二次函数专题训练（三角形周长最值问题）含答案

二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

1．如图所示，抛物线y=ax+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值；

（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点2

P的横坐标；若不存在，说明理由．

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二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

2．如图，抛物线y=﹣x+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E． （1）求直线AD的解析式；

（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；

（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM重合部分的面积是?APQM面积的时，求?APQM面积．

2

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3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；

（3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

2

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二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

4．如图（1），抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x1＜0＜x2），与y轴交于点C（0，﹣3），若抛物线的对称轴为直线x=1，且tan∠OAC=3． （1）求抛物线的函数解析式；

（2 若点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC距离为

，求点D的坐标

2

（3）如图（2），若直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E（0，﹣），点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使△PMN的周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及△PMN的周长的最大值；若不存在，请说明理由．

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二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

5．已知：如图，直线y=﹣x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为（﹣1，0）． （1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．

（2）在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DE⊥BC于E，作DF∥y轴交BC于F，求△DEF周长的最大值．

（3）在满足第②问的条件下，在线段BD上是否存在一点P，使∠DFP=∠DBC．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

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二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

6．如图，抛物线y=﹣x+（m﹣1）x+m（m＞1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FG⊥AD于G，FH∥x轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值；

（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式．

2

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7．如图，已知抛物线y=﹣x+2x+3与坐标轴交于A，B，C三点，抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对

2

称．

（1）直接写出点D的坐标和直线AD的解析式；

（2）点E是抛物线上位于直线AD上方的动点，过点E分别作EF∥x轴，EG∥y轴并交直线AD于点F、G，求△EFG周长的最大值；

（3）若点P为y轴上的动点，则在抛物线上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

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8．如图，抛物线y=﹣x﹣x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴与点D，已知点C（0，），连接AC． （1）求直线AC的解析式；

（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，过点P作PG⊥AC，垂足为G，当△PEG周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QP﹣QC|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标；

（3）当（2）题中|QP﹣QG|取得最大值时，直线PG交y轴于点M，把抛物线沿直线AD平移，平移后的抛物线y′与直线AD相交的一个交点为A′，在平移的过程中，是否存在点A′，使得点A′，P，M三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点A′的坐标；若不存在，请说明理由．

2

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9．如图，抛物线y=﹣x+x+3交x轴于A、B两点，点A在点B的左侧，交y轴于点C． （1）求直线AC与直线BC的解析式；

（2）如图1，P为直线BC上方抛物线上的一点；

①过点P作PD⊥BC于点D，作PM∥y轴交直线BC于点M，当△PDM的周长最大时，求P点坐标及周长最大值；

②在①的条件下，连接AP与y轴交于点E，抛物线的对称轴与x轴交于点K，若S为直线BC上一动点，T为直线AC上一动点，连接EK，KS，ST，TE，求四边形EKST周长的最小值；

（3）如图2，将△AOC顺时针旋转60°得到△A′OC′，将△A′OC′沿直线OC′平移，记平移中的△A′OC′为△A″O′C″，直线A″O′与x轴交于点F，将△O′C″F沿O′C″翻折得到△O′C″F′，当△CC″F′为等腰三角形时，求此时F点的坐标．

2

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参考答案与试题解析

1．如图所示，抛物线y=ax+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值；

（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．

2

【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线y=ax+bx﹣3， 得到解得

，

2

2

，

∴抛物线的解析式为y=x﹣2x﹣3．

（2）如图1中，连接PB、PC．设P（m，m﹣2m﹣3）， ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴OB=OC， ∴∠OBC=45°， ∵PF∥OB，

∴∠PFE=∠OBC=45°， ∵PE⊥BC， ∴∠PEF=90°，

∴△PEF是等腰直角三角形，

∴PE最大时，△PEF的面积中点，此时△PBC的面积最大，

则有S△PBC=S△POB+S△POC﹣S△BOC=?3?（﹣m+2m+3）+?3?m﹣=﹣（m﹣）+

2

2

2

，

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二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

∴m=时，△PBC的面积最大，此时△PEF的面积也最大， 此时P（，﹣

），

∵直线BC的解析式为y=x﹣3， ∴F（﹣，﹣∴PF=，

∵△PEF是等腰直角三角形， ∴EF=EP=

，

． ），

∴C△PEF最大值=+

（3）①如图2中，

当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP是正方形，易知P（2，﹣3）．点P横坐标为2，

②如图3中，当四边形PMQN是正方形时，作PF⊥y轴于N，ME∥x轴，PE∥y轴． 易知△PFN≌△PEM，

∴PF=PE，设P（m，m﹣2m﹣3）， ∵M（1，﹣4），

∴m=m﹣2m﹣3﹣（﹣4）， ∴m=

或

（舍弃），

．

2

2

∴P点横坐标为

所以满足条件的点P的横坐标为2或

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二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

2．如图，抛物线y=﹣x+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E． （1）求直线AD的解析式；

（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；

（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM重合2

部分的面积是?APQM面积的时，求?APQM面积．

【解答】解：（1）令﹣x2

+2x+3=0， 解得x1=﹣1，x2=3， ∴A（﹣1，0），C（0，3），

∵点D，C关于抛物线的对称轴对称， ∴D（2，3），

∴直线AD的解析式为：y=x+1； （2）设点F（x，﹣x2

+2x+3）， ∵FH∥x轴，

∴H（﹣x2

+2x+2，﹣x2+2x+3）， ∴FH=﹣x2

+2x+2﹣x=﹣（x﹣）2

+， ∴FH的最大值为，

由直线AD的解析式为：y=x+1可知∠DAB=45°， ∵FH∥AB，

∴∠FHG=∠DAB=45°，

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二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

∴FG=GH=×=

×2+=

；

故△FGH周长的最大值为

（3）①当P点在AM下方时，如图1，

设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p）， ∵△PM Q′与?APQM重合部分的面积是?APQM面积的， ∴PQ′必过AM中点N（0，2）， ∴可知Q′在y轴上，

易知QQ′的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上， 故T（1，4），从而T、M重合， ∴?APQM是矩形，

∵易得直线AM解析式为：y=2x+2， ∵MQ⊥AM，

∴直线QQ′：y=﹣x+， ∴4+p=﹣×2+， 解得：p=﹣， ∴PN=，

∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4××PN×AO=4×××1=5； ②当P点在AM上方时，如图2，

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二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p）， ∵△PM Q′与?APQM重合部分的面积是?APQM面积的，

∴PQ′必过QM中点R（，4+），易得直线QQ′：y=﹣x+p+5，

联立，解得：x=，y=，

∴H（，），∵H为QQ′中点， ，

），

故易得Q′（

由P（0，p）、R（，4+）易得直线PR解析式为：y=（﹣）x+p， 将Q′（

2

，）代入到y=（﹣）x+p得：=（﹣）×+p，

整理得：p﹣9p+14=0，

解得p1=7，p2=2（与AM中点N重合，舍去）， ∴P（0，7）， ∴PN=5，

∴S□APQM=2S△AMP=2××PN×|xM﹣xA|=2××5×2=10． 综上所述，?APQM面积为5或10．

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二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；

（3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

2

【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0）， ∴OA=1．

又∵tan∠ACO=， ∴OC=4． ∴C（0，﹣4）． ∵OC=OB， ∴OB=4 ∴B（4，0）．

设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）． ∵将x=0，y=﹣4代入得：﹣4a=﹣4，解得a=1， ∴抛物线的解析式为y=x﹣3x﹣4． （2）∵抛物线的对称轴为x=﹣∴D（3，﹣4）．

设直线AD的解析式为y=kx+b． ∵将A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得：

，解得k=﹣1，b=﹣1，

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2

=，C（0，﹣4），点D和点C关于抛物线的对称轴对称，

二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

∴直线AD的解析式y=﹣x﹣1． ∵直线AD的一次项系数k=﹣1， ∴∠BAD=45°． ∵PM平行于y轴， ∴∠AEP=90°． ∴∠PMH=∠AME=45°． ∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+

2

MP+PM=（1+）PM．

2

2

设P（a，a﹣3a﹣4），M（﹣a﹣1），则PM=﹣a﹣1﹣（a﹣3a﹣4）=﹣a+2a+3， ∵PM=﹣a+2a+3=﹣（a﹣1）+4， ∴当a=1时，PM有最大值，最大值为4． ∴△MPH的周长的最大值=4×（1+（3）如图1所示；当∠EGN=90°．

）=4+4

．

2

2

设点G的坐标为（a，0），则N（a，a﹣3a﹣4）． ∵∠EGN=∠AOC=90°， ∴∴解得：a=∴点G的坐标为（

时，△AOC∽△EGN．

=，整理得：a+a﹣8=0．

（负值已舍去）．

，0）．

2

2

如图2所示：当∠EGN=90°．

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二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

设点G的坐标为（a，0），则N（a，a﹣3a﹣4）． ∵∠EGN=∠AOC=90°， ∴∴解得：a=∴点G的坐标为（∵EN在EP的右面， ∴∠NEG＜90°．

如图3所示：当∠ENG′=90°时，

时，△AOC∽△NGE．

=4，整理得：4a﹣11a﹣17=0．

（负值已舍去）．

，0）．

2

2

EG′=EG×

×

=（

﹣1）×．

=

．

∴点G′的横坐标=∵

≈4.03＞4，

∴点G′不在EG上． 故此种情况不成立． 综上所述，点G的坐标为（

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，0）或（，0）．

二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

4．如图（1），抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x1＜0＜x2），与y轴交于点C（0，﹣3），若抛物线的对称轴为直线x=1，且tan∠OAC=3． （1）求抛物线的函数解析式；

（2 若点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC距离为

，求点D的坐标

2

（3）如图（2），若直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E（0，﹣），点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使△PMN的周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及△PMN的周长的最大值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）在Rt△AOC中，tan∠AOC=∴OA=1，则A（﹣1，0）， ∵抛物线的对称轴为直线x=1，

则点A（﹣1，0）关于直线x=1的对称点B的坐标为（3，0）， 设抛物线的表达式为y=a（x﹣3）（x+1）， 将点C（0，﹣3）代入上式得﹣3a=﹣3， 解得：a=1，

∴抛物线的解析式为y=（x﹣3）（x+1）=x﹣2x﹣3；

（2）∵点B（3，0）、C（0，﹣3）， 则BC=3

，

×

=3，

2

=3，且OC=3，

∴S△BCD=×3

2

设D（x，x﹣2x﹣3），连接OD，

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二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

∴S△BCD=S△OCD+S△BOD﹣S△BOC

=?3?x+?3?（﹣x+2x+3）﹣×3×3 =

=3，

2

解得x=1或x=2，

则点D的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）；

（3）设直线AE解析式为y=kx+b， 将点A（﹣1，0）、E（0，﹣）代入得：

，

解得：，

则直线AE 解析式为y=﹣x﹣， AE=

2

=，

设P（t，t﹣2t﹣3），则M（t，﹣t﹣）， ∴PM=﹣t﹣﹣（t﹣2t﹣3）=﹣t+t+， 作PG⊥MN于G，由PM=PN得MG=NG=MN，

2

2

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二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

由△PMG∽△AEO得

=

，即

=

，

∴MG=PM=NG， ∴C△PMN=PM+PN+MN=

PM=

（﹣t+t+）=﹣

，此时P（，﹣

2

t+

2

+6=﹣）．

（t﹣）+

2

，

∴当t=时，C△PMN取得最大值

5．已知：如图，直线y=﹣x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为（﹣1，0）． （1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．

（2）在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DE⊥BC于E，作DF∥y轴交BC于F，求△DEF周长的最大值．

（3）在满足第②问的条件下，在线段BD上是否存在一点P，使∠DFP=∠DBC．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）直线y=﹣x+2与x轴交于B（2，0），与y轴交于C点（0，2）， 设过A、B、C的抛物线的解析式为y=ax+bx+c， 把A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）的坐标代入， ∴a=﹣1，b=1，c=2，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x+x+2， （2）设D（x，﹣x+x+2），F（x，﹣x+2），

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2

2

二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

∴DF=（﹣x+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x+2x， 所以x=1时，DF最大=1， ∵OB=OC，

∴△OBC为等腰直角三角形， ∵DE⊥BC，DF∥y轴， ∴△DEF为等腰直角三角形， ∴△DEF周长的最大值为1+（3）如图，

22

当△DEF周长最大时，D（1，2），F（1，1）．延长DF交x轴于H，作PM⊥DF于M， 则DB=

，DH=2，OH=1

当∠DFP=∠DBC时，△DFP∽△DBF， ∴∴DP=∴

， ，

=，

∴PM=，DM=，

∴P点的横坐标为OH+PM=1+=， P点的纵坐标为DH﹣DM=2﹣=， ∴P（，）．

6．如图，抛物线y=﹣x+（m﹣1）x+m（m＞1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FG⊥AD于G，FH∥x轴交

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二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

直线AD于H，求△FGH的周长的最大值；

（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式．

【解答】解：（1）把C（0，3）代入y=﹣x+（m﹣1）x+m得m=3， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x+2x+3，

（2）令y=﹣x+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）， ∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称，

∴D（1，2），AD的解析式y=x+1，设AD与y轴交于E， ∴OA=OE=1， ∴∠EAO=45°， ∵FH∥AB，

∴∠FHA=∠EAO=45°， ∵FG⊥AH，

∴△FGH是等腰直角三角形， 设点F坐标（m，﹣m+2m+3）， ∴点H坐标（﹣m+2m+2，﹣m+2m+3）， ∴FH=﹣m+m+2，

∴△FGH的周长=（﹣m+m+2）+2×∴△FGH的周长最大值为

（3）∵抛物线y=﹣x+2x+3的定点坐标为（1，4）， ∴直线AM的解析式为y=2x+2， ∵直线l垂直于直线AM，

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2

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2

2

2

2

（﹣m+m+2）=﹣（1+

2

）（m﹣）+

2

；

二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

∴设直线l的解析式为y=﹣x+b， ∵与坐标轴交于P、Q两点，

∴直线l的解析式为y=﹣x+b与y轴的交点P（0，b），与x轴的交点Q（2b，0）， 设R（1，a），

∴PR=（﹣1）+（a﹣b），QR=（2b﹣1）+a，PQ=b+（2b）=5b， ∵△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，

∴PR=QR，即（﹣1）+（a﹣b）=QR=（2b﹣1）+a， ∴﹣2a=3b﹣4，① ∴PR+QR=PQ，

即（﹣1）+（a﹣b）+（2b﹣1）+a=5b， ∴2a﹣2ab﹣4b+2=0，② 联立①②解得：

，

，

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2

2

2

2

2

∴直线l的解析式为y=﹣x+或y=﹣x+2．

7．如图，已知抛物线y=﹣x+2x+3与坐标轴交于A，B，C三点，抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对

2

称．

（1）直接写出点D的坐标和直线AD的解析式；

（2）点E是抛物线上位于直线AD上方的动点，过点E分别作EF∥x轴，EG∥y轴并交直线AD于点F、G，求△EFG周长的最大值；

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二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

（3）若点P为y轴上的动点，则在抛物线上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）将x=0代入得y=3， ∴C（0，3）．

∵抛物线的对称轴为x=﹣∴D（2，3）．

把y=0代入抛物线的解析式得：0=﹣x+2x+3，解得x=3或x=﹣1， ∴A（﹣1，0）．

设直线AD的解析式为y=kx+b，将点A和点D的坐标代入得：∴直线AD的解析式为y=x+1．

（2）如图1所示：

，解得：k=1，b=1，

2

=1，C（0，3），

∵直线AD的解析式为y=x+1， ∴∠DAB=45°． ∵EF∥x轴，EG∥y轴，

∴∠GEF=90°，∠GFE=∠DAB=45° ∴△EFG是等腰直角三角形． ∴△EFG的周长=EF+FG+EG=（2+

2

）EG．

依题意，设E（t，﹣t+2t+3），则G（t，t+1）． ∴EG=﹣t+2t+3﹣（t+1）=﹣（t﹣）+． ∴EG的最大值为． ∴△EFG的周长的最大值为+

（3）存在．

第24页

2

2

．

二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

①以AD为平行四边形的边时，PQ∥AD，PQ=AD． ∵A，D两点间的水平距离为3， ∴P，Q两点间的水平距离也为3． ∴点Q的横坐标为3或﹣3．

将x=3和x=﹣3分别代入y=﹣x+2x+3得y=0或y=﹣12． ∴Q（3，0）或（﹣3，﹣12）．

②当AD为平行四边形的对角线时，设AD的中点为M， ∵A（﹣1，0），D（2，3），M为AD的中点， ∴M（，）． 设点Q的横坐标为x，则∴点Q的横坐标为1．

将x=1代入y=﹣x+2x+3得y=4． ∴这时点Q的坐标为（1，4）．

综上所述，当点Q的坐标为Q（3，0）或（﹣3，﹣12）或（1，4）时，以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．

8．如图，抛物线y=﹣x﹣x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴与点D，已知点C（0，），连接AC． （1）求直线AC的解析式；

（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，过点P作PG⊥AC，垂足为G，当△PEG周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QP﹣QC|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标；

（3）当（2）题中|QP﹣QG|取得最大值时，直线PG交y轴于点M，把抛物线沿直线AD平移，平移后的抛物线y′与直线AD相交的一个交点为A′，在平移的过程中，是否存在点A′，使得点A′，P，M三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点A′的坐标；若不存在，请说明理由．

2

2

2

=，解得x=1，

第25页

二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

【解答】解：（1）令y=0则，﹣x﹣x+3=0，解得x=﹣3或x=2， ∴A（﹣3，0），B（2，0）．

设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A和点C的坐标代入得：

，

2

解得：k=，b=，

∴直线AC的解析式为y=x+． （2）延长PE交OA与点F，则PF⊥OA．

∵PF⊥OA，PG⊥AC， ∴∠EFA=∠PGE． 又∵∠PEG=∠FEA， ∴∠EAF=∠EPG． ∵OC=，AO=3，

∴tan∠GPE=tan∠EAF=． ∴sin∠GPE=∴PG=

，cos∠GPE=

EP．

）PE．

第26页

．

PE，EG=

∴△PEG的周长=PE+PG+EG=（1+

二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

∴当PE取得最大值时，△PEC的周长最大．

设点P的坐标为（t，﹣t﹣t+3），则点E的坐标为（t，t+）． ∵点P在点E的上方，

∴PE=﹣t﹣t+3﹣（t+）=﹣t﹣t+=﹣（t+1）+2． 当t=﹣1时，PE取得最大值，此时△PGE的周长取得最大值． ∴点P（﹣1，3），点E的坐标为（﹣1，﹣1）． ∴PE=3﹣1=2． ∴PG=

PE=

．

2

2

2

2

根据三角形的两边之差小于第三边可知：当点P、G、Q三点共线时，|QP﹣QG|的值最大，此时|QP﹣QG|=PG=

（3）如图所示：

∵∠PGE=∠PFN，∠P=∠P， ∴△PEG∽△PNF， ∴

=

，即

=2，解得FN=1.5．

∴点N的坐标为（，0）．

设PN的解析式为y=kx+b，将点P和点N的坐标代入得：∴M（0，1）．

，解得：k=﹣2，b=1．

设直线AD的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：﹣3m+3=0，解得m=1， ∴直线AD的解析式为y=x+3． 设点A′的坐标为（x，x+3）． 当PM=PA′时，

=

，整理得：x+x﹣2=0，解得x=1或x=﹣2，

2

∴点A′的坐标为（1，4）或（﹣2，1）．

第27页

二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

当PM=MA′时，∴点A′的坐标为（当A′P=A′M时，∴A′（﹣，）．

=，

）或（

=

，整理得：2x+4x﹣1=0，解得：x=

，

）．

2

或x=，

，整理得：﹣2x=3，解得：x=﹣，

综上所述，点A′的坐标为（1，4）或（﹣2，1）或（）．

，）或（，）或（﹣，

9．如图，抛物线y=﹣x+x+3交x轴于A、B两点，点A在点B的左侧，交y轴于点C． （1）求直线AC与直线BC的解析式；

（2）如图1，P为直线BC上方抛物线上的一点；

①过点P作PD⊥BC于点D，作PM∥y轴交直线BC于点M，当△PDM的周长最大时，求P点坐标及周长最大值；

②在①的条件下，连接AP与y轴交于点E，抛物线的对称轴与x轴交于点K，若S为直线BC上一动点，T为直线AC上一动点，连接EK，KS，ST，TE，求四边形EKST周长的最小值；

（3）如图2，将△AOC顺时针旋转60°得到△A′OC′，将△A′OC′沿直线OC′平移，记平移中的△A′OC′为△A″O′C″，直线A″O′与x轴交于点F，将△O′C″F沿O′C″翻折得到△O′C″F′，当△CC″F′为等腰三角形时，求此时F点的坐标．

2

【解答】解：（1）对于抛物线y=﹣x+x+3，令x=0，得到y=3，可得C（0，3）， 令y=0，可得y=﹣x+x+3=0，解得x=﹣1或3，

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2

2

二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

∴A（﹣1，0），B（4，0），

∴直线AC的解析式为y=3x+3，直线BC的解析式为y=﹣x+3；

（2）①如图在1中，设P（m，﹣m+m+3），则M（m，﹣m+3）．

2

∵点P运动时，△PDM的形状是相似的， ∴PM的值最大时，△PDM的周长的值最大，

∵PM=﹣m+m+3﹣（﹣m+3）=﹣m+3m=﹣（m﹣4m+4﹣4）=﹣（m﹣2）+3， ∵﹣＜0，

∴m=2时，PM的值最大，此时P（2，），PM的最大值为， ∵OC=3，OB=4， ∴BC=

=5，

=

=

，

2

2

2

2

由△PDM∽△BOC，可得

∴==，

，

+

=

．

∴PD=，DM=

∴△PDM的周长的最大值为+

②如图2中，作K关于BC的对称点K′，E关于AC的对称点E′，连接E′K′交AC于T，交BC于S，此时四边形EKST的周长最小．

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二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

四边形EKST的周长的最小值=EK+SK+ST+TE=EK+K′S+ST+TE′=EK+E′K′， ∵P（2，），

∴直线AP的解析式为y=x+， ∴E（0，），∵K（，0）， ∴OE=OK=，EK=

，

∵K与K′关于直线BC对称， ∴K′（

，

），

∵E，E′关于直线AC对称， ∴E′（﹣∴E′K′=

∴四边形EKST周长的最小值为3

（3）如图3中，设OF=2m，则FO′=O′F′=m，OO′=

m，OC″=

m+3．

+

，），

=3

=，

．

第30页

二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

可得F′（m，

m），C″（m+

2

，）+（

m+）， m﹣）=（

2

①当C″C=C″F′时，（m+整理得m+3

2

﹣m）+（﹣

2

m），

2

m=0， （舍弃），

解得m=0或﹣3∴F（0，0）．

②当CF′=C″F′时，（整理得m﹣解得m=0或

2

﹣m）+（﹣

2

m）=m+（

22

m﹣3），

2

m=0， ，

，3）；

2

∴F（0，0）或（

③当CF′=CC″时，m+（整理得m﹣9解得m=0或9

2

m﹣3）=（m+

2

）+（

2

m﹣），

2

m=0， ，

，27），

，3）或（9

，27）；

∴F（0，0）或（9

综上所述，满足条件的点F坐标为（0，0）或（

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二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

可得F′（m，

m），C″（m+

2

，）+（

m+）， m﹣）=（

2

①当C″C=C″F′时，（m+整理得m+3

2

﹣m）+（﹣

2

m），

2

m=0， （舍弃），

解得m=0或﹣3∴F（0，0）．

②当CF′=C″F′时，（整理得m﹣解得m=0或

2

﹣m）+（﹣

2

m）=m+（

22

m﹣3），

2

m=0， ，

，3）；

2

∴F（0，0）或（

③当CF′=CC″时，m+（整理得m﹣9解得m=0或9

2

m﹣3）=（m+

2

）+（

2

m﹣），

2

m=0， ，

，27），

，3）或（9

，27）；

∴F（0，0）或（9

综上所述，满足条件的点F坐标为（0，0）或（

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