北京市丰台区中考数学一模试卷（含解析）

中考数学一模试卷

一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．随着“一带一路”的建设推进，北京丰台口岸进口货值业务量加速增长，2016年北京丰台口岸进口货值飙升至189 000 000美元，比上一年翻了三倍，创下历史新高．将189 000 000用科学记数法表示应为（ ）

A．189×106 B．1.89×106 C．18.9×107 D．1.89×108

2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）

A．|a|＞b B．|b|＜a C．﹣a＜a D．﹣b＜a

3．北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（ ）

A．

北京林业大学 B．

北京体育大学 C．

北京大学 D．

中国人民大学

4．如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（ ）

A．45 B．60 C．72 D．144

1

5．在与国际友好学校交流活动中，小敏打算制做一个正方体礼盒送给外国朋友，每个面上分别书写一种中华传统美德，一共有“仁义礼智信孝”六个字．如图是她设计的礼盒平面展开图，那么“礼”字对面的字是（ ）

A．义 B．仁 C．智 D．信 6．如果m+2m﹣2=0，那么代数式（m+A．﹣2 B．﹣1 C．2

D．3

2

）?的值是（ ）

7．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（ ）

A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm

8．如图，这是小新在询问了父母后绘制的去年全家的开支情况扇形统计图，如果他家去年总开支为6万元，那么用于教育的支出为（ ）

A．3万元 B．万元 C．2.4万元 D．2万元

9．如图在正方形网格中，若A（1，1），B（2，0），则C点的坐标为（ ）

2

A．（﹣3，﹣2） B．（3，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）

10．近年来由于空气质量的变化，以及人们对自身健康的关注程度不断提高，空气净化器成为很多家庭的新电器．某品牌的空气净化器厂家为进一步了解市场，制定生产计划，根据2016年下半年销售情况绘制了如下统计图，其中同比增长率=（100%，下面有四个推断：

﹣1）×

①2016年下半年各月销售量均比2015年同月销售量增多 ②第四季度销售量占下半年销售量的七成以上 ③下半年月均销售量约为16万台 ④下半年月销售量的中位数不超过10万台 其中合理的是（ ）

A．①② B．①④ C．②③ D．③④

二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．如果二次根式

有意义，那么x的取值范围是 ．

12．图中的四边形均为矩形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式： ．

3

13．一天上午林老师来到某中学参加该校的校园开放日活动，他打算随机听一节九年级的课程，下表是他拿到的当天上午九年级的课表，如果每一个班级的每一节课被听的可能性是一样的，那么听数学课的可能性是 ． 班级 节次 第1节 第2节 第3节 第4节 语文 数学 物理 外语 数学 政治 化学 语文 外语 物理 体育 政治 化学 语文 数学 体育 1班 2班 3班 4班 14．如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为 ．（只考虑小于90°的角度）

15．众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民生疾苦，或抒发己身豪情逸致，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字．问两种诗各多少首？设七言绝句有x首，根据题意，可列方程为 ．

16．在数学课上，老师提出如下问题：已知：线段a，b（如图1）． 求作：等腰△ABC，使AB=AC，BC=a，BC边上的高为b． 小姗的作法如下：如图2， （1）作线段BC=a；

（2）作线段BC的垂直平分线MN交线段BC于点D；

（3）在MN上截取线段DA=b，连接AB，AC．所以，△ABC就是所求作的等腰三角形． 老师说：“小姗的作法正确”．

请回答：得到△ABC是等腰三角形的依据是： ．

4

三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．（5分）计算：

﹣（4﹣π）0+cos60°﹣|

．

﹣3|．

18．（5分）解不等式组：

19．（5分）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且AB=FC，E为AD上一点，EC交AF于点G，EA=EG． 求证：ED=EC．

20．（5分）已知关于x的一元二次方程3x﹣kx+k﹣4=0． （1）判断方程根的情况；

（2）若此方程有一个整数根，请选择一个合适的k值，并求出此时方程的根．

21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣3x+m与双曲线y=相交于点A（m，2）．

（1）求双曲线y=的表达式；

（2）过动点P（n，0）且垂直于x轴的直线与直线y=﹣3x+m及双曲线y=的交点分别为B和C，当点B位于点C下方时，求出n的取值范围．

5

2

22．（5分）课题学习：设计概率模拟实验．

在学习概率时，老师说：“掷一枚质地均匀的硬币，大量重复实验后，正面朝上的概率约是．”小海、小东、小英分别设计了下列三个模拟实验：

小海找来一个啤酒瓶盖（如图1）进行大量重复抛掷，然后计算瓶盖口朝上的次数与总次数的比值；

小东用硬纸片做了一个圆形转盘，转盘上分成8个大小一样的扇形区域，并依次标上1至8个数字（如图2），转动转盘10次，然后计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值； 小英在一个不透明的盒子里放了四枚除颜色外都相同的围棋子（如图3），其中有三枚是白子，一枚是黑子，从中随机同时摸出两枚棋子，并大量重复上述实验，然后计算摸出的两枚棋子颜色不同的次数与总次数的比值．

根据以上材料回答问题：

小海、小东、小英三人中，哪一位同学的实验设计比较合理，并简要说出其他两位同学实验的不足之处．

23．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，DE⊥AC于点E，且AE=CE，DE=5，EB=12． （1）求AD的长；

（2）若∠CAB=30°，求四边形ABCD的周长．

6

24．（5分）阅读下列材料：

由于发展时间早、发展速度快，经过20多年大规模的高速开发建设，北京四环内，甚至五环内可供开发建设的土地资源越来越稀缺，更多的土地供应将集中在五环外，甚至六环外的远郊区县．

据中国经济网2017年2月报道，来自某市场研究院的最新统计，2016年，剔除了保障房后，在北京新建商品住宅交易量整体上涨之时，北京各区域的新建商品住宅交易量则是有涨有跌．其中，昌平、通州、海淀、朝阳、西城、东城六区下跌，跌幅最大的为朝阳区，新建商品住宅成交量比2015年下降了46.82%．而延庆、密云、怀柔、平谷、门头沟、房山、顺义、大兴、石景山、丰台十区的新建商品住宅成交量表现为上涨，涨幅最大的为顺义区，比2015年上涨了118.80%．另外，从环线成交量的占比数据上，同样可以看出成交日趋郊区化的趋势．根据统计，2008年到2016年，北京全市成交的新建商品住宅中，二环以内的占比逐步从3.0%下降到了0.2%；二、三环之间的占比从5.7%下降到了0.8%；三、四环之间的占比从12.3%下降到了2.3%；四、五环之间的占比从21.9%下降到了4.4%．也就是说，整体成交中位于五环之内的新房占比，从2008年的42.8%下降到了2016年的7.7%，下滑趋势非常明显．由此可见，新房市场的远郊化是北京房地产市场发展的大势所趋．（注：占比，指在总数中所占的比重，常用百分比表示）

根据以上材料解答下列问题：

7

（1）补全折线统计图；

（2）根据材料提供的信息，预估 2017年位于北京市五环之内新建商品住宅成交量占比约 ，你的预估理由是 ．

25．（5分）如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且CE=CF． （1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）连接CD，CB．若AD=CD=a，写出求四边形ABCD面积的思路．

26．（5分）【问题情境】

已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长 最小？最小值是多少？ 【数学模型】

设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数表达式为y=2（x+）（x＞0）． 【探索研究】

小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+的图象性质．

（1）结合问题情境，函数y=x+的自变量x的取值范围是x＞0，如表是y与x的几组对应值． x ? 1 2 3 m ? y ? 4 3 2 2 2 3 4 ? ①写出m的值；

②画出该函数图象，结合图象，得出当x= 时，y有最小值，y最小= ； 【解决问题】

（2）直接写出“问题情境”中问题的结论．

8

27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣4mx+2m﹣1（m≠0）与平行于x轴的一条直线交于A，B两点． （1）求抛物线的对称轴；

（2）如果点A的坐标是（﹣1，﹣2），求点B的坐标；

（3）抛物线的对称轴交直线AB于点C，如果直线AB与y轴交点的纵坐标为﹣1，且抛物线顶点D到点C的距离大于2，求m的取值范围．

28．（7分）在边长为5的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，DC边上的两个动点（不与点B，C，D重合），且AE⊥EF． （1）如图1，当BE=2时，求FC的长；

（2）延长EF交正方形ABCD外角平分线CP于点P． ①依题意将图2补全；

②小京通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有AE=PE．小京把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的三种想法：

想法1：在AB上截取AG=EC，连接EG，要证AE=PE，需证△AGE≌△ECP．

想法2：作点A关于BC的对称点H，连接BH，CH，EH．要证AE=PE，需证△EHP为等腰三角形．

9

想法3：将线段BE绕点B顺时针旋转90°，得到线段BM，连接CM，EM，要证AE=PE，需证四边形MCPE为平行四边形．

请你参考上面的想法，帮助小京证明AE=PE．（一种方法即可）

29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义： 如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，AB3C3D3都是点A，B，C的覆盖矩形，其中矩形AB3C3D3是点A，B，C的最优覆盖矩形． （1）已知A（﹣2，3），B（5，0），C（t，﹣2）． ①当t=2时，点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为 ；

②若点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC的表达式；

（2）已知点D（1，1）．E（m，n）是函数y=（x＞0）的图象上一点，⊙P是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P的半径r的取值范围．

10

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．随着“一带一路”的建设推进，北京丰台口岸进口货值业务量加速增长，2016年北京丰台口岸进口货值飙升至189 000 000美元，比上一年翻了三倍，创下历史新高．将189 000 000用科学记数法表示应为（ ）

A．189×106 B．1.89×106 C．18.9×107 D．1.89×108 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．

【解答】解：189 000 000=1.89×10． 故选：D．

【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．

2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）

A．|a|＞b B．|b|＜a C．﹣a＜a D．﹣b＜a 【考点】29：实数与数轴．

【分析】根据数轴上点的位置，利用相反数，绝对值的性质判断即可． 【解答】解：根据数轴上点的位置得：a=﹣2，1＜b＜2， 则|a|=2＞b，|b|＞a，﹣a＞a，﹣b＞a， 故选A

【点评】此题考查了实数与数轴，相反数，绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

3．北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（ ）

﹣n

8

﹣n

11

A．

北京林业大学 B．

北京体育大学 C．

北京大学 D．

中国人民大学

【考点】R5：中心对称图形．

【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项正确； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误． 故选B．

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

4．如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（ ）

A．45 B．60 C．72 D．144 【考点】R3：旋转对称图形．

【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不

12

变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．

【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合， 故n的最小值为72． 故选：C．

【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．

5．在与国际友好学校交流活动中，小敏打算制做一个正方体礼盒送给外国朋友，每个面上分别书写一种中华传统美德，一共有“仁义礼智信孝”六个字．如图是她设计的礼盒平面展开图，那么“礼”字对面的字是（ ）

A．义 B．仁 C．智 D．信

【考点】I8：专题：正方体相对两个面上的文字． 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．

【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中“礼”字对面的字是义． 故选：A．

【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．

6．如果m2+2m﹣2=0，那么代数式（m+A．﹣2 B．﹣1 C．2

D．3

）?

的值是（ ）

【考点】6D：分式的化简求值．

【分析】先把括号内通分，再把分子分解后约分得到原式=m2+2m，然后利用m2+2m﹣2=0进行整体代入计算．

13

【解答】解：原式==

?

?

=m（m+2） =m2+2m， ∵m2+2m﹣2=0， ∴m+2m=2， ∴原式=2．

【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

7．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（ ）

2

A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm 【考点】SA：相似三角形的应用．

【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解． 【解答】解：∵OA=3OC，OB=3OD， ∴OA：OC=OB：OD=3：1，∠AOB=∠DOC， ∴△AOB∽△COD， ∴

=

=，

∴AB=3CD=3×1.8=5.4（cm）． 故选B．

14

【点评】本题考查的是相似三角形的应用，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了数形转化思想的应用．

8．如图，这是小新在询问了父母后绘制的去年全家的开支情况扇形统计图，如果他家去年总开支为6万元，那么用于教育的支出为（ ）

A．3万元 B．万元 C．2.4万元 D．2万元

【考点】VB：扇形统计图．

【分析】利用总开支乘以对应的比例即可求解． 【解答】解：6×故选D．

【点评】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．

9．如图在正方形网格中，若A（1，1），B（2，0），则C点的坐标为（ ）

=2（万）．

A．（﹣3，﹣2） B．（3，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3） 【考点】D3：坐标确定位置．

【分析】根据A（1，1），B（2，0），再结合图形即可确定出点C的坐标． 【解答】解：∵点A的坐标是：（1，1）， 点B的坐标是：（2，0）， ∴点C的坐标是：（3，﹣2）． 故选B．

15

【点评】本题主要考查了点的坐标．点坐标就是在平面直角坐标系中，坐标平面内的点与一对有序实数是一一对应的关系，这对有序实数则为这个点的坐标点的坐标．

10．近年来由于空气质量的变化，以及人们对自身健康的关注程度不断提高，空气净化器成为很多家庭的新电器．某品牌的空气净化器厂家为进一步了解市场，制定生产计划，根据2016年下半年销售情况绘制了如下统计图，其中同比增长率=（100%，下面有四个推断：

﹣1）×

①2016年下半年各月销售量均比2015年同月销售量增多 ②第四季度销售量占下半年销售量的七成以上 ③下半年月均销售量约为16万台 ④下半年月销售量的中位数不超过10万台 其中合理的是（ ）

A．①② B．①④ C．②③ D．③④

【考点】VD：折线统计图；VC：条形统计图；W4：中位数．

【分析】①根据题意求得7月的同比增长率是﹣2.3%，于是得到2016年7月销售量比2015年同月销售量减小； ②通过计算即可得到结果； ③列式计算即可得到结果； ④根据中位数的定义即可得到结论．

【解答】解：①∵7月的同比增长率是﹣2.3%，

∴2016年7月销售量比2015年同月销售量减小；故①错误； ②∵

≈0.73，

16

∴第四季度销售量占下半年销售量的七成以上，故②正确； ③∵（8+9.3+9.8+13.4+19.7+36）≈16万台，故③正确； ④下半年月销售量的中位数=故选C．

【点评】本题考查了折线统计图，条形统计图，中位数的定义，正确的识别图形是解题的关键．

二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．如果二次根式

有意义，那么x的取值范围是 x≥﹣4 ．

≈11.1万台＞10万台，故④错误；

【考点】72：二次根式有意义的条件．

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：由题意得，x+4≥0， 解得，x≥﹣4， 故答案为：x≥﹣4．

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．

12．图中的四边形均为矩形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式： （m+n）（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc ．

【考点】4B：多项式乘多项式．

【分析】根据图中，从两个角度计算面积即可得出答案． 【解答】解：（m+n）（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc； 故答案：（m+n）（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc（答案不唯一）

【点评】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．

17

13．一天上午林老师来到某中学参加该校的校园开放日活动，他打算随机听一节九年级的课程，下表是他拿到的当天上午九年级的课表，如果每一个班级的每一节课被听的可能性是一样的，那么听数学课的可能性是 班级 节次 第1节 第2节 第3节 第4节 语文 数学 物理 外语 数学 政治 化学 语文 外语 物理 体育 政治 化学 语文 数学 体育 1班 2班 3班 ． 4班 【考点】X2：可能性的大小． 【分析】根据概率公式可得答案．

【解答】解：由表可知，当天上午九年级的课表中听一节课有16种等可能结果，其中听数学课的有3种可能， ∴听数学课的可能性是故答案为：

．

，

【点评】本题考查的可能性的大小．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

14．如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为 70° ．（只考虑小于90°的角度）

【考点】M1：圆的认识．

【分析】设大量角器的左端点为A，小量角器的圆心为B．利用三角形的内角和定理求出∠PBA的度数．然后根据圆的知识可求出小量角器上对应的度数．

【解答】解：设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB=90°，

18

∠PAB=20°，因而∠PBA=90°﹣20°=70°，在小量角器中弧PB所对的圆心角是70°，因而P在小量角器上对应的度数为70°． 故答案为：70°；

【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角是90度．能把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．

15．众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民生疾苦，或抒发己身豪情逸致，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字．问两种诗各多少首？设七言绝句有x首，根据题意，可列方程为 28x﹣20（x+13）=20 ． 【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．

【分析】利用五言绝句与七言绝句总字数之间的关系得出等式进而得出答案． 【解答】解：设七言绝句有x首，根据题意，可列方程为： 28x﹣20（x+13）=20．

故答案为：28x﹣20（x+13）=20．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解题关键．

16．在数学课上，老师提出如下问题：已知：线段a，b（如图1）． 求作：等腰△ABC，使AB=AC，BC=a，BC边上的高为b． 小姗的作法如下：如图2， （1）作线段BC=a；

（2）作线段BC的垂直平分线MN交线段BC于点D；

（3）在MN上截取线段DA=b，连接AB，AC．所以，△ABC就是所求作的等腰三角形． 老师说：“小姗的作法正确”．

请回答：得到△ABC是等腰三角形的依据是： 垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等；

19

有两条边相等的三角形是等腰三角形 ．

【考点】N3：作图—复杂作图；KG：线段垂直平分线的性质；KJ：等腰三角形的判定与性质． 【分析】利用垂直平分线的性质得到AB=CB，从而可判断△ABC为满足条件的等腰三角形． 【解答】解：由作法得MN垂直平分BC，则AB=AC．

故答案为垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等；有两条边相等的三角形是等腰三角形．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．

三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．计算：

﹣（4﹣π）0+cos60°﹣|

﹣3|．

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值． 【分析】首先计算乘方和开方，然后从左向右依次计算，求出算式﹣|

﹣3|的值是多少即可．

﹣（4﹣π）+cos60°﹣|

0

0

﹣（4﹣π）+cos60°

【解答】解：==

﹣3|

【点评】此题主要考查了实数的运算，零指数幂以及特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算

20

乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

18．解不等式组：

．

【考点】CB：解一元一次不等式组．

【分析】分别求出每个不等式的解集，再求其解集的公共部分即可． 【解答】解：

解不等式①，得x＞2． 解不等式②，得x≥3． ∴原不等式组的解集是x≥3．

【点评】此题考查了不等式组的解法，求不等式组的解集要根据以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

19．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且AB=FC，E为AD上一点，EC交AF于点G，EA=EG． 求证：ED=EC．

【考点】LD：矩形的判定与性质．

【分析】先证明四边形ABCF是平行四边形．再证出四边形ABCF是矩形．得出∠AFC=90°，得出∠D=90°﹣∠DAF，∠ECD=90°﹣∠CGF．由等腰三角形的性质得出∠EAG=∠EGA．由对顶角相等得出∠DAF=∠CGF．证出∠D=∠ECD．即可得出结论． 【解答】证明：∵AB∥DC，FC=AB， ∴四边形ABCF是平行四边形．

21

∵∠B=90°，

∴四边形ABCF是矩形． ∴∠AFC=90°，

∴∠D=90°﹣∠DAF，∠ECD=90°﹣∠CGF． ∵EA=EG， ∴∠EAG=∠EGA． ∵∠EGA=∠CGF， ∴∠DAF=∠CGF． ∴∠D=∠ECD． ∴ED=EC．

【点评】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、对顶角相等的性质；熟练掌握矩形的判定与性质是解决问题的关键．

20．已知关于x的一元二次方程3x2﹣kx+k﹣4=0． （1）判断方程根的情况；

（2）若此方程有一个整数根，请选择一个合适的k值，并求出此时方程的根． 【考点】AA：根的判别式．

【分析】（1）先求出△的值，再根据根的判别式即可得出方程根的情况；

（2）根据方程有整数根，可知△是完全平方数，利用求根公式选择k=4（答案不唯一），求出方程的根即可．

【解答】解：（1）∵△=（﹣k）2﹣12（k﹣4）=k2﹣12k+48=（k﹣6）2+12＞0， ∴方程有两个不等的实数根；

（2）当k=4时，△=16， 方程化为3x﹣4x=0， 解得x1=0，x2=．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法．

2

22

21．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣3x+m与双曲线y=相交于点A（m，2）． （1）求双曲线y=的表达式；

（2）过动点P（n，0）且垂直于x轴的直线与直线y=﹣3x+m及双曲线y=的交点分别为B和C，当点B位于点C下方时，求出n的取值范围．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）由点A的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出m值，进而可得出点A的坐标，再由点A的坐标利用待定系数法即可求出双曲线的表达式；

（2）令﹣3x﹣1=﹣，可求出两函数图象交点的横坐标，再根据两函数图象的上下位置关系即可得出当点B位于点C下方时，n的取值范围． 【解答】解：（1）∵点A（m，2）在直线y=﹣3x+m上， ∴2=﹣3m+m， 解得：m=﹣1， ∴A（﹣1，2）． ∵点A在双曲线∴

，k=﹣2，

上，

∴双曲线的表达式为y=﹣．

（2）令y=﹣3x﹣1=﹣， 解得：x1=﹣1，x2=．

23

观察函数图象可知：当﹣1＜n＜0或n＞时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，即点B位于点C下方，

∴当点B位于点C下方时，n的取值范围为﹣1＜n＜0或n＞．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求反比例函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点A的坐标；（2）令y=﹣3x﹣1=﹣，求出两函数交点的横坐标．

22．课题学习：设计概率模拟实验．

在学习概率时，老师说：“掷一枚质地均匀的硬币，大量重复实验后，正面朝上的概率约是．”小海、小东、小英分别设计了下列三个模拟实验：

小海找来一个啤酒瓶盖（如图1）进行大量重复抛掷，然后计算瓶盖口朝上的次数与总次数的比值；

小东用硬纸片做了一个圆形转盘，转盘上分成8个大小一样的扇形区域，并依次标上1至8个数字（如图2），转动转盘10次，然后计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值； 小英在一个不透明的盒子里放了四枚除颜色外都相同的围棋子（如图3），其中有三枚是白子，一枚是黑子，从中随机同时摸出两枚棋子，并大量重复上述实验，然后计算摸出的两枚棋子颜色不同的次数与总次数的比值．

24

根据以上材料回答问题：

小海、小东、小英三人中，哪一位同学的实验设计比较合理，并简要说出其他两位同学实验的不足之处．

【考点】X9：模拟实验．

【分析】由模拟实验设计原则以及模拟实验的实际要求一一回答即可． 【解答】解：小英设计的模拟实验比较合理．

小海选择的啤酒瓶盖质地不均匀；小东操作转盘时没有用力转动，而且实验次数太少，没有进行大量重复实验．

【点评】本题考查了模拟实验，模拟实验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果．掌握实验设计的原则是解题的关键．

23．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，DE⊥AC于点E，且AE=CE，DE=5，EB=12． （1）求AD的长；

（2）若∠CAB=30°，求四边形ABCD的周长．

【考点】T7：解直角三角形；KQ：勾股定理．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论； （2）解直角三角形求出各边的长，于是得到结论． 【解答】解：（1）∵∠ABC=90°，AE=CE，EB=12， ∴EB=AE=CE=12． ∵DE⊥AC，DE=5， ∴在Rt△ADE中， 由勾股定理得AD=

（2）∵在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AC=AE+CE=24， ∴BC=12，AB=AC?cos30°=12

==13；

，

25

∵DE⊥AC，AE=CE， ∴AD=DC=13，

∴四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD=38+12

．

【点评】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是解直角三角形、直角三角形斜边上的中线、勾股定理等，关键是根据有关定理和解直角三角形求出四边形每条边的长．

24．阅读下列材料：

由于发展时间早、发展速度快，经过20多年大规模的高速开发建设，北京四环内，甚至五环内可供开发建设的土地资源越来越稀缺，更多的土地供应将集中在五环外，甚至六环外的远郊区县．

据中国经济网2017年2月报道，来自某市场研究院的最新统计，2016年，剔除了保障房后，在北京新建商品住宅交易量整体上涨之时，北京各区域的新建商品住宅交易量则是有涨有跌．其中，昌平、通州、海淀、朝阳、西城、东城六区下跌，跌幅最大的为朝阳区，新建商品住宅成交量比2015年下降了46.82%．而延庆、密云、怀柔、平谷、门头沟、房山、顺义、大兴、石景山、丰台十区的新建商品住宅成交量表现为上涨，涨幅最大的为顺义区，比2015年上涨了118.80%．另外，从环线成交量的占比数据上，同样可以看出成交日趋郊区化的趋势．根据统计，2008年到2016年，北京全市成交的新建商品住宅中，二环以内的占比逐步从3.0%下降到了0.2%；二、三环之间的占比从5.7%下降到了0.8%；三、四环之间的占比从12.3%下降到了2.3%；四、五环之间的占比从21.9%下降到了4.4%．也就是说，整体成交中位于五环之内的新房占比，从2008年的42.8%下降到了2016年的7.7%，下滑趋势非常明显．由此可见，新房市场的远郊化是北京房地产市场发展的大势所趋．（注：占比，指在总数中所占的比重，常用百分比表示）

26

根据以上材料解答下列问题： （1）补全折线统计图；

（2）根据材料提供的信息，预估 2017年位于北京市五环之内新建商品住宅成交量占比约 0%～7.7% ，你的预估理由是 位于北京市五环之内新建商品住宅成交量占比呈现下滑趋势 ．

【考点】VD：折线统计图；V5：用样本估计总体．

【分析】（1）根据2008年到2016年，北京全市成交的新建商品住宅中，二环以内的占比逐步从3.0%下降到了0.2%；二、三环之间的占比从5.7%下降到了0.8%；三、四环之间的占比从12.3%下降到了2.3%；四、五环之间的占比从21.9%下降到了4.4%，画出折线统计图即可；

（2）2008年到2016年，北京全市成交的新建商品住宅中，整体成交中位于五环之内的新房占比，从2008年的42.8%下降到了2016年的7.7%，下滑趋势非常明显，据此可得结论． 【解答】解：（1）折线统计图如图所示：

27

（2）因为整体成交中位于五环之内的新房占比，从2008年的42.8%下降到了2016年的7.7%，下滑趋势非常明显，

所以 2017年位于北京市五环之内新建商品住宅成交量占比约为0%～7.7%， 故答案为：0%～7.7%，位于北京市五环之内新建商品住宅成交量占比呈现下滑趋势． 【点评】本题主要考查了折线统计图以及用样本估计总体，解题时注意：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．

25．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且CE=CF．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）连接CD，CB．若AD=CD=a，写出求四边形ABCD面积的思路．

【考点】ME：切线的判定与性质；KF：角平分线的性质；M2：垂径定理．

【分析】（1）连接OC，AC，可先证明AC平分∠BAE，结合圆的性质可证明OC∥AE，可得∠OCB=90°，可证得结论；

28

（2）可先证得四边形AOCD为平行四边形，再证明△OCB为等边三角形，可求得CF、AB，利用梯形的面积公式可求得答案． 【解答】（1）证明：连接OC，AC． ∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE=CF． ∴∠CAE=∠CAB． ∵OC=OA， ∴∠CAB=∠OCA． ∴∠CAE=∠OCA． ∴OC∥AE．

∴∠OCE+∠AEC=180°， ∵∠AEC=90°，

∴∠OCE=90°即OC⊥CE，

∵OC是⊙O的半径，点C为半径外端， ∴CE是⊙O的切线．

（2）求解思路如下：

①由AD=CD=a，得到∠DAC=∠DCA，于是∠DCA=∠CAB，可知DC∥AB； =

，

②由OC∥AE，OC=OA，可知四边形AOCD是菱形；

③由∠CAE=∠CAB，得到CD=CB，DC=BC=a，可知△OBC为等边三角形； ④由等边△OBC可求高CF的长，进而可求四边形ABCD面积． 解：∵AD=CD， ∴∠DAC=∠DCA=∠CAB， ∴DC∥AB， ∵∠CAE=∠OCA， ∴OC∥AD，

∴四边形AOCD是平行四边形， ∴OC=AD=a，AB=2a， ∵∠CAE=∠CAB， ∴CD=CB=a，

29

∴CB=OC=OB，

∴△OCB是等边三角形， 在Rt△CFB中，CF=∴S四边形ABCD=（DC+AB）?CF=

=

， a2．

【点评】本题主要考查切线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．

26．【问题情境】

已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长 最小？最小值是多少？ 【数学模型】

设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数表达式为y=2（x+）（x＞0）． 【探索研究】

小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+的图象性质．

（1）结合问题情境，函数y=x+的自变量x的取值范围是x＞0，如表是y与x的几组对应值． x ? 1 2 3 m ? y ? 4 3 2 2 2 3 4 ? ①写出m的值；

②画出该函数图象，结合图象，得出当x= 1 时，y有最小值，y最小= 2 ； 【解决问题】

30

（2）直接写出“问题情境”中问题的结论．

【考点】G4：反比例函数的性质；F3：一次函数的图象；F5：一次函数的性质；G2：反比例函数的图象．

【分析】（1）①根据求代数式的值的方法将x的值函数的解析式求出其值就可以了． ②根据①表中的数据画出函数的图象，再结合表中的数据就可以写出图象的相应的性质． （2）把x=

直接代入y与x的函数关系式为y=2（x+）就可以求出周长的最小值．

【解答】解：（1）①当y=4时，x=4， ∴m=4；∴函数y=x+（x＞0）的图象如图．

②当0＜x＜1时，y随x增大而减小；当x＞1时，y随x增大而增大；当x=1时函数y=x+（x＞0）的最小值为2． （2）当当

时，y有最小值，即

时，

．

【点评】本题是一道二次函数的综合试题，考查了描点法画函数的图象的方法，二次函数最值的运用．反比例函数的图象性质的运用．

27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣4mx+2m﹣1（m≠0）与平行于x轴的一条直线

31

交于A，B两点． （1）求抛物线的对称轴；

（2）如果点A的坐标是（﹣1，﹣2），求点B的坐标；

（3）抛物线的对称轴交直线AB于点C，如果直线AB与y轴交点的纵坐标为﹣1，且抛物线顶点D到点C的距离大于2，求m的取值范围．

【考点】H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】（1）化成顶点式即可求得； （2）根据轴对称的特点求得即可；

（3）求得顶点坐标，根据题意求得C的坐标，分两种情况表示出顶点D到点C的距离，列出不等式，解不等式即可求得．

【解答】解：（1）∵抛物线y=mx﹣4mx+2m﹣1=m（x﹣2）﹣2m﹣1， ∴对称轴为x=2；

（2）∵抛物线是轴对称图形， ∴点A点B关于x=2轴对称， ∵A（﹣1，﹣2）， ∴B（5，﹣2）．

（3）∵抛物线y=mx2﹣4mx+2m﹣1=m（x﹣2）2﹣2m﹣1， ∴顶点D（2，﹣2m﹣1）．

∵直线AB与y轴交点的纵坐标为﹣1， ∴C（2，﹣1）．

∵顶点D到点C的距离大于2，

32

2

2

∴﹣2m﹣1+1＞2或﹣1+2m+1＞2， ∴m＜﹣1或m＞1．

【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点点坐标特征，把解析式化成顶点式式解题的关键．

28．在边长为5的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，DC边上的两个动点（不与点B，C，D重合），且AE⊥EF．

（1）如图1，当BE=2时，求FC的长；

（2）延长EF交正方形ABCD外角平分线CP于点P． ①依题意将图2补全；

②小京通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有AE=PE．小京把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的三种想法：

想法1：在AB上截取AG=EC，连接EG，要证AE=PE，需证△AGE≌△ECP．

想法2：作点A关于BC的对称点H，连接BH，CH，EH．要证AE=PE，需证△EHP为等腰三角形．

想法3：将线段BE绕点B顺时针旋转90°，得到线段BM，连接CM，EM，要证AE=PE，需证四边形MCPE为平行四边形．

请你参考上面的想法，帮助小京证明AE=PE．（一种方法即可）

【考点】LO：四边形综合题．

【分析】（1）根据正方形的性质求出EC，证明△ABE∽△ECF，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； （2）①根据题意画图；

②在AB上截取AG=EC，连接EG，证明△AGE≌△ECP，根据全等三角形的性质证明． 【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为5，BE=2， ∴EC=3．

33

∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠C=90°， ∴∠BAE+∠AEB=90°， ∵AE⊥EF，

∴∠FEC+∠AEB=90°， ∴∠BAE=∠CEF． ∴△ABE∽△ECF， ∴

，即

，

∴FC=；

（2）①依题意补全图形：

②证明：在AB上截取AG=EC，连接EG． ∵AB=BC， ∴GB=EB． ∵∠B=90°， ∴∠BGE=45°， ∴∠AGE=135°．

∵∠DCB=90°，CP是正方形ABCD外角平分线，∴∠ECP=135°． ∴∠AGE=∠ECP． 在△AGE和△ECP中，

，

∴△AGE≌△ECP． ∴AE=PE．

34

【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

29．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：

如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，AB3C3D3都是点A，B，C的覆盖矩形，其中矩形AB3C3D3是点A，B，C的最优覆盖矩形． （1）已知A（﹣2，3），B（5，0），C（t，﹣2）． ①当t=2时，点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为 35 ； ②若点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC的表达式；

（2）已知点D（1，1）．E（m，n）是函数y=（x＞0）的图象上一点，⊙P是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P的半径r的取值范围．

【考点】MR：圆的综合题．

【分析】（1）①由矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形，得出最优覆盖矩形的长为：2+5=7，宽为3+2=5，即可得出结果；

②由定义可知，t=﹣3或6，即点C坐标为（﹣3，﹣2）或（6，﹣2），设AC表达式为y=kx+b，代入即可求出结果；

（2）OD所在的直线交双曲线于点E，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形，OD所在的直线表达式为y=x，得出点E的坐标为（2，2），⊙H的半径最小r=点E的纵坐标为1时，⊙H的半径最大r=

，当

，即可得出结果．

35

【解答】解：（1）①∵A（﹣2，3），B（5，0），C（2，﹣2），矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形， ∴最优覆盖矩形的长为：2+5=7，宽为3+2=5， ∴最优覆盖矩形的面积为：7×5=35； ②∵点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，

∴由定义可知，t=﹣3或6，即点C坐标为（﹣3，﹣2）或（6，﹣2）， 设AC表达式为y=kx+b， ∴

或

∴或

∴y=5x+13或

；

（2）①OD所在的直线交双曲线于点E，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形，如图1所示： ∵点D（1，1），

∴OD所在的直线表达式为y=x， ∴点E的坐标为（2，2）， ∴OE=

=

， ，

∴⊙H的半径最小r=

②当点E的纵坐标为1时，如图2所示： 1=，解得x=4， ∴OE═

=

，

，

∴⊙H的半径最大r=∴

．

36

【点评】本题是圆的综合题目，考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求直线的解析式、坐标与图形性质、反比例函数等知识；本题综合性强，有一定难度．

37

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