2013年包头中考数学课堂自习练习综合性试题(含答案)

1

包头中考数学课堂自习练习综合性试题（含答案）

包头市第四十三中学 刘军 2013.04 1．化简：2

2214

()2442

a a a a a a a a ----÷=++++ 。 2．化简：

a ＋2 a 2―1 · a －1 a 2＋4a ＋4 ÷ 1 a ＋2 ＋ 2

a 2―1

＝ ．

3.如图，已知一次函数1y x =+的图象与反比例函数k

y x

=的图象在第一象限相交于点A ，与

x 轴相交于点C AB x ，⊥轴于点B ，AOB △的面积为1，则AC 的长为 （保留根

号）．

4．（2010辽宁大连）如图6，直线l ：33y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，△AOB 与△ACB

关于直线l 对称，则点C

的坐标为

5.

已知如图正方形ABCD 的C 、

D 的两个顶点在双曲线

的第一象限分支上，顶点A 、B 分别

在x 、y 轴上，则此正方形的边长等于

6.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+2与x 轴y 轴分别相交于点A ，B ，四边形ABCD 是正方形，曲线

在第一象限经过点D ．则正方形ABCD 的面积 ；双曲线的函数解析

式 ．

7.（2009?浙江丽水）将一副三角板按如图1位置摆放,使得两块三角板的直角边AC 和MD 重合.已知AB=AC=8 cm,将△MED 绕点A(M)逆时针旋转60°后(图2),两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是 cm2(结果精确到0.1， )

8.如图，在正方形ABCD 中，点E 在AD 上，且 点P 是对角线BD 上的一个动点，若正方形边长为1，那么PA+PE 的最小值为 .

9.（2012绍兴）如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点B′处，又将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落在EB′与AD 的交点C′处．则BC ：AB 的值为 。

10.（2012四川乐山3分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点，点E 、F 分别在AC 、BC 边上运动（点E 不与点A 、C 重合），且保持AE=CF ，连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，有下列结论：

①△DFE 是等腰直角三角形；②四边形CEDF 不可能为正方形； ③四边形CEDF 的面积随点E 位置的改变而发生变化； ④点C 到线段EF 的最大距离为

．其中正确结论的个数是【 】

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理。 11.（2010年山东省济宁市）如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去13

圆周的一个扇形，将留下的扇形

围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为 A ．6cm B ．35 C ．8cm

D ．5312.(2010年安徽省芜湖市)已知x 1、x 2为方程x 2＋3x ＋1＝0 的两实根，则x 12＋8x 2＋20＝__________．

13. (2010江苏苏州)若一元二次方程x 2

－(a+2)x+2a=0 的两个实数根分别是3、b ，则a+b= ．

13．如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 、y 轴上，连接

AC ，将纸片OABC 沿AC 折叠，使点B 落在点D 的位置．若点B 的坐标为(1，2)，则点D 的横坐标是 ． 14.城市规划期间，欲拆除一电线杆AB （如图所示），已知距电线杆AB 水平距离14米的D 处有一大坝，背水坡CD 的坡度2:1i =，坝高CF 为2米，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为

30 ．D ，E 之间是宽为2米的人行道．试问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否

需要将此人行道封上？请说明理由（在地面上，以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域）．3 1.732≈2 1.414≈）

y O A C B 30 人

行

道

Ｃ

Ａ

Ｂ

Ｅ D

Ｆ

2

剪

15.（2008?荆州）载着“点燃激情，传递梦想”的使用，6月2日奥运圣火在古城荆州传递，途经A、B、C、D四地、如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地

在A地北偏东45°方向，在B地正北方向，在C

地北偏西

60°

方向、C

地在A地

北偏东75°方向、B、D两地相距2km．问奥运圣火从A地传到D地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：

16.（2012辽宁本溪22分）如图，△ABC是学生小金家附近的一块三角形绿化区的示意图，为增强体质，他每天早晨都沿着绿化区周边小路AB、BC、CA跑步（小路的宽度不计）.观测得点B在点A的南偏东30°方向上，点C在点A的南偏东60°的方向上，点B在点C的北偏西75°方向上，AC间距离为400米.问小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了多少米？（参

1.414 1.732

≈）【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。

分析过程：延长至点，作⊥于D。

根据题意得∠BAC= ，∠BCA= ，∴∠=∠=45°。

在Rt△ADC中，∵AC= 米，∠BAC= ，

∴CD=BD= 米。∴BC= 米，AD= 米。

∴AB= －= 米。

∴三角形ABC的周长为≈829（米）。

∴小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了829米。

17.（2008河北），为W台风在某海岛（设为点O）南偏东45°方向B点生成，测得

台风中心从点B以40km/h速度向正北方向移动，经5h后到达海面上点C处．因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h速度向北偏西60°方向继续移动．以O为原点建立如图所示直角坐标系．（1）台风中心生成点B坐标为，台风中心转折点C坐标

为；（结果保留根号）

解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，再利用锐角三角函数的定义进行解答．

（小时）；

18..(10分) （2010湖北恩施自治州）如图，已知，在△ABC中，∠ABC=0

90，BC为⊙O的直径，AC与⊙O交于点D,点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G,交AC于点F.

（1）求证：ED是⊙O的切线.

（2）如果CF =1,CP =2，sin A =

5

4

，求⊙O的直径BC.

19.（本小题满分10分）

如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC 于点D且交⊙O于点F，连接BC，CF，AC．

(1)求证：BC=CF；

(2)若AD=6，DE=8，求BE的长；

(3)求证：AF+2DF=AB．

2

3 （第17题）

20（2012?桂林）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC的中点．

（1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF，求证：△AED≌△CFD；

（2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．

21.(武汉市)某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元(售价每件不能高于45元)，那么每星期少卖

10件．设每件涨价x元(x为非负整数)，每星期的销量为y件．

(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

(2)如何定价才能使每星期的利润最大且每星期销量较大?每星期的最大利润是多少?

22.某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．

（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？

（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？

（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？

23.（本题满分9分）如图，抛物线223

y x x

=-++与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D.

（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF DE

∥交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？

②设BCF

△的面积为S，求S与m的函数关系式.

（1）A（，），B（，），C（，）．…………

抛物线的对称轴是：x= ．………………………..…..3分

（2）①设直线BC的函数关系式为：y= ．

把B（，），C（，）分别代入得：

解得：k=，b= ．

所以直线BC的函数关系式为：．

当x=1时，y=，∴E（，）．

当x m

=时，3

y m

=-+，

∴P（，）．………..4分

在y= 中，当x= 时，y=

∴D( , )

当x m

=时，y= ∴F( , )…………..5分

∴线段DE= ，线段PF=

……..6分

∵PF//DE,

∴当= 时，四边形PEDF为平行四边形．

由解得：m1= ,m2= （不合题意，舍去）．

4

因此，当m = 时，四边形PEDF 为平行四边形．……………….7分 ②设直线PF 与x 轴交于点M ，由()()3000B O ，，，，可得：3OB OM MB =+=． ∵BPF CPF S S S =+△△．………………………………………8分

即 ．

∴S = ………………9分 24.（本小题满分9分）

如图，抛物线经过)0,1(A ，)0,4(B ，)2,0(-C 三点．

（1）求出抛物线的解析式； （2）P 是（1）中抛物线AB ．．段．上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以B ，P ，M 为顶点的三角形与△OBC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线B C 上方的抛物线上有一点D ，使得△DCB 的面积最大，求出点D 的坐标．

参考答案

24．（本题满分9分）如图，抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D .

（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ；

①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？

②设BCF △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式. 24．解：（1）A （-1，0），B （3，0），C （0，3）． ····························································· 2分

抛物线的对称轴是：x =1． ······················································································· 3分

（2）①设直线BC 的函数关系式为：y=kx+b ．

把B （3，0），C （0，3）分别代入得：

303

k b b +=??=?，

解得：k = -1，b =3． 所以直线BC 的函数关系式为：3y x =-+． 当x =1时，y = -1+3=2，∴E （1，2）． 当x m =时，3y m =-+，

∴P （m ，-m +3）． ············································

在2

23y x x =-++中，当1x =时，4y =．

∴()14D ，．

当x m =时，2

23y m m =-++，∴()223F m m m -++，． ································· 5分

∴线段DE =4-2=2，线段()22

2333PF m m m m m =-++--+=-+． ·············· 6分 ∵PF DE ∥，

∴当PF ED =时，四边形PEDF 为平行四边形．

由2

32m m -+=，解得：1221m m ==，（不合题意，舍去）．

因此，当2m =时，四边形PEDF 为平行四边形． ············································ 7分

②设直线PF 与x 轴交于点M ，由()()3000B O ，，，，可得：3OB OM MB =+=． ∵BPF CPF S S S =+△△． ···························································································· 8分

第24题图

5

即1111()2222S PF BM PF OM PF BM OM PF OB =

+=+= ． ∴()()22139

3303222

S m m m m m =?-+=-+≤≤．

······································ 9分 5.某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比

去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．

（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？

（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？

（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a 元，要使（2）中所有方案获利相同，a 值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？

【关键词】分式方程、一次函数与一元一次不等式（组） 【答案】解：(1)设今年三月份甲种电脑每台售价x 元

x

x 80000

1000100000=+

解得: 4000=x

经检验: 4000=x 是原方程的根,

所以甲种电脑今年三月份每台售价4000元.

(2)设购进甲种电脑x 台, 50000)15(3000350048000≤-+≤x x

解得 106

≤≤x 因为x 的正整数解为6,7,8,9,10, 所以共有5种进货方案 (3) 设总获利为W 元,

a

x a x a x W 1512000)300()

15)(30003800()35004000(-+-=---+-=

当300=a 时, (2)中所有方案获利相同.

此时, 购买甲种电脑6台,乙种电脑9台时对公司更有利.

例8、(武汉市)某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市

场调查反映：如果每件的售价每涨1元(售价每件不能高于45元)，那么每星期少卖 10件．设每件涨价x 元(x 为非负整数)，每星期的销量为y 件． (1)求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；

(2)如何定价才能使每星期的利润最大且每星期销量较大?每星期的最大利润是多少?

解：（1）y=150-10x

因为???≤+≥45

x 400x

所以5x 0≤≤且x 为整数。所以所求的函数解析式为)x 5x 0(x 10150y 为整数且≤≤-= （2）设每星期的利润为w 元，则 )30x 40(y w -+=

5

.1562)5.2x (101500x 50x 10)10x )(x 10150(22+--=++-=+-=

因为1a -=，所以当x=2.5时，w 有最大值1562.5。 因为x 为非负整数， 所以x=2时，40+x=42，y=150-10x=130，w=1560(元)；当x=3时，40+x=43，y=150-10x=120，w=1560元． 所以当售价定为42元时，每周的利润最大且销量最大，最大利润是1560元． 2. （2012四川乐山3分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点，点E 、F 分别在AC 、BC 边上运动（点E 不与点A 、C 重合），且保持AE=CF ，连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE 是等腰直角三角形；

②四边形CEDF 不可能为正方形；③四边形CEDF 的面积随点E 位置的改变而发生变化；

④点C 到线段EF 的最大距离为．其中正确结论的个数是【 】

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 【答案】B 。

【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形, 三角形中位线定理，勾股定理。 【分析】①连接CD （如图1）。

∵△ABC 是等腰直角三角形，

∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB 。∵AE=CF ，∴△ADE ≌△CDF （SAS ）。 ∴ED=DF ，∠CDF=∠EDA 。∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°。 ∴△DFE 是等腰直角三角形。故此结论正确。

②当E 、F 分别为AC 、BC 中点时，∵由三角形中位线定理，DE 平行且等于

1

2

BC 。

∴四边形CEDF是平行四边形。又∵E、F分别为AC、BC中点，AC=BC，∴四边形CEDF是菱形。又∵∠C=90°，∴四边形CEDF是正方形。

故此结论错误。

③如图2，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，

由②，知四边形CMDN是正方形，∴DM=DN。

由①，知△DFE是等腰直角三角形，∴DE=DF。

∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）。

∴由割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积。

∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化。

故此结论错误。

④由①，△DEF是等腰直角三角形，∴

。

当DF与BC垂直，即DF最小时，EF取最小值

。此时点C到线段EF的最

故正确的有2个：①④。故选B。

2. （2012辽宁本溪22分）如图，△ABC是学生小金家附近的一块三角形绿化区的示意图，为增强体质，他每天早晨都沿着绿化区周边小路AB、BC、CA跑步（小路的宽度不计）.观测得点B在点A的南偏东30°方向上，点C在点A的南偏东60°的方向上，点B在点C的北偏西75°方向上，AC间距离为400米.问小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了多少米？（参

1.414 1.732

≈）

【答案】解：延长AB至D点，作CD⊥AD于D。

根据题意得∠BAC=30°，∠BCA=15°，∴∠DBC=∠DCB=45°。

在Rt△ADC中，∵AC=400米，∠BAC=30°，

∴CD=BD=200米。∴

米，

AD=200AB=AD

－BD=（

200）米。∴三角形ABC的周长为

400＋

200≈829（米）。

∴小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了829米。

【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。

【分析】延长AB至D点，作CD⊥AD于D，根据题意得∠BAC=30°，∠BCA=15°，

利用三角形的外角的性质得到∠DBC=∠DCB=45°，然后在Rt△ADC中，求得

CD=BD=200米后即可求得三角形ABC的周长。

24．（本小题满分9分）

如图，抛物线经过)0,1(A，)0,4(B，)2

,0(-

C三点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是（1）中抛物线AB

．．段．上一动点，过P作PM x

⊥轴，垂足为M，是否存在P点，

使得以B，P，M为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若

不存在，请说明理由；

（3）在直线B C上方的抛物线上有一点D，使得△DCB的面积最大，求出点D的坐标．

24．解：（1） 该抛物线过点(02)

C-

，，∴可设该抛物线的解析式为22

y ax bx

=+-．

将(40)

A，，(10)

B，代入，得

16420

20

a b

a b.

+-=

?

?

+-=

?

，

································································1分

解得

1

2

5

2

a

b.

?

=-

??

?

?=

??

，

∴此抛物线的解析式为2

15

2

22

y x x

=-+-． ···········································3分

（2）存在．····························································································································4分

如图，设P点的横坐标为m，

则P点的纵坐标为2

15

2

22

m m

-+-，

当14

m

<<时，4

AM m

=-，2

15

2

22

PM m m

=-+-．

又90

COA PMA

∠=∠=

°，

∴①当

2

1

AM AO

PM OC

==时，APM ACO

△∽△，

6

7 即21542222m m m ??-=-+- ???

． 解得1224m m ==，（舍去）

，(21)P ∴，． ········································································· 5分 ②当12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即2152(4)222

m m m -=-+-． 解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）

∴当14m <<时，(21)P ，

．································································································ 6分 （3）如图，设D 点的横坐标为(04)t t <<，则D 点的纵坐标为215222t t -

+-． 过D 作y 轴的平行线交AC 于E ．

由题意可求得直线AC 的解析式为122

y x =-． ······························································· 7分 E ∴点的坐标为122t t ??- ???，．2215112222222DE t t t t t ??∴=-+---=-+ ???． 22211244(2)422DAC S t t t t t ??∴=?-+?=-+=--+ ???△． ············································· 8分 ∴当2t =时，DAC △面积最大． (21)D ∴，． ···························································································································· 9分 12.（2008河北），为W 台风在某海岛（设为点O ）南偏东45°方向

B 点生成，测得台风中心从点B 以40km/h 速度向正北方向移动，经5h 后到达海面上点

C 处．因受气旋影响，

台风中心从点C 开始以30km/h 速度向北偏西60°方向继续移动．以O 为原点建立如图所示直角坐标系．（1）台风中心生成点B 坐标为 ，台风中心转折点C 坐标为 ；（结果保留根号）

（2）已知距台风中心20km 范围内均会受到台风侵袭．如果某城市（设为点A ）位于点O 正北方向且处于台风中心移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？

26．（2012广西桂林12分）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝6，D 为BC 的中点．

(1)若E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝

CF ，求证：△AED

≌△CFD ；

(2)当点F 、E 分别从C 、A 两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA 、AB 运动，到点A 、B

时停止；设△DEF 的面积为y ，F 点运动的时间为x ，求y 与x 的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，点F 、E 分别沿CA 、AB 的延长线继续运动，求此时y 与x 的函数关系式．

9、城市规划期间，欲拆除一电线杆AB（如图所示），已知距电线杆AB水平距离14米的D处有一大坝，背水坡CD的坡度2:1

i=，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30 ．D，E之间是宽为2米的人行道．试问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由（在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为

危险区域）．

1.732

≈

1.414

≈）

28．本题满分8分

解：由

2

tan

1

CF

CDF

DF

∠==，2

CF=米

1

DF

∴=米，2

BG=米······························································································ 1分

14

BD=

米，15

BF GC

∴==米············································································· 2分

在Rt AGC

△中，由tan30

AG

GC

=

155 1.7328.660

AG

∴==≈?=米···························································· 4分

8

AB

∴=，660210.66

+=米····················································································· 5分

12

BE BD ED

=-=米 ································································································· 6分

BE AB

>

∴不需要封人行道． ······································································································ 8分

24.（本小题满分10分）

如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC

于点D且交⊙O于点F，连接BC，CF，AC．

(1)求证：BC=CF；

(2)若AD=6，DE=8，求BE的长；

(3)求证：AF+2DF=AB．

【答案】（1）连结OC，DE是切线，所以OC⊥DE，由于AD⊥EC，所以OC//AD,所以

∠OCA=∠CAD。在△OCA中，OC=OA，所以∠OCA=∠OAC。所以∠OAC=∠CAD。所以

BC=CF。

（2）因为OC//AD,所以△OEC∽△AED，所以

OE OC

AE AD

=,所以

10-r r

106

=，所以r=

15

4

.所

以BE=AE－2r=

5

2

。

（3）延长BC交直线AD于点G，因为∠OAC=∠CAD，且∠ACB=∠ACG=90°AC=AC

，

Ｂ

8

所以△ABC≌△ACG，所以AB=AG。因为∠BCE=∠CAE，∠DCF=∠CAD，所以

∠BCE=∠DCF，又因为∠DCG=∠BCE，所以∠DCG=∠DCF。因为∠CDF=∠CDG=90°，所

以△CDF≌△CDG。所以ＤＦ＝ＤＧ，所以AG=AF+FG=AF+2DF,所以AB=AF+2DF。

9

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xece.html