免费--中国地质大学（武汉）高等代数模拟试题一及答案 - 图文

试卷类别

A卷

B卷 模拟√

班级

姓名

成绩

使用学期

任课教师 韩世勤

教研室主任

审核签字

中国地质大学（武汉）考试出题专用纸 教务处制 考试课程名称：高等代数模拟试题（1）答案 学时： 60

考试方式：开卷，闭卷，笔试，口试，其它 考试内容： 一、填空题（每小题4分，共5小题，总20分，将答案填在横线上，不填解题过程） （1）如果(x?1)2|Ax4?Bx2?1，则A，B各为 1，-2 。 ??5200?00（2）设四阶方阵A??2100?????1?2???200???001?2?，则A的逆阵A?1?5?001/32/3?。 ??0011???????00?1/31/3??（3）设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n?1，则线性方程组AX?0的通解为x?c(1,1,?,1)。 （4）设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是 n，0，0，0，……，0 。 （5）已知向量组α1?(1,2,3,4)，α2?(2,3,4,5)，α3?(3,4,5,6)，α4?(4,5,6,7)则该向量组的秩是 2 。 二、选择题（每小题4分，共5小题，总20分，每小题给出四种选择，其中有且只有一个是正确的，将你认为正确的代号填入括号内） （1）下列运算中正确的是（ D ） （A）(AB)T?ATBT ； (B) (AB)?1?A?1B?1； (C) (A?B)?1?B?1?A?1； (D) (AB)?1?B?1A?1。 （2）设n阶矩阵A的行列式|A|?0，A*是A的伴随矩阵，则（ C ） (A) (A*)*?|A|n?1A； (B) (A*)*?|A|n?1A； (C) (A*)*?|A|n?2A； (D) (A*)*?|A|n?2A。 （3）设n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（ B ） （A）充分必要条件； (B) 充分而非必要条件； (C ) 必要而非充分条件； (D) 即非充分也非必要条件。 （4）设矩阵Am?n的秩为R(A)?m?n，Im为m阶单位方阵，下述结论中正确的是（ C ） (A) A的任意m个列向量必线性无关； (B) A的任意一个m阶子式不等于零； (C) 若矩阵B满足BA?O，则B?O，或非齐次线性方程组AX?b，一定有无穷多组解 (D) A通过初等行变换，必可化为(ImO)的形式。 （5）设A是m?n矩阵，AX?O是非齐次线性方程组AX?b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ） (A) 若AX?O仅有零解，则AX?b有唯一解； (B) 若AX?O有非零解，则AX?b有无穷多个解； (C) 若AX?b有无穷多个解，则AX?O仅有零解； (D) 若AX?b有无穷多个解，则AX?O有非零解； ??2x1?x2?4x3?3x4??4三、(10分)解线性方程组??x1?x3?x4??3?3x 1?x2?x3?1??7x1?7x3?3x4?3??2x1?x2?4x3?3x4??4???x2?2x3?x4?2解：由??x1?x3?x4??3 ??3x?x1?x3?x4??31?x 得 2?x3?1??x?2x?3x 234?10?7x1?7x3?3x4?3??4x4?24??x1?x3?x4??3??x1??c?3进而有 ??x2?2x3?3x4?10解之得??2x?x2?2c?84?12x?c ??3?4x4?24??x4?6?010??1?1?四、(10分)已知X?AX?B，其中A????111?B??20???，??，求矩阵X。 ??10?1????5?3??解：由 X?AX?B 得 (E?A)X?B ?100??010??1?1而 E?A???010??????111????0??10?1?? 可逆 ??001?????10?1????102??

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A卷 B卷 模拟√

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姓名

成绩

使用学期

任课教师 韩世勤

教研室主任 审核签字

可以求得 (E?A)?1?1??021?3??321??? ?0?11???所以 X?(E?A)?1B?1?021??1?1??3?1?3??321????????20?=?20? ?0?11????5?3????1?1?? 五、(10分)设集合V=?x|x?(0,x2,x3,?,xn)?，试证V构成一个线性空间，并说明它的维数是多少。 证明：设x?V,y?V, 即 x?(0,x2,x3,?,xn)，y?(0,y2,y3,?,yn)； 于是 kx?(0,kx2,kx3,?,kxn)?V x?y?(0,x2,x3,?,xn)?(0,y2,y3,?,yn) =(0,x2?y2,x3?y3,?,xn?yn)?V 由此可见，V关于向量的数乘与加法是封闭的，根据定义可以知道，V构成一个线性空间。并且其维数是n-1。 六、(10分) 设n阶方阵A满足条件ATA?E，其中AT是A的转置矩阵，E为单位矩阵。证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1。 证明：因为n阶方阵A满足条件ATA?E，所以矩阵A是正交矩阵，即A?1?AT 由于 |A??E|?|AT??E|?0，所以AT与A有相同的特征值。 又 |A??E|?0， 所以 |A?1?1?E|?0， 即A?1与A的特征值互为倒数。 因此有 ??1??， 即?2?1，或者|?|?1 七、（10分）已知二次型f(x1,x2,x3)?2x12?3x22?3x32?2ax2x3，(a?0)通过正交变换化为标准型f?y12?2y22?5y32，求参数a，并判断该二次型是否为正定二次型。 ?20解：二次型的矩阵A??0??03a??，所以 |A|?2(9?a2)， ??0a3??而 |A|??1?2?3?10， 因此有 |A|?2(9?a2)?10，解之得 a?2。 由于二次型的三个特征值为1，2，5，均为正，因此可断定该二次型是正定二次型。 ??1?26八、（10分）计算矩阵A?????103???的约当（Jordan）标准形。 ??1?14??解：首先计算矩阵A的初等因子， ???12?6??0???1??2?3??2??E?A???1??3???????0??1???1? ?11??4????11??4???11??4?00???0??1???1?????1??0??1???1??? ?0???1??2?3??2????0???1??2?3??2???0000??1??1??0??1???1?????0??10??? ?00??2?2??1????00(??1)2??可知A的初等因子为 ??1，(??1)2，因此A的约当标准型为 ?100J????010??? ?011??

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