江苏省淮安市盱眙县马坝高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析

江苏省马坝高级中学2019-2020学年度第二学期期中考试

高二数学试题

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

1.设()()0ln ,2f x x x f x '==，则0x = （ ）

A. 2e

B. e

C. ln 22

D. ln 2 【答案】B

【解析】

【分析】

求得导函数()'f x ，由此解方程()02f x '=求得0x

的值. 【详解】依题意()'1ln f

x x =+，所以()0001ln 2,f x x x e '=+==.

故选：B 【点睛】本小题主要考查乘法的导数，考查方程的思想，属于基础题.

2.i 为虚数单位，若复数()()11mi i ++是纯虚数，则实数m =（ ）

A. 1-

B. 0

C. 1

D. 0或1 【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用复数代数形式的乘法运算化简()()1i 1i m ++，再利用纯虚数的定义求解即可．

【详解】()()()()1i 1i 11i m m m ++=-++是纯虚数，

10 10m m -=?∴?+≠?

，即1m =，故选C ． 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

3.若532m m A A =，则m 的值为 ( )

A. 5

B. 3

C. 6

D. 7

【答案】A

【解析】

【分析】 根据题意，由532m m A A =，结合排列数公式可得m （m ﹣1）（m ﹣2）（m ﹣3）（m ﹣4）=2×m（m

﹣1）（m ﹣2），化简解可得答案．

【详解】根据题意，若532m m A A =，

则有m （m ﹣1）（m ﹣2）（m ﹣3）（m ﹣4）=2×m（m ﹣1）（m ﹣2），

即（m ﹣3）（m ﹣4）=2，

解可得：m=5

故答案为A

【点睛】(1)本题主要考查排列数的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能

力.(2) 排列数公式 ：m n A =(1)(1)n n n m --+=()n n m -！！

(n ，m ∈·N ，且m n ≤)． (1)(2)321!n n A n n n n =--?????=(叫做n 的阶乘).

4.已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：

根据上表可得回归方程y bx a =+，计算得7b =，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为

A. 75万元

B. 85万元

C. 99万元

D. 105万元 【答案】B

【解析】

分析：根据表中数据求得样本中心(,)x y ，代入回归方程?7?y

x a =+后求得?a ，然后再求当10x =的函数值即可． 详解：由题意得11(24568)5,(3040506070)5055

x y =++++==++++=， ∴样本中心为(5,50)．

∵回归直线?7?y

x a =+过样本中心(5,50)， ∴?5075a

=?+，解得?15a =， ∴回归直线方程为?715y

x =+． 当10x =时，710158?5y

=?+=， 故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元．

故选B ．

点睛：本题考查回归直线过样本中心这一结论和平均数的计算，考查学生的运算能力，属容易题．

5.9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品，抽出产品中至少有2件一等品的抽法种数为（ ）

A. 81

B. 60

C. 6

D. 11

【答案】A

【解析】

【分析】

至少有2件一等品包含三类：恰有2件一等品，恰有3件一等品，恰有4件一等品.分别求解再相加即可.

【详解】分三类：恰有2件一等品，有224560C C =种取法；恰有3件一等品，有314520C C =种

取法；恰有4件一等品，有441C =种取法.所以抽法种数为6020181++=. 故选：A.

【点睛】本题主要考查组合问题，合理分类是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养.

6. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）

A. 0.648

B. 0.432

C. 0.36

D. 0.312

【答案】A

【解析】 试题分析：该同学通过测试的概率为

，故选A ． 考点：次独立重复试验．

7.函数3()2f x x ax =+-在区间(1,)+∞内是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. [3，+∞)

B. [-3，+∞)

C. (-3，+∞)

D. (-∞，-3) 【答案】B

【解析】

【分析】

由题得a ≥-3x 2，求函数23y x =-的最大值即得解.

【详解】()f x '

=3x 2+a . 由题得3x 2+a ≥0，则a ≥-3x 2，x ∈(1，+∞)，

∴a ≥-3.

故选：B

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

8.盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是

310的事件为( )

A. 恰有1个是坏的

B. 4个全是好的

C. 恰有2个是好的

D. 至多有2个是坏的

【答案】C

【解析】

【分析】

利用超几何分布的概率计算公式，分别计算出对应的概率，由此判断出正确的选项.

【详解】对于选项A ，概率为133741012C C C =.对于选项B ，概率为4741016

C C =.对于选项C ，概率为2237410310

C C C =.对于选项

D ，包括没有坏的，有1个坏的和2个坏的三种情况.根据A 选项，恰好有一个坏的概率已经是13210

>，故D 选项不正确.综上所述，本小题选C. 【点睛】本小题主要考查超几何分布的识别以及利用超几何分布概率计算公式计算随机事件的概率，属于基础题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全对5分，不全对3分，选错0分．

9.有甲、乙两个班级共计105人进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：参考公式：

()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=

++++

已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27

，则下列说法正确的是（ ） A. 列联表中c 的值为30，b 的值为35

B. 列联表中c 的值为20， b 的值为45

C. 根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”

D. 根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”

【答案】C

【解析】

【分析】

由成绩优秀的概率，可求的成绩优秀的人数，进而求出非优秀人数，得到,b c 的值，计算K 的观测值2K ，对照题目中的表格，即可得到统计的结论.

【详解】由题意，在全部的105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27

， 所以成绩又由的人数为2105=307?

人，非优秀的人数为1053075-=人， 所以301020,753045c b =-==-=，

则K 的观测值()

2210510302045336 6.110 3.84130755055

55K ??-?==≈>???， 若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用问题，同时考查了运算与求解能力，属于基础题.

10.在6212x x ??- ??

?的展开式中的，下列说法正确的是（ ） A. 二项式系数和为64

B. 常数项为60

C. 二项式系数和为1

D. 各项系数

和1

【答案】ABD

【解析】

【分析】 根据二项式系数和的公式2n ，直接计算求值，判断AC ；利用通项公式，求常数项，判断B ；再根据赋值法，令1x =，求各项系数和. 【详解】由条件可知6212x x ??- ??

?中，二项式系数的和为6264=，故A 正确，C 不正确； 通项公式()()6261231661212r r r r r r r r T C x C x x ---+??=??-=?-?? ???

，当1230r -=时，4r =， 所以展开式中的常数项是()44261260C ?-?=，故B 正确；

令1x =，()6211-=，所以各项系数和为1，故D 正确.

故选：ABD

【点睛】本题考查二项式定理，重点考查二项式系数，系数，指定项，属于基础题型.

11.已知三个正态分布密度函数

22()2()(,1,2,3)2i i x i x e x R i μσφπσ--=

∈=的图象如图所示，则

下列结论正确的是（ ）

A. 12σσ=

B. 13μμ>

C. 12μμ=

D. 23σσ<

【答案】AD

【解析】

【分析】 根据正态曲线关于x ＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，判断BD 错误；根据标准差σ越小图象越瘦长，判断AD 正确．

【详解】根据正态曲线关于x ＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，

所以μ1＜μ2＝μ3，BC 错误；

又σ越小数据越集中，图象越瘦长，

所以σ1＝σ2＜σ3，AD 正确．

故选：AD ．

【点睛】本题考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及均值和标准差对密度曲线的位置和形状的影响，是基础题．

12.设f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，f ′（x ），g '（x ）为其导函数，当x ＜0时，f ′（x ）?g （x ）+f （x ）?g '（x ）＜0且g （﹣3）＝0，则使得不等式f （x ）?g （x ）＜0成立的x 的取值范围是（ ）

A. （﹣∞,﹣3）

B. （﹣3,0）

C. （0,3）

D. （3,+∞） 【答案】BD

【解析】

【分析】

由当x＜0时，f′（x）?g（x）+f（x）?g'（x）＜0可得[]

f x

g x'<，故可构造函数h

()()0

（x）＝f（x）?g（x），由f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以h（x）在R上单调递减且为奇函数，结合图像即可得解.

【详解】∵f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，

∴f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），

令h（x）＝f（x）?g（x），

则h（﹣x）＝﹣h（x），

故h（x）＝f（x）?g（x）为R上的奇函数，

∵当x＜0时，f′（x）?g（x）+f（x）?g'（x）＜0，

即x＜0时，h′（x）＝f′（x）?g（x）+f（x）?g'（x）＜0，

∴h（x）＝f（x）?g（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，

∴奇函数h（x）在区间（0，+∞）上也单调递减，

如图：

由g（﹣3）＝0，

∴h（﹣3）＝h（3）＝0，

∴当x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，h（x）＝f（x）?g（x）＜0，

故选：BD.

【点睛】本题考查了导数在研究函数中的应用，考查了构造法，同时考查了函数的奇偶性，本题属于中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.若复数212i z i -=

+，则z =_____________ 【答案】1.

【解析】

【详解】分析：由复数的除法运算得z i =-，进而1z =. 详解：由()()()()212224212121214i i i i i z i i i i ------=

===-++-+. 1z =.

故答案为1.

点睛：本题主要考查了复数的除法运算及复数模的概念，属于基础题.

14.为了判断高中二年级学生是否选修文科与性别的

关系，现随机抽取50名学生，得到如下

22?列联表：已知()2 3.8410.05P χ≥≈，()2 5.0240.025P χ≥≈．根据表中数据，得到

()

225013

20107 4.84423272030

χ??-?=≈???．则认为选文科与性别有关系出错的可能性为________．

【答案】5%

【解析】

【分析】 根据条件中所给的观测值，同所给的观测值进行比较，得到答案.

【详解】根据表中的数据，得到2χ的观测值()

22501320107 4.84423272030χ??-?=≈???，

4.844 3.841>，

所以认为选修文科与性别有关系出错的可能性为5%.

故答案为：5%

【点睛】本题考查独立性检验的应用，属于基础题型，本题的关键是正确理解观测值对应的概率的意义

15.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x xf x '=+﹐则()1f '=________．

【答案】1-

【解析】

【分析】

先计算()f x '，然后代入1x =，简单计算即可得到结果.

【详解】由题可知：()()21ln f x xf x '=+，则()()121''=+

f x f x 所以()()2111''=+f f ，则()11f '=-

故答案为：1-

【点睛】本题考查函数在某点处的导数，熟悉导数的运算，属基础题.

16.若()102100121021x a a x a x a x -=++++，x ∈R ，则0a =________，

01210a a a a -+-+=________．

【答案】 (1). 1 (2). 103

【解析】

【分析】

取0x =，可得0a ，然后取1x =-，可得结果.

【详解】由题可知：()102100121021x a a x a x a x -=++++ 当0x =时，01a =

当1x =-时，10012103a a a a -+-

+= 故答案为：1，103

【点睛】本题考查二项展开式的有关计算，对二项展开式，常采用赋值法，简单明了，便于计算，属基础题.

四、解答题：（70分，第17题10分，其他每题12分．）

17.已知函数321()(,)3

f x x ax bx a b R =++∈在3x =-处取得极大值为9. （1）求a ，b 的值；

（2）求函数()f x 在区间[4,4]-上的最大值与最小值.

【答案】（1）13

a b =??=-?（2）最大值为763，最小值为53- 【解析】

【分析】

（1）根据极值点的定义和极值可构造方程组求得结果；

（2）根据导函数的正负可求得()f x 单调性，进而得到极值和区间端点值，从而得到最值.

【详解】（1）由题意得：()2

2f x x ax b '=++， ()()396039939f a b f a b ?-=-+=?∴?-=-+='-??

，解得：13a b =??=-?. 当13

a b =??=-?时，()32133f x x x x =+-，()()()22331f x x x x x '=+-=+-， ∴当(),3x ∈-∞-和()1,+∞时，()0f x '>；当()3,1x ∈-时，()0f x '<，

()f x ∴在(),3-∞-，()1,+∞上单调递增，在()3,1-上单调递减，()f x ∴的极大值为()39f -=，满足题意.

（2）由（1）得：()f x 的极大值为()39f -=，极小值为()1511333f =

+-=-， 又()2043f -=，()7643

f =， ()f x ∴在区间[]4,4-上的最大值为

763，最小值为53-. 【点睛】本题考查根据极值点和极值求解参数值、利用导数求解函数的最值的问题；需明确函数在区间内的最值必在极值点或区间端点处取得.

18.已知()22n n N x +?∈??的展开式中第二项与第三项的二项式系数之和为36．

（1）求n 的值；

（2）求展开式中含32x 的项及展开式中二项式系数最大的项． 【答案】（I ）8；（II ）611120x

?

. 【解析】

分析：（1）由条件利用二项式系数的性质求得n 的值; (2) 二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于32，求得r 的值，可得展开式中含32x 的项,进而得到展开式中二项式系数最大的项.

详解：（I ）由题意知，第二项的二项式系数为

，第三项的二项式系数为，

1236n n C C ∴+=,2720n n +-=得：,

得8n =或9n =-（舍去）.

(II)822x x ??- ??

?的通项公式为： 858218822()()(1)2k k

k k k k k k T C x C x x

--+=-=-，令8﹣5k=3，求得k=1， 故展开式中含32

x 的项为3

312228216T C x x =-=-． 又由知第5项的二项式系数最大，此时 .

点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．

19.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14

． （1）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和均值． （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．

【答案】(1)见解析；（2）11()()48P A P B +=

. 【解析】

试题分析：X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数, X 的所有可能取值为0,1,2,3.分别

求出相应的概率值，列出随机变量X 的分布列并计算数学期望，Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，这2辆车共遇到1个红灯就是包括第一辆遇到1次红灯且第2辆没遇上和第一辆没遇上红灯且第2辆遇上1次红灯两个事件的概率的和. 试题解析：（Ⅰ）解：随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.

()111101112344

P X ??????==-?-?-= ? ? ???????， ()11111111111111111123423423424

P X ????????????==?-?-+-??-+-?-?= ? ? ? ? ? ?????????????， ()111111111121112342342344

P X ??????==-??+?-?+??-= ? ? ???????， ()1111323424

P X ==??=. 所以，随机变量X 的分布列为

随机变量X 的数学期望()1111113012342442412E X =?

+?+?+?=. （Ⅱ）解：设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为

()()()()()()()10,11,00110P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z P Y P Z +====+=====+==

1111111142424448

=?+?=. 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148

. 【考点】离散型随机变量概率分布列及数学期望

【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些？当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.；列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.

20.已知函数()ln f x x ax =+.

(1)若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线与直线41y x =+平行，求a 的值；

(2)讨论函数()f x 的单调性.

【答案】（1）3；（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）求出函数的导数，利用斜率求出实数a 的值即可；

（2）求出函数的定义域以及导数，在定义域下，讨论a 大于0、等于0、小于0情况下导数的正负，即可得到函数()f x 的单调性．

【详解】（1）因为1()f x a x

'=+ ，所以(1)1f a '=+ ，即切线的斜率1k a =+， 又切线与直线41y x =+平行，所以14a +=，即3a = ；

（2）由（1）得 11()ax f x a x x +'=+

=，()f x 的定义域为(0,)+∞ ， 若0a =，则1()0f x x

'=> ，此时函数()f x 在(0,)+∞上为单调递增函数； 若0a >，则1()0ax f x x

+'=>，此时函数()f x 在(0,)+∞上为单调递增函数； 若0a <，则 当10ax +> 即10x a

<<- 时，()0f x '>， 当10ax +<即1x a >-时，()0f x '<，此时函数()f x 在1(0,)a

-上为单调递增函数， 在1(,)a

-+∞ 上为单调递减函数． 综上所述：当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上为单调递增函数；

当0a <时，函数()f x 在1

(0,)a -上为单调递增函数，在1(,)a

-+∞ 上为单调递减函数. 【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查学生分类讨论的思想，属于中档题．

21.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：

（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2,N μσ

，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．

①利用该正态分布，求()187.8212.2P Z <<；

②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数．已知X 服从二项分布(),B n p ，利用①的结果，求()E X ． 15012.2≈若()2,Z N μσ~则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，

()220.9544P Z μσμσ-<<+=．

【答案】（Ⅰ）200,150（Ⅱ）①0.6826②68.26

【解析】

【分析】 （I ）由频率分布直方图可估计样本特征数均值、方差，均值为每个矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值．方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值；

（II ）①由已知得，Z ~(200,150)N ，故()187.8212.2P Z <<可根据

()P Z μσμσ-<<+的概率计算；②由题意X 服从二项分布(100,0.6826)B ，根据()E X np =计算即可．

【详解】（I ）抽取产品的质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s 分别为

1700.021800.091900.22x =?+?+?+2000.332100.242200.08?+?+?+2300.02?200=，

2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02s =-?+-?+-?+?+?+?+?

150=．

（II ）①由（I ）知，Z 服从正态分布(200,150)N ，

从而()187.8212.2P Z <<(20012.2200P Z =-<<12.2)0.6826+=．

（ii ）由①可知，一件产品

质量指标值位于区间()187.8,212.2的概率为0.6826， 依题意知(100,0.6826)X B ~，

所以()1000.682668.26E X =?=．

【点睛】本题考查了频率分布直方图，平均数与方差，正态分布与二项分布，属于中档题.

22.某通信公司为了更好地满足消费者对5

G 流量的需求，准备推出一款流量包．该通信公司选了5个城市（总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近）采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价x ：

（单位：元/月）和购买人数y （单位：万人）的关系如表：

（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系？

（2）①求出y 关于x 的回归方程；

②若该通信公司在一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定位25元/月，请用所求回归方程预测该市一个月内购买该流量包的人数能否超过20万人． 158≈161≈164≈． 参考公式：相关系数()()n i i

x x y y r --=∑

回归直线方程y bx a =+，其中()()()121n i i i n i i x x y y

b x

x ==--=-∑∑，a y bx =-

【答案】（1）0.99r ≈-，可以用线性回归方程模型拟合y 与x 的关系；（2）①0.6436.?6y

x =-+②能. 【解析】

【分析】

（1）由已知表格中的数据求得相关系数r 的值，由r 的值和1比较，作出判断；

（2）①求出?b

和?a 的值，可得到线性回归方程； ②根据回归直线方程，令25x =，计算该市一个月内购买该流量包的人数的预报值.

【详解】（1）根据题意，得()13035404550405

x =++++=，()118141085115

y =++++=， 可列表如下，

根据表格和参考数据，得()()5

1160i i

i x x y y =--=-∑， 161==≈

因而相关系数()()51600.99161

i i

x x y y r --==-≈-∑， 由于0.99r ≈很接近1，因而可以用线性回归方程模型拟合y 与x 的关系；

（2）①()()()5

1521?1600.64250

i i

i i i x x y y b x x ==--===-=--∑∑，110.64406?3.6a =+?=， 因而y 关于x 的回归方程为0.6436.?6y

x =-+， ②由①可知，若25x =，则0.642536.6?20.6y

=-?+=， 故若将流量包的价格定为25元/月，可预测该城市一个月内购买该流量包的人数会超过20万人.

【点睛】本题考查线性回归方程的求法，重点考查计算能力，属于中档题型.

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