5、6这五个数字之一， 故可以进行5次操作的六位数共有：5×4×3×2×1=120（个）． 答：可以进行5次操作的六位数有120个．

25．大小形状相同的红、黄、蓝三种颜色的珠子依次有2枚、2枚、3枚，现在要将它们穿成一串，要求相同颜色的珠子不能柑邻，共有多少种不同实质的穿法？如果要穿成一个圈呢？

【分析】利用插空法分析：圆圈代表蓝色，三角代表黄色，菱形代表红色．先放好大圆圈，之后再放置三角，最后放菱形，○△◇．进一步分情况探讨即可．

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【解答】解：○代表蓝色，△代表黄色，◇代表红色．

先讨论大圆圈与三角的放置，同时考虑对称性，因为翻转后重合的是同一种有： △○△○○；此种有5种 △○○△○；5种． △○○○△；1种．○△○△○；5+3+1=9种．剩下的就会重复，但还有一种要记得，那就是○△△○○；1种．总共5+5+1+9+1=21种．排成一圈的，注意旋转或翻转后重合的为同一种．只有两种．

26．有8个队参加比赛，采用如图的淘汰制方式．问：在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？

【分析】

我们标上字母如图，全排列为

=8！；因为A～B，B～A实质赛程一样；同理C～D，E～F，

7

7

G～H，I～J，K～L，M～N均是，所以重复计算了2．于是，共有8！÷2=315种实质不同的赛程安排．

7

【解答】解：8！÷2=315（种）

答：在比赛前抽签时，可以得到315种实质不同的比赛安排表．

27．动物园的门票5元l张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有5元的钞票，另外5个小朋友只有10元的钞票，售票员没有准备零钱，请问：有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？

【分析】根据所示的题意可得出所述情况的几何表示，计点A到点B的方法数，且不能经过AB上面的顶点，从而再由每个同学是不同的可得出最终答案．

【解答】解：现把拿5元的5个小朋友看成是相同的，把拿10元的5个小朋友也看成是相同的，使用我们常用的“逐点累加法”，

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图中每条小横段表示拿5元的小朋友，每条小竖段表示拿10元的小朋友，

要求从A走到B的过程中网格中任何点均有横段数不小于竖段数，拿5元的要先，且人数不能少于拿10元的，即不能越过对角线AB，

求从A到B的走法的方法数，逐点累加可求出为42，

又由于每个小朋友是不相同的，所以共有42×5！×5！=42×120×120=604800种情况． 答：有604800种排队方法，使售票员总能找得开零钱．

28．经理将要打印的信件交给秘书，每次给一封，且放在所有信件的最上面，秘书一有空就从最上面拿一封信来打．有一天共有7封信要打印，经理按1号信，2号信，…，7号信的顺序交给秘书，午饭时，秘书告诉同事，经理已经给了5封信，她已经把5号信打好了，但未透露上午工作的其他情况，问：

（1）如果上午秘书已经把五封信打完了，那么上午打印信的顺序有多少种可能？ （2）如果上午秘书还没有把信打完，那么下午打印信的顺序有多少种可能？

【分析】要将这个事件分解为两个事件：经理将信件交给秘书，先交来的在最下边；秘书打印信件，先打的在上面． 【解答】解：（1）打印顺序可能情况（数字代表信的编号）

1开头5432、4532、4352、4325、3542、3452、3425、3245、3254、2543、2453、2435、2345、2354，有14种

2开头5431、4531、4351、4315、3541、3451、3415、3145、3154、1543、1453、1435、1345、1354，有14种

3开头5421、4521、4251、4215、2541、2451、2415、2145、2154，有9种 4开头5321、3521、3251、3215，有4种 5开头4321，有1种

综上总计14+14+9+4+1=42种可能． 答：上午打印信的顺序有42种可能．

（2）分析情况：

如果上午只打了1封信：剩下4321

那么一共有：5（76在一起）+6×5÷2（67顺序可以不在一起）=20（这里之前算成21了） 2封信：首先可能剩下的信有4种，321 421 431 432，然后每一种确定了之后他们的顺序也固定了．（同上如剩下321，则1不可能在2之前出现） 那么一共有：4（76在一起）×4+5×4÷2×4=56

3封信：剩下的信可能有4×3÷2=6种，每种确定之后顺序固定（同上） 那么一共有：4×3÷2×6+3×6=54种

4封信：剩下的信可能有4种，顺序固定 那么一共有3×2÷2×4+2×4=20种 总计：21+56+54+20=150种．

答：下午打印信的顺序有150种可能． 29．（1）将8个黑球和20个白球排成一圈，每2个黑球之间至少有2个白球的排列方法有多少种？

（2）8名女生，20名男生站成一圈，要求每2名女生之问至少有2名男生．有多少种不同的站法？（经过旋转后相同的算作同一种排法，答案用阶乘表示．）

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【分析】（1）先在每2个黑球间放2个白球，这样剩下4个白球，将这4个白球放入8个空位之间，看有多少种放法．

①若4个球在一个空位中，只有1种放法； ②若3个球在一个空位中，有7种放法；

③若2个球在一个空位中，另2个球在另一个空位中，有4种； ④若2个球在一个空位中，另外2个球分别在不同的空位中，有

=21种；

⑤若4个球分别在不同空位中，有1+3+3+2+1=10种；

（2）第一步：8个女生人选1人为基准，剩下7人全排列，是女生的排列方法7！；

第二步：男生插入到女生的间隙．每个间隙先放一人，剩下12个人，转变成12人放在8个盘子里，每个盘子至少1人，所以共有7!×

×20!=

种方法．针对每一种方法按每人都不相同，都对应着20！，种．

【解答】解：（1）先在每2个黑球间放2个白球，这样剩下4个白球，将这4个白球放入8个空位之间，看有多少种放法．

①若4个球在一个空位中，只有1种放法； ②若3个球在一个空位中，有7种放法；

③若2个球在一个空位中，另2个球在另一个空位中，有4种； ④若2个球在一个空位中，另外2个球分别在不同的空位中，有⑤若4个球分别在不同空位中，有1+3+3+2+1=10种； 一共是1+7+4+21+10=43种； 答：排列方法有43种． （2）7!×答：有

×20!=

（种）

=21种；

种不同的站法．

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参与本试卷答题和审题的老师有：pyl123；73zzx；xuetao；WX321；齐敬孝；奋斗（排名不分先后） 菁优网

2016年5月22日

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考点卡片

1．通过操作实验探索规律 【知识点归纳】

【命题方向】 常考题型：

例：小红把10根绳子打结连起来，变成一根长绳，这根长绳上有（ ）个结． A、10 B、9 C、8

分析：两根绳有一个结，三根绳有两个结，那么四根绳有三个结…，以后每增加一根绳子就增加一个结，而结的数量要比绳子的数量少一． 解：结的数量要比绳子的数量少1，10跟绳子有： 10﹣1=9（个）；

答：10根绳子有9个结． 故选：B．

点评：本题关键是打结处的理解，每相邻的两根绳子就会有1个结，由此找出规律求解．

2．唯一分解定理 【知识点归纳】

（1）整数的唯一分解定理：设a＞1，则必有a=p1p2…pn，其中pi（1≤i≤n）是素数，在不计素数乘积的次序的意义下，表达式是唯一的．

（2）此定理又称作算术基本定理，它是初等数论中最基本的定理之一，是整除理论的中心内容，它反映了整数的本质．

算术基本定理的内容由两部分构成： 分解的存在性；

分解的唯一性，即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素数乘积的方式是唯一的．

【命题方向】 经典例题：

例1：三个连续的自然数的最小公倍数是9828，这三个自然数的和等于 81 ．

分析：先把9828分解质因数，即9828=2×2×3×3×3×7×13，因为是三个连续的自然数，因此通过试算得出结论．

解：9828=2×2×3×3×3×7×13=26×27×28 26+27+28=81

答：这三个自然数的和等于81． 故答案为：81．

点评：此题通过分解质因数，通过推算，解决问题．

例2：分母是135的最简真分数共有 72 个．

分析：解答此题首先把135分解质因数，用质因数分别除135算出不是最简真分数（质因数的倍数为分子的不是最简真分数）的个数，每两个质因数的乘积为分子的已重复计算，要从

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总个数中减去，再加上以135为分子的1个，从135中减去不是最简真分数的总个数即为分母是135的最简真分数的个数．

解：就是求与135互质并且小于135的数有多少，然后加1． 135=3×3×3×5

小于135的数，减去3和5的倍数 3的倍数有3，6，9，…135，共45个 5的倍数有5，10，15…135，共27个 15的倍数15，30…135，共9个 45+27﹣9=63个 135﹣63=72个．

答：分母是135的最简真分数共有72个． 故答案为：72．

点评：本题主要考查倍数、最简真分数以及容斥原理等方面的知识．

【解题方法点拨】

几个简单的判别法有助于求一个数的标准分解式： （1）整数a能被2整除的，末尾数字是偶数

（2）整数a能被3整除的，各位数字之和能被3整除 （3）整数a能被5整除的，末尾数字是0或5

（4）整数a能被11整除的，a的奇位数字的和与偶位数字的和之差能被11整除．

3．握手问题 【知识点归纳】

假设有N个人，则每个人都要和除自己之外的（N﹣1）个人握手， 则总握手的次数是N（N﹣1），但是在这N（N﹣1）次的握手中，每一次的握手都重复计算了，例如我和你握手，你和我握手是一样的．所以，要把它除以2， 则N个人握手的次数是N（N﹣1）．

【命题方向】 经典题型：

例1：甲、乙、丙、丁和小明五个人一起下围棋，循环比赛，已知甲下了4盘，乙下了3盘，丙下了2盘，丁下了1盘，问小明下了（ ）盘． A、1 B、2 C、3 D、4 分析：五个人一起下围棋，循环比赛，那么每个人最多可以下4盘；由甲下了4盘为突破口，找出小明下的盘数

解：甲下了4盘，甲和其他4人各下了一盘，包括丁和小明； 而丁下了一盘，说明丁只和甲下了一盘，没和其他人下； 乙下了3盘，他没和丁下，就是和甲，丙，小明三人下了； 丙是下了2盘，那么他只和甲、乙下了，没和小明下； 由此可知：小明只和甲、乙下了棋，下了2盘． 故选：B

点评：本题根据循环比赛，得出每人最多下4盘这一条件，然后根据已知每人下的盘数进行推算．

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4．组合图形的计数 【知识点归纳】

1．组合图形的概念：

圆，三角形，正多边形，梯形，平行四边形为基本图形其余的为组合图形，可以用辅助线分解为基本图．

2．组合图形的计数实质上就是分类数图形，解决方法是： （1）合理进行分类．

（2）利用排列组合的有关公式进行每一个类的数量计算． （3）将所有的类的数量进行相加． （4）仔细检查，防止遗漏．

【命题方向】 常考题型：

例1：试数出下图有多少个三角形．

【分析】三条线段首尾顺次连接组成的图形叫做三角形，根据概念找出图中图形的个数． 解：单个三角形组成的三角形有8个， 2个三角形组成的三角形有4个， 4个三角形组成的三角形有4个， 8+4+4=16（个）． 答：有16个三角形．

【点评】此题主要考查计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力．

5．染色问题 【知识点归纳】

这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法．染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案．这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色方法．

染色问题基本解法：三面涂色和顶点有关，8个顶点． 两面染色和棱长有关．即新棱长（棱长﹣2）×12

一面染色和表面积有关．同样用新棱长计算表面积公式（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×6 0面染色和体积有关．用新棱长计算体积公式（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×（棱长﹣2） 长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算．

6．逻辑推理 【知识点归纳】

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