小初高学习2017-2018版高中数学 第一章 数列 2.2 等差数列的前n项和(二)学案 北师
更新时间:2023-12-25 18:01:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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2.2 等差数列的前n项和(二)
学习目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.2.会解等差数列前n项和的最值问题.3.理解an与Sn的关系,能根据Sn求an.
知识点一 数列中an与Sn的关系
思考 已知数列{an}的前n项和Sn=n,怎样求a1,an? 梳理 对任意数列{an},Sn与an的关系可以表示为
?n=? an=?
? ?
2
,
n≥2,n∈N+
知识点二 等差数列前n项和的最值
思考 我们已经知道,当公差d≠0时,等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn=n+(a1
2-)n,类比二次函数的最值情况,等差数列的Sn何时有最大值?何时有最小值? 2梳理 等差数列前n项和的最值与{Sn}的单调性有关.
(1)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最大值. (2)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最小值. (3)若a1>0,d>0,则{Sn}是递增数列,S1是{Sn}的最小值;若a1<0,d<0,则{Sn}是递减数列,
d2
dS1是{Sn}的最大值.
类型一 已知数列{an}的前n项和Sn求an 引申探究
12
例1中前n项和改为Sn=n+n+1,求通项公式.
2
12
例1 已知数列{an}的前n项和为Sn=n+n,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列
2吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?
反思与感悟 已知前n项和Sn求通项an,先由n=1时,a1=S1求得a1,再由n≥2时,an=
Sn-Sn-1求得an,最后验证a1是否符合an,若符合则统一用一个解析式表示.
跟踪训练1 已知数列{an}的前n项和Sn=3,求an. 类型二 等差数列前n项和的最值
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24
例2 已知等差数列5,4,3,…的前n项和为Sn,求当Sn取得最大值时n的值.
77反思与感悟 在等差数列中,求Sn的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正(负)值或零,而它后面的各项皆取负(正)值,则从第1项起到该项的各项的和为最大(小).由于Sn为关于n的二次函数,也可借助二次函数的图像或性质求解.
跟踪训练2 在等差数列{an}中,an=2n-14,试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值. 类型三 求等差数列前n项的绝对值之和
例3 若等差数列{an}的首项a1=13,d=-4,记Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn. 反思与感悟 求等差数列{an}前n项的绝对值之和,根据绝对值的意义,应首先分清这个数列的哪些项是负的,哪些项是非负的,然后再分段求出前n项的绝对值之和.
跟踪训练3 已知数列{an}中,Sn=-n+10n,数列{bn}的每一项都有bn=|an|,求数列{bn}的前n项和Tn的表达式.
2
1.已知数列{an}的前n项和Sn=n+n,则an等于( ) A.4n-2 B.n C.2n+1 D.2n
2.已知数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)+λ,则λ的值是( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1
3.首项为正数的等差数列,前n项和为Sn,且S3=S8,当n=________时,Sn取到最大值. 4.已知数列{an}的前n项和Sn=3+2,求an.
1.因为an=Sn-Sn-1只有n≥2时才有意义,所以由Sn求通项公式an=f(n)时,要分n=1和
n2
2
2
n≥2两种情况分别计算,然后验证两种情况可否用统一解析式表示,若不能,则用分段函数
的形式表示.
2.求等差数列前n项和最值的方法:
(1)二次函数法:用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值,但要注意n∈N+,结合二次函数图像的对称性来确定n的值,更加直观.
??an≥0,(2)通项法:当a1>0,d<0,?
?an+1≤0?
??an≤0,
时,Sn取得最大值;当a1<0,d>0,?
?an+1≥0?
时,
Sn取得最小值.
3.求等差数列{an}前n项的绝对值之和,关键是找到数列{an}的正负项的分界点.
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答案精析
问题导学 知识点一
思考 a1=S1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n-(n-1)=2n-1, 又n=1时也适合上式,所以an=2n-1,n∈N+. 梳理 S1 Sn-Sn-1 知识点二
思考 由二次函数的性质可以得出:当a1<0,d>0时,Sn先减后增,有最小值;当a1>0,d<0时,Sn先增后减,有最大值;且n取最接近对称轴的正整数时,Sn取到最值. 题型探究
例1 解 根据Sn=a1+a2+…+an-1+an可知Sn-1=a1+a2+…+an-1(n>1,n∈N+), 11122
当n>1时,an=Sn-Sn-1=n+n-[(n-1)+(n-1)]=2n-,①
222132
当n=1时,a1=S1=1+×1=,也满足①式.
221
∴数列{an}的通项公式为an=2n-. 2
3
故数列{an}是以为首项,2为公差的等差数列.
2引申探究
解 当n≥2时,an=Sn-Sn-1
1122
=(n+n+1)-[(n-1)+(n-1)+1]
221
=2n-. 2
①
2
2
152
当n=1时,a1=S1=1++1=不符合①式.
225
??2,n=1,∴a=?1
2n-??2,n≥2,n∈N
n+
.
n-1
跟踪训练1 解 当n=1时,a1=S1=3; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3-3当n=1时,代入an=2·3教育精品学习资源
n-1n=2·3
n-1
.
得a1=2≠3.
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