《离散数学》试题及答案

《离散数学》试题及答案

一、填空题

1 设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝ {3} ; {3},{1,3},{2,3},{1,2,3}} .

2. 设有限集合A, |A| = n, 则 |?(A×A)| = 2 .

3. 设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是?1= {(a,1), (b,1)}, ?2= {(a,2), (b,2)},?3= {(a,1), (b,2)}, ?4= {(a,2), (b,1)}, 其中双射的是 ?3, ?4 .

4. 已知命题公式G＝?(P?Q)∧R，则G的主析取范式是 (P∧?Q∧R) 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为 12 ，分枝点数为 3 .

6 设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝ {4} ; A?B＝{1,2,3,4}; A－B＝ {1,2} .

7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是 自反性 , 对称性 传递性 .

8. 设命题公式G＝?(P?(Q?R))，则使公式G为真的解释有 (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0) 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则

R1?R2 = {(1,3),(2,2),(3,1)} , R2?R1 = {(2,4),(3,3),(4,2)} _ R12 = {(2,2),(3,3). m?n?(A) - ?(B)＝

n2

10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |?(A?B)| = 2 .

11 设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x?R}, B = {x | 0≤x < 2, x?R},则A-B = -1<=x<0 , B-A = {x | 1 < x < 2, x?R} , A∩B = {x | 0≤x≤1, x?R} , .

13. 设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除关系，则R以集合形式(列举法)记为 {(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)} .

14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)??xQ(x)，则G的前束范式是 ?x(?P(x)∨Q(x)) . 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加 21 条边才能把G变成完全图。(完全图的边数

n(n?1)，树的边数为n-1) 216. 设谓词的定义域为{a, b},将表达式?xR(x)→?xS(x)中量词消除 ，写成与之对应的命题公式是_ (R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)) _.

17. 设集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的二元关系R＝{(1,1),(1,2),(2,3)}, S＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。则

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R?S＝ {(1, 3),(2, 2)} , R2＝ {(1, 1),(1, 2),(1, 3)}.

二、选择题

1 设集合A={2,{a},3,4}，B = {{a},3,4,1}，E为全集，则下列命题正确的是( C )。 (A){2}?A (B){a}?A (C)??{{a}}?B?E (D){{a},1,3,4}?B.

2 设集合A={1,2,3},A上的关系R＝{(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}，则R不具备( D ). (A)自反性 (B)传递性 (C)对称性 (D)反对称性

3 设半序集(A,≤)关系≤的哈斯图如下所示，若A的子集B = {2,3,4,5},则元素6为B的( B )。

6 (A)下界 (B)上界 (C)最小上界 (D)以上答案都不对

5 4 下列语句中，( B )是命题。

4 3 (A)请把门关上 (B)地球外的星球上也有人

(C)x + 5 > 6 (D)下午有会吗？ 5 设I是如下一个解释：D＝{a,b},

2 1 P(a,a) P(a,b) P(b,a) P(b,b)

1 0 1 0则在解释I下取真值为1的公式是( D ).

(A)?x?yP(x,y) (B)?x?yP(x,y) (C)?xP(x,x) (D)?x?yP(x,y).

6. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( C ). (A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6).

7. 设G、H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，G＝?xP(x), H＝?xP(x),则一阶逻辑公式G?H是( C ). (A)恒真的 (B)恒假的 (C)可满足的 (D)前束范式.

8 设命题公式G＝?(P?Q)，H＝P?(Q??P)，则G与H的关系是( A )。 (A)G?H (B)H?G (C)G＝H (D)以上都不是. 9 设A, B为集合，当( D )时A－B＝B. (A)A＝B (B)A?B (C)B?A (D)A＝B＝?.

10 设集合A = {1,2,3,4}, A上的关系R＝{(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)}, 则R具有( B )。 (A)自反性 (B)传递性 (C)对称性 (D)以上答案都不对 11 下列关于集合的表示中正确的为( B )。

(A){a}?{a,b,c} (B){a}?{a,b,c} (C)??{a,b,c} (D){a,b}?{a,b,c} 12 命题?xG(x)取真值1的充分必要条件是( A ).

(A) 对任意x，G(x)都取真值1. (B)有一个x0，使G(x0)取真值1. (C)有某些x，使G(x0)取真值1. (D)以上答案都不对.

13. 设G是连通平面图，有5个顶点，6个面，则G的边数是( A ). (A) 9条 (B) 5条 (C) 6条 (D) 11条.

14. 设G是5个顶点的完全图，则从G中删去( A )条边可以得到树. (A)6 (B)5 (C)10 (D)4.

?01111??10100??，则G的顶点数与边数分别为( D ). 15. 设图G的相邻矩阵为??11011???10101????10110??

(A)4, 5

(B)5, 6 (C)4, 10 (D)5, 8.

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三、计算证明题

1.设集合A＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}，R为整除关系。

(1) 画出半序集(A,R)的哈斯图；

(2) 写出A的子集B = {3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界； (3) 写出A的最大元，最小元，极大元，极小元。 解：（1）

842112639

（2） B无上界，也无最小上界。下界1, 3; 最大下界是3 （3） A无最大元，最小元是1，极大元8, 12, 9; 极小元是1

2. 设集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的关系R＝{(x,y) | x, y?A 且 x ? y}, 求 (1) 画出R的关系图； (2) 写出R的关系矩阵.

1 4 解：（1）

2 ?1?13 （2）MR???1??1011100110?0?? 0??1?

3. 设R是实数集合，?,?,?是R上的三个映射，?(x) = x+3, ?(x) = 2x, ?(x) ＝ x/4,试求复合

映射???，???, ???, ???，?????. 解： (1)???＝?(?(x))＝?(x)+3＝2x+3＝2x+3.

(2)???＝?(?(x))＝?(x)+3＝(x+3)+3＝x+6, (3)???＝?(?(x))＝?(x)+3＝x/4+3, (4)???＝?(?(x))＝?(x)/4＝2x/4 = x/2,

(5)?????＝??(???)＝???+3＝2x/4+3＝x/2+3.

▲4. 设I是如下一个解释：D = {2, 3},

a 3

b 2

f (2) 3

f (3) 2

P(2, 2) 0

P(2, 3) 0

P(3, 2) 1

P(3, 3) 1

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试求 (1) P(a, f (a))∧P(b, f (b));

(2) ?x?y P (y, x).

解：

(1) P(a, f (a))∧P(b, f (b)) = P(3, f (3))∧P(2, f (2))

= P(3, 2)∧P(2, 3) = 1∧0 = 0.

(2) ?x?y P (y, x) = ?x (P (2, x)∨P (3, x))

5. 设集合A＝{1, 2, 4, 6, 8, 12}，R为A上整除关系。

(1) 画出半序集(A,R)的哈斯图；

(2) 写出A的最大元，最小元，极大元，极小元；

(3) 写出A的子集B = {4, 6, 8, 12}的上界，下界，最小上界，最大下界.

解：(1) (2)无最大元，最小元1，极大元8, 12; 极小元是1. (3) B无上界，无最小上界。下界1, 2; 最大下界2.

= (P (2, 2)∨P (3, 2))∧(P (2, 3)∨P (3, 3)) = (0∨1)∧(0∨1) = 1∧1 = 1.

6. 设命题公式G = ?(P→Q)∨(Q∧(?P→R)), 求G的主析取范式。 解：

G = ?(P→Q)∨(Q∧(?P→R))

= ?(?P∨Q)∨(Q∧(P∨R)) = (P∧?Q)∨(Q∧(P∨R)) = (P∧?Q)∨(Q∧P)∨(Q∧R)

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= (P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R) = (P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R) = m3∨m4∨m5∨m6∨m7 = ?(3, 4, 5, 6, 7).

7. (9分)设一阶逻辑公式：G = (?xP(x)∨?yQ(y))→?xR(x)，把G化成前束范式. 解：

G = (?xP(x)∨?yQ(y))→?xR(x)

9. 设R是集合A = {a, b, c, d}. R是A上的二元关系, R = {(a,b), (b,a), (b,c), (c,d)},

(1) 求出r(R), s(R), t(R)； (2) 画出r(R), s(R), t(R)的关系图. 解：（1）

r(R)＝R∪IA＝{(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d)},

s(R)＝R∪R1＝{(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c)},

－

= ?(?xP(x)∨?yQ(y))∨?xR(x) = (??xP(x)∧??yQ(y))∨?xR(x) = (?x?P(x)∧?y?Q(y))∨?zR(z) = ?x?y?z((?P(x)∧?Q(y))∨R(z))

t(R)＝R∪R2∪R3∪R4＝{(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)}； (2)关系图:

11. 通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价： (1) G = (P∧Q)∨(?P∧Q∧R)

(2) H = (P∨(Q∧R))∧(Q∨(?P∧R)) 解： G＝(P∧Q)∨(?P∧Q∧R)

abr(R)dcabs(R)dabt(R)dc c第 5 页 共 13 页

《离散数学》试题及答案

＝(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R) ＝m6∨m7∨m3 ＝? (3, 6, 7)

H = (P∨(Q∧R))∧(Q∨(?P∧R)) ＝(P∧Q)∨(Q∧R))∨(?P∧Q∧R)

＝(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R) ＝(P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R) ＝m6∨m3∨m7

G,H的主析取范式相同，所以G = H.

13. 设R和S是集合A＝{a, b, c, d}上的关系，其中R＝{(a, a),(a, c),(b, c),(c, d)},

S＝{(a, b),(b, c),(b, d),(d, d)}. (1) 试写出R和S的关系矩阵； (2) 计算R?S, R∪S, R1, S1?R1.

－

－

－

解：

?1?0 (1)MR???0??0000011000??0?00?? MS??1??0??0??0100001000?1?? 0??1?(2)R?S＝{(a, b),(c, d)},

R∪S＝{(a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d),(d, d)}, R1＝{(a, a),(c, a),(c, b),(d, c)},

－

S1?R1＝{(b, a),(d, c)}.

－

－

四、证明题

1. 利用形式演绎法证明：{P→Q, R→S, P∨R}蕴涵Q∨S。 解：

(1) P∨R (2) ?R→P (3) P→Q (4) ?R→Q

P Q(1) P Q(2)(3)

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(5) ?Q→R Q(4) (6) R→S P (7) ?Q→S Q(5)(6) (8) Q∨S

Q(7)

2. 设A,B为任意集合，证明：(A-B)-C = A-(B∪C). 解： (A-B)-C =(A?B)?C

?A?(B?C) ?A?(B?C)

?A?(B?C)

3. (本题10分)利用形式演绎法证明：{?A∨B, ?C→?B, 解：

(1) A

D(附加) (2) ?A∨B P (3) B

Q(1)(2) (4) ?C→?B P (5) B→C Q(4) (6) C

Q(3)(5) (7) C→D P (8) D

Q(6)(7) (9) A→D

D(1)(8)

所以 {?A∨B, ?C→?B, C→D}蕴涵A→D. 4. (本题10分)A, B为两个任意集合，求证：

A－(A∩B) = (A∪B)－B . 解： 4. A－(A∩B)

= A∩~(A∩B) ＝A∩(~A∪~B) ＝(A∩~A)∪(A∩~B)

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C→D}蕴涵A→D。 《离散数学》试题及答案

＝?∪(A∩~B) ＝(A∩~B) ＝A－B 而 (A∪B)－B

= (A∪B)∩~B = (A∩~B)∪(B∩~B) = (A∩~B)∪? = A－B

所以：A－(A∩B) = (A∪B)－B.

参考答案

一、填空题

1. {3}; {{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}. 2. 2.

n23. ?1= {(a,1), (b,1)}, ?2= {(a,2), (b,2)},?3= {(a,1), (b,2)}, ?4= {(a,2), (b,1)}; ?3, ?4. 4. (P∧?Q∧R). 5. 12, 3.

6. {4}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2}. 7. 自反性；对称性；传递性. 8. (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0).

9. {(1,3),(2,2),(3,1)}; {(2,4),(3,3),(4,2)}; {(2,2),(3,3)}. 10. 2m?n.

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11. {x | -1≤x < 0, x?R}; {x | 1 < x < 2, x?R}; {x | 0≤x≤1, x?R}. 12. 12; 6.

13. {(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}. 14. ?x(?P(x)∨Q(x)). 15. 21.

16. (R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)). 17. {(1, 3),(2, 2)}; {(1, 1),(1, 2),(1, 3)}. 二、选择题

1. C. 2. D. 3. B. 4. B. 5. D. 6. C. 7. C.

8. A. 9. D. 10. B. 11. B. 13. A. 14. A. 15. D 三、计算证明题 1. (1)

842112639 (2) B无上界，也无最小上界。下界1, 3; 最大下界是3. (3) A无最大元，最小元是1，极大元8, 12, 90+; 极小元是1. 2.R = {(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.

(1)

1 4 2 3 ?1?1(2)MR???1??1011100110?0?? 0??1?3. (1)???＝?(?(x))＝?(x)+3＝2x+3＝2x+3.

(2)???＝?(?(x))＝?(x)+3＝(x+3)+3＝x+6, (3)???＝?(?(x))＝?(x)+3＝x/4+3, (4)???＝?(?(x))＝?(x)/4＝2x/4 = x/2,

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《离散数学》试题及答案

(5)?????＝??(???)＝???+3＝2x/4+3＝x/2+3. 4. (1) P(a, f (a))∧P(b, f (b)) = P(3, f (3))∧P(2, f (2))

= P(3, 2)∧P(2, 3) = 1∧0 = 0.

(2) ?x?y P (y, x) = ?x (P (2, x)∨P (3, x))

= (P (2, 2)∨P (3, 2))∧(P (2, 3)∨P (3, 3)) = (0∨1)∧(0∨1) = 1∧1 = 1.

5. (1)

(2) 无最大(3) B无上

841262元，最小元1，极大元8, 12; 极小元是1.

1 界，无最小上界。下界1, 2; 最大下界2.

6. G = ?(P→Q)∨(Q∧(?P→R))

= ?(?P∨Q)∨(Q∧(P∨R)) = (P∧?Q)∨(Q∧(P∨R)) = (P∧?Q)∨(Q∧P)∨(Q∧R)

= (P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R) = (P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R) = m3∨m4∨m5∨m6∨m7 = ?(3, 4, 5, 6, 7).

7. G = (?xP(x)∨?yQ(y))→?xR(x)

= ?(?xP(x)∨?yQ(y))∨?xR(x) = (??xP(x)∧??yQ(y))∨?xR(x) = (?x?P(x)∧?y?Q(y))∨?zR(z) = ?x?y?z((?P(x)∧?Q(y))∨R(z))

9. (1) r(R)＝R∪IA＝{(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d)},

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