随机信号分析习题

随机信号分析习题一

?1?e?x, x?0 1. 设函数F(x)??，试证明F(x)是某个随机变量?的分布函数。并求下列

, x?0?0 概率：P(??1)，P(1???2)。 2. 设(X,Y)的联合密度函数为

?e?(x?y), x?0, y?0， fXY(x,y)???0 , other求P?0?X?1,0?Y?1?。

3. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 fXY(x,y)??1?exp??(x2?2xy?5y2)? ??2?1求：（1）边沿密度fX(x)，fY(y)

（2）条件概率密度fY|X(y|x)，fX|Y(x|y)

4. 设离散型随机变量X的可能取值为??1,0,1,2?，取每个值的概率都为1/4，又设随机变量Y?g(X)?X?X。 （1）求Y的可能取值

（2）确定Y的分布。 （3）求E[Y]。

5. 设两个离散随机变量X，Y的联合概率密度为：

3111fXY(x,y)??(x?2)?(y?1)??(x?3)?(y?1)??(x?A)?(y?A)

333试求：（1）X与Y不相关时的所有A值。 （2）X与Y统计独立时所有A值。 6. 二维随机变量（X，Y）满足：

X?cos?Y?sin?

?为在[0，2?]上均匀分布的随机变量，讨论X，Y的独立性与相关性。

7. 已知随机变量X的概率密度为f(x)，求Y?bX的概率密度f(y)。

28. 两个随机变量X1，X2，已知其联合概率密度为f(x1,x2),求X1?X2的概率密度？ 9. 设X是零均值，单位方差的高斯随机变量，y?g(x)如图，求y?g(x)的概率密度

fY(y)

y?g(x)94x-30243\\

10. 设随机变量W和Z是另两个随机变量X和Y的函数

?W?X2?Y2 ?2Z?X?设X，Y是相互独立的高斯变量。求随机变量W和Z的联合概率密度函数。

11. 设随机变量W和Z是另两个随机变量X和Y的函数

?W?X?Y ??Z?2(X?Y)已知fXY(x,y)，求联合概率密度函数fWZ(?,z)。

?1,a?x?b?12. 设随机变量X为均匀分布，其概率密度fX(x)??b?a

?其它?0，（1）求X的特征函数,?X(?)。 （2）由?X(?)，求E[X]。

13. 用特征函数方法求两个数学期望为0，方差为1，互相独立的高斯随机变量X1和X2之和的概率密度。

14. 证明若Xn依均方收敛，即 l.i.mXn?X，则Xn必依概率收敛于X。

n??15. 设{Xn}和{Yn}(n?1,2,?)为两个二阶矩实随机变量序列，X和Y为两个二阶矩实随机变量。若l.i.mXn?X，l.i.mYn?Y，求证limE{XmXn}?E{XY}。

n??n??m??n??随机信号分析习题二

1. 设正弦波随机过程为

X(t)?Acosw0t

其中w0为常数；A为均匀分布在[0,1]内的随机变量，即

?1,0?a?1 fA(a)???0,others(1) 试求t?0,3??,时，X(t)的一维概率密度；

4w04w0w0,时，X(t)的一维概率密度。

?(2) 试求t??2w02. 若随机过程X(t)为

X(t)?At,???t???

式中，A为在区间[0,1]上均匀分布的随机变量，求E[X(t)]及RX(t1,t2)。 3. 设随机振幅信号为

X(t)?Vsinw0t

其中w0为常数；V是标准正态随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。

4. 设随机相位信号

X(t)?acos(w0t??)

式中a、w0皆为常数，?为均匀分布在[0,2?]上的随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。

5. 设X(t)?Asin(wt??),???t???，Y(t)?Bsin(wt????),???t???，其中

A，B，w，?为实常数，?~U[0,2?]，试求RXY(s,t)。

6. 数学期望为mX(t)?5sint、相关函数为RX(t1,t2)?3e?0.5(t2?t1)的随机信号X(t)输入 微分电路，该电路输出随机信号Y(t)?X(t)。求Y(t)的均值和相关函数。

7. 设随机信号X(t)?Vecos2t，其中V是均值为5、方差为1的随机变量。现设新的

3t?2随机信号Y(t)??t0X(?)d?。试求Y(t)的均值、相关函数、协方差函数和方差。

8. 利用重复抛掷硬币的实验定义一个随机过程

?cos?t,出现正面 X(t)???2t,出现反面设“出现正面”和“出现反面”的概率都为1/2。 (1) 求X(t)的一维分布函数FX(x,1/2)和FX(x,1)； (2) 求X(t)的二维分布函数FX(x1,x2;1/2,1)。

9. 给定一个随机过程X(t)和任一实数x，定义另一个随机过程

?1,X(t)?x Y(t)???0,X(t)?x证明Y(t)的均值函数和自相关函数分别为X(t)的一维和二维分布函数。 10. 定义随机过程

?1,第n次投掷均匀硬币出现正面 X(t)???1,第n次投掷均匀硬币出现反面?n?0,?1,?2,?,(n?1)S?t?nS，S为正常数，设??U[0,S]，且?与X(t)相互独立，

令Y(t)?X(t??)，试求RX(s,t)与RY(s,t)。

11. 考虑一维随机游动过程Yn，n?0,1,2,?，其中Y0?0，Yn??Xi?1ni，Xi为一取值?1

和?1的随机变量，已知P(Xi??1)?q，P(Xi??1)?p，0?p,q?1，p?q?1，且Xi，

i?1,2,?相互独立，试求：

1) 2)

P(Yn?m);

EYn和DYn。

12. 考虑随机过程X(t)，其样本函数是周期性锯齿波。两个典型的样本函数如图所示。每 个样本函数都具有相同的形状，将t?0时刻以后出现的第一个零值时刻记为T0，假设T0是一个均匀分布的随机变量

?1T,0?t?T pT0(t)???0,others求X(t)的一维概率密度pX(x)

X(t) A 13. 将上题中的锯齿波过程作一点改动，使每个脉冲的幅度A为服从麦克斯韦(Maxwell)分 布的随机变量

T0 T t ?2a2?a2?exp??2?,a?0?pA(a)??b3? ?2b??0,a?0?其中T0的定义和上题相同。假设不同脉冲的幅度A之间统计独立，并均与T0统计独立，求

Y(t)的一维概率密度pY(y)。

Y(t) 14. 考虑一个正弦振荡器，由于器件的热噪声和分布参数的影响，振荡器的输出正弦波可视 为一个随机过程

T0 T t X(t)?Asin(?t??)

其中振幅A、角频率?和相位?是相互独立的随机变量，并且已知：

?2a?2,0?a?A0 pA(a)??A0?0,others??1,250?w?350? p?(w)??100?others?0,

?1?,0???2? p?(?)??2???0,others求X(t)的一维概率密度。

随机信号分析习题三

1. 设有零均值的平稳过程?X(t)，t?0?，其相关函数为RX(?)，令

Y(t)??X(s)ds t?0

0t求?Y(t)，t?0?的方差函数和协方差函数。

2. 设?X(t)，???t????是平稳过程，且EX(t)?1，RX(?)?1?e?2?，求随机变量

S??X(t)dt

01的数学期望和方差。 3. 设随机过程

Z(t)?VX(t)Y(t) ???t?? ?其中平稳过程X(t)和Y(t)及随机变量V三者相互独立，且mX?mY?0，X(t)的相关函数为RX(?)?2e?2?cos??，Y(t)的相关函数为RY(?)?9?e?3?，又EV?2，DV?9。

求Z(t)的数学期望，方差和相关函数。

4. 设平稳过程?X(t)，???t????，其相关函数为RX(?)，且RX(T)?RX(0)，T?0是常数。证明：

(1) P(X(t?T)?X(t))?1 (2) RX(??T)?RX(?)

5. 设X(t)?Acoswt，???t???，其中w是常数，A是随机变量，具有概率密度函数

?1 0?x?1 fA(x)??0 others?讨论?X(t)，???t????的严平稳性。

6. 设A是任意的随机变量，?是与A相互独立的，且在[0,2?]上服从均匀分布的随机变

量，令X(t)?Asin(wt??)，???t???，w?0是常数，证明?X(t)，???t????是严平稳过程。

7. 设?X(t)，???t????是一个零均值的平稳过程，而且不恒等于一个随机变量，令

Y(t)?X(t)?X(0)，???t???。判断?Y(t)，???t????是否为平稳过程。

8. 设Z(t)?Ycost?Xsint，???t???，其中X和Y是相互独立的随机变量，且

P(X??1)?P(Y??1)?21，P(X?2)?P(Y?2)?。 33(1) 求?Z(t)，???t????的均值函数和相关函数；

(2) 证明?Z(t)，???t????是宽平稳过程，但不是严平稳过程。

9.(上节习题课的例题12)考虑随机过程X(t)，其样本函数是周期性锯齿波。两个典型的样本函数如图所示。每个样本函数都具有相同的形状，将t?0时刻以后出现的第一个零值时刻记为T0，假设T0是一个均匀分布的随机变量

?1T,0?t?T pT0(t)???0,others判断X(t)平稳性。

X(t) A T0 T t

10. (上节习题课的例题14)考虑一个正弦振荡器，由于器件的热噪声和分布参数的影响，振荡器的输出正弦波可视为一个随机过程

X(t)?Asin??t???

其中振幅A、角频率?和相位?是相互独立的随机变量，并且已知

?2a?2 0?a?A0 pA(a)??A0?0 others??1 250?w?350? p?(w)??100??0 others?1? 0???2? p?(?)??2???0 others(1)求X(t)的一维概率密度； (2) X(t)是一阶平稳过程吗？ 11. 设

???t????是平稳过程，其协方差?X(t)，CX(?)是绝对可积，即

?????CX(?)d????。证明?X(t)，???t????的均值具有各态历经性。

12. 设随机过程Z(t)?X(t)?Y，其中X(t)是一平稳过程，Y是与X(t)无关的随机变量，讨论过程Z(t)的遍历性。

13. 设X(t)?Acos?wt???，???t???，其中w?0是常数，A和?是相互独立的随机变量，且??U[0,2?]，研究?X(t)，???t????的各态历经性。

14. 随机过程X(t)?X，???t???，其中X是具有一、二阶矩的随机变量，但不服从单点或两点分布P(X??a)?1，a?0，讨论它的各态历经性。

随机信号分析习题四

1. 已知平稳过程X(t)的相关函数如下，试求它的功率谱密度

(1) RX(?)?e?a?cosw0?,a?0

???1?,??T0(2) RX(?)??T0

?0,??T0?2. 设X(t)为一个随机电报波过程，它的一个样本函数如图所示。已知在任一时刻波形取

?A和?A的概率相同，在时间间隔?内波形变号的次数n服从参数为?的泊松分布

(??)n???P(n,?)?e

n!(1) 求X(t)的自相关函数； (2) 求X(t)的功率谱密度函数。

X(t)A 0t0 t?A 3. 已知平稳过程X(t)和Y(t)的功率谱密度为

w2?4SX(w)?4

w?10w2?9w2SY(w)?4 2w?3w?2

求X(t)和Y(t)的自相关函数和均方值。

4. 若X(t)是平稳随机过程，如图所示证明过程Y(t)的功率谱密度为

SY(w)?2SX(w)(1?coswT)

X(t) ＋ Y(t) 延时T 22 5. 设S(w)是一个平稳过程的功率谱密度函数，证明dS(w)dw不可能是平稳过程的功

率谱密度函数。

6. 设随机过程X(t)?acos(?t??)，其中a为常量，?和?为相互独立的随机变量，

?的一维概率密度为偶函数，且?均匀分布于(0,2?)，即fa(w)?fa(?w)，求证X(t)的功率谱密度为

SX(w)??a2fa(w)

7. 设X(t)和Y(t)是联合平稳的。试证明

Re?SXY(w)??Re?SYX(w)? Im?SXY(w)???Im?SYX(w)?

8. 给定一个随机过程

X(t)?Acos(w0t??)

式中，A和w0为常数，?为均匀分布于(0,2?)的随机变量 （1） 求X(t)的平均功率； （2） 求X(t)的功率谱密度。

9. 若平稳过程X(t)的功率谱密度为SX(w)，又有

Y(t)?aX(t)cosw0t

式中，a为常数，求功率谱密度SY(w)。

10. 设X(t)和Y(t)是两个相互独立的平稳过程，均值函数mX和mY都不为零，已知mX和

Y(t)，试计算mY，以及X(t)和Y(t)的功率谱密度SX(w)和SY(w)，令Z(t)?X(t)?SXY(w)和SXZ(w)。

11. 已知随机变量X和Y的联合概率密度为

?x2?y2?11pXY(x,y)?exp??exp(??2)g(x)g(y) ??2?2?2??其中

??cosx,x??g(x)??

0,x????(1) 求边缘分布pX(x)和pY(y)； (2) 证明X和Y不相关，但不统计独立。

12. 一个零均值高斯过程，其协方差为

C(t,s)?e

?s?t

求在时刻t1?0，t2?1，t3?2抽样的三维概率密度。

13. 设随机过程

X(t)?Ucoswt?Vsinwt

其中w为常数，U和V是两个相互独立的高斯随机变量，已知

E(U)?E(V)?0

E(U2)?E(V2)??2

求X(t)的一维概率密度函数。

14. 设X(t)为平稳高斯过程，其均值为零，自相关函数为R(?)?e??，求随机变量

Y??X(t)dt的概率密度函数pY(y)。

0115. 设X(t)为一个零均值高斯过程，其功率谱密度SX(f)如图所示，若每

样一次，得到样本集合X(0),X(1秒对X(t)取2W1),?，求前N个样本的联合概率密度。 2WSX(f) P 2Wf?W 0 W

随机信号分析习题五

1. 非周期平稳过程X(t)的自相关函数为

??RX(?)?a2?be

式中，a和b是正实常数，系统的冲激响应为

h(t)?e??tU(t)

其中?为正实常数，求该系统输出过程的均值。 2. 假设低通滤波器的传输函数与冲激响应如下

11?RC1H(w)?e ，h(t)?1?jwRCRC输入为白噪声，其功率谱密度为GX(w)?N02，求 (1) 滤波器输出功率谱密度；

(2) 滤波器输出自相关函数； (3) 证明

RY(t3?t1)?RY(t3?t2)RY(t2?t1),t3?t2?t1

RY(0)3. 设有冲激响应为h(t)的线性系统，系统输入X(t)为零均值、平稳过程，该过程的自相

关函数为

RX(?)??(?)

问：h(t)具备什么条件，可使输入过程X(t)与输出过程Y(t)在时刻t?t1的随机变量不相关。

4. 设Xn是纯随机序列，且在?1与?1间均匀分布，试利用下列滤波方程求出Wn，Zn与Yn的自相关函数与功率谱密度。

Wn?Xn?Xn?1 Zn?Xn?2Xn?1?Xn?2

1Yn??Yn?1?Xn

25. 线性系统H(j?)的输入为平稳过程x(t)，其功率谱为Sx(?)，设y(t)为输出。

(1) 求误差过程e(t)?y(t)?x(t)的功率谱密度函数Se(?)； (2) 考虑RC电路，设输入为一个二元波过程，求Se(?)。

R X(t)

6. 一个平均电路如下图所示

(1) 证明系统的冲激响应函数为

C Y(t)

?1T,0?t?T h(t)??others?0,(2) 设输入过程X(t)的功率谱密度为SX(?)，求输出过程Y(t)的功率谱密度。

X(t) 1T?tt?TX(?)d? Y(t) 7. 设输入为白噪声过程X(t)，其自相关函数为RX(?)?S0?(?)。求

(1) 系统的冲激响应函数；

(2) 输出过程Y(t)的均方值。

4Ω 1/8 F 1/3Ω 1/6 F X(t)

Y(t)

8. 证明均值为零、自相关函数为RX(?)??2?(?)的白噪声X(t)通过一个理想积分器后输

出方程Y(t)??t0X(u)du的均方值为?2t。

9. 在习题5所示的RC电路中，设输入过程X(t)的自相关函数为

RX(?)??2e

???，??0

2求输出过程Y(t)的功率谱密度函数SY(?)，自相关函数RY(?)和均方值?Y。

10. 假设某线性系统如图所示，试用频域分析方法求出： (1) 系统的传输函数；

(2) 当输入是谱密度为S0的白噪声时。输出Z(t)的均方值。

(提示：利用积分

??0sin2ax?dx?a) x22Y(t) tX(t) 延迟T 11. 随机过程Y(t)满足微分方程

? ? ? ???Y(?)d? Z(t)

Y??(t)?3Y?(t)?2Y(t)?X(t)

其中对于任意t，X(t)都为白噪声，其自相关函数RX(?)?K?(?)。证明Y(t)的自相关函数RY(?)满足方程

??(?)?3RY?(?)?2RY(?)?0，??0 RY?(0)?0。 其中，初始条件为RY(0)?K12，RY12. 如下图所示系统中输入X(t)同时作用于两个系统

(1) 求输出Y1(t)和Y2(t)的互谱密度SYY(?)； 12(2) 设X(t)是零均值的具有单位谱高的白噪声，若要使Y1(t)和Y2(t)为不相关过程，

h1(?)和h2(?)应满足什么条件？

H1(j?) X(t) Y1(t)

H2(j?) 13. 如下图所示系统中，若已知

Y2(t)

h1(t)?e?atU(t)，a?0

并已知输入W(t)是均值为零，谱密度为N02的高斯白噪声，求输出过程Y(t)的一维概率密度pY(y)。

W(t) X(t) h1(t) ? ? Y(t) ? 延时T

随机信号分析习题六

1. 分别求下列信号的希尔伯特变换

(1) s1(t)?sin?0t。 (2) s2(t)?cos?0t。

2. 试求下列信号的解析信号及复数包络：

(1) 指数衰落正弦波

X(t)?Ae?atcos[?0t??(t)]

(2) 调幅波

X(t)?(1?Acos?t)cos?0t,???0

(3) 线性调制波

b??X(t)?Acos??0t?t2?,b??0

2??3. 设低频信号a(t)的频谱为

?A(?),????2 A(?)??0,others?证明当?0???2时，有

H[a(t)cos?0t]?a(t)sin?0tH[a(t)sin?0t]??a(t)cos?0t4. 试证：

(1) 偶函数的希尔伯特变换为奇函数； (2) 奇函数的希尔伯特变换为偶函数。 5. 试证：

(1) H[ej?0t

]??jej?0t；

1； ?t(2) H[?(t)]??(t)为x(t)的希尔伯特变换，证明： 6. 设x?(t)在范围???t???内的功率相等，即 (1) x(t)和x1limT??2T

1x(t)dt?lim??TT??2TT2?T?T?2(t)dt x?(t)是正交的，即 (2) 在范围???t???内，x(t)和x1T??2Tlim?T?T?(t)dt?0。 x(t)x?(t)为X(t)的解析信号： 7. 证明下式成立，其中X(t)为平稳随机过程，X?(1) Rx?(?)?2[Rx(?)?jRx(?)]； ?(t)X?(t??)]?0 (2) E[X8. 一个线性系统输入为X(t)时，相应的输出为Y(t)。证明若该系统的输入为X(t)的希

?(t)，则相应的输出Y(t)的希尔伯特变换为Y?(t)。 尔伯特变换X9. 证明若加到系统H(j?)?2U(?)的输入为X(t)，则相应的输出为对应于X(t)的解析

信号，即

?(t) Z(t)?X(t)?jX10. 设谱密度为

N0的零均值高斯白噪声通过一个理想带通滤波器，此滤波器的增益为1，2中心频率为fc，带宽为2B。试求滤波器输出端的窄带过程X(t)及其同相和正交分量的自相关函数RX(?)、Rc(?)、Rs(?)。

11. 设窄带过程X(t)的功率谱SX(?)如图所示，试求：

(1) X(t)的同相和正交分量的功率谱密度。 (2) 互谱密度Ssc(?)。

SX(?) 4 -7 -5 -4 0 4 5 7 ?

12. 设如图所示系统的输入是谱密度为

N0?在(0,2?)上服从的零均值高斯白噪声X(t)，

2均匀分布，且与X(t)统计独立。其中两个滤波器的通带分别为(?B,B)和

(f0,f0?2B),(?f0?2B,?f0)。

(1) 求输出过程Y(t)的功率谱密度SY(f)。 (2) 求Y(t)的方差。

X(t) 带通H1(f) ?Y(t) 低通H2(f) cos(2?f0t??) 13. 零均值平稳窄带噪声Y(t)具有对称功率谱，其相关函数为RY(?)?A(?)cos?0?，求正

2交和同相分量的相关函数Rc(?)、Rs(?)和方差?c、?s2，并求互相关函数Rsc(?)、

Rcs(?)。

14. 对于零均值，方差为?的窄带平稳高斯过程

2

Z(t)?B(t)cos[?0t??(t)]?Ac(t)cos?0t?As(t)sin?0t

求证：包络在任意时刻所给出的随机变量Bt其数学期望值与方差分别为

E[Bt]??????,D[Bt]??2???2。 22??15. 试证：均值为零、方差为1的窄带平稳高斯过程，其任意时刻的包络平方的数学期望为

2，方差为4。

随机信号分析习题七

1. 设{X(t),-??t??}是均值为零的实正态平稳过程，相关函数为RX(?)，

?1 X(t)?0Y(t)?sgnX(t)??

?1 X(t)?0?(1) 证明Y(t)是平稳过程. (2) 求相关系数rY(?) 2. 设{X(t),-??t??}是均值为零的实正态平稳过程，相关函数为RX(?)，

Y(t)?X(t)，求Y(t)的均值和自相关函数.

3. 设{X(t),-??t??}是均值为零的实正态平稳过程，相关函数为RX(?)，功率谱密

度为SX(?)，Y(t)?X2(t),

(1) 求Y(t)的一维概率密度分布. (2) 求Y(t)的二维概率密度分布. (3) 证明Y(t)?X2(t)也是一个平稳过程.

(4) 求Y(t)的功率谱密度.

4. 系统输入X(t)是均值为零的实正态平稳随机信号，通过系统输出Z(t)功率谱密度为

Sz(?)???(?)2?? ??0

1??2(?2??2)(1??2)试求X(t)、Y(t)各自的自相关函数.

X(t)( ? )2Y(t)h(t)?eU(t)?tZ(t)

5. 信号和噪声X(t)?S(t)同时作用于平方律检波器y?f(x)?bx2，信号?N(t)S(t)?acos(?0t??，其中)a和?0为常数，?为[0 2?]均匀分布的随机变量，噪声

为零均值的高斯随机过程，相关函数为RN(?)，信号和噪声是不相关的，求输出信号的均值、方差、自相关函数和功率谱. 6. 设一非线性系统的传输特性为

y??ax a?0

2其输入X(t)为零均值的平稳高斯噪声，方差为?X，相关函数为RX(?)，用多项式变换的

矩函数法求输出的自相关函数(多项式展开只取前3项).

7. 系统输入X(t)是均值为零，方差为1的高斯白噪声，用特征函数法求非线性系统输出

端的自相关函数函数.

8. 系统输入X(t)是均值为零，方差为1的高斯白噪声，通过一线性检波器

?bx x?0y?f(x)??

0 x?0?用特征函数法求系统输出Y(t)的自相关函数.

9. 窄带正态随机过程X(t)?Atcos?t，通过平方律检波器

y?f(x)?bx2

求检波器输出端的均值和方差.

随机信号分析习题八

1,2}的马氏链，其一步转移概率矩阵为 1.设有三个状态{0,?1?3?P??0???1??2求

23230?0??1?3? ?1?2??f00(1),f00(2),f00(3),f01(1),f01(2),f01(3).

2,3}的马氏链，其一步转移概率矩阵为 2. 设有三个状态{1,?pP???0??pqp00?q?? 0?p?1,p?q? 1q??对n?1,2,3，求f12(n)和f13(n).

2,3}的马氏链，其一步转移概率矩阵为 3.设有三个状态{1,?1?2?1P???3??1??4求(1)何时此链具有遍历性

(2)极限分布的各个概率

1413121?4??1?3? ?1?4??2,3}的马氏链，其一步转移概率矩阵为 4. 设有三个状态{1,?01P???q0??01判断此链是否具有遍历性.

0?p?? 0??2}的马氏链，其一步转移概率矩阵为 5. 设有两个状态{1,?10?P???I ??01?讨论此链的遍历性和平稳分布. 6.已知独立随机变量序列

X1,X2,L,Xn，序列中的各个随机变量分别具有概率密度函数

fX2(x2)，

fX1(x1)，

L，

fXn(xn)，设

Y1?X,Y?1X?X2LYn,?X1?X,?L?2Xn，于是构成了一个新的随机

变量序列Y1,Y2,L,Yn，证明序列是一个马尔可夫序列.

X(t)，

t07.一积分器的输入为N(t)，输出为

X(t)??N(t)dt

若N(t)是零均值的平稳正态白噪声，功率谱密度为N08.设{X(t),t数

/2，证明X(t)为一维纳过程.

?0}为一个独立增量过程，且X(0)?0，若用F(t)表示X(t)的方差函

F(t)?E{[X(t)?E{X(t)}]2}

(1) 证明

X(t)的协方差函数C(t,s)满足

C(t,s)?E{[X(t)?E{X(t)}][X(s)?E{X(s)}]}?F[min(s,t)]

(2) 对应于泊松过程和维纳过程分别求相应的F(t)和C(t,s).

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