2013年包头中考数学课堂自习练习综合性试题(含答案)
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1
包头中考数学课堂自习练习综合性试题(含答案)
包头市第四十三中学 刘军 2013.04 1.化简:2
2214
()2442
a a a a a a a a ----÷=++++ 。 2.化简:
a +2 a 2―1 · a -1 a 2+4a +4 ÷ 1 a +2 + 2
a 2―1
= .
3.如图,已知一次函数1y x =+的图象与反比例函数k
y x
=的图象在第一象限相交于点A ,与
x 轴相交于点C AB x ,⊥轴于点B ,AOB △的面积为1,则AC 的长为 (保留根
号).
4.(2010辽宁大连)如图6,直线l :33y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ,△AOB 与△ACB
关于直线l 对称,则点C
的坐标为
5.
已知如图正方形ABCD 的C 、
D 的两个顶点在双曲线
的第一象限分支上,顶点A 、B 分别
在x 、y 轴上,则此正方形的边长等于
6.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-2x+2与x 轴y 轴分别相交于点A ,B ,四边形ABCD 是正方形,曲线
在第一象限经过点D .则正方形ABCD 的面积 ;双曲线的函数解析
式 .
7.(2009?浙江丽水)将一副三角板按如图1位置摆放,使得两块三角板的直角边AC 和MD 重合.已知AB=AC=8 cm,将△MED 绕点A(M)逆时针旋转60°后(图2),两个三角形重叠(阴影)部分的面积约是 cm2(结果精确到0.1, )
8.如图,在正方形ABCD 中,点E 在AD 上,且 点P 是对角线BD 上的一个动点,若正方形边长为1,那么PA+PE 的最小值为 .
9.(2012绍兴)如图,在矩形ABCD 中,点E ,F 分别在BC ,CD 上,将△ABE 沿AE 折叠,使点B 落在AC 上的点B′处,又将△CEF 沿EF 折叠,使点C 落在EB′与AD 的交点C′处.则BC :AB 的值为 。
10.(2012四川乐山3分)如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC=4,D 是AB 的中点,点E 、F 分别在AC 、BC 边上运动(点E 不与点A 、C 重合),且保持AE=CF ,连接DE 、DF 、EF .在此运动变化的过程中,有下列结论:
①△DFE 是等腰直角三角形;②四边形CEDF 不可能为正方形; ③四边形CEDF 的面积随点E 位置的改变而发生变化; ④点C 到线段EF 的最大距离为
.其中正确结论的个数是【 】
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
【考点】全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形,三角形中位线定理,勾股定理。 11.(2010年山东省济宁市)如图,如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去13
圆周的一个扇形,将留下的扇形
围成一个圆锥(接缝处不重叠),那么这个圆锥的高为 A .6cm B .35 C .8cm
D .5312.(2010年安徽省芜湖市)已知x 1、x 2为方程x 2+3x +1=0 的两实根,则x 12+8x 2+20=__________.
13. (2010江苏苏州)若一元二次方程x 2
-(a+2)x+2a=0 的两个实数根分别是3、b ,则a+b= .
13.如图,把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中,使OA 、OC 分别落在x 、y 轴上,连接
AC ,将纸片OABC 沿AC 折叠,使点B 落在点D 的位置.若点B 的坐标为(1,2),则点D 的横坐标是 . 14.城市规划期间,欲拆除一电线杆AB (如图所示),已知距电线杆AB 水平距离14米的D 处有一大坝,背水坡CD 的坡度2:1i =,坝高CF 为2米,在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为
30 .D ,E 之间是宽为2米的人行道.试问:在拆除电线杆AB 时,为确保行人安全,是否
需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上,以点B 为圆心,以AB 长为半径的圆形区域为危险区域).3 1.732≈2 1.414≈)
y O A C B 30 人
行
道
C
A
B
E D
F
2
剪
15.(2008?荆州)载着“点燃激情,传递梦想”的使用,6月2日奥运圣火在古城荆州传递,途经A、B、C、D四地、如图,其中A、B、C三地在同一直线上,D地
在A地北偏东45°方向,在B地正北方向,在C
地北偏西
60°
方向、C
地在A地
北偏东75°方向、B、D两地相距2km.问奥运圣火从A地传到D地的路程大约是多少?(最后结果保留整数,参考数据:
16.(2012辽宁本溪22分)如图,△ABC是学生小金家附近的一块三角形绿化区的示意图,为增强体质,他每天早晨都沿着绿化区周边小路AB、BC、CA跑步(小路的宽度不计).观测得点B在点A的南偏东30°方向上,点C在点A的南偏东60°的方向上,点B在点C的北偏西75°方向上,AC间距离为400米.问小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了多少米?(参
1.414 1.732
≈)【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)。
分析过程:延长至点,作⊥于D。
根据题意得∠BAC= ,∠BCA= ,∴∠=∠=45°。
在Rt△ADC中,∵AC= 米,∠BAC= ,
∴CD=BD= 米。∴BC= 米,AD= 米。
∴AB= -= 米。
∴三角形ABC的周长为≈829(米)。
∴小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了829米。
17.(2008河北),为W台风在某海岛(设为点O)南偏东45°方向B点生成,测得
台风中心从点B以40km/h速度向正北方向移动,经5h后到达海面上点C处.因受气旋影响,台风中心从点C开始以30km/h速度向北偏西60°方向继续移动.以O为原点建立如图所示直角坐标系.(1)台风中心生成点B坐标为,台风中心转折点C坐标
为;(结果保留根号)
解答此题的关键是作出辅助线,构造出直角三角形,再利用锐角三角函数的定义进行解答.
(小时);
18..(10分) (2010湖北恩施自治州)如图,已知,在△ABC中,∠ABC=0
90,BC为⊙O的直径,AC与⊙O交于点D,点E为AB的中点,PF⊥BC交BC于点G,交AC于点F.
(1)求证:ED是⊙O的切线.
(2)如果CF =1,CP =2,sin A =
5
4
,求⊙O的直径BC.
19.(本小题满分10分)
如图,已知AB为⊙O的直径,过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于点E,AD⊥EC 于点D且交⊙O于点F,连接BC,CF,AC.
(1)求证:BC=CF;
(2)若AD=6,DE=8,求BE的长;
(3)求证:AF+2DF=AB.
2
3 (第17题)
20(2012?桂林)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,D为BC的中点.
(1)若E、F分别是AB、AC上的点,且AE=CF,求证:△AED≌△CFD;
(2)当点F、E分别从C、A两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动,到点A、B时停止;设△DEF的面积为y,F点运动的时间为x,求y与x的函数关系式;(3)在(2)的条件下,点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动,求此时y与x的函数关系式.
21.(武汉市)某商品的进价为每件30元,现在的售价为每件40元,每星期可卖出150件.市场调查反映:如果每件的售价每涨1元(售价每件不能高于45元),那么每星期少卖
10件.设每件涨价x元(x为非负整数),每星期的销量为y件.
(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)如何定价才能使每星期的利润最大且每星期销量较大?每星期的最大利润是多少?
22.某电脑公司经销甲种型号电脑,受经济危机影响,电脑价格不断下降.今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元,如果卖出相同数量的电脑,去年销售额为10万元,今年销售额只有8万元.
(1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元?
(2)为了增加收入,电脑公司决定再经销乙种型号电脑.已知甲种电脑每台进价为3500元,乙种电脑每台进价为3000元,公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台,有几种进货方案?
(3)如果乙种电脑每台售价为3800元,为打开乙种电脑的销路,公司决定每售出一台乙种电脑,返还顾客现金a元,要使(2)中所有方案获利相同,a值应是多少?此时,哪种方案对公司更有利?
23.(本题满分9分)如图,抛物线223
y x x
=-++与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D.
(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴;
(2)连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点,过点P作PF DE
∥交抛物线于点F,设点P的横坐标为m;
①用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形?
②设BCF
△的面积为S,求S与m的函数关系式.
(1)A(,),B(,),C(,).…………
抛物线的对称轴是:x= .………………………..…..3分
(2)①设直线BC的函数关系式为:y= .
把B(,),C(,)分别代入得:
解得:k=,b= .
所以直线BC的函数关系式为:.
当x=1时,y=,∴E(,).
当x m
=时,3
y m
=-+,
∴P(,).………..4分
在y= 中,当x= 时,y=
∴D( , )
当x m
=时,y= ∴F( , )…………..5分
∴线段DE= ,线段PF=
……..6分
∵PF//DE,
∴当= 时,四边形PEDF为平行四边形.
由解得:m1= ,m2= (不合题意,舍去).
4
因此,当m = 时,四边形PEDF 为平行四边形.……………….7分 ②设直线PF 与x 轴交于点M ,由()()3000B O ,,,,可得:3OB OM MB =+=. ∵BPF CPF S S S =+△△.………………………………………8分
即 .
∴S = ………………9分 24.(本小题满分9分)
如图,抛物线经过)0,1(A ,)0,4(B ,)2,0(-C 三点.
(1)求出抛物线的解析式; (2)P 是(1)中抛物线AB ..段.上一动点,过P 作PM x ⊥轴,垂足为M ,是否存在P 点,使得以B ,P ,M 为顶点的三角形与△OBC 相似?若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在直线B C 上方的抛物线上有一点D ,使得△DCB 的面积最大,求出点D 的坐标.
参考答案
24.(本题满分9分)如图,抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴相交于点C ,顶点为D .
(1)直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴;
(2)连接BC ,与抛物线的对称轴交于点E ,点P 为线段BC 上的一个动点,过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ,设点P 的横坐标为m ;
①用含m 的代数式表示线段PF 的长,并求出当m 为何值时,四边形PEDF 为平行四边形?
②设BCF △的面积为S ,求S 与m 的函数关系式. 24.解:(1)A (-1,0),B (3,0),C (0,3). ····························································· 2分
抛物线的对称轴是:x =1. ······················································································· 3分
(2)①设直线BC 的函数关系式为:y=kx+b .
把B (3,0),C (0,3)分别代入得:
303
k b b +=??=?,
解得:k = -1,b =3. 所以直线BC 的函数关系式为:3y x =-+. 当x =1时,y = -1+3=2,∴E (1,2). 当x m =时,3y m =-+,
∴P (m ,-m +3). ············································
在2
23y x x =-++中,当1x =时,4y =.
∴()14D ,.
当x m =时,2
23y m m =-++,∴()223F m m m -++,. ································· 5分
∴线段DE =4-2=2,线段()22
2333PF m m m m m =-++--+=-+. ·············· 6分 ∵PF DE ∥,
∴当PF ED =时,四边形PEDF 为平行四边形.
由2
32m m -+=,解得:1221m m ==,(不合题意,舍去).
因此,当2m =时,四边形PEDF 为平行四边形. ············································ 7分
②设直线PF 与x 轴交于点M ,由()()3000B O ,,,,可得:3OB OM MB =+=. ∵BPF CPF S S S =+△△. ···························································································· 8分
第24题图
5
即1111()2222S PF BM PF OM PF BM OM PF OB =
+=+= . ∴()()22139
3303222
S m m m m m =?-+=-+≤≤.
······································ 9分 5.某电脑公司经销甲种型号电脑,受经济危机影响,电脑价格不断下降.今年三月份的电脑售价比
去年同期每台降价1000元,如果卖出相同数量的电脑,去年销售额为10万元,今年销售额只有8万元.
(1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元?
(2)为了增加收入,电脑公司决定再经销乙种型号电脑.已知甲种电脑每台进价为3500元,乙种电脑每台进价为3000元,公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台,有几种进货方案?
(3)如果乙种电脑每台售价为3800元,为打开乙种电脑的销路,公司决定每售出一台乙种电脑,返还顾客现金a 元,要使(2)中所有方案获利相同,a 值应是多少?此时,哪种方案对公司更有利?
【关键词】分式方程、一次函数与一元一次不等式(组) 【答案】解:(1)设今年三月份甲种电脑每台售价x 元
x
x 80000
1000100000=+
解得: 4000=x
经检验: 4000=x 是原方程的根,
所以甲种电脑今年三月份每台售价4000元.
(2)设购进甲种电脑x 台, 50000)15(3000350048000≤-+≤x x
解得 106
≤≤x 因为x 的正整数解为6,7,8,9,10, 所以共有5种进货方案 (3) 设总获利为W 元,
a
x a x a x W 1512000)300()
15)(30003800()35004000(-+-=---+-=
当300=a 时, (2)中所有方案获利相同.
此时, 购买甲种电脑6台,乙种电脑9台时对公司更有利.
例8、(武汉市)某商品的进价为每件30元,现在的售价为每件40元,每星期可卖出150件.市
场调查反映:如果每件的售价每涨1元(售价每件不能高于45元),那么每星期少卖 10件.设每件涨价x 元(x 为非负整数),每星期的销量为y 件. (1)求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围;
(2)如何定价才能使每星期的利润最大且每星期销量较大?每星期的最大利润是多少?
解:(1)y=150-10x
因为???≤+≥45
x 400x
所以5x 0≤≤且x 为整数。所以所求的函数解析式为)x 5x 0(x 10150y 为整数且≤≤-= (2)设每星期的利润为w 元,则 )30x 40(y w -+=
5
.1562)5.2x (101500x 50x 10)10x )(x 10150(22+--=++-=+-=
因为1a -=,所以当x=2.5时,w 有最大值1562.5。 因为x 为非负整数, 所以x=2时,40+x=42,y=150-10x=130,w=1560(元);当x=3时,40+x=43,y=150-10x=120,w=1560元. 所以当售价定为42元时,每周的利润最大且销量最大,最大利润是1560元. 2. (2012四川乐山3分)如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC=4,D 是AB 的中点,点E 、F 分别在AC 、BC 边上运动(点E 不与点A 、C 重合),且保持AE=CF ,连接DE 、DF 、EF .在此运动变化的过程中,有下列结论:①△DFE 是等腰直角三角形;
②四边形CEDF 不可能为正方形;③四边形CEDF 的面积随点E 位置的改变而发生变化;
④点C 到线段EF 的最大距离为.其中正确结论的个数是【 】
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个 【答案】B 。
【考点】全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形, 三角形中位线定理,勾股定理。 【分析】①连接CD (如图1)。
∵△ABC 是等腰直角三角形,
∴∠DCB=∠A=45°,CD=AD=DB 。∵AE=CF ,∴△ADE ≌△CDF (SAS )。 ∴ED=DF ,∠CDF=∠EDA 。∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°。 ∴△DFE 是等腰直角三角形。故此结论正确。
②当E 、F 分别为AC 、BC 中点时,∵由三角形中位线定理,DE 平行且等于
1
2
BC 。
∴四边形CEDF是平行四边形。又∵E、F分别为AC、BC中点,AC=BC,∴四边形CEDF是菱形。又∵∠C=90°,∴四边形CEDF是正方形。
故此结论错误。
③如图2,分别过点D,作DM⊥AC,DN⊥BC,于点M,N,
由②,知四边形CMDN是正方形,∴DM=DN。
由①,知△DFE是等腰直角三角形,∴DE=DF。
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)。
∴由割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积。
∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化。
故此结论错误。
④由①,△DEF是等腰直角三角形,∴
。
当DF与BC垂直,即DF最小时,EF取最小值
。此时点C到线段EF的最
故正确的有2个:①④。故选B。
2. (2012辽宁本溪22分)如图,△ABC是学生小金家附近的一块三角形绿化区的示意图,为增强体质,他每天早晨都沿着绿化区周边小路AB、BC、CA跑步(小路的宽度不计).观测得点B在点A的南偏东30°方向上,点C在点A的南偏东60°的方向上,点B在点C的北偏西75°方向上,AC间距离为400米.问小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了多少米?(参
1.414 1.732
≈)
【答案】解:延长AB至D点,作CD⊥AD于D。
根据题意得∠BAC=30°,∠BCA=15°,∴∠DBC=∠DCB=45°。
在Rt△ADC中,∵AC=400米,∠BAC=30°,
∴CD=BD=200米。∴
米,
AD=200AB=AD
-BD=(
200)米。∴三角形ABC的周长为
400+
200≈829(米)。
∴小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了829米。
【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)。
【分析】延长AB至D点,作CD⊥AD于D,根据题意得∠BAC=30°,∠BCA=15°,
利用三角形的外角的性质得到∠DBC=∠DCB=45°,然后在Rt△ADC中,求得
CD=BD=200米后即可求得三角形ABC的周长。
24.(本小题满分9分)
如图,抛物线经过)0,1(A,)0,4(B,)2
,0(-
C三点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)P是(1)中抛物线AB
..段.上一动点,过P作PM x
⊥轴,垂足为M,是否存在P点,
使得以B,P,M为顶点的三角形与△OBC相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若
不存在,请说明理由;
(3)在直线B C上方的抛物线上有一点D,使得△DCB的面积最大,求出点D的坐标.
24.解:(1) 该抛物线过点(02)
C-
,,∴可设该抛物线的解析式为22
y ax bx
=+-.
将(40)
A,,(10)
B,代入,得
16420
20
a b
a b.
+-=
?
?
+-=
?
,
································································1分
解得
1
2
5
2
a
b.
?
=-
??
?
?=
??
,
∴此抛物线的解析式为2
15
2
22
y x x
=-+-. ···········································3分
(2)存在.····························································································································4分
如图,设P点的横坐标为m,
则P点的纵坐标为2
15
2
22
m m
-+-,
当14
m
<<时,4
AM m
=-,2
15
2
22
PM m m
=-+-.
又90
COA PMA
∠=∠=
°,
∴①当
2
1
AM AO
PM OC
==时,APM ACO
△∽△,
6
7 即21542222m m m ??-=-+- ???
. 解得1224m m ==,(舍去)
,(21)P ∴,. ········································································· 5分 ②当12AM OC PM OA ==时,APM CAO △∽△,即2152(4)222
m m m -=-+-. 解得14m =,25m =(均不合题意,舍去)
∴当14m <<时,(21)P ,
.································································································ 6分 (3)如图,设D 点的横坐标为(04)t t <<,则D 点的纵坐标为215222t t -
+-. 过D 作y 轴的平行线交AC 于E .
由题意可求得直线AC 的解析式为122
y x =-. ······························································· 7分 E ∴点的坐标为122t t ??- ???,.2215112222222DE t t t t t ??∴=-+---=-+ ???. 22211244(2)422DAC S t t t t t ??∴=?-+?=-+=--+ ???△. ············································· 8分 ∴当2t =时,DAC △面积最大. (21)D ∴,. ···························································································································· 9分 12.(2008河北),为W 台风在某海岛(设为点O )南偏东45°方向
B 点生成,测得台风中心从点B 以40km/h 速度向正北方向移动,经5h 后到达海面上点
C 处.因受气旋影响,
台风中心从点C 开始以30km/h 速度向北偏西60°方向继续移动.以O 为原点建立如图所示直角坐标系.(1)台风中心生成点B 坐标为 ,台风中心转折点C 坐标为 ;(结果保留根号)
(2)已知距台风中心20km 范围内均会受到台风侵袭.如果某城市(设为点A )位于点O 正北方向且处于台风中心移动路线上,那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间?
26.(2012广西桂林12分)如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC =6,D 为BC 的中点.
(1)若E 、F 分别是AB 、AC 上的点,且AE =
CF ,求证:△AED
≌△CFD ;
(2)当点F 、E 分别从C 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度沿CA 、AB 运动,到点A 、B
时停止;设△DEF 的面积为y ,F 点运动的时间为x ,求y 与x 的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,点F 、E 分别沿CA 、AB 的延长线继续运动,求此时y 与x 的函数关系式.
9、城市规划期间,欲拆除一电线杆AB(如图所示),已知距电线杆AB水平距离14米的D处有一大坝,背水坡CD的坡度2:1
i=,坝高CF为2米,在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30 .D,E之间是宽为2米的人行道.试问:在拆除电线杆AB时,为确保行人安全,是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上,以点B为圆心,以AB长为半径的圆形区域为
危险区域).
1.732
≈
1.414
≈)
28.本题满分8分
解:由
2
tan
1
CF
CDF
DF
∠==,2
CF=米
1
DF
∴=米,2
BG=米······························································································ 1分
14
BD=
米,15
BF GC
∴==米············································································· 2分
在Rt AGC
△中,由tan30
AG
GC
=
155 1.7328.660
AG
∴==≈?=米···························································· 4分
8
AB
∴=,660210.66
+=米····················································································· 5分
12
BE BD ED
=-=米 ································································································· 6分
BE AB
>
∴不需要封人行道. ······································································································ 8分
24.(本小题满分10分)
如图,已知AB为⊙O的直径,过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于点E,AD⊥EC
于点D且交⊙O于点F,连接BC,CF,AC.
(1)求证:BC=CF;
(2)若AD=6,DE=8,求BE的长;
(3)求证:AF+2DF=AB.
【答案】(1)连结OC,DE是切线,所以OC⊥DE,由于AD⊥EC,所以OC//AD,所以
∠OCA=∠CAD。在△OCA中,OC=OA,所以∠OCA=∠OAC。所以∠OAC=∠CAD。所以
BC=CF。
(2)因为OC//AD,所以△OEC∽△AED,所以
OE OC
AE AD
=,所以
10-r r
106
=,所以r=
15
4
.所
以BE=AE-2r=
5
2
。
(3)延长BC交直线AD于点G,因为∠OAC=∠CAD,且∠ACB=∠ACG=90°AC=AC
,
B
8
所以△ABC≌△ACG,所以AB=AG。因为∠BCE=∠CAE,∠DCF=∠CAD,所以
∠BCE=∠DCF,又因为∠DCG=∠BCE,所以∠DCG=∠DCF。因为∠CDF=∠CDG=90°,所
以△CDF≌△CDG。所以DF=DG,所以AG=AF+FG=AF+2DF,所以AB=AF+2DF。
9
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