高中数学必修三第三章《概率》单元测试题

高中数学必修三 第三章《概率》单元测试题

(120分钟 150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.下列事件中，随机事件的个数为 ( )

①在某学校2015年的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军； ②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④在标准大气压下，水在4℃时结冰. A.1

B.2

C.3

D.4

2.抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件A为“出现1点”，事件B为“出现2点”.已知P(A)=P(B)=，则“出现1点或2点”的概率为 ( ) A.

B.

C.

D.

【延伸探究】若本题条件不变，则“出现的点数大于2”的概率为 . 3.甲、乙、丙3名学生排成一排，其中甲、乙两人站在一起的概率是 ( ) A.

B.

C.

D.

4.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是 ( ) A.至少有一个红球与都是红球 B.至少有一个红球与都是白球 C.至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有二个红球

5.先后抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是P1，P2，P3，则 ( ) A.P1=P2

B.P1

6.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是 ( )

- 1 -

7.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 ( ) A.

B.

C.

D.

【一题多解】所有的基本事件有10种，而甲、乙都不被录用的情况只有(丙丁戊)一种，故甲或乙被录用的概率为1-=

.

8.在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为 ( ) A.

B.

C.

D.

9.在区间[-π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点的概率为 ( ) A.1-

B.1-

C.1- D.1-

为概率的事件是 ( )

10.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以A.恰有2件一等品 B.至少有一件一等品 C.至多有一件一等品 D.都不是一等品

11.记集合A={(x，y)|x2+y2≤16}和集合B={(x，y)|x+y-4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2.若在区域Ω1内任取一点M(x，y)，则点M落在区域Ω2的概率为 ( ) A.

B.

C.

D.

12.某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表：

- 2 -

所用时间 (分钟) 人数 [0，20) 25 [20，40) 50 [40，60) 15 [60，80) 5 [80，100) 5 公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额y(元)与乘市时间t(分钟)的关系是y=200+40

，其中

表示不超过

的最大整数.以样本频率为概率，则公司一

名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率为 ( ) A.0.5

B.0.7

C.0.8

D.0.9

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上) 13.从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A为“抽得为红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P(A∪B)= .(结果用最简分数表示)

14.从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 .

15.将号码分别为1，2，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球.其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b，则使不等式a-2b+10>0成立的事件发生的概率等于 .

16.两人相约在0时到1时之间相遇，早到者应等迟到者20分钟方可离去.如果两人出发是各自独立的，且在0时到1时之间的任何时刻相遇是等概率的，问两人相遇的概率为 . 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，计算下列事件的概率. (1)所得的三位数大于400. (2)所得的三位数是偶数.

- 3 -

18.(12分)某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示：

年降水量 100～150 150～200 200～250 250～300 (单位：mm) 概率 0.12 0.25 (1)求年降水量在100～200(mm)范围内的概率. (2)求年降水量在150～300(mm)范围内的概率.

19.(12分)已知集合M={(x，y)|x∈[0，2]，y∈[-1，(1)若x，y∈Z，求x+y≥0的概率. (2)若x，y∈R，求x+y≥0的概率.

0.16 0.14 - 4 -

1]}

20.(12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如表(单位：人)

参加演讲社团 未参加演讲社团 参加书法社团 8 2 未参加书法社团 5 30 (1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率.

(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.

21.(12分)甲、乙两人相约于下午1：00～2：00之间到某车站乘公共汽车外出，他们到达车站的时间是随机的.设在下午1：00～2：00之间该车站有四班公共汽车开出，开车时间分别是1：15，1：30，1：45，2：00.求他们在下述情况下乘同一班车的概率： (1)约定见车就乘. (2)约定最多等一班车.

- 5 -

(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).其中恰含有1件一等品的取法有：(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，恰有1件一等品的概率为P1=(1，2)，(1，3)，(2，3).故恰有2件一等品的概率为P2=品”，概率为P3=1-P2=1-=

.

，恰有2件一等品的取法有：

，其对立事件是“至多有一件一等

11.记集合A={(x，y)|x2+y2≤16}和集合B={(x，y)|x+y-4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2.若在区域Ω1内任取一点M(x，y)，则点M落在区域Ω2的概率为 ( ) A.

B.

C.

D.

【解析】选A.区域Ω1为圆心在原点，半径为4的圆， 区域Ω2为等腰直角三角形，两腰长为4， 所以P=

=

=

.

12.某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表：

所用时间 (分钟) 人数 [0，20) 25 [20，40) 50 [40，60) 15 [60，80) 5 [80，100) 5 公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额y(元)与乘市时间t(分钟)的关系是y=200+40

，其中

表示不超过

的最大整数.以样本频率为概率，则公司一

名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率为 ( ) A.0.5

B.0.7

C.0.8

D.0.9

【解析】选D.当0≤t<60时，y≤300.记事件“公司1人每月用于路途补贴不超过300元”为事件A. 则P(A)=

+

+

=0.9.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上) 13.从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A为“抽得为红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P(A∪B)= .(结果用最简分数表示)

- 11 -

【解析】由互斥事件概率公式得P(A∪B)=答案：

+=.

14.从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 .

【解析】从长度为2，3，4，5的四条线段中任意取出3条共有4种不同的取法，其中可构成三角形的有(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)三种，故所求概率P=. 答案：

15.将号码分别为1，2，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球.其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b，则使不等式a-2b+10>0成立的事件发生的概率等于 .

【解析】甲、乙两人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件为

(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(9，7)，(9，8)，(9，9)，共81个.由不等式a-2b+10>0得2b

=

.

16.两人相约在0时到1时之间相遇，早到者应等迟到者20分钟方可离去.如果两人出发是各自独立的，且在0时到1时之间的任何时刻相遇是等概率的，问两人相遇的概率为 . 【解析】假设两人分别在x时与y时到达，依题意：|x-y|≤才能相遇.显然到达时间的全部可能结果均匀分布在如图的单位正方形I内，而相遇现象，则发生在图中阴影区域G中，

- 12 -

由几何概型的概率公式：P=所以，两人相遇的可能性为. 答案：

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，计算下列事件的概率. (1)所得的三位数大于400. (2)所得的三位数是偶数.

【解析】1，5，6三个数字可以排成

156，165，516，561，615，651，共6个不同的三位数. (1)大于400的三位数的个数为4，所以P==.

(2)三位数为偶数的有156，516，共2个，所以所求的概率为P==. 18.(12分)某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示：

年降水量 (单位：mm) 概率 100～150 0.12 150～200 0.25 200～250 0.16 250～300 0.14 =

=.

(1)求年降水量在100～200(mm)范围内的概率. (2)求年降水量在150～300(mm)范围内的概率.

【解析】记这个地区的年降水量在100～150(mm)，150～200(mm)，200～250(mm)，250～

- 13 -

300(mm)范围内分别为事件A，B，C，D.这四个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，有

(1)年降水量在100～200(mm)范围内的概率是 P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.12+0.25=0.37. (2)年降水量在150～300(mm)范围内的概率是 P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D) =0.25+0.16+0.14=0.55.

19.(12分)已知集合M={(x，y)|x∈[0，2]，y∈[-1，1]} (1)若x，y∈Z，求x+y≥0的概率. (2)若x，y∈R，求x+y≥0的概率.

【解析】(1)设“x+y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0，2]，即x=0，1，2；y∈[-1，1]，即y=-1，0，1.

则基本事件有：(0，-1)，(0，0)，(0，1)，(1，-1)，(1，0)，(1，1)， (2，-1)，(2，0)，(2，1)共9个.其中满足“x+y≥0”的基本事件有8个， 所以P(A)=.

故x，y∈Z，x+y≥0的概率为. (2)设“x+y≥0，x，y∈R”为事件B， 因为x∈[0，2]，y∈[-1，1]，则

基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分.

- 14 -

所以P(B)==

==，

故x，y∈R，x+y≥0的概率为.

20.(12分)(2015·山东高考)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如表(单位：人)

参加演讲社团 未参加演讲社团 参加书法社团 8 2 未参加书法社团 5 30 (1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率.

(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.

【解题指南】将符合要求的基本事件一一列出.

【解析】(1)记“该同学至少参加上述一个社团为事件A，” 则P(A)=

=.

所以该同学至少参加上述一个社团的概率为.

(2)从5名男同学和3名女同学中各随机选1人的所有基本事件有(A1，B1)，

(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)， (A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A5，B1)，(A5，B2)，(A5，B3)共15个，其中A1被选中且B1未被选中的有(A1，B2)，(A1，B3)共2个，所以A1被选中且B1未被选中的概率为P=

.

21.(12分)甲、乙两人相约于下午1：00～2：00之间到某车站乘公共汽车外出，他们到达车站的时间是随机的.设在下午1：00～2：00之间该车站有四班公共汽车开出，开车时间分别是1：15，1：30，1：45，2：00.求他们在下述情况下乘同一班车的概率： (1)约定见车就乘. (2)约定最多等一班车.

- 15 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xdp3.html