计算方法-刘师少版课后习题答案

1.1 设3.14, 3.1415, 3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数

1

解 近似值x=3.14＝0.314×10,即m=1，它的绝对误差是 －0.001 592 6…，有

x?x?

由(3)与(4)可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.

?31.3 ln2=0.69314718…，精确到10?3的近似值是多少？

?0.0015926??0.5?101?3.

解 精确到10＝0.001，即绝对误差限是?＝0.0005,

故至少要保留小数点后三位才可以.ln2?0.693

2.1 用二分法求方程x?x?1?0在?1, 2?的近似根，要求误差不超过

－3

即n=3，故x=3.14有3位有效数字. x=3.14准确到小数点后第2位. 又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有

312?10?3至少要二分多少？

x?x???.??????????.??????? 即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.

而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有

x?x???.??????????.???????

即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字. 这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字 1.2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.0004 －0.00200 9000 9000.00

解 （1）∵ 2.0004＝0.20004×101

, m=1

绝对误差限：x?x??x?0.20004?0.000049?0.5?10?4 m-n=-4,m=1则n=5,故x=2.0004有5位有效数字

x?1?(n?1)11?51=2，相对误差限r??x?10?2?2?10?0.000025

21（2）∵ －0.00200= -0.2×10-2

, m=-2

x?x??x?(?0.00200)?0.0000049?0.5?10?5

m-n=-5, m=-2则n=3,故x=-0.00200有3位有效数字

x?31=2，相对误差限?1r?2?2?101=0.0025

(3) ∵ 9000=0.9000×104

, m=4， x?x??x?9000?0.49?0.5?100

m-n=0, m=4则n=4,故x=9000有4位有效数字

??11?4r2?9?10＝0.000056

(4) ∵9000.00=0.900000×104

, m=4，

x?x??x?9000.00?0.0049?0.5?10?2

m-n=-2, m=4则n=6,故x=9000.00有6位有效数字

相对误差限为?11?6r?2?9?10＝0.000 00056

解：给定误差限?＝0.5×10，使用二分法时，误差限为

x*?x1k?k?1(b?a) 只要取k满足122k?1(b?a)??即可，亦即

k?lg(b?a)?lg?lg2?1??lg0.5?3lg10lg2?1?9.96678

只要取n＝10.

2.3 证明方程1 -x –sinx ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过

0.5×10-4

的根要二分多少次？ 证明 令f(x)＝1－x－sinx， ∵ f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0

∴ f(x)=1－x－sinx=0在[0，1]有根.又 f ?(x)=-1－cosx<0 (x?[0.1]),故f(x) 在[0，1]单调减少，所以f(x) 在区间

[0，1]内有唯一实根.

给定误差限?＝0.5×10－

4，使用二分法时，误差限为

x*?x11k?2k?1(b?a) 只要取k满足2k?1(b?a)??即可，亦即

k?lg(b?a)?lg??1??lg0.5?4lg10lg2?1?13.2877

lg2 只要取n＝14.

2.4 方程x3?x2?1?0在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代

公式：

（1）x?1?1，迭代公式x?1 （2）x3?1?x2，迭代公式x31?x2x2k?11?x2k?1?k

k（3）x2?11 （4）x?1，迭代公式xk?1?xk?1x?x3?1，迭代公式x3k?1?xk?1试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。

解：（1）令f(x)?1?1x2，则f?(x)??2，由于

x3

f?(x)?2x3?11.53?0.59?1，因而迭代收敛。 ，则f?(x)??12?C?0时，迭代收敛。

（2）令f(x)?31?x22x(1?x)2?23，由于

（2）当??(x)?0时迭代至少是二阶收敛的，收敛最快。即 3f?(x)?2?1.5?0.34?1

33(1?1.52)2迭代收敛，且第二种迭代格式比第一种迭代格式收敛速度要快。

（3）令f(x)?1，则x?1f?(x)??1，由于

2(x?1)3f?(x)??1?1

2(1.5?1)3迭代发散。 （4）令f(x)?x3?1，则f?(x)?x2(x3?1?1)2，由于

2 f?(x)?x?1.52?1

x3?11.53?1迭代发散。

具体计算时选第二种迭代格式，

xk?1?31?x2k n=0,1,…

计算结果如下：

x0?1.5,x1?1.481248,x2?1.4727057

x3?1.4688173,x4?1.4670480,x5?1.466243 x6?1.4658768x7?1.4657102,x8?1.4656344

x9?1.4656000 x9?x8?12?10?4,x9?1.4656000

2.5 对于迭代函数?(x)?x?C(x2?2)，试讨论：

（1） 当C取何值时，xk?1??(xk),(k?0,1,2,?)产生的序列?xk?收敛于2；（2） C取何值时收敛速度最快？ 解：（1）?(x)?x?C(x2?2)，??(x)?1?2Cx，由已知条件知，当

??(2)?1?2C2?1，即

??(2)?1?2C2?0，所以C??1时收敛最快。

222.7 试用牛顿迭代法导出下列各式的迭代格式：

(1)

?c不使用除法运算； (2)

?不使用开方和除法运算.

c解：（1）令

1，取

f(x)?1??1x?c，则 x?c,f?(x)x21?cx?x?xx?cx

?1?22x2迭代格式为 x2k?1?2xk?cxk

注：若令x?11c，取f(x)?x?c,f?(x)?1，则

x?1x?x?c，显然迭代格式不法不符合题意。

1?x （2） 令

1x2?c，取f(x)?c?1,f?(x)?2，则

x2x3c?1x?x?x232

2?32x?c2x3?(2?c2x)xx3迭代格式 x2k?1?(32?c2xk)xk

2.10 设f(x)?(x3?a)2。

（1） 写出解f(x)?0的Newton迭代格式。 （2） 证明此迭代格式是线性收敛的。

解：因f(x)?(x?a)，故f?(x)?6x(x?a)，由Newton迭代公式：

3223回代求解得x3?1,x2??1,x1?0

xn)n?1?xf(xn?f?(x,n?0,1,?

n)得

32x(xn?a)nan?1?xn?6x232,n?0,1,?

n(xn?a)?5x6?6xn以下证明此格式是线性收敛的 因迭代函数?(x)??5x6?a5*6x2,而??(x)??6?a3x?3,又x?3a,则??(3a)??5a3?36?3(a)?56?13?12?0 故此迭代格式是线性收敛的。

第三章 解线性方程组的直接方法习题及解答

（考试时二元）3.2 用列主元素消去法解线性方程组

??3x?1?2x2?6x3?4?10x1?7x2?7 ??5x1?x2?5x3?6解：第一步列选主元10，将第一和第二行交换，再消去x1，得

??????10?70??x??1??7??0?1??x?61??106 ?5??2?????5??x???10?3?5???02????2??第二步列选主元

52，将第二和第三行交换，再消去x2，得

??????10?70?x??1??7?05????5?5??2?x2????

?31???x???2??3?31???005????5??

3.3 用高斯-约当法求逆矩阵

?123?A???212? ???134??解：?123100???212010? ???134001?? ?212010??列选主 ?123100? ???134001???10.5100.50???消元 ?01.521?0.50???02.530?0.51???10.5100.50?列选主

??02.530?0.51????01.521?0.50???100.406?0.2?消元

??011.20?0.20.4????000.21?0.2?0.6???100?211消元

???010?614? ???0015?1?3????211?则 A?1????614?? ??5?1?3??3.4 用矩阵的直接三角分解解方程组

?2x1?x2?x3??1??4x 1?x2?3x3?7??6x1?9x2?x3??3解 设系数矩阵A的杜利特尔分解为A=LU，即

?2?4???61?19?1??1??3?l21???1????l311l32??u11????1????u12u22u13??u23 ?u33??等式成立

3.8 证明对任意非奇异矩阵A有

A?1?1A

将右端两矩阵相乘后比较两端，可得

u11?2,u12?1,u13??1

l21?4/u11?2,l31?6/u11?3

u22??1?l21u12??3,u23?3?l21u13?5 l31u12?l32u22?9,得l32??2

l31u13?l32u23?u33??1,得u33?12

?1??21?1?L??1??2?,U????35? ???3?21????12??再求解方程组LY=b, UX=Y, 即：

?y??2x?1?1?2y?1?x2?x3?y11?y2?7,??3x2?5x3?y2 ??3y?2y?12?y3??3?12x3?y3先由前一个方程组求得y1??1,y2?9,y3?18，代入后一个方程组，求得原方程的解为x1131?2,x2??2,x3?2

3.7 证明对任意非奇异矩阵A、B有

A?1?B?1?A?1B?1A?B

证：A?1B?1A?B

?A?1A?BB?1

?A?1(A?B)B?1 ?(I?A?1B)B?1

?B?1?A?1 ?A?1?B?1

证：因为 I?A?1A

所以 I?A?1A?A?1?A

A?1?1A

3.9 设A、B∈Rn?n为非奇异矩阵，证明

（1） Cond(A)≥1，Cond(A)= Cond(A-1

)； （2） Cond(?A)=Cond(A)，??R,??0； （3） Cond(AB)≤Cond(A) Cond(B)。 证：(1) Cond(A)?A?1?A?A?1A?I?1 Cond(A)?A?1?A?(A?1)?1?A?1?Cond(A?1)

(2) Cond(?A)?(?A)?1?(?A)?1?1?1?A?A?A?A?Cond(A)(3)

Cond(AB)?(AB)?1?AB?A?1B?1AB

?A?1AB?1B?Cond(A)?Cond(B)

3.10 设线性方程组为

?7x?10x?12?1

?5x1?7x2?0.7（1） 试求系数矩阵A的条件数cond?(A)；

（2） 若右端向量有扰动?b?(0.01,?0.01)T，试估计解的相对误差。 解：（1）A??710?10?? ?57?,A?1???7???5?7??A??max?17,12??17

A?1??max?17,12??17

Cond(A)??A?1?A??17?17?289 （2）本题是讨论方程组的右端项有扰动δb时对解的相对误差的估计，

由解向量的精度的估计式：

?X?X?Cond(A)?b???b?289?0.01?1?2.89

第四章 解线性方程组的迭代法习题及解答

4.1 用Jacobi迭代格式解方程组

?10x1?2x2?x3?3???2x1?10x2?x3?15 ???x1?2x2?5x3?10要求x(k?1)?x(k).005??0

解 Jacobi迭代格式为

?x(k?1)?0.2x(k)(k)12?0.1x3?0.3??x(k?1)(k)(k)2?0.2x1?0.1x3?1.5 ?(k?1)?x3?0.2x(k)(k)1?0.4x2?2取初始迭代向量x(0)?(0,0,0)T，迭代结果为：

x(1)?(0.3000,1.5000,2.000)T x(2)?(0.8000,1.7600,2.6600)T ……

x(6)?(0.9963,1.9961,2.9938)T x(7)?(0.9986,1.9986,2.9977)T

由于 x(7)?x(6)?2??0.5?10

所以满足要求的解为

x??(0.9986,1.9986,2.9977)T

4.2 用高斯—塞德尔迭代法求解线性方程组

?3x1?x2?2? ?x1?2x2?1

要求x(k?1)?x(k)

??0.005解：建立高斯—塞德尔迭代格式：

???x(k?1)1??1(k)2?3x2?3 ?x(k?1)??1x(k?1)??21?122取初始迭代向量x(0)?(0,0)T，迭代结果为：x(1)?(0.6667,0.1667)T x(2)?(0.6111,0.2222)T x(3)?(0.5925,0.2037)T x(4)?(0.5988,0.2006)T x(5)?(0.6000,0.2000)T

x(5)?x(4)??0.005

故方程组的近似解为x??(0.600,0.200)T4.4 线性方程组Ax?b的系数矩阵为

??13?A＝??1?2?? ???32???试求能使雅可比迭代法收敛的?的取值范围。 解 当??0时，雅可比迭代矩阵

??0?13?B＝???????10?2? ??????3??2????0??

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xfk2.html