高等数学在经济学中的应用

本科学生毕业论文（设计）

题目 高等数学在经济学中的应用 学院 数学计算机科学学院 专业 数学与应用数学 学生姓名 郭庆友 学号 0807034 指导教师 朱春荣 职称 副教授 论文字数 7584

完成日期 2102 年 04 月 20 日

目 录

1 引 言 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃1 2 微分在经济学中的应用 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃2 2.1 边际分析〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃2 2.2 最优化问题 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃4 2.3 弹性分析 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃6 3 积分在数学中的应用〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃11 4 函数在生产中的应用 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃12 5 概率论在经济学中的应用〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃14 6 总结〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃14 7 参考文献〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃15 8 致谢 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃16

I

高等数学在经济学中的应用

郭庆友, 数学计算机科学学院

摘 要：高等数学在经济学发展中具有重要的作用。本文主要阐述了高等数学，

包括微分、积分、函数和概率论在经济学中的应用，并总结了高等数学在经济学研究中的意义。

关键字：高等数学；经济学；微分；积分；函数；概率论

Application of Advanced Mathematics in Economics

Guoqing You, College of Mathematics and Computer Science

Abstract: Advanced mathmatics plays an important role in the development of

economics. This paper discusses the application of advanced mathematics in economics, including differntiation, integration, function and probability theory, and sums up the significance of advanced mathematics applied in the research of economics.

Keywords: advanced mathematical; economics; differentiation; integration;

function; probability theory

1 引言

经济学在古代就有先人开始研究，他们就懂得经营之道，在古代苏格兰经济学家亚当.斯密写过《国富论》，是一部经典的经济学著作，自此人们越来越注意经济学在国家的富强和发展中的作用，经济学的研究方法也受到人们的关注，从逻辑上的文字分析，不满足一些精细的严密的理论分析，数学和经济学的结合，是的经济学的发展带来了很大的进步，让经济学成为一门逻辑思维严谨的学科，给经济学带研究方法带来质的飞跃，成为经济学分析方法上的里程碑。

19 世纪30 年现代数学方法开始在经济学中被大量运用，法国的经济学家古诺就是十分重要的奠基者和开拓者。他设立了诺贝尔经济学奖，推动了经济数学化。当中很多获奖者都是数学家兼经济学家，他们运用数学方法，将数学与经济学巧妙地结合起来， 由此提高了经济学理论的科学性， 使人们更加了解经济学中的规律性以及其潜在中存在的巨大风险。

1

高等数学作为初等数学的延伸，主要研究变动的量，文献[1]中主要介绍了包括微积分学、概率论与数理统计、以及深入的代数学和几何学等。高等数学具有高度的抽象性和严密的逻辑性，在各个领域都有广泛的应用。在文献[2-4]和文献[5]中都介绍到了数学在经济学中的应用，本文将具体地阐述高等数学在经济学中的应用，包括微分、积分、函数，以及概率论在经济学中的应用。

2 微分在经济学中的应用

在阐述微分在经济学中的应用之前，先介绍有关微分的一些基本概念和定理。[1]

定义1 设函数y?f(x)在U(x0)有定义，在x0自变量x的改变量?x，相应函数的该变量限

f(x0??x)?f(x0)?y ?lim?x?0?x?x?0?xlim存在，称函数f(x)在x0可导（或存在导数），此极限称为函数f(x)在x0的导数（或微商），表为f?(x0)或

dydxx?x0，即 f?(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0) 或

?xf(x0??x)?f(x0). x?x0?x?0?xf(x0??x)?f(x0)?y 若极限lim不存在，称函数f(x)在x0不可导。 ?lim?x?0?x?x?0?xf(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)?y?y若极限lim? 与 lim? ?lim??lim??x?0?x?x?0?x?0?x?x?0?x?x?limdydx都存在，则分别称为函数f(x) 在x0右可导和左可导，其极限分别称为函数f(x)在

x0的右导数和左导数，分别表为f??(x0)与f??(x0)，即

f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0)?， ?lim?f?(x0)= lim??x?0x?x0?xx?x0f(x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)?=lim?. f?(x0)= lim?x?0x?x?xx?x00?定理 1 假设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么f?(x0)?0. 定义2 设函数z?f(x,y)，(x,y)?D。若(x0,y0)?D，且f(x,y0)在x0的某一邻域内有定义，则当极限 ?f(x0,y0)f(x0??x,y0)?f(x0,y0)limx?lim ?x?0?x?0?x?x存在时，称这个极限为函数f在点(x0,y0)关于x的偏导数，记做

2

fx(x0,y0)或

?f.

?x?x0,y0?定理 2 若函数f在点P0(x0,y0)存在偏导数，且在P0(x0,y0)取得极值，则有

fx(x0,y0)?0,fy(x0,y0)?0.

微分在经济学中，主要应用在边际分析、最优化问题、弹性问题、生产优化和风险不确定性问题等等中。

2.1 微分在边际分析中的应用

在经济学中, 常常会用到变化率这一基本概念, 作为变化率又可分为平均变化率和边际量。平均变化率就是函数增量与自变量量之比, 如常用到的劳动的平均产量、平均利润、平均成本; 边际量是表示一单位的自变量的变化量所引起的因变量的变化量。从数学意义上讲, 如果函数是连读的, 则边际量表示当自变量的改变量趋于零。此时,因变量的相应改变量与其的比值, 表示为

?因变量(x)d因变量(x)?,

?x?0?xdxlim亦即函数对自变量的导数

f(x??x)?f(x)?f?(x).

?x?0?x在边际量的研究中，主要包括边际成本和边际收入的分析。

lim

2.1.1 边际成本

在经济学中，把产量增加一个单位时所增加的总成本或增加这一个单位产品的生产成本定义为边际成本，边际成本就是总成本函数在所给定点的导数。设某产品的成本函数为C?C(q),q为产量。根据定义，边际成本为

C(q?1)?C(q)??C,由微分的定义，当?q变化很小的时候，?q=dq，

?C(q)?dC(q)?C'(q)。C'(q)为边际成本函数。可见，边际成本约等于成本函数

的变化率， 通过函数的一阶导数来衡量边际成本的函数值。其几何意义为：在每一产量水平上的边际成本就是相应的总成本曲线在该点处切线的斜率，即总成本函数在该产量处的导数值。在经营管理中，边际成本可以用来判断产量的增减在经济上是否合算。

例1某种产品的总成本C（万元）与产量q（万件）之间的函数关系式为

C?C(q)?100?4q?0.2q2?0.01q3 ，

3

求生产水平为q?20（万件）时的平均成本和边际成本，并从降低成本角度看，继续提高产量是否合算？

解 当q?20时的总成本为q?20(万元)，

C(20)?100?4?20?0.2?202?0.01?203?180,

平均成本为

C(20)?180?20?9 元/件, 20边际成本为

C'(q)?4?0.4?20?0.01?3?20^2?8 元/件.

因此在生产水平为20万件时，每增加一个产品，总成本增加8元，比当前的平均成本9元低，从降低成本角度看，应该继续提高产量。

2.1.2边际收入

与边际成本类似，边际收入定义为R'(q)，即边际收入是总收入函数R(q)关于销售量q的导数，其经济含义是：当销售量为q时，再销售一个单位（即?q?1）所增加的总收入?R(q)。所以边际收入约等于收入函数的变化率。其几何意义为：每一销售水平上的边际收益值就是相应的总收益曲线在该点处切线的斜率，即总收益曲线关于该销售量的导数值。

2.2 最优化问题

2.2.1 收益最大化与利润最大化问题

总收益TR是产量Q与价格P的乘积, 即TR?P?Q, 总利润为总收益TR与总成本TC的差值, 即?=TR-TC。若价格P随Q的变化而改变, 则Q最大时总收益TR和总利润?不一定取到最大值, 并且收益最大时的产量不一定能产生最大的利润, 下面, 运用导数对收益进行优化分析。

例3设垄断厂商的需求函数为P?12?0.4Q,总成本函数TC?0.6Q2?4Q?5, 求

(1)Q为多少时使总收益最大, 与此相应的价格, 总收益及总利润各为多少?

(2)Q为多少时总利润最大, 价格, 总收益及总利润为多少?

4

解(1) 已知厂商的产品的需求函数为P?12?0.4Q。总收益最大, 即要求解TR?P?Q?12Q?0.4Q2最大。

dTR?12?0.8Q?0，得Q?15。故Q= 15时，TRdQ最大。把Q=15代入P?12?0.4Q，得P?12?0.4Q?6。此时，

总收益TR?P?Q?90， 总利润??TR?TC??110.

(2)已知

TR?12Q?0.4Q2，TC?0.6Q2?4Q?5，??TR?TC??Q2?8Q?5. 总利润最大时，

d???2Q?8?0，即Q?4。把Q?4代入P?12?0.4Q，得 dQP?10.4，

总收益TR?P?Q?10.4?4?41.6，

总利润??TR?TC?11.

例4已知某消费者每年用于商品1和商品2的收入为540元，两种商品的价

2格分别为P1?20元和P2?20元，该消费者的效用函数为U?3X1X2,该消费者每

年购买这两种商品的数量应各是多少？每年从中获得效用最大，其值是多少？

解 假设这两种商品的消费量分别为X1、X2，由消费者的消费收入可以得到

2P即20Q1?30Q2?540是约束函数，求U?3X1X2得最大值。求1?X1?P2?X2?I，

此类含有约束的最值问题，可以用拉格朗日函数法对其进行求解，而且方便易懂。构造拉格朗日函数

22L(X1,X2,?)?3X1X2?I?3X1X2??(20X1?30X2?540),

对其各个变量求一阶偏导数

?L?L?L2??(20X1?30X2?540)?0. ?3X2?20??0,?6X1X2?30??0,???X1?X2解，得

X1?9,X2?12，??21.6.

2由于最值的存在性，得知此时L(X1,X2,?)取得最大值，也即U?3X1X2取得最大

值U=3888.

在此处?有一个非常重要的经济学意义，?为货币的边际效用。

5

2.2.2 费用的节省

节省费用是经济生活中觉的问题, 无论是生产者, 还是销售者, 总想以最小的资金和劳动消耗去获得最大的收益。应用导数的知识, 可以使我们能够在条件允许的范围内做到费用最省。

例5 某商店每年销售某种a件, 每次购进的手续费为b元, 而每件的库存费为c元/年, 在该商品均匀销售情况下, 商店应分几批购进此商品才能使所花费的手续费及库存费之和为最小?

a解 在均匀销售情况下, 商品库存量仅需年销售量的一半, 即件, 设总费

2a用为y, 共分x批购进此种商品, 手续费为bx, 每批购买的件数为,库存费为

xac,则总费用 2xacdydacacy?bx??(bx?)?b?2. ，

2xdxdx2x2x令

ac2bdy（负值舍去），又 ?0，即b?2?0。求得x?2xacdxd2ydacac?(b?)??0, 223dxdx2xx故所求值为极小值。所以应分

2b批进货才能使所花费的手续及库存费之和为ac最小。

以上列举事例只是经济生活中最优化问题的简单代表,类似问题在生活中不胜枚举。对企业经营者来说,对其经济环节进行定量分析是非常必要的, 将数学( 本文主要介绍导数)作为分析工具, 可以给企业经营者提供客观、精确的数据, 从而为企业经营者科学决策提供量化依据。

2.3 弹性问题 2.3.1 弹性分析

在经济分析中，会经常用到弹性分析法，弹性是一个十分有用的概念。一般地说，弹性描述的是因变量对自变量的变化的反应程度，具体的说，也就是要计算自变量变化1个百分比，因变量要变化几个百分比，即用弹性系数来表示

弹性系数?因变量变动的百分比.

自变量变动的百分比对函数y?f(x)，当自变量从x起改变了?x时，其自变量的相对改变量是函数f(x)相对应的相对改变量则是

?x，x?y。函数的弹性就是为考察相对变化而引入y6

的，即f(x)在点x的弹性为

f(x)的相对变化y?yx?f(x)x?????, ?xx的相对变化?xy?yf(x)x?yE?其中E为弹性符号，

?y?x、可以理解为x、y变动的百分比。因此，弹性可以xy理解为函数变动的百分比与自变量变动的百分比之比。一切函数只要有意义，都

可以以此定义弹性概念，以反映因变量变动对于自变量变动的反应程度。

以需求价格弹性为例介绍，其他的类似可得。设某一商品的需求函数为

x?f(p),p为该商品的单价,x为需求量。需求量对于单价的弹性为

ED(p)?ppf'(p)f'(p)?，需求函数往往是一个减函数，即f'(p)?0，由此可xf(p)以看出需求量的变化与价格的变化是反方向的。

p例6 某商品的需求函数为x?10?. 求: (1) ED(p)；(2)计算ED(4)，并

2解释所得结果。

p1解 (1) 令x?f(p)?10?，f'(p)??，所求的需求对价格弹性为

22Ed?pp. f?(p)?f(p)p?20 (2)

41?? 4?204其含义为当商品的售价为4元时，若单价每增加1元，则需求量将减少25%，反之若单价每降低1元，则销售量将提高25%。

Ed(4)?2.3.2需求弹性与总收益的关系

在市场经济中,企业最关心的是商品涨价??p?0?或降价??p?0?对总收益的影响程度.现在我们利用需求的价格弹性对其进行具体的分析。

设需求函数为Q?Q?p?,则总收益函数(市场销售总额)为R?pQ?p?Q?p?,故边际总收益

?p?R??pQ??p??Q?p??Q?p??1?Q??p???Q?p???1??Q?. ?Q?p???7

这样,由微分的应用知,当商品价格p有微小变化(?p比较小)时,商品销售收益(市场销售总额)的改变量为

?R?dR?R???p??1??Q??Q?p???p.

在现实生活中,绝大多数商品的需求函数是单调减函数(价格上升时需求量减少,价格下降时需求量增加),因而有Q??p??0,从而需求的价格弹性?Q?0,所以,上式又可写作

?R?dR?1??Q?Q?p???p.

??这样,在文献[4]提到的，根根需求的价格弹性?Q的大小,我们可作如下需求弹性对总收益的影响分析

(1) 当商品的需求的价格弹性?Q?1时,商品涨价??p?0?,将使商品销售的总收益减少??R?0?; 商品降价??p?0?,将使商品销售的总收益增加??R?0?.

(2)当商品的需求的价格弹性?Q?1时,商品涨价??p?0?,将使商品销售的总收益增加??R?0?;商品降价??p?0?,将使商品销售的总收益减少??R?0?.

(3)当商品的需求的价格弹性?Q?1时,商品价格的变动对商品销售总收益基本没有影响。

例7 已知某集团公司生产经营的某品牌电器的需求弹性?Q在1.5~3.5之间,如果该公司计划在下一年度内将价格降低10%,问这种电器的销售量的增长率将会增加多少? 总收益将会增长多少?

解 由需求弹性?Q?Q??pdQpdQdp??知: ??Q?,从而有 QdpQQp?QdQdp?p. ???Q???Q?QQpp再由?R?dR?1??Q?Q?p???p和R?pQ?p?Q?p?，得

?RdR1??Q?Q?p???p?p???1??Q?. RRp?Q?p?p??????因而,当?Q?1.5时,

?R?Q??1?1.5????0.1??5%. ??1.5???0.1??15%, RQ8

概率论在经济学中的应用，可以以彩票为例。文献[3]中，在消费者知道自己某种行为决策的各种可能的结果，如果消费者还知道各种可能的结果发生的概率，则可以称这种不确定性的情况为风险。在日常生活中不确定性的情况很多，为了应对风险消费者会采取何种方法来避免自己的损失呢？下面我们以彩票的典型案例来解析，对彩票大家都是十分熟悉的一种赌博或者运气行为，做一个理性的社会人如何避免损失才是理性的行为。

假设一个消费者拥有100美元的初始货币财富量，现在有一种彩票，这种彩票的购买支出是5美元，消费者购买彩票的中奖概率为2.5%，如果中奖他可以得到200美元的奖金。作为一个理性的消费者他是否买这只彩票？

现在分析该消费者的行为。在不购买彩票的情况下，他可以拥有100美元的财富，如果他买了彩票可能的结果是：若他没中奖，则此时他只拥有W1=100-5=95美元；若他买的彩票中奖了，则他拥有W2=100-5+200=295美元的财富量。

下面是他买彩票的期望值

U?W1?P1?W2?P2?95?97.5%?295?2.5%?92.625?7.375?100,

其中P1、P2分别为购买彩票中奖、不中奖的概率。购买彩票的期望值与不购买彩票的财富值相等，在此时如果他是一位风险冒险者就会购买彩票，可能会有意想不到的收获，作为一个风险规避者，他会选择不购买彩票。其实在现实生活中彩票的期望效用与实际拥有的货币效用不等，人们会在彩票的期望效用高于实际拥有的货币效用时对彩票购买，此例是概率在现实生活中和经济学中的一个应用，概率在现实生活在经济学里的应用有很多，如在博弈论中经济决策的考虑等。

6结论

高等数学在分析经济学中有很多用处，特别在价格的决定上，根据产品的需求和供给可以得到产品的价格，从这里可以看到社会福利经济、消费者剩余和生产者剩余。以上说的大部分都是在微观经济学里的应用，在文献[4]中宏观经济学里数学的应用同样也是很广泛的，如国民收入的决定，AS-AD模型的应用等等。

随着金融市场和现代企业制度的建立，导数和积分越来越多地渗透到会计、审计、财务管理、市场营销、财政、税务、金融、工商管理等各个经济领域。经济定货量模型、经济生产量模型、敏感分析，股票证券的定价与分析等都是应用微积分解决经济问题的一些典范，正如马克思所言“一门学科成功地运用数学工具的程度是衡量其发展阶段的标志。”

高等数学作为研究经济学的工具总结起来，具有以下意义： (1) 研究经济学的工具和科学方法尽管有许多， 但其中重要的工具之一就是高等数学方法， 它对更新经济学的理论起到了不可估量的作用。而且运用高等数学知识能够得出语言文字无法证明的经济学理论。例如在计量经济学、古典经济学、数理经济学以及现代经济理论中， 都大量且广泛地运用到了高等数学知识。

14

(2) 高等数学方法的运用大大拓展了经济学科领域，使经济学的推理和分析过程更加严谨广泛被应用是数学的又一重要特点。一方面，高等数学在经济学中的运用产生了经济计量学、福利经济学、数理经济学、博弈论等新的经济学科；从另一方面来讲， 高等数学数学方法在经济学中的运用拓展了经济学科领域。比如经济学与控制论结合产生了经济控制论， 系统论与经济学相结合产生了经济系统分析。除此之外， 运用高等数学来研究经济问题使其更具有逻辑性。它不但能够表达出语言文字所表达不了的精确性和确定性， 而且也使经济学的推理和分析过程更加严谨和系统化。

(3) 高等数学还可以对经济学的性质进行分析。高等数学除了能够对经济现象与经济关系的数量方法进行分析，还可以对经济现象的性质进行分析。众所周知，一切事物都是量和质的统一体，经济现象当然也不例外。在定性分析的基础上，运用数学对经济现象的性质进行探索研究，可以考察经济现象从量变到质变的转化过程，从而可以加深对质的认识和理解。

(4) 在经济学中运用高等数学有助于提高经济理论的实用性以及经济政策的科学性运用一个简单的数学公式就能直观、清晰地表述出各个经济因素之间的相互关系， 同时还可以分析出各个经济变量之间的数量关系。因此，高等数学的严密性与逻辑性为制定经济政策提供了可操作的相关依据，使经济学的结论更加明晰正确。

参考文献

[1] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001. [2] 刘东,梁东黎.微观经济学[M].南京:南京大学出版社,2010,91-93.

[3] 高鸿业.西方经济学第三版(微观部分)[M].北京:中国人民大学出版社,2004,107-108. [4] 高鸿业.西方经济学第三版(宏观部分)[M].北京:中国人民大学出版社,2004. [5] 杨红梅.价格弹性及应用问题[J].山西煤炭管理干部学院学报，2004,17（1）：28-41.

15

致谢

在朱春蓉老师的指导下，经过几个月的努力，终于按时完成了论文的写作。在这个过程中，我学到了许多的知识，重新认识了经济学和数学的关系，对经济学有了进一步的了解，同时也了解到了自己的不足，对于经济学很多知识和数学的应用还需要更多的认识。虽然在做得过程中我遇到了许多的困难，但是经过老师的帮助，自己努力的查找资料，这些问题也就迎刃而解了。我的收获是：第一，我对数学在经济学中的应用有了比以前更深的了解。第二、我对数学论文的写作有了初步的了解，特别是对论文写作方面材料的收集、资料的整理、论文的格式等方面有了一定的了解。第三、对综合运用数学理论知识分析和解决经济学中的疑难问题的能力有较大的提高。

在这里，要感谢我的指导老师朱春蓉老师。文章从选题到最后的修改工作都是在她的精心指导下完成的。老师渊博的学识和平易近人的教授, 对问题实质的洞察入微以及严谨求实的治学精神, 都使我受益匪浅。 在他们创造的宽松的环境中, 我的论文得以顺利的完成。 在此向她表示深深的谢意。

同时,班上的同学以及数学系的老师在生活和学习上都曾给过我很大的帮助和关心。在这里一并表示感谢。

郭庆友

2012年4月20日

16

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xcl3.html