小初高学习2017-2018版高中数学 第一章 数列 2.2 等差数列的前n项和（二）学案 北师

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2.2 等差数列的前n项和(二)

学习目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.2.会解等差数列前n项和的最值问题.3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.

知识点一 数列中an与Sn的关系

思考 已知数列{an}的前n项和Sn＝n，怎样求a1，an? 梳理 对任意数列{an}，Sn与an的关系可以表示为

?n＝? an＝?

? ?

2

，

n≥2，n∈N＋

知识点二 等差数列前n项和的最值

思考 我们已经知道，当公差d≠0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn＝n＋(a1

2－)n，类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？ 2梳理 等差数列前n项和的最值与{Sn}的单调性有关．

(1)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值． (2)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值． (3)若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列，

d2

dS1是{Sn}的最大值．

类型一 已知数列{an}的前n项和Sn求an 引申探究

12

例1中前n项和改为Sn＝n＋n＋1，求通项公式．

2

12

例1 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n＋n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列

2吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

反思与感悟 已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝

Sn－Sn－1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示．

跟踪训练1 已知数列{an}的前n项和Sn＝3，求an. 类型二 等差数列前n项和的最值

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24

例2 已知等差数列5,4，3，…的前n项和为Sn，求当Sn取得最大值时n的值．

77反思与感悟 在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于Sn为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图像或性质求解．

跟踪训练2 在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值． 类型三 求等差数列前n项的绝对值之和

例3 若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn. 反思与感悟 求等差数列{an}前n项的绝对值之和，根据绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和．

跟踪训练3 已知数列{an}中，Sn＝－n＋10n，数列{bn}的每一项都有bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn的表达式．

2

1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n＋n，则an等于( ) A．4n－2 B．n C．2n＋1 D．2n

2．已知数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)＋λ，则λ的值是( ) A．－2 B．－1 C．0 D．1

3．首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝________时，Sn取到最大值． 4．已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2，求an.

1．因为an＝Sn－Sn－1只有n≥2时才有意义，所以由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和

n2

2

2

n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数

的形式表示．

2．求等差数列前n项和最值的方法：

(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N＋，结合二次函数图像的对称性来确定n的值，更加直观．

??an≥0，(2)通项法：当a1>0，d<0，?

?an＋1≤0?

??an≤0，

时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，?

?an＋1≥0?

时，

Sn取得最小值．

3．求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点．

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答案精析

问题导学 知识点一

思考 a1＝S1＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n－(n－1)＝2n－1， 又n＝1时也适合上式，所以an＝2n－1，n∈N＋. 梳理 S1 Sn－Sn－1 知识点二

思考 由二次函数的性质可以得出：当a1＜0，d>0时，Sn先减后增，有最小值；当a1>0，d<0时，Sn先增后减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值． 题型探究

例1 解 根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N＋)， 11122

当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝n＋n－[(n－1)＋(n－1)]＝2n－，①

222132

当n＝1时，a1＝S1＝1＋×1＝，也满足①式．

221

∴数列{an}的通项公式为an＝2n－. 2

3

故数列{an}是以为首项，2为公差的等差数列．

2引申探究

解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1

1122

＝(n＋n＋1)－[(n－1)＋(n－1)＋1]

221

＝2n－. 2

①

2

2

152

当n＝1时，a1＝S1＝1＋＋1＝不符合①式．

225

??2，n＝1，∴a＝?1

2n－??2，n≥2，n∈N

n＋

.

n－1

跟踪训练1 解 当n＝1时，a1＝S1＝3； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3－3当n＝1时，代入an＝2·3教育精品学习资源

n－1n＝2·3

n－1

.

得a1＝2≠3.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xdcx.html