2011年卓越联盟自主招生数学试题及答案(全)

2011年卓越联盟自主招生

一、选择题,

1.已知向量a,b为非零向量,(a 2b) a,(b 2a) b,则a,b夹角为( )

A.

B. C. D. 6336

tan( )

( )

tan( )

2.已知sin2( r) nsin2 ,则

A.

n 1nnn 1

B. C . D. n 1n 1n 1n 1

3.在正方体ABCD A1B1C1D1中,E为棱

AA1的中点,F是棱A1B1上的点,且

A1F:FB1 1:3,则异面直线EF与BC1

所成角的正弦值为( )

A.

B. C. D.

z2 2z

2

4.i为虚数单位,设复数z满足|z| 1,

则的最大值为( )

z 1 i

A.

1 B. 2 C. 1 D. 25.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上, ABC三个顶点都在抛物线上,且 ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在的直线方程为4x y 20 0,则抛物线方程为( ) A.. y2 16x B. y2 8x C. y2 16x D. y2

8x

6.在三棱柱ABC A1B1C1中

,底面边长与侧棱长均不等于2,且E为CC1的中点,则点C

1到平面AB1E的距离为( )

A.

B. C.

D. |x|

kx2有四个不同的实数解,则k的取值范围为( ) x 411

A. (0,1) B. (,1) C.(, ) D. (1, )

44

7.若关于x的方程

8.如图, ABC内接于 O,过BC中点D作平行于AC的直线l,l交AB于E, O于G、F,交 O在A点处的切线于P,若PE 3,ED 2,EF 3,

则PA的长为( )

A.

B.

D.9.数列{ak}共有11项,a1 0,a11 4,且|ak 1 ak| 1,k 1,2, ,10 满足这种条件的不同数列的个数为( ) A. 100 B. 120 C. 140 D. 160 10.设 是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为

2

的旋转, 表示坐标平面关于y轴的镜面反射.7

用 表示变换的复合,先做 ,再做 .用 k表示连续k次 的变换,则 2 3 4是( ) A. 4 B. 5 C. 2 D. 2 二、解答题

11.设数列{an}满足a1 a,a2 b,2an 2 an 1 an. (1)设bn an 1 an,证明:若a b,则{bn}是等比数列; (2)若lim(a1 a2 an) 4,求a,b的值;

n

12.在 ABC中,AB 2AC,AD是角A的平分线,且AD kAC. (1)求k的取值范围;

(2)若S ABC 1,问k为何值时,BC最短?

13.已知椭圆的两个焦点为F1( 1,0),F2(1,0),

且椭圆与直线y x相切. (1)求椭圆的方程;

(2)过F1作两条互相垂直的直线l1,l2,与椭圆分别交于P,Q及M,N,求四边形PMQN面积的最大值与最小值.

14.一袋中有a个白球和b个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复n次这样的操作后,记袋中白球的个数为Xn. (1)求EX1;

(2)设P(Xn a k) pk,求P(Xn 1 a k),k 0,1, ,b; (3)证明:EXn 1 (1

15.设f(x) xlnx. (1)求f (x);

(2)设0 a b,求常数c,使得

1

)EXn 1. a b

1b

|lnx c|dx取得最小值;

b a a

(3)记(2)中的最小值为Ma,b,证明Ma,b ln2.

参考答案:

一.选择题1.B2.D3.B4.C5.A6.D7.C8.B9.B10.D 二.解答题

11.【解】(1)证:由a1 a,a2 b,2an 2 an 1 an,得2(an 2 an 1) (an 1 an).

11

令bn an 1 an,则bn 1 bn,所以{bn}是以b a为首项,以 为公比的等比数列;

22

1

(2)由(1) 可知bn an 1 an (b a)( )n 1(n N*),

211 ( n

,即a a 2(b a)[1 ( 1)n], 所以由累加法得an 1 a1 (b a)n 11321 ( 2

21

也所以有an a (b a)[1 ( )n 1](n 2),n 1时,a1 a也适合该式;

3221

所以an a (b a)[1 ( n 1](n N*)

32

1

1 ( )n

2 na 2(b a)n 4(b a) 4(b a)( 1n 也所以a1 a2 an na (b a)[n

339921 2

24

由于lim(a1 a2 an) 4,所以a (b a) 0, (b a) 4,解得a 6,b 3.

n 39

12.【解】(1)过B作直线BE AC,交AD延长线于E,如图右. BDAB

2, CDAC

DEBEBD

也所以有 2,即BE 2AC,AE 3BD.

ADACDC

在 ABE中,有AE2 AB2 BE2 2AB BEcos EBA.

所以,

即(3AD)2 (2AC)2 (2AC)2 2(2AC 2AC) cosA

816

所以,9(kAC)2 8AC2 8AC2 cosA,即k2 (1 cosA) (0,)

99

4

所以0 k .

31

(2)因为S ABC AB AC sinA AC2sinA 1

2

在 ABC中,有BC2 AB2 AC2 2AB ACcosA 5AC2 4AC2cosA 记y

5 4cosA

sinA

5 4cosA

,则ysinA 4cosA A ) 5

sinA

当sin(A ) 1时

5 y 3 此时y取最小值,此时cosA 故当k

3.

5

时,BC

x2y2

13.【解】设椭圆方程为2 2 1(a b 0),

因为它与直线y x只有一个公共点,

ab x2y2

1,

所以方程组 a2b2只有一解,

整理得(a2 b2)x2 2x 3a2 a2b2 0.

y x

所以 ( 2)2 4(a2 b2(3a2 a2b2) 0,得a2 b2 3.

又因为焦点为F1( 1,0),F2(1,0),所以a2 b2 1,联立上式解得a2 2,b2 1

x2

所以椭圆方程为 y2 1.

2

(2)若PQ斜率不存在(或为0)时,

则S四边形PMQN 若PQ斜率存在时,设为k(k 0),则MN为

|PQ| |MN|

2

2.

1. k

所以直线PQ方程为y kx k.设PQ与椭圆交点坐标为P(x1,y1),Q(x2,y2)

x22

y 1,

联立方程 2化简得(2k2 1)x2 4k2x 2k2 2 0.

y kx k.

4k22k2 2

则x1 x2 2

,x1x2 2

2k 12k 1

所以|PQ| x1 x2|

同理可得|MN| 所以S四边形PMQN

12k

|PQ| |MN|(k 1)k 2k 11 44 44 4( 42) 222

2(2 k)(2k 1)2k 5k 222k 5k 2

2

2

4

2

1k211

4( 4) 4( )

24k 10k2 424k2 4 10

k2

因为4k2 4

1 10 10 18（当且仅当k2 1时取等号） 2k11116

],也所以4( ) [,2]

1824k2 4 1094k2 42 102kk

16

所以综上所述,S四边形PMQN的面积的最小值为,最大值为2.

9

所以,

1

(0,

a

;也可能为a 1个a b

baba2 ab b

(即取出的是黑球),概率为,故EX1 a . (a 1)

a ba ba ba b

a

(2)首先,P(Xn 1 a 0) P0 ;k 1时,第n 1次取出来有a k个白球的可能性有两种;

a b

第n次袋中有a k个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即a b个白球(故此时黑球有

a k

; b k个),第n 1次取出来的也是白球,这种情况发生的概率为Pk

a b

第n次袋中有a k 1个白球,第n 1次取出来的是黑球,由于每次球的总数为a b个,故此时

b k 1

黑球的个数为b k 1.这种情况发生的概率为Pk 1 (k 1).

a b

a kb k 1

故P(Xn 1 a k) Pk Pk 1 (k 1).

a ba b

(3)第n 1次白球的个数的数学期望分为两类:

14.【解】(1)n 1时,袋中的白球的个数可能为a个(即取出的是白球),概率为

第n次白球个数的数学期望,即EXn.由于白球和黑球的总个数为a b,第n 1次取出来的是白球,这种情况发生的概率是白球的个数是EXn 1.

EXna b EXn

;第n 1次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是,此时a ba b

EXna b EXn(EXn)2EXn

故EXn 1 EXn (EXn 1) (1 )(EXn 1)

a ba ba ba b(EXn)2(EXn)2EXn)1

EXn 1 (1 )EXn 1

a ba ba ba b

1

15.(1)f (x) lnx x lnx 1;

x

(2)若c lna,则|lnx c| lnx c,显然,当c lna,lnx c取最小; 若c lnb,则|lnx c| c lnx,当c lnb,c lnx取最小.

故lna c lnb.

ecb1b1

|lnx c|dx [(lnx c)dx (c lnx)dx] c aaeb ab a

ecb1

{ [(lnx 1) (c 1)]dx c[(c 1) (lnx 1)]dx}

eb aa

c

由(1)知 [(lnx 1) (c 1)]dx xlnx|ea (c 1)(e a)

aec

c

b

c

e

[(c 1) (lnx 1)]dx (c 1)(ec a) xlnx|b

ec

所以,

1b1

|lnx c|dx ( alna blnb 2ec a b ac bc) ( ) b aab a

记g(c) 2ec (a b)c alna blnb a b, 则令g (c) 2ec a b 0,得c 即c

a b

2

a b1b

时,|lnx C|dx取最小值. ab a2a b1a b

(3)将c 代入( )式右边,Ma,b [ alna blnb (a b)ln] ln2

b a22

a b

等价于(a b)ln alna blnb (b a)ln2 (a b) ln(a b) alna blnb 2bln2

2

ba

aln(a b) alna bln(a b) blnb 2bln2 aln(1 ) bln( 1) 2bln2.

ab

aab

由于0 a b, 1 2时,bln(1 ) bln2.所以下面只须证明aln(1 ) bln2即可.

bbababa

又aln(1 ) bln2 ln(1 ) ln2.令 t (0,1),

ababab111

则ln(1 ) tln(1 ) ln(1 )t,注意到函数ln(1 )t是单调递增的,且t 1. battt

11

所以ln(1 )t ln(1 )1 ln2.得证.

t1

天津大学等九所高校“卓越联盟”自主招生 学业水平测试试卷分析

对于数理知识测试中数学部分，专家评论道：数学考题考察的是高中数学的基本知识、

基本概念和基本技能，但只是考察的侧重点与高考不同，试题重点考察了学生的空间想象能力，要求学生能将“数”与“形”相结合来分析和解决问题。该份试卷从工科院校的特点出发，考察了学生应用基础知识求解几何与分析方面的（最大值或最小值）优化问题,能够延伸性地考察学生的数学能力。

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