数学中使用的一般科学方法

第二讲 数学中使用的一般科学方法

在科学的发展过程中，凡是对人类的认识产生过积极作用的思想家，不论是哲学家还是科学家，都对科学中的思想方法和研究方法进行过考察与分析，科学方法就是在他们的研究和探索中诞生的。

综观人类的科学认识史，大凡以算法为主导的数学发展时期，人们常常将数学归并到自然科学范畴之内，而在以演绎为主导的数学发展时期，人们则将数学独立于自然科学之外。在当代，由于计算机的出现以及由此引起一场迅猛的技术革命，数学中“构造性观念的抬头有了一些明显的趋势。”（吴文俊），而这种趋势致使数学及数学教育界过分偏重形式，强调逻辑思维能力，忽视了数学的活的灵魂，对于使用逻辑方法以外的科学方法不予重视。而包括20世纪最伟大的数学家冯·诺伊曼（J.Von.Neumann）在内的许多大数学家都认为数学和其他自然科学一样源于经验。冯·诺伊曼就曾指出：“大多数最好的数学灵感来源于经验”，“在一门数学远离其经验之源而发展时，存在着一种危险，即这门学科会沿着一些最省力的方向发展，并分为数众多而无意义的支流。唯一的解决办法是使其回到其本源，返老还童。”（引自《数学家谈数学本质》）。

菲尔兹奖获得者，日本数学家小平邦彦说过：“物理学可以说是研究自然现象中物理现象的科学，在同样的意义上，数学就是研究自然现象中数学现象的科学。”由此可见，在数学研究和解题中广泛运用一般科学方法是不可避免的。因为数学的研究对象是形式化的思想材料，尽管它起源于经验，有的直接依赖于经验，但毕竟舍弃了事物的具体内容。因此，数学在使用一般科学方法时，必然有所侧重，具有自己的特点。

§2.1数学中的观察与实验

一般的科学方法中，观察和实验是收集科学事实，获取感性经验的基本途经，是形成、发展和检验自然科学理论的实践基础。观察与实验在数学研究中也是一种最基本的主要方法之一。

（数学）观察是人们对事物或问题的数学特征通过视觉获得信息，运用思维辩认其形式、结构和数量关系，从而发现某些规律或性质的方法。尽管观察是最原始最基本的方法之一，但它是进行数学思维必须的和第一位的方法，在数学知识的发现和数学问题的解决过程中，观察也是常用的有效方法之一。

在数学活动中，常常通过观察来收集新材料，发现新事实，并通过观察可以认识数学的本质、揭示数学的规律、探求数学方法。

数学中的观察按观察的特征可分为定性观察（对对象的特征、性质、关系的观察）和定量观察（对对象间的数量关系的观察）两种。

实验是根据研究问题的需要，按照研究对象的自然状态和客观规律，人为地变革、控制和模拟客观对象，在有利的条件下获取经验材料的研究方法。

实验方法在数学活动中有助于数学理论的研究与发展；有助于启发数学解题思路；有助于在数学研究中创设思维情景。

由于实验总是和观察相互联系，观察常常可用实验作基础，而实验又可使观察得到的性质或规律得以重现或验证。而实验比观察有更大的优越性，主要表现在以下两个方面：

（1）实验方法具有简化和纯化数学对象的作用。因为实验可借助专门仪器工具，人为地变更、控制和模拟客观对象，因而能把握实验者的需要，突出某些主要因素，排除或减少其他次要的、偶然因素的干扰，使研究对象中为研究者所需要的某些属性或关系在简化、纯化的形态下暴露出来，从而准确地认识它。

（2）实验方法可以重复进行或多次再现被研究的对象，以便进行反复的观察。

数学不是实验性的科学，因此不能将观察到的结果、实验性的验证作为判断数学命题的真假性的充分依据，但它们在数学发现及探求数学问题的解决思路的过程是起着重要作用的。欧拉曾经说过：“今天人们所知道的数的性质，几乎都是由观察所发现的，并且早在用严格论证确认其真实性之前就被发现了。甚至到现在还有许多关于数的性质是我们所熟悉而不能证明的；只有观察才使我们知道这些性质。

因此我们认识到，在仍然是很不完善的数论中，还得把最大的希望寄托在观察之中；这些观察将导致我们继续获得以后尽力予以证明的新的性质。”随后欧拉又指出了观察的局限性，告诫人们要把“这类仅从观察为旁证而仍未被证明的知识，必须谨慎地与真理区别开来，”“不要轻易地把观察所发现的或仅从归纳为旁证的关于数的那样一些性质信以为真。”欧拉还指出：“数学这门学科，需要观察，也需要实验。”

下面我们将通过一些例子来说明观察与实验在数学研究中的重要作用。

例1、 兔子繁殖问题

13世纪初，意大利数学家斐波那契（L.Fibonacci）在他所著的《算盘书》中，提出了一个十分有趣的题目：

“有一个人把一对小兔子（一雌一雄）放在四面都围着的地方，他想知道一年以后总共有多少对兔子。假定一对小兔子经过一个月以后就长大成为一对大兔子。而一对大兔子经过一个月就不多不少恰好生一对小兔子（一雌一雄），并且这些生下的小兔子都不死。”

这是一个算术问题，但是用普通的算术公式是难以计算的，为了寻求兔子繁殖的规律，我们引进记号： 1——表示已长大成熟的一对大兔子； 0——表示未成熟的一对小兔子；

(大)(小)FF,Fnnn用表示在第n个月的第1日总共有兔子的对数，用

分别表示第n个月的第1日大兔子的对数和小兔子的对数，则通过观察有：

F1?1，F2?1，F3?2，F4?3，F5?5，F6?8，F7?13，?

经过进一步的观察，兔子的繁殖规律可列成下表

n 1 Fn?大? 0 2 1 0 1 3 1 1 2 4 2 1 3 5 3 2 5 6 5 3 7 8 5 Fn?小? 1 Fn 1 8 13 由此表可得：

(大)F?Fn?1 （用蓝色箭头表示） n(大)(小)F?Fnn?1 （用红色箭头表示）

进一步考虑，又可得：

(大)(小)FF,Fn,n?1nn（1）当 时，由的定义，有

Fn?Fn(大)?Fn(小),大)(大)小)Fn?Fn(??Fn(?1,Fn1

（2）当n?3时，由（1）得

(大)(小)F?F?Fnnn

大)?Fn?1?Fn(?1 ?Fn?1?Fn?2

由以上观察和归纳所得的结果，我们知道当 n?3 时，通过

F1?F2?1和Fn?Fn?1?Fn?2便可计算出Fn的值。

显然，上面的结果纯粹是建立在观察和实验的基础之上的，是否带有普遍意义，亦即对一切n?3,n?N结论是否成立，还需要进行严格论证。但是，这个结果的确给我们带来了解决一般问题的曙光，我们有理由猜想兔子的繁殖规律可以用一个明确的递推关系来描述，即

Fn?Fn?1?Fn?2 （n?3,n?N） ①

正如当代最著名的数学教育家波利亚（G.Polya）所说：“数学家好似自然科学家，在他用一个新观察到的现象来检验一个所猜想的一般规律时，他向自然界提出问题：‘我猜想这规律是真的，它真的成立吗？’假如结果被实验明确证实，那就有某些迹象说明这个规律可能是真实的，自然界可以给你是或非的回答。”

对于递推关系式①，其正确性是肯定的，这可以用数学归纳法加以证明，后人为纪念兔子繁殖问题的提出人，将数列?Fn?称为斐波那契数列。这个数列的每一项都叫做裴波那契数。裴波那契数列在数学、物理、化学、天文等学科中经常出现，并且有许多有趣的性质。由于裴波那契数列可用于优选法，因而近年来有越来越多的人去研究它。

例2、 投针问题

1777年，法国科学家蒲丰（C.de Buffon）提出并解决了一个概率问题：投针问题。这个问题给人们以巨大的启迪：数学与实验不仅有缘，而且有着十分密切的关系。投针问题用数学语言表述如下： 平面上画着一些间隔为2a的一组平行线，在平面上随机的投掷一枚长为2l并且质量均匀的针（假设 2l＜ 2a ）。试求此针与一条平行线相交的概率。

从几何概率来看，投针问题的解法是：用M表示针的中点，x表示M到与它最近的一条平行线的距离，?表示针与这一平行线的交角（图2.1）。 那么 图2.1

2a M ? 0?x?a, 0????

决定了平面上一个矩形S。 同时，针与一平行线相交， 当且仅当x与?满足不等式

x a A 图2.2 ?? x?lsin?

于是，我们的问题就等价于在S中随机地掷一点(x,?)， 求此点(x,?)落在区域A中的概率（图2.2）。

由几何概率知，所求的概率是：区域A的面积／矩形S的面积。

应用微积分（见数学分析课程）可算出区域A的面积是2l, 故所求的概率是

。

投针问题的结果，提供了用实验方法求?值的理论依据。设n是投针的总次数，m是针与平行线之一相交的次数，由概率的统计定义，

m?近似等于n，于是得

??2la?

??2lnam

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