2014年广州市一模数学（文科）试题与答案（全word无图片）

试卷类型：A

2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（文科）

2014.3

本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式V?1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 3n?n?1??2n?1?612?22?32???n2??n?N?．

*一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的． 1．函数f?x??ln?1?x?的定义域为

A．???,?1? B．???,1? C．??1,??? 2．已知i是虚数单位，若?m?i??3?4i，则实数m的值为

数学（文科）试题A 第 1 页 共 13 页

2 D．?1,???

A．?2 B．?2 C．?2 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C?2B，则

D．2

c为 bA．2sinC B．2cosB C．2sinB D．2cosC 4．圆?x?1???y?2??1关于直线y?x对称的圆的方程为

A．?x?2???y?1??1 B．?x?1???y?2??1 C．?x?2???y?1??1 D．?x?1???y?2??1 5．已知x??1，则函数y?x?22222222221的最小值为 x?1 D．2

A．?1 B．0 C．1 6．函数f?x??y y y y x x x O O O O A D C B 7．已知非空集合M和N，规定M?N?xx?M且x?N，那么M??M?N?等于

x的图象大致是 x2?1x ??A．M?N B．M?N C．M 8．任取实数a，b???1,1?，则a，b满足a?2b?2的概率为 A．

D．N

113 B． C． 844 D．

7 8b=ab成立的一个必要非充分条件是 9．设a，b是两个非零向量，则使a?A．a?b B．a?b C．a?b 10．在数列?an?中，已知a1?1，an?1?an D．a??b???0?

n?1????sin，记S2n为数列?an?的前n项和，则S2014?

A．1006 B．1007 C．1008 D．1009

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）

11．执行如图1的程序框图，若输入k=3，则输出S的值为 ．

12．一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图2所示，则这个四棱锥的体积是 ．

开始 输入k

5 n?0,S?0 数学（文科）试题A 第 2 页 共 13 页 y?x nlog?k?是 否 输出S 2 2 1 1 正（主）视图 侧（左）视图

n?n?1

13．由空间向量a??1,2,3?，b??1,?1,1?构成的向量集合A?xx?a?kb,k?Z，则向量x的模x的最小值为 ．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）

在极坐标系中，直线??sin??cos???a与曲线??2cos??4sin?相交于A，B两点，若

??AB?23，则实数a的值为 ．

15．（几何证明选讲选做题）

如图3，PC是圆O的切线，切点为C，直线PA与圆O交于 A，B 两点，?APC的平分线分别交弦CA，CB于D，E

两点，已知PC?3，PB?2，则

D O A C P

E B 图3

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

已知某种同型号的6瓶饮料中有2瓶已过保质期．

（1）从6瓶饮料中任意抽取1瓶，求抽到没过保质期的饮料的概率； （2）从6瓶饮料中随机抽取2瓶，求抽到已过保质期的饮料的概率． 17．（本小题满分12分）

PE的值为 ． PD0?． 已知函数f(x)?sinx?acosx的图象经过点??，（1）求实数a的值；

（2）求函数f?x?的最小正周期与单调递增区间．

18．（本小题满分14分）

数学（文科）试题A 第 3 页 共 13 页

?π?3??D1 A1 C1 B1

E D F C

如图4，在棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E是 棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满足B1F?2FB． （1）求证：EF?AC11；

（2）在棱C1C上确定一点G，使A，E，G，F四点共面，

并求此时C1G的长； （3）求几何体ABFED的体积． 19．（本小题满分14分）

已知等差数列?an?的首项为10，公差为2，数列?bn?满足bn?（1）求数列?an?与?bn?的通项公式；

（2）记cn?max?an,bn?，求数列?cn?的前n项和Sn． （注：max?a,b?表示a与b的最大值．） 20．（本小题满分14分）

已知函数f?x??x?6x?9x?3．

32nan?6n，n?N*． 2（1）求函数f?x?的极值；

（2）定义：若函数h?x?在区间?s,t??s?t?上的取值范围为?s,t?，则称区间?s,t?为函数h?x?的“域

同区间”．试问函数f?x?在?3,???上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分14分）

35x2y2?1?a?0?的中心为原点O，左，右焦点分别为F1，F2，离心率为已知双曲线E：2?，

5a4数学（文科）试题A 第 4 页 共 13 页

??????????a2QF2?0． 点P是直线x?上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足PF2?3（1）求实数a的值；

（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；

（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同两点M，N，在线段MN上取

异于点M，N的点H，满足

PMPN?MHHN，证明点H恒在一条定直线上．

2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（文科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据

试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的

内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B A C A B D B C

二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题，满分20分．其中14~15

题是选做题，考生只能选做一题．

题号 答案 11 7 12 4 13 14 15 13 ?1或?5 2 3

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

（本小题主要考查古典概型等基础知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及数据处理能力与应用意识）（1）解：记“从6瓶饮料中任意抽取1瓶，抽到没过保质期的饮料”为事件A，

数学（文科）试题A 第 5 页 共 13 页

从6瓶饮料中中任意抽取1瓶，共有6种不同的抽法．

因为6瓶饮料中有2瓶已过保质期，所以事件A包含4种情形． 则P?A??42?． 632． 3所以从6瓶饮料中任意抽取1瓶，抽到没过保质期的饮料的概率为

（2）解法1：记“从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料”为事件B，

随机抽取2瓶饮料，抽到的饮料分别记为x，y，

则(x,y)表示第一瓶抽到的是x，第二瓶抽到的是y，则(x,y)是一个基本事件．

由于是随机抽取，所以抽取到的任何基本事件的概率相等．不妨设没过保质期的饮料为1，2，3，4， 已过保质期的饮料为a，b，

则从6瓶饮料中依次随机抽取2瓶的基本事件有：

?1,2?，?1,3?，?1,4?，?1,a?，?1,b?，?2,1?，?2,3?，?2,4?，?2,a?，?2,b?， ?3,1?，?3,2?，?3,4?，?3,a?，?3,b?，?4,1?，?4,2?，?4,3?，?4,a?，?4,b?， ?a,1?，?a,2?，?a,3?，?a,4?，?a,b?，?b,1?，?b,2?，?b,3?，?b,4?，?b,a?．

共30种基本事件．

由于2瓶饮料中有1瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料，所以事件B包含的基本事件有：

?1,a?，?1,b?，?2,a?，?2,b?，?3,a?，?3,b?，?4,a?，?4,b?，?a,1?，?a,2?， ?a,3?，?a,4?，?a,b?，?b,1?，?b,2?，?b,3?，?b,4?，?b,a?．

共18种基本事件． 则P(B)?183?． 3053． 5所以从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料的概率为

解法2：记“从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料”为事件B， 随机抽取2瓶饮料，抽到的饮料分别记为x，y，则(x,y)是一个基本事件．

由于是随机抽取，所以抽取到的任何基本事件的概率相等．不妨设没过保质期的饮料为1，2，3，4， 已过保质期的饮料为a，b，

则从6瓶饮料中随机抽取2瓶的基本事件有：

数学（文科）试题A 第 6 页 共 13 页

?1,2?，?1,3?，?1,4?，?1,a?，?1,b?，?2,3?，?2,4?，?2,a?，?2,b?，?3,4?， ?3,a?，?3,b?，?4,a?，?4,b?，?a,b?．

共15种基本事件．

由于2瓶饮料中有1瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料，所以事件B包含的基本事件有：

?1,a?，?1,b?，?2,a?，?2,b?，?3,a?，?3,b?，?4,a?，?4,b?，?a,b?．

共9种基本事件． 则P(B)?93?． 1553． 5所以从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料的概率为

17．（本小题满分12分）

（本小题主要考查三角函数图象的周期性与单调性、同角三角函数的基本关系、三角函数的化简等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）

解：（1）因为函数f(x)?sinx?acosx的图象经过点??，0?，

?π?3??所以f???????0． 3??即sin???π??π??acos?????0． ?3??3?即?3a??0． 223．

解得a?（2）由（1）得，

?1?3f(x)?sinx?3cosx?2??2sinx?2cosx??

???????2?sinxcos?cosxsin?

33??π???2sin?x??．

3??所以函数f?x?的最小正周期为2?．

数学（文科）试题A 第 7 页 共 13 页

因为函数y?sinx的单调递增区间为?2k??所以当2kπ??????,2k????k?Z?， 22?πππ?x??2kπ??k?Z?时，函数f?x?单调递增， 2325ππ即2kπ??x?2kπ??k?Z?时，函数f?x?单调递增．

66所以函数f?x?的单调递增区间为?2kπ???5ππ?,2kπ???k?Z?． 66?

18．（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：连结B1D1，BD，

因为四边形A1B1C1D1是正方形，所以AC11?B1D1． 在正方体ABCD?A1B1C1D1中，DD1?平面A1B1C1D1，

D1 A1 C1 B1

E D A AC11?平面A1B1C1D1，所以AC11?DD1．

因为B1D1?DD1?D1，B1D1，DD1?平面BB1D1D， 所以AC11?平面BB1D1D．

因为EF?平面BB1D1D，所以EF?AC11． （2）解：取C1C的中点H，连结BH，则BH?AE．

在平面BB1C1C中，过点F作FG?BH，则FG?AE． 连结EG，则A，E，G，F四点共面．

F B

C

D1 A1 C1

G B1 H

E 1111C1C?a，HG?BF?C1C?a， 22331所以C1G?C1C?CH?HG?a．

61故当C1G?a时，A，E，G，F四点共面．

6因为CH?（3）解：因为四边形EFBD是直角梯形，

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D F B

C

A

所以几何体ABFED为四棱锥A?EFBD．

因为SEFBD1??1a?a??2aBF?DE?BD??52232?????a，

221212AC?a， 22点A到平面EFBD的距离为h?所以VA?EFBD?1152225SEFBDh??a?a?a3． 3312236故几何体ABFED的体积为

53a． 36 19．（本小题满分14分）

（本小题主要考查等差数列、分组求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）

解：（1）因为等差数列?an?的首项为10，公差为2，所以an?10??n?1??2，

即an?2n?8．所以bn?nan?6n?n2?2n． 2（2）由（1）知bn?an?n?2n??2n?8?

2??2 ?n?4n?8??n?23?2??n?2?23?，

????????因为5?2?23?6，所以当n?5时，an?bn，当n?5时，bn?an．

?2n?8,n?5,c?maxa,b?所以n ?nn??2n?2n,n?5.?当n?5时，

Sn?c1?c2?c3???cn?a1?a2?a3???an ?10?12?14????2n?8?

?10??2n??8?n?n2?9n．

2当n?5时，Sn?c1?c2?c3???cn

??a1?a2???a5???b6?b7???bn?

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?5?9?5??2????226??2??6?28???n?2?22?7?2??78?????8??n?22??n??

?2 ?70??6?7?2??8?n???2?6?7???

?70??1?2?3???n???222222?5???1?22?23?4??22?6?n??n?5??2?

??1?n?n?1??2n??5?5??6n??n? ?70??6? ????5 ?13125n?n?n?45． 326n?5,n?5.

?n2?9n,?综上可知，Sn??13125?n?n?n?45,26?320．（本小题满分14分）

（本小题主要考查函数的极值、函数的导数、函数的零点与单调性等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识） 解：（1）因为f?x??x?6x?9x?3，

322所以f??x??3x?12x?9?3?x?1??x?3?．

令f'(x)?0，可得x?1或x?3． 则f'(x),f(x)在R上的变化情况为：

x f??x? f?x? ???,1? + 增函数 1 0 1 ?1,3? － 减函数 3 0 ?3,??? +

?3 增函数 所以当x?1时，函数f?x?有极大值为1，当x?3时，函数f?x?有极小值为?3． （2）假设函数f?x?在?3,???上存在“域同区间”?s,t??3?s?t?，

由（1）知函数f?x?在?3,???上单调递增．

32??s?6s?9s?3?s,?f?s??s,?所以?即?3 2t?6t?9t?3?t.ft?t.??????也就是方程x?6x?9x?3?x有两个大于3的相异实根．

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32

设g(x)?x?6x?8x?3令g??x??0，解得x1?2?32?x?3?，则g?(x)?3x2?12x?8．

223?3，x2?2?3?3． 33当3?x?x2时，g??x??0，当x?x2时，g??x??0，

所以函数g?x?在区间?3,x2?上单调递减，在区间?x2,???上单调递增． 因为g?3??? 6?0，g?x2??g?3??0，g?5??12?0， 所以函数g(x)在区间?3,???上只有一个零点．

这与方程x?6x?9x?3?x有两个大于3的相异实根相矛盾，所以假设不成立． 所以函数f(x)在?3,???上不存在“域同区间”．

21．（本小题满分14）

（本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：设双曲线E的半焦距为c，

32?c35,??由题意可得?a 5?c2?a2?4.?解得 a?5．

a25?5?（2）证明：由（1）可知，直线x??，点F2?3,0?．设点P?,t?,Q?x0,y0?，

33?3???????????5??QF2?0，所以?3?,?t??因为PF2??3?x0,?y0??0．

3??所以ty0?4?x0?3?． 3x02y0242??1，即y02??x0因为点Q?x0,y0?在双曲线E上，所以?5?． 545所以kPQ?kOQ2y0?ty0y0?ty0 ???5x052x0?x0?x033数学（文科）试题A 第 11 页 共 13 页

424x0?5???x0?3??43?5?．

55x02?x034所以直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．

5（3）证法1：设点H?x,y?，且过点P??5?,1?的直线l与双曲线E的右支交于不同两点M?x1,y1?，?3?N?x42,y2?，由（2）知y21?5?x2?5?，y2412?5?x22?5?． 设PMPN?MHHN??，则????????????PM???????PN,??????． ??MHHN.??即????x1?53,y1?1????????x2?5?3,y2?1??,

???x?x1,y?y1????x2?x,y2?y?.??x1??x2?5?1???,①?3整理，得??y1??y2?1??,②

??x1??x2?x?1???,③??y1??y2?y?1???.④?由①×③，②×④得?x2??2x2?51??2?123??x,⑤

??y221??y22??1??2?y.⑥将y2?422424x21??2x2215?x1?5?，y2?5?x2?5?代入⑥，得y?5?1??2?4．将⑤代入⑦，得y?43x?4． 所以点H恒在定直线4x?3y?12?0上．

证法2：依题意，直线l的斜率k存在． 设直线l的方程为y?1?k??x?53????，

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⑦

?5??y?1?kx???,?3???由?

22?x?y?1.?4?5消去y得94?5k?2?x2?30?5k2?3k?x?25?5k2?6k?9??0．

因为直线l与双曲线E的右支交于不同两点M?x1,y1?，N?x2,y2?，

??22??9005k?3k????900?4?5k2??5k2?6k?9??0,?30?5k2?3k??,则有?x1?x2? 29?5k?4???2255k?6k?9???.?x1x2?95k2?4???设点H?x,y?，

①

② ③

5PMMH3?x?x1． ?由，得

5x2?x1PNHNx2?3x1?整理得6x1x2??3x?5??x1?x2??10x?0．

150?5k2?6k?9?30?3x?5??5k2?3k?将②③代入上式得??10x?0． 229?5k?4?9?5k?4?整理得?3x?5?k?4x?15?0． ④ 因为点H在直线l上，所以y?1?k?x??． ⑤ 联立④⑤消去k得4x?3y?12?0． 所以点H恒在定直线4x?3y?12?0上．

（本题（3）只要求证明点H恒在定直线4x?3y?12?0上，无需求出x或y的范围．）

??5?3?数学（文科）试题A 第 13 页 共 13 页

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