2014年中考数学相似与三角函数专题复习资料及答案（解答题专题）

2013—2014学年九年级数学（下）周末辅导资料（09）

理想文化教育培训中心 学生姓名： 得分:

（相似三角形、解直角三角形专题）

1、（2013?眉山）在矩形ABCD中，DC=2（1）求证：△DEC∽△FDC；

（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．

2、（2013?十堰）如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．

（1）求证：⊙O与CB相切于点E；

（2）如图2，若⊙O过点H，且AC=5，AB=6，连接EH，求△BHE的面积和tan∠BHE的值．

，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．

1

3、（2013?广安）如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2． （1）求加固后坝底增加的宽度AF的长；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？

4、（2013?钦州）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）

（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度． （测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：

5、（2013兰州）如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）．求出旗杆MN的高度．（参考数据：，

，结果保留整数．）

1.414，

1.732）

，AB=10米，AE=15米．（i=1：

2

6、（2013年潍坊市）如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE'F'D',旋转角为?. （1）当点D恰好落在EF边上时，求旋转角?的值；

（2）如图2，G为BC的中点，且0°＜?＜90°，求证：GD'?E'D；

（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，?DCD'与?CBD'能否全等？若能，直接写出旋转角?的值；若不能，说明理由.

7、（2013福州）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为，设AB=x，AD=y

（1）求y与x的函数关系式；

（2）若∠APD=45°，当y=1时，求PB?PC的值； （3）若∠APD=90°，求y的最小值．

3

'

8、（2013?遵义）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．

（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？

（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．

9、（2013?衢州）【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．

【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．

【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．

4

答案：1、解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD， ∴△DEC∽△FDC．

（2）∵F为AD的中点，AD∥BC， ∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC， ∴FE：FC=1：3， ∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=； 设EF=x，则FC=3x， ∵△DEC∽△FDC， ∴在Rt△CFD中，DF=

=

，即可得：6x=12， 解得：x==

， ∴BC=2DF=2

．

2

， 则CF=3，

2、（1）证明：∵CA=CB，点O在高CH上， ∴∠ACH=∠BCH， ∵OD⊥CA，OE⊥CB， ∴OE=OD， ∴圆O与CB相切于点E；

（2）解：∵CA=CB，CH是高， ∴AH=BH=AB=3， ∴CH=∵点O在高CH上，圆O过点H， ∴圆O与AB相切于H点， 由（1）得圆O与CB相切于点E， ∴BE=BH=3，

如图，过E作EF⊥AB，则EF∥CH， ∴△BEF∽△BCH， ∴解得：EF=

，

=

， 在Rt△BEF中，

=

，即=

， =4，

∴S△BHE=BH?EF=×3×BF=

=，

∴HF=BH﹣BF=3﹣=， 则tan∠BHE=4、解：（1）过B作BG⊥DE于G， Rt△ABF中，i=tan∠BAH=

=

，

=2．

∴∠BAH=30°， ∴BH=AB=5；

（2）由（1）得：BH=5，AH=5， ∴BG=AH+AE=5+15， Rt△BGC中，∠CBG=45°， ∴CG=BG=5+15．

Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15， ∴DE=AE=15． ∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7m． 答：宣传牌CD高约2.7米．

5、解：过点A作AE⊥MN于E，过点C作CF⊥MN于F，则EF=AB﹣CD=1.7﹣1.5=0.2（m）， 在Rt△AEM中，∵∠AEM=90°，∠MAE=45°， ∴AE=ME． 设AE=ME=xm，则MF=（x+0.2）m，FC=（28﹣x）m． 在Rt△MFC中，∵∠MFC=90°，∠MCF=30°， ∴MF=CF?tan∠MCF， ∴x+0.2=答：旗杆MN的高度约为12米．

6、答案：(1) ∵DC//EF,∴∠DCD′=∠CD′E=∠CD′E=α. ∴sinα=

5

（28﹣x）， 解得x≈10.0， ∴MN=ME+EN≈10+1.7≈12米．

CECE1??,∴α=30° CD'CD2

(2) ∵G为BC中点，∴GC=CE′=CE=1，

∵∠D′CG=∠DCG+∠DCD′=90°+α, ∠DCE′=∠D′CE′+∠DCD′=90°+α, ∴∠D′CG=∠DCE′又∵CD′=CD, ∴△GCD′≌△E′CD, ∴GD′=E′D (3) 能. α=135°或α=315° 7、解：（1）如图1，过A作AE⊥BC于点E， 在Rt△ABE中，∠B=45°，AB=x， ∴AE=AB?sinB=∵S△APD=

x， ；

111AD?AE=， ∴?y?222x=

1， 则y=2（2）∵∠APC=∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP，∠APD=∠B=45°，∴∠BAP=∠CPD， ∵四边形ABCD为等腰梯形，

∴∠B=∠C，AB=CD， ∴△ABP∽△PCD， ∴

=

， ∴PB?PC=AB?DC=AB，

2

当y=1时，x=，即AB=，

2

则PB?PC=（）=2；

（3）如图2，取AD的中点F，连接PF，过P作PH⊥AD，可得PF≥PH， 当PF=PH时，PF有最小值，∵∠APD=90°， ∴PF=AD=y， ∴PH=y， ∵S△APD=

111112

?AD?PH=， ∴?y?y=，即y=2， ∵y＞0，∴y=22222， 则y的最小值为．

8、解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm． ∴根据勾股定理，得（1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况： ①当△AMP∽△ABC时，②当△APM∽△ABC时，

==

，即，即

==

， 解得t=；

， 解得t=0（不合题意，舍去）；

=5cm．

综上所述，当t=时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似；

（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：假设存在某一时刻t，

使四边形APNC的面积S有最小值．

如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC， ∴

=

，即

2

=， ∴PH=t，

∴S=S△ABC﹣S△BPH，=×3×4﹣×（3﹣t）?t，=（t﹣）+∵＞0， ∴S有最小值． 当t=时，S最小值=

．

（0＜t＜2.5）．

答：当t=时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是9、（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，

．

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，

6

∵在△BAM和△CAN中，

∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN． （2）解：结论∠ABC=∠ACN仍成立．

理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN， ∵在△BAM和△CAN中，

∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN． （3）解：∠ABC=∠ACN．

理由如下：∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN， ∴底角∠BAC=∠MAN， ∴△ABC∽△AMN， ∴

=

，

又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC， ∴∠BAM=∠CAN， ∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC=∠ACN．

7

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