2006年线性代数A

……… … … … … … … … … … … 名 …姓）… 线 题… … 答… … … 勿 … … 请 封）内…号 …编线…（ …号…学封 … … 密 … （密 … … … … … … ）…部…（…院…学………………国防科技大学06年上学期

线性代数试题(A)

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九总十 分 分数 注意：1、先填好密封线左边的各项内容，不得在其他任何地方作标记. 2、考试时间为两个半小时.

3、答案一律写在本试题纸上，只交本试题纸.

4、指挥类考生和技术类考生都做第一、二、三、四、五、六、七、八大题；指挥类考生做第九大题，技术类考生做第十大题；技术类考生做第九大题及指挥类考生做第十大题都不计分.

一、填空题（每小题3分，共18分）

3?521（1）设D?110?5?1313，则M11?M21?M31?M41? . 2?4?1?3（2）设??(1,2,1)T，则??T? . （3）设?1?(1,4,1,0,2)T,?2?(2,5,?1,?3,2)T,?3?(?1,2,5,6,2)T，则向量组?1,?2,?3的秩是 .

（4）?3中过原点的平面是 维向量空间.

（5）若四阶矩阵A与B相似，I是单位矩阵.已知矩阵A的特征值为1,2,3,4，则|B*?9I|＝ . （6）设二次型f(x1,x2,x3)?x21?x222?5x3?2tx1x2?2x1x3?4x2x3是正定二次型，则t的取值范围是 . 二、单选题（每小题3分，共18分）

（1）下列命题正确的是 【 】 （A）若二阶行列式D?0,则D的两行元素成比例. （B）若n阶行列式D?0,则D有两行元素成比例. （C）若n阶行列式D?0,则D有一行元素全为0. （D）若n阶行列式D?0,则D有一列元素全为0.

（2）设A,B为非零矩阵且AB?0，则必有 【 】 （A）A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关. （B）A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关. （C）A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关. （D）A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关.

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（3）已知n维列向量组?1,?2,?,?m(m?n)线性无关，则n维列向量组

?1,?2,?,?m线性无关的充分必要条件为 【 】

（A）向量组?1,?2,?,?m可由向量组?1,?2,?,?m线性表示. （B）向量组?1,?2,?,?m可由向量组?1,?2,?,?m线性表示. （C）向量组?1,?2,?,?m与向量组?1,?2,?,?m等价.

（4）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1

?110??，则 【 】 010倍加到第2列得C，记P??????001??（D）矩阵A???1?2??m?与矩阵B???1?2??m?等价.

（A）C?P?1AP. （C）C?PTAP.

（B）C?PAP?1.

（D）C?PAPT.

（5）假设方阵A与B相似，且P?1AP?B，若A对应于其特征值?的一个特

征向量是x，则B对应于其特征值?的一个特征向量是 【 】 （A）PTx. （B） Px. （C）P?1x. （D）Ax.

（6）设n阶矩阵A的伴随矩阵A*?0，若?1,?2,?3,?4是非齐次线性方程组

Ax?b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax?0的基础解系 【 】

（A）不存在. （B）仅含一个非零解向量. （C）含有两个线性无关的解向量. （D）含有三个线性无关的解向量. 三、（10分）已知向量组 ?1,?2,?,?s(s?2) 线性无关，设?1??1??2,?2??2??3,?, ?s?1??s?1??s,?s??s??1，讨论?1,?2,?,?s的线性相关性.

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…… … … … … … … … … … …名 …姓… … 线 … ） … 题… … 答 … 勿… … 请） 封号内… 编线…（ …号封… 学密… … （… … 密 … … … … … … ）…部…（…院…学………………四、（10分）若非齐次线性方程组 ??x1?x2?x3?x4??1?4x1?3x2?5x3?x4??1有3个线性无关的解. ??ax1?x2?3x3?bx4?1（1）证明方程组系数矩阵A的秩r?A??2； （2）求a,b的值及方程组的通解.

五、（10分）设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量?TT1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?是线性方程组Ax?0的两个解, (1)求A的特征值与特征向量;(2)求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得QTAQ??.

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六、（10分）设A为n阶上三角阵.

（1）若aii?ajj(i?j,i,j?1,2,?,n)，则A可相似对角化;

（2）若a1?2则A不可相似对角化. a???ann且至少有一个ai0j0?0(i0?j0)，

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……… 七、（10分）

?0?10??,B?P?1AP，100设A??其中P为三阶可逆矩阵，求?? … … … … … … … … …名 …姓… … 线 … ） … 题… … 答 … 勿… … 请） 封号内… 编线…（ …号封… 学密… … （… … 密 … … … … … … ）…部…（…院…学………………??00?1??B2008?2A2.

a1??a2八、（7分）计算a1a2???a1a2

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anan.

an??????九、（7分）（指挥类做）已知?1,?2,?3,?4是?4的一组基，其中

?1?(1,0,2,1)T,?2?(0,1,0,1)T,?3?(?1,2,0,1)T,?4?(0,0,0,1)T

求???1,?1,4,5?关于?1,?2,?3,?4的坐标.

十、（7分）（技术类做）线性空间Pn?1[x]有基 1,x,x2,?,xn?1.定义Pn?1[x]df?f.求T在基1,x,x2,?,xn?1上的线性变换T:对任意f?Pn?1[x],T(f)??下的矩阵表示.

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