微分方程讲义

课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容：定积分的计算 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第七章 微分方程 第一讲 微分方程的基本概念 教学要求： 微分方程的基本概念以及微分方程阶的概念。 重 点：微分方程的基本概念，微分方程阶的概念 难 点： 微分方程的概念； 微分方程阶的概念 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习 15分钟 2 微分方程的问题举例 30分钟 3 微分方程概念以及阶数练 45分钟 课后 作业 参考 资料 定积分的概念与性质 一、复习导数和高阶导数的概念 二、微分方程问题举例及引出 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映?利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究?因此如何寻找出所需要的函数关系?在实践中具有重要意义?在许多问题中?往往不能直接找出所需要的函数关系?但是根据问题所提供的情况?有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式?这样的关系就是所谓微分方程?微分方程建立以后?对它进行研究?找出未知函数来?这就是解微分方程? 例1一曲线通过点(1?2)?且在该曲线上任一点M(x?y)处的切线的斜率为2x?求这曲线的方程? 解设所求曲线的方程为y?y(x)?根据导数的几何意义?可知未知函数y?y(x)应满足关系式(称为微分方程) dy?2x? (1) dx此外?未知函数y?y(x)还应满足下列条件? x?1时?y?2?简记为y|x?1?2? (2) 把(1)式两端积分?得(称为微分方程的通解) y??2xdx?即y?x2?C? (3) 其中C是任意常数? 把条件“x?1时?y?2”代入(3)式?得 2?12?C? 由此定出C?1?把C?1代入(3)式?得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x?1?2的解)? y?x2?1? 例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶?当制动时列车获得加速度?0?4m/s2?问开始制动后多少时间列车才能停住?以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米?根据题意?反映制动阶段列车运动规律的函数s?s(t)应满足关系式 d2s??0.4?(4) 2dt此外?未知函数s?s(t)还应满足下列条件? t?0时?s?0?v?ds?20?简记为s|=0?s?|=20? (5) t?0t?0dt 把(4)式两端积分一次?得 dsv???0.4t?C1? (6) dt再积分一次?得 s??0?2t2 ?C1t?C2? (7) 这里C1?C2都是任意常数? 把条件v|t?0?20代入(6)得 20?C1? 把条件s|t?0?0代入(7)得0?C2? 把C1?C2的值代入(6)及(7)式得 v??0?4t?20?(8) s??0?2t2?20t? (9) 在(8)式中令v?0?得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 t?20?50(s)? 0.4再把t?50代入(9)?得到列车在制动阶段行驶的路程 s??0?2?502?20?50?500(m)? 解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米? s????0?4? 并且s|t?0=0?s?|t?0=20? 把等式s????0?4两端积分一次?得 s???0?4t?C1? 即v??0?4t?C1(C1是任意常数)? 再积分一次?得 s??0?2t2 ?C1t?C2 (C1?C2都C1是任意常数)? 由v|t?0?20得20?C1? 于是v??0?4t?20? 由s|t?0?0得0?C2?于是s??0?2t2?20t? 令v?0?得t?50(s)? 于是列车在制动阶段行驶的路程 s??0?2?502?20?50?500(m)? 二、微分方程的定义 微分方程?表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程?叫微分方程? 常微分方程?未知函数是一元函数的微分方程?叫常微分方程? 偏微分方程?未知函数是多元函数的微分方程?叫偏微分方程? 微分方程的阶?微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数?叫微分方程的阶? x3 y????x2 y???4xy??3x2 ? y(4) ?4y????10y???12y??5y?sin2x? y(n) ?1?0? 一般n阶微分方程? F(x?y?y??????y(n) )?0? y(n)?f(x?y?y??????y(n?1) ) ? 微分方程的解?满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解?确切地说?设函数y??(x)在区间I上有n阶连续导数?如果在区间I上? F[x??(x)???(x)??????(n) (x)]?0? 那么函数y??(x)就叫做微分方程F(x?y?y??????y(n) )?0在区间I上的解? 通解?如果微分方程的解中含有任意常数?且任意常数的个数与微分方程的阶数相同?这样的解叫做微分方程的通解? 初始条件?用于确定通解中任意常数的条件?称为初始条件?如 x?x0 时?y?y0 ?y?? y?0 ? 一般写成 ?? yx?x0?y0?y?x?x0?y0特解?确定了通解中的任意常数以后?就得到微分方程的特解?即不含任意常数的解? 初值问题?求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题? 如求微分方程y??f(x?y)满足初始条件yx?x0?y0的解的问题?记为 ??y??f(x,y)? ?y?y??x?x00积分曲线?微分方程的解的图形是一条曲线?叫做微分方程的积分曲线? 例3验证?函数 x?C1cos kt?C2 sin kt 是微分方程 d2x?k2x?0 2dt的解? 解求所给函数的导数? dx??kCsinkt?kCcoskt? 12dtd2x??k2Ccoskt?k2Csinkt??k2(Ccoskt?Csinkt)? 12122dtd2x将2及x的表达式代入所给方程?得 dt?k2(C1cos kt?C2sin kt)? k2(C1cos kt?C2sin kt)?0? d2x?k2x?0这表明函数x?C1coskt?C2sinkt满足方程2?因此所给函数是所给方程的解? dt d2x例4 已知函数x?C1coskt?C2sinkt(k?0)是微分方程2?k2x?0的通解?求满足初始条件 dtx| t?0 ?A?x?| t?0 ?0 的特解? 解由条件x| t?0 ?A及x?C1 cos kt?C2 sin kt?得 C1?A? 再由条件x?| t?0 ?0?及x?(t) ??kC1sin kt?kC2cos kt?得 C2?0? 把C1、C2的值代入x?C1cos kt?C2sin kt中?得 x?Acos kt? 练习： 1一曲线过点?1，2?，且在该曲线上任一点?x,y?处的切线斜率为2x，求该曲线的方程。 y?f?x?，则它满足 解：设所求曲线的方程为??y??2x ???yx?1?22y?x?c (c是任意常数 ) 把方程两端积分，得22?1?c 由初始条件，有由此定出c?1 2y?x?1 故所求曲线的方程为2验证：函数 y?c1ex?c2xex(c1,c2是任意常数) 是微分方程 y??解：y?2y??y?0 的通解。 ?c1ex?c2xex y??c1ex?c2ex?c2xex， ?2y???2c1ex?2c2ex?2c2xex y???c1ex?2c2ex?c2xex 显然y??故 y?2y??y?0 ?c1ex?c2xex 是微分方程的解。因c1,c2是相互独立的两个任意常数，而微分方程的阶数是二阶的，故它微分方程的通解。

课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容：定积分的计算 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第七章 微分方程 第二讲 可分离变量的微分方程 教学要求： 掌握可分离变量的微分方程的解法 重 点：掌握可分离变量的微分方程的解法 难 点： 可分离变量的微分方程的解法 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习 10分钟 2 可分离变量的微分方程45分钟 3 练习 35分钟 课后 作业 参考 资料 如果一阶微分方程能化成 g(y)dy?f(x)dx 的形式，那么原方程称之为可分离变量的微分方程。 为讨论这类微分方程的求解，我们先看两个引例 对于一阶微分方程 dy?2x dx只需将上式两端积分就得到了这个方程的通解 y?x2?c 但是，并非所有的一阶微分方程都能这样求解。 例如，对于一阶微分方程 dy?2xy2 dx就不能直接两端取积分求出它的通解。原因是方程右端含有未知函数，积分出来。为了解决这个困难，在方程的两端同乘以2?2xydx求不dxy2，使方程变为dyy2?2xdx 这样，变量y与x被分离在等式的两端，然后两端积分得 12?2xdx???x?c?2?yy 如此得到的函数是原来的微分方程的解吗? 直接验证：对方程两边关于x求导，有 dy1dy??2x?2dxy可见，它确实是原方程的通解。 下面讨论可分离变量微分方程 dy?2xy2dx g(y)dy?f(x)dx? 的求解。 假定函数设yf(x)和g(y)是连续的。 ??(x)是方程?的解，将它代入方程得到恒等式 g[?(x)]???(x)dx?f(x)dx 将上式两端积分有 ?g[?(x)]???(x)dx??f(x)dx 引入变量替换y??(x)，得 ?g(y)dy??f(x)dx 设G(y)及F(x)依次为g(y)及f(x)的原函数，于是有 G(y)?F(x)?c? 因此，方程?的解满足关系式?。 反之，如果y数的直接求导法有 ??(x)是?式所确定的隐函数，那未在g(y)?0的条件下，据隐函dydyG?(y)??F?(x)?g(y)??f(x)?g(y)dy?f(x)dx dxdx因此，函数y??(x)满足方程?。 f(x)和g(y)连续，且g(y)?0，那么?式两端积分后f(x)?0时，?式所确综合上述讨论有 如果可分离变量方程?中的得到的关系式?，它用隐式的形式给出了方程?的解。 由于?式含有任意常数，故?式叫做微分方程的隐式通解( 当定的隐函数也可认为是方程?的解)。 【例1】设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时(t?0)速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系。 解：设伞下落速度为v(t)，在下落时，同时受到重力P与阻力R的作用，重力大小为mg，方向与v一致;阻力大小为kv(k为比例系数 )，方向与v相反，从而伞所受外力为 F?mg?kv 据牛顿第二运动定律F?ma，得到函数v(t)应满足微分方程 ?dv?m?mg?kv ?dt?v?t?0?0dvdt方程是可分离变量的，分离变量得? mg?kvm两端积分，有 dvdt???mg?kvm1t??ln(mg?kv)??c1 kmk??tmgv??c?em kt??kc1mg?kv?e?em?k1?kc1其中c???e kmg由初始条件 vt?0?0，有c??k 于是所求的函数为 k??tmgv?(1?em) k【例2】有高为100厘米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面面积为1平方厘米，开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里的水面的高度h( 水面与孔口中心间的距离 )随时间t变化的规律。 解：由水力学知道，水从孔口流出的流量Q( 即通过孔口横截面的水的体积V对时间t的变化率 )可用下列公式计算 dVQ??0.62?s2gh dt这里，0.62为流量系数，s为孔口横截面面积，g为重力加速度。 现在，孔口横截面面积为s ?1 dV?0.622ghdt?dV?0.622gh?dt 另一方面，设在微小时间间隔[t,t?dt]内，水面高度由h降至h?dh，可得到dV???r2dh 其中r是时刻t时的水面半径，右端置负号是由于dh?0，而dV?0。 如图，r?1002?(100?h)2?200h?h2 dV???(200h?h2)dh 得到微分方程0.622gh?dt???(200h?h2)dh 及初始条件ht?0?100 方程是可分离变量的方程 13dt???0.622g(200h2?h2)dh t???0.622g(400353h2?25h2)?C 将初始条件代入，定出常数C。 0???(400350.622g31002?251002)?C C??14g?15?1050.622

把C值代入并化简，得 35t??4.652g(7?105?103h2?3h2) 【注记】 本例通过对微小量的分析，得到了微分方程。这种方法称为微小量分析法。 课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容：定积分的计算 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第五章 微分方程 第三节 可分离变量的微分方程 教学要求： 1．理解齐次方程的概念； 2．掌握齐次方程的解法； 重 点： 常数变异法 难 点： 常数变异法 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习 15分钟 2 齐次微分方程45分钟 3 例题及练习 30分钟 课后 作业 参考 资料 如果一阶微分方程 dydx?f(x,y) 中的f(x,y)可写成yx的函数，即f(x,y)????y??x??，称此方程为齐次方程。 例如(xy?y2)dx?(x2?2xy)dy?0是齐次方程，因为 2dy2y???y??dx?xy?yx?2xy?x?x?2?f(x,y) 1?2??y??x??在齐次方程 dydx????y??x?? 中，引入变量替换 u?yx 有y?u?x,dydx?u?x?dudx， 将它们代入齐次方程，得 u?x?du??dudx(u)?x?dx??(u)?u 分离变量，得 du?(u)?u?dxx 两边积分，得 ?dudx?(u)?u??x 求出积分后，再用yx代替u，便得所给齐次方程的隐式通解。 【例1】解方程 y2?x2dydydx?xydx 解：原方程可写成 (x2?xy)?dy??y2 dx2?y???dyy2?x???ydxxy?x2?1x因此是齐次方程，令 y?u，则 xy?u?x?于是原方程变为 dydu?u?xdxdx duu2u?x? dxu?1分离变量， 得 xduu? dxu?1两边积分，得 1dx(1?)du? uxu?lnu?C?lnx?ln(xu)?u?C 以y代替u， 得到原方程的通解 xylny??C x注记: 齐次方程的求解实际上是通过变量替换，将方程化为可分离变量的方程。 变量替换法在解微分方程中，有着特殊的作用。但困难之处是如何选择适宜的变量替换。一般来说，变量替换的选择并无一定之规，往往要根据所考虑的微分方程的特点而构造。对于初学者，不妨多试一试，尝试几个直接了当的变量替换。 【例2】求下列微分方程的通解 dy1、?x2?2xy?y2 dx 2、xy?解1、令u?y?y(lnx?lny) ?x?y,则y?u?x dydu??1 dxdx原方程化为dududu22?1?u??u?1?2?dx dxdxu?1du?u2?1??dx?arctgu?x?c?u?tg(x?c) 即x?y?tg(x?c) 解2、(xy)?令u?y(lnxy) ?xy，原方程可化为 duududxdu?lnu?????dxxulnuxulnu?dxx lnlnu?lnx?c1?lnu?ec1?x?lnxy?c?x (其中c?ec1 ) A，河宽OA?h，两岸为平行直线，水流速度为a。【例3】设河边点O的正对岸为点有鸭子从点A游向点O，设鸭子(在静水中)的游速为b(b?a)，且鸭子游动方向始终朝着点O，求鸭子游过的迹线。 ????解：设水流速度为a(a?a)，鸭子游速为b(b?b)，则鸭子实际运动速度为???v?a?b。 取O为坐标原点，河岸朝顺水方向为x轴，y轴指向对岸，设在时刻t鸭子位于点P(x,y)。 设鸭子运动速度为 ?dxdy?v?{vx,vy}??,?， ?dtdt?

dxvx?故有dyvy ??x,?y????而a?{a,0} ，b?b?PO?b? x2?y2?bxby????从而v??a?,?? 2222??x?yx?y??由此得到微分方程 ax2?y2xdx??? dybyydxa?x?x即?????1? dyb?y?y2xdxdu?u，则x?yu，?y?u，代入上面的方程有 令ydydydua2y??u?1 dybdua分离变量得??dy byu2?1a2积分得ln(u?u?1)??(lny?lnc) ba?2u?u?1?(c?y)b ， 1u?u2?1a?(c?y)b a?u?u2?1?(c?y)b aa?aa?????1?y??bbu?(c?y)?(c?y) ， x?(c?y)b?(c?y)b? ??2?2?????1以条件y?h时x?0代入上式，得C?，故鸭子游过的迹线为 ha???ay?ybyb?x?()?()2?hh??? (0?y?h) 本次课题（或教材章节题目）：第五章 微分方程 第四节 一阶线性微分方程 教学要求： 1.理解一阶线性微分方程的概念； 2．掌握一阶线性微分方程解法； 重 点： 1．常数变异法；2．一阶线性微分方程的解法 难 点： 1．常数变异法；2．一阶线性微分方程的解法 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习 15分钟 2 一阶线性微分方程45分钟 3 例题及练习 30分钟 课后 作业 参考 资料 一、线性方程 方程 dydx?P(x)y?Q(x)? 叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。 如果Q(x)?0，则方程称为齐次的； 如果Q(x)不恒等于零，则方程称为非齐次的。 首先，我们讨论?式所对应的齐次方程 dydx?P(x)y?0? 的通解问题。 分离变量得dyy??P(x)dx 两边积分得lny???P(x)dx?lnc 或y?c?e??P(x)dx 其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程?的通解。 将?的通解中的常数c换成的未知函数u(x)，即作变换 y?u?e??P(x)dx 两边乘以得P(x)?y?uP(x)e??P(x)dx 两边求导得dy?u?e??P(x)dx?uP(x)e??P(x)dxdx 代入方程?得 u?e??P(x)dx?Q(x) ， u??Q(x)e?P(x)dxu?c??Q(x)e?P(x)dxdx 于是得到非齐次线性方程?的通解 y?e??P(x)dx??c??Q(x)e?P(x)dxdx? 将它写成两项之和 y?c?e??P(x)dx?e??P(x)dx??Q(x)e?P(x)dxdx 不难发现： 第一项是对应的齐次线性方程?的通解； 第二项是非齐次线性方程?的一个特解。 由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构。 【例1】求方程 dy3dx?2yx?1?(x?1)2 的通解。 ?e?解：y??232x?1dx?[c??(x?1)2e??x?1dxdx] 3?eln(x?1)2?[c??(x?1)2?e?ln(x?1)2dx] (x?1)2?[c??(x?1)?1?2dx] 1?(x?1)2?[c?2(x?1)2] 由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解

课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容：定积分的计算 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第五章 微分方程 第五节 一阶线性微分方程 教学要求： 1.理解伯努利方程的概念和伯努利方程的解法； 重 点： 伯努利方程的解法 难 点： 伯努利方程的解法 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习 15分钟 2 伯努利方程的概念和解法40分钟 3 例题及练习 35分钟 课后 作业 参考资料 二、贝努利方程 方程 dy?P(x)?y?Q(x)?yndx叫做贝努利方程。 当n(n?0,1) ?0时，它是一阶线性非齐次微分方程 dy?P(x)?y?Q(x) dx当n?1时，它是一阶线性齐次微分方程 dy?[P(x)?Q(x)]?y?0 dx当n?0,1时，它是一阶非线性的微分方程，通过变量代换可化归为一阶线性微分方程。 具体解法如下： dyn?ndy?P(x)?y?Q(x)?y?y??P(x)?y1?n?Q(x) dxdx1d(y1?n)??P(x)?y1?n?Q(x) 1?ndxd(y1?n)?(1?n)P(x)?y1?n?(1?n)Q(x) dx令y1?n?z ，方程化为关于z的一阶线性非齐次微分方程 dz?(1?n)P(x)?z?(1?n)Q(x) dx【例2】求贝努利dyy??a(lnx)y2的通解。 dxxd(y?1)11dy1??(y?1)?a?lnx 解 ：???a?lnx ，?dxxy2dxxyd(y?1)1??(y?1)??alnx dxx y?1?e1??dxx??[c???alnx?elnxdx] x?1?dxxdx] ?elnx?[c?a??lnx?e?lnxdx] ?x?[c?a??a?x?[c?(lnx)2] 2 课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容：定积分的计算 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第七章 微分方程 第六讲 可降阶的高阶微分方程 教学要求： 1.理解定积分的元素法 2.会用元素法求解平面图形面积 重 点： 元素法求解平面图形面积 难 点： 元素法求解平面图形面积 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习定积分的概念 10分钟 2 定积分的微元法 15分钟 3 平面图形面积问题 20分钟 4 例题及练习 45分钟 课后 作业 参考 资料 一、y(n)?f(x)型的微分方程 微分方程 y(n)?f(x) 的右端仅含有自变量x，只要把y(n?1)作为新的未知函数，那么就是新未知函数的一阶微分方程，两边积分，就得到一个n?1阶的微分方程 y(n?1)??f(x)dx?c1 同理y(n?2)????f(x)dx?c1?dx?c2 依此类推，连续积分n次，便得到了方程的含有n个任意常数的通解。 【例1】求y????e2x?cosx的通解。 解：y???12e2x?sinx?c1 y??14e2x?cosx?c1x?c2 y?18e2x?sinx?12c1x2?c2x?c3 其中c1,c2,c3是任意常数。 二、y???f(x,y?)型的微分方程 微分方程 y???f(x,y?) 的右端不显含有未知函数y。 如果作变量替换y??p，则y???p? 方程可化为 p??f(x,p) 这是一个关于变量x,p的一阶微分方程，设其通解为 p??(x,c`1) 其中c1,c2是任意常数。 【例2】求微分方程 (1?x2)y???2xy? 满足初始条件 yx?0?1,y?x?0?3 的特解。

由p?dy，又得以一个一阶微分方程 dxdy??(x,c`1) dx因此，方程的通解为 y???(x,c1)dx?c2 其中c1,c2是任意常数。 (1?x2)y???2xy? 【例2】求微分方程 满足初始条件 yx?0?1,y?x?0?3 的特解。 解：设y??p，将之代入方程，得 (1?x2)?dp?2xp dx分离变量 dp2x?dx 2p1?x两边积分，得 lnp?ln(1?x2)?lnc1 p?y??c1(1?x2) 由条件从而 y?x?0?3，得c1?3 y??3(1?x2) 再积分，得又由条件y?x3?3x?c2 x?0y?1，得c2?1 故所求特解为y?x3?3x?1 注记： 求高阶方程满足初始条件的特解时，对任意常数应尽可能及时定出来，而不要待求出通解. 课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容：定积分的计算 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第七章 微分方程 第七讲 可降阶的高阶微分方程 教学要求： 掌握可降阶的高阶微分方程解法 重 点： 掌握可降阶的高阶微分方程解法 难 点： 掌握可降阶的高阶微分方程解法 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习 10分钟 2 可降阶的高阶微分方程解法 40分钟 3 例题及练习 40分钟 课后作业 参考资料 三、y???f(y,y?)型微分方程 微分方程 y???f(y,y?) 的右端不显含自变量x。 作变量替换y??p，利用复合函数求导法则，可将y??写成如下形式 dpdpdydpy??????p? dxdydxdydp方程可化成p??f(y,p)这是一个关于变量y,p的一阶微分方程，设求出它的dy通解为 p??(y,c1) dy从而有??(y,c1) dxdy分离变量?dx， ?(y,c1)dy再积分??x?c2，便可得到方程的通解。 ?(y,c1)【例3】求y?y???1?y?2的通解。 dp解：设y??p，则y???p? dydpyp?1?p2 dypdpdy分离变量，得? 2p?1ydy两边积分??? 2yp?1有 pdp1ln(p2?1)?lny?lnc1， 2p2?1?(c1y)2 p??1?(c1y)2 dy??1?(c1y)2 dx分离变量，再积分，得 ?dy?1?(c1y)2?x?c2 1ln(c1y?1?(c1y)2)?x?c2 c1其中c1(?0),c2是任意常数。 【例4】一个离地面很高的物体，受地球引力的作用由静止开始落向地面，求它落到地面时的速度和所需时间( 不计空气阻力 )。 解：取连结地球中心与该物体的直线为y轴，其方向铅直向上，取地球中心在原点o。设物体的质量为m，物体下落时与地球中心的距离为l，地球半径为R，在时刻t物体所在位置为y?y(t)。 ?dy，据万有引力定律，有以下微分方程 dt??kmMy2 于是，速度v(t)m?d2ydt2其中：m为地球质量，k为引力常数，因 d2ydvdv?，??g(这里置负号是由于物体运动加速度的方向与y且当y?R时，2dtdtdt轴的正向相反)，故 R2g ?g??2 ， k?MRkM 于是方程可写成d2ydt2??gR2y2 初始条件是y?l ， y?t?0?vt?0?0 dy?v，则 先求物体到达地面的速度，由dtt?od2ydvdvdydv????v? 2dtdydtdydtdvgR2代入原方程，得v???2 dyy分离变量，得vdv??gR2y2dy 22gR2再求积分，得v??C1 y将初始条件vt?0?0,yt?0?l，代入得 2gR22gR20??c1,c1?? ll2211于是v?2gR(?) yl在式中令y?R， 得到物体到达地面时的速度v为 2gR(l?R)? l这里取负号是由于物体运动方向与y轴的正向相反。 下面再求物体落到地面所需时间 dy11?v??R2g(?) dtyl

分离变量，得 1ldt??R2g两端积分，得 ydy l?y1l?y?2t??ly?y?larccos??c2 R2g?l?由条件yt?0?l，得c2?0 于是上式成为 1l?y?2t??ly?y?larccos? R2g?l?在上式中令y?R，便得到物体到达地面所需的时间为 1l?R?2?lR?R?larccos? R2g?l? 课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容：定积分的计算 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第七章 微分方程 第八讲二阶常系数齐次线性微分方程 教学要求： 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法. 重 点： 1．二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程； 2．二阶常系数齐次线性微分方程的解的结构。 难 点： 二阶常系数齐次线性微分方程的解的结构。 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习 10分钟 2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 15分钟 3 例题及练习 45分钟 课后作业 参考资料 一、二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式 方程 y???p?y??q?y?0? 其中p,q是常数，称之为二阶常系数齐次线性方程； 如果p,q不全为常数， 则称它为二阶变系数齐次线性微分方程。 二、二阶常系数齐次线性微分方程的通解 由第八节的讨论可知，要找微分方程?的通解，可先求出它的两个解y1与y2，如果y1?常数，即y1与y2线性无关，那未y?c1y1?c2y2就是方程的通解。 y2对于指数函数y?er?x(r为常数)，若它是方程?的解，则有 q?y?q?er?x p?y??p?r?er?x 1?y???r2?er?x y?er?xy??r?er?xy???r2?er?xy???p?y??q?y?(r2?p?r?q)?er?x?0 由于er?x?0，从而有 r2?p?r?q?0? 由此可见，只要r满足代数方程?，函数y代数方程叫做微分方程?的特征方程。 ?er?x就是微分方程?的解。我们把此二阶常系数齐次线性方程的特征方程记忆y???p?y??q?y?0??? r2?p?r?q?1?0特征方程的两个根r1 ,r2，可用公式 ?p?p2?4qr1,2? 2求出，它们有三种不同的情形： (1)、当p2?4q?0时，r1,r2是两个不相等的实根： ?p?p2?4q?p?p2?4qr1?,r2? 22(2)、当p2?4q?0时，r1,r2是两个相等的实根： r1?r2??p 2(3)、当p2?4q?0时，r1,r2是一对共轭复根： r1???i?,r2???i? 4q?p2p,??其中???22r(1)、特征方程有两个不相等的实根：1由上面的讨论知道，y1 相应地，微分方程?的通解也就有三种不同的情形，现分别讨论如下： ?r2 ?er1?x与y2?er2?x均是微分方程的两个解，并 y2er2?x且?r?x?e(r2?r1)?x不是常数，因此微分方程?的通解为 y1e1y?c1?er1?x?c2?er2?x (2)、特征方程有两个相等的实根：r1?r2 这时，我们只得到微分方程?的一个解y1?er1?x，为了得到方程的通解，我们还需y2?常数。 另求一个解y2，并且要求y1y2?u(x)，即y2?u(x)er1?x，下面来求u(x)。 设 y1 y2??u??er1?x?r1u?er1?x?er1?x(u??r1?u) y2???r1er1?x(u??r1?u)?er1?x(u???r1?u?)?er1?x(u???2r1u??r12u) q?y2?er1?xqu p?y2??er1?x(pu??pr1u) y2???er1?x(u???2r1u??r12u) r?x相加，得e1[(u???2r1u??r12u)?(pu??pr1u)?qu]?0 r?x约去e1，整理得 u???(2r1?p)u??(r12?pr1?q)u?0 p由于r1??是特征方程的二重根，因此 22r1?p?0,r1?pr1?q?0 于是， u??2?0 ?x，由此得到微分方程的另一个解 因只要得到一个不为常数的解，可取uy2?x?er1?x 从而得到微分方程?的通解为 y?c1er1?x?c2xer1?x(3)、特征方程有一对共轭复根：r1???i?,r2???i?(??0) y1?e(??i?)?x?e?x?ei?x?e?x(cos?x?isin?x) y2?e(??i?)?x?e?x?e?i?x?e?x(cos?x?isin?x)是微分方程?的两个解，根据齐次方程解的叠加原理， 有 1y1?(y1?y2)?e?xcos?x 2y2?1(y1?y2)?e?xsin?x 2i

也是微分方程?的解，且 y2e?xsin?x??x?tg?x?常数 y1ecos?x所以，微分方程?的通解为 y?c1e?xcos?x?c2e?xsin?x 综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程 y???p?y??q?y?0? 的通解的步骤如下 第一步写出微分方程?的特征方程 r2?p?r?q?0? 第二步求出特征方程?的两个根r1,r2。 微分方程 y??p?y??q?y?0的通解 第三步据特征方程的两个根的不同情形， 依下表写出微分方程的通解。 特征方程r2?p?r?q?0的两个根r1,r2 两个不相等的实根r1,两个相等的实根r1r2 y?c1?er1?x?c2?er2?x y?er1?x(c1?c2x) y?e?x(c1cos?x?c2sin?x) ?r2 一对共轭复根r1,2???i? 【例1】求微分方程y???2y??3y?0的通解。 解：所给微分方程的特征方程为 r2?2r?3?0 其根为r1??1,r2?3 ?c1e?x?c2e3x 因此所求通解为y【例2】求微分方程y???2y??5y?0的通解。 解：所给方程的特征方程为 r2?2r?5?0 2?4?4?5?1?2i 其根为r?2

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